Résolution d équations

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1 Résolution d équations C H A P I T R E 7 Énigme du chapitre. Objectifs du chapitre. Vous êtes au milieu du désert avec vos chameaux et vos dromadaires. Cela fait en tout 13 bosses et 36 pieds. Avez-vous donc plus de chameaux que de dromadaires ou plus de dromadaires que de chameaux? Mettre en équation un problème Résoudre une équation mise sous la forme A(x )B(x ) = 0, où A(x ) et B(x ) sont des expressions du premier degré. Déterminer, sur des exemples numériques, les nombres x tels que x 2 = a, où a est un nombre positif.

2 I/ Équation du premier degré à une inconnue, problèmes Activité A. Résoudre un problème 1. On veut résoudre l équation 4x + 12 = 30 2x. (a) Peut-on facilement trouver une solution de cette équation? (b) Pour résoudre une équation de ce type, on utilise les règles suivantes : Lorsque l on ajoute ou lorsque l on retranche un même nombre aux deux membres d une égalité, on obtient une nouvelle égalité. Lorsque l on multiplie ou lorsque l on divise chaque membre d une égalité par un même nombre non nul, on obtient une nouvelle égalité. Justifier les transformations successives ci-dessous. 4x + 12 = 30 2x 6x + 12 = 30 6x = 18 x = 3 (c) Quelle est la solution de l équation : 4x + 12 = 30 2x? 2. Manon pense à un nombre et elle remarque que si elle le multiple par 4 et ajoute 12 au produit, elle obtient le même résultat que si elle avait retranché le double de ce nomrbe à 30. À quel nombre Manon a-t-elle pensé? Définition 7x + 21 = 14 est une équation du premier degré, d inconnue x. Résoudre une équation, c est chercher toutes les valeurs d un nombre inconnu qui vérifient l égalité proposée. Ces valeurs sont les solutions de l équation ; Propriétés Si on additionne ou soustrait un même nombre aux deux membres d une équation, alors on obtient une équation qui a les mêmes solutions. Si on multiplie ou divise les deux membres d une équation par un même nombre non nul, alors on obtient une équation qui a les mêmes solutions.

3 9x 4 = 3x + 2 9x = 3x x = 3x + 8 9x 3x = 3x + 6 3x 6x = 8 6x 6 = 6 6 x = 1: L équation 9x 4 = 3x + 2 a une unique solution qui est le nombre 1. Méthode (Résoudre un problème à l aide d une équation) 1. On choisit l inconnue. 2. On met le problème en question. 3. On résout l équation. 4. On interprète le résultat. Mathilde pense à un nombre. Si elle multiplie ce nombre par 6 et retranche 7 au produit obtenu, elle obtient le même résultat que si avait ajouté 3 à ce nombre. À quel nombre Mathilde a-t-elle pensé? On note x le nombre auquel Mathilde a pensé. Mathilde multiplie ce nombre par 6 et elle retranche 7 à ce produit. Le nombre obtenu s écrit 6x 7. Si Mathilde avait ajouté 3 au nombre auquel elle a pensé, elle avait obtenu : x + 3. Mathilde obtient le même résultat dans les deux cas ; ce qui permet d écrire l égalité : 6x 7 = x + 3. Mathilde a pensé au nombre 2. 6x 7 = x + 3 6x = x x = x x x = x x = 10 5x 5 = 10 5 x = 2 x

4 Remarque On peut vérifier que l égalité 6x 7 = x + 3 est vraie pour x = 2 : Faire les exercices F 5 F = 5 et = 5

5 II/ Équation produit Activité B. Équation produit 1. Proposer différents exemples de nombres a et b tels que a b = Recopier et compléter les égalités : (a) 3 : : : = 0 (b) : : : ( 2) = 0 (c) a : : : = 0 (d) : : : b = 0 aevc b un nombre non nul. (e) 3 0 = : : : (f) 0 ( 2) = : : : (g) a 0 = : : : (h) 0 b = : : : 3. (a) Recopier et compléter : «Dire que a b = 0 revient à dire que a = : : : ou b = : : : (b) Si a b = 6, peut-on dire de façon certaine la valeur prise par a et b? Pourquoi? 4. On considère l équation (x +1)(3 x) = 0. Cette équation s appelle une équation produit. (a) Expliquer cette appelation. (b) Quels sont les facteurs du premier membre de cette équation? (c) Utiliser la question 3 pour résoudre l équation (x + 1)(3 x) = 0. Définition Une équation produit est une équation du type avec a, b, c et d, des nombres relatifs. (ax + b) (cx + d) = 0; (3x 7)( 4x + 1) = 0 est une équation produit. Propriété Dire qu un produit de facteurs est nul revient à dire qu au moins un des facteurs est nul. s Si 3x 7 = 0 ou 4x + 1 = 0, alors (3x 7)( 4x + 1) = 0. Si (3x 7)( 4x + 1) = 0, alors 3x 7 = 0 ou 4x + 1 = 0. Remarque Cette propriété permet de résoudre une équation produit. Les solutions de l équation produit (3x 7)( 4x + 1) = 0 sont les solutions de 3x 7 = 0 et 4x + 1 = 0. Faire les exercices F 10 F

6 III/ Équations du type x 2 = a Activité C. Un nouveau type d équation 1. (a) Factoriser l expression x 2 49, puis résoudre l équation x 2 49 = 0. (b) En déduire les solutions de l équation x 2 = (a) Recopier et compléter : 3 = (: : :) 2. (b) Factoriser l expression x 2 3, puis résoudre l équation x 2 3 = 0. (c) En déduire les solutions de l équation x 2 = (a) Résoudre l équation x 2 = 0. (b) Les équation x 2 = 49 et x 2 = 3, ont-elles des solutions? Justifier. 4. Dans quels conditions l équation x 2 = a admet-elle une ou deux solutions? 5. Résoudre les équations suivantes : (a) x 2 = 16 (b) x 2 = 1 (c) x 2 16 = 0 (d) 3x 2 = Propriétés Si a < 0, alors l équation x 2 = a n a pas de solution. Si a = 0, alors l équation x 2 = a admet 0 pour unique solution. Si a > 0, alors l équation x 2 = a admet deux solutions distinctes qui sont p a et p a. s L équation x 2 = 4 n a pas de solution, car un carré est positif ou nul. L équation x 2 = 0 a pour unique solution p 0. p L équation x 2 = 3 a deux solutions : 3 et 3. Remarque L équation x 2 = a, avec a > 0, a deux solutions opposées. Faire les exercices F Problèmes : Faire les exercices 14 F 15 F 16 F 17 F Vu au brevet : Faire les exercices 18 F 19 F 20 F