Position relative de droites et plans

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1 TS Position relative de droites et plans Cours Rappels : Un plan est défini par : - Trois points non alignés ou - Deux droites sécantes ou - Deux droites strictement parallèles Si un plan contient deux points distincts A et B de l espace, alors il contient la droite ) On note et on lit «la droite ) est incluse dans le plan P» Tous les résultats de géométrie plane s appliquent dans chaque plan de l espace I. Droites et plans 1. Position relative de deux droites Deux droites de l espace sont soit coplanaires ( dans un même plan ), soit non coplanaires Deux droites coplanaires peuvent être soit sécantes, soit parallèles Deux droites non coplanaires : 1

2 Remarques : Deux droites de l espace n ayant aucun point commun ne sont pas forcément parallèles, elles peuvent aussi être non coplanaires. Deux droites sont strictement parallèles si elles sont coplanaires et n ont aucun point commun. Exemples : exercices 20, 21 page Position relative de deux plans a. Plans sécants Deux plans de l espace sont soit sécants soit parallèles. L intersection de deux plans est une droite Pour déterminer l intersection de deux plans, on cherche deux points communs aux deux plans : - soit ils apparaissent de manière évidente - soit on les construit comme l intersection de deux droites, une dans chaque plan. Exemple 1 : ABCD tétraèdre, E, F et G sont des points des arêtes [AB], [AC] et [AD] tels que les droites (EF), (FG) et (EG) ne sont pas parallèles respectivement à (BC), (CD) et (BD). Construire la droite d intersection des plans (EFG) et (BCD) 2

3 b. Plans parallèles 3. Position relative d une droite et d un plan Une droite et un plan de l espace sont soit sécants, soit parallèles L intersection d une droite et d un plan est un point Pour déterminer l intersection d une droite et d un plan : - On cherche un point commun à la droite et au plan, en général c est l intersection de la droite avec une droite contenue dans le plan - On montre que la droite n est pas contenue dans le plan ABCD est un tétraèdre. Le point I est le milieu de [AB] et J est le point de l arête [AD] tel que Déterminer l intersection de la droite (IJ) et du plan (BCD) 3

4 II. Parallélisme 1. Démontrer que deux plans sont parallèles Théorème : (admis) Si deux droites sécantes d un plan(p) sont parallèles à deux droites sécantes d un plan( Q) Alors (P) et (Q) sont parallèles Propriété ( admise ) : Deux plans parallèles à un troisième plan sont parallèles entre eux ABCD tétraèdre. I, J et K milieux de [AD], [DB] et [DC]. Démontrer que (IJK) est parallèle à (ABC) 4

5 2. Démontrer qu une droite est parallèle à un plan Propriété 1 (admise ): Si deux droites (D) et( ) sont parallèles et si (D ) est incluse dans un plan(p), Alors ( ) est parallèle à(p) Pour montrer qu une droite est parallèle à un plan, il suffit de démontrer qu elle est parallèle à une droite du plan. Propriété 2 (admise) : Si deux plans (P) et (P ) sont parallèles et si une droite (d )est parallèle à (P), alors (d) est parallèle à (P ) SABCD pyramide à base trapèze ABCD telle que (CD)//(AB). Démontrer que (CD)//(SAB) 5

6 3. Démontrer que deux droites sont parallèles Propriété (admise ): Deux droites parallèles à une même droite sont parallèles entre elles Si (d 1 ) // ( d 2 ) et (d 2 ) // ( d 3 ) alors (d 1 ) // (d( 3 ) Propriété ( admise) Si deux plans sont parallèles Alors tout plan qui coupe l un coupe l autre et les droites d intersection sont parallèles. Application : section d un solide de l espace avec un plan ABCDEFGH est un cube, I et K sont les points des arêtes [EH] et [BC] tels que : et Construire la section du cube par le plan (IFK) Pour déterminer la section d un solide de l espace avec un plan, on cherche à déterminer de proche en proche des points du plan de section sur chaque arête du solide, en utilisant deux droites coplanaires sécantes dont l une est incluse dans le plan de section et l autre porte sur une arête d une face. 6

7 Théorème du toit : ( ROC, démontré dans le chapitre géométrie vectorielle ) Si (d) et (d ) sont deux droites parallèles (P) est un plan qui contient (d) et (P ) un plan qui contient (d ) (P) et (P ) sécants selon une droite ( ) alors : (d) // (d ) // ) SABCD est une pyramide dont la base ABCD est un carré. Déterminer l intersection des plans (SBC) et (SAD) III. Orthogonalité dans l espace 1. Droites orthogonales Définition Deux droites de l espace sont orthogonales si et seulement si il existe deux droites coplanaires qui leur sont parallèles et qui sont perpendiculaires entre elles. Dans le cube ABCDEFGH, les droites (FB) et (BC) sont prependiculaires en H. Comme (HE) est parallèle à (BC), les droites (HE) et (BC) sont orthogonales 2. Droite orthogonale à un plan 7

8 Définition Une droite est orthogonale à un plan si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan Propriété ( ROC démontré dans le chapitre produit scalaire ) Si une droite est orthogonale à un plan, elle est orthogonale à toute droite de ce plan Démontrer que les droites (FH) et (FB) sont orthogonales Pour démontrer que Deux droites d et sont orthogonales, il suffit de démontrer que la droite est orthogonale à un plan P contenant d. Une droite est orthogonale à un plan P, il suffit de prouver qu elle est orthogonale à deux droites sécantes du plan 3. Parallélisme et orthogonalité 8

9 Propriétés ( admises ) Deux droites orthogonales à un même plan sont parallèles Si deux droites sont parallèles, tout plan perpendiculaire à l une est perpendiculaire à l autre Propriétés ( admises ) Deux plans orthogonaux à une même droite sont parallèles Si deux plans sont parallèles, alors toute droite orthogonale à l un est orthogonale à l autre. 9