FILTRAGE NUMERIQUE. deuxième partie : synthèse des filtres numériques

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1 FILRAG UMRIQU deuxième partie : synthèse des filtres numériques ierre Le Bars (avec la collaboration de Francis Gary) lebars@moniut.univ-bpclermont.fr

2 FILRAG UMRIQU Deuxième partie : synthèse des filtres numériques I/ Méthodes générales de synthèse des filtres numériques Mis à part quelques cas simples (par exemple filtre à «moyenne glissante» défini par la récurrence y(n) =. x(n k) ), la synthèse directe des filtres numériques n est pas k = aisée. Les méthodes de synthèse les plus utilisées s appuient sur les propriétés (bien connues!...) des filtres analogiques. On part d un filtre analogique «prototype» de fonction de transfert G anal (p) ayant les propriétés souhaitées, puis on cherche le filtre numérique de fonction de transfert H um () ayant sensiblement les mêmes propriétés : même réponse impulsionnelle même réponse indicielle f f même réponse harmonique sur l intervalle ; (Shannon!)... II/ Synthèse de filtres R.I.F. -- Intérêt des filtres RIF Un filtre RIF est définie par une fonction de transfert : k H() = a k. soit en régime harmonique : k = ( ) j. ω. k k.j. ω. k k k = k = H(j. ω ) = a. e = a.e Il arrive souvent que ces coefficients aient des propriétés de symétrie : ak = a k ou ak =a k Si on regroupe deux à deux les termes : k.j. ω. (k).j. ω. k.j. ω. (k).j. ω. a k.e + a k.e = a k. e + e = a.e k.e + e p =.a k.cos k. ω..e (si ak a k =, on obtient p.j.a k.sin k. ω..e p p j.. ω. k. j.. ω. k j. ω. j.. ω. ) j.. ω.

3 On aura alors : j.. ω. k = p H( j. ω ) = e..a k.cos k. ω. D où : Arg[ H( j. ω )] =.. ω ( + π) (le terme + π intervient si S < ) On obtient un filtre dont la phase varie linéairement en fonction de ω. Un tel déphasage est équivalent à un retard τ=.. π (si ak = a k : Arg[ H( j. ω )] =.. ω ( +π ). La conclusion est la même). -- noncé du problème de synthèse On cherche à réaliser un filtre de fonction de transfert : k H um() = a k. k = ou, ce qui est équivalent, défini par la récurrence : y(n) = a.x(n k) k = k Or, on a vu que pour un filtre RIF : ak = h(k), où h(n) est la réponse impulsionnelle du filtre. Le problème se ramène donc à la détermination de la réponse impulsionnelle h(n) du filtre numérique. Deux cas peuvent se présenter : on sait calculer la réponse impulsionnelle g(t) du filtre analogique prototype (technique de l échantillonnage temporel) on ne sait pas calculer g(t), mais on connaît l allure de la réponse en fréquence du filtre analogique prototype. G anal(j. ω ) est connu, ou au moins un gabarit (technique de l échantillonnage en fréquence). On travaillera sur un exemple pour mettre en œuvre ces deux techniques : on cherche à F réaliser sous forme numérique un filtre passe-bas idéal de fréquence de coupure F = (voir ). Ganal S C - F / -F C F C F / f

4 -3- chantillonnage temporel (invariance impulsionnelle) Soit g(t) la réponse impulsionnelle du filtre analogique : + (t) Fourier j. π.f.t (f) (t).e.dt δ = δ = Filtrage G(f) = G anal (f). (f) = + Fourier Inverse j. π.f.t g(t) = G(f).e.df = + FC e j. π.f.t.df FC j. π.f C.t j. π.f C.t si FC < f < F sif c C C [ F;F] e e = j.. π.t sin ( π.f C.t) =.F C. π.f C.t Cette réponse impulsionnelle est échantillonnée pour fournir la réponse impulsionnelle du filtre numérique : sin (. π.f C.n.) h(n) =.g(n. ) =.F C... π.f C.n. F our FC =, on obtient numériquement : π sin n. 5 h(n) =,. π n. 5 Deux problèmes surgissent :. la réponse impulsionnelle est infinie. our la rendre finie, on tronque cette réponse (fenêtre rectangulaire) ; voir : on ne prend que 7 échantillons, de n = - 8 à n = le filtre n est pas causal : il répond avant l impulsion. Il n est donc pas réalisable physiquement. our le rendre causal (et donc réalisable), on translate cette réponse de 8 échantillons : h(-8) devient h(), h(-7) devient h() h(8) devient h(6). L ensemble des opérations de synthèse est résumé page suivante. Valeurs des coefficients : k a k k a k Remarque : on retrouve la propriété h(k) = h(6 - k) ; l argument variera de façon linéaire, traduisant un retard de 8. (volontairement introduit pour rendre le filtre réalisable) 3

5 Synthèse d un filtre passe-bas «idéal» (F C = F /) : échantillonnage temporel g(t) t Filtre analogique : réponse impulsionnelle g(t) sin π.f C.t g(t) =.F C. π.f.t ( ) C h(n) n chantillonnage de la réponse impulsionnelle : h(n) =.g(n. ) w Fenêtre w(t) ou w(n). (limitation du nombre d échantillons) t h(n) Réponse impulsionnelle limitée à un nombre fini d échantillons : h(n).w(n) n h(n) Décalage (filtre causal, c est à dire réalisable physiquement) n 4

6 -4- chantillonnage en fréquence On décide d échantillonner en fréquence G anal(j. ω ). On définit donc la suite : ω H(k) = Ganal j.k. où est le nombre d échantillons. n reprenant le même exemple que précédemment = 7,H() = H( ) = H() = et H() = H( ) =... = H(8) = H( 8) = On peut en déduire, par transformation de Fourier discrète (FD), les valeurs de la réponse impulsionnelle : /. π j..k.n h(n) =. H(k).e k =/ Dans notre cas : j.. π.n j.. π 7 7.n. π h(n) =. + e + e =. +.cos.n avec 8 n nfin, pour rendre ce filtre réalisable physiquement, on translate cette réponse impulsionnelle de 8 échantillons. L ensemble de ces opérations est résumé page suivante. La figure ci-dessous indique la réponse en fréquence de chaque filtre. Filtre idéal analogique chantillonnage temporel chantillonnage en fréquence.8 G um (j.ω ).6.4 chantillons H(k) f/f 5

7 Synthèse d un filtre passe-bas «idéal» (F C = F /) : échantillonnage en fréquence G anal Réponse en fréquence du filtre analogique prototype G (j. ω) anal f H(k) chantillonnage en fréquence : ω H(k) = Ganal j.k. k h(n) ransformée de Fourier Discrète : /. π j..k.n h(n) =. H(k).e k =/ n h(n) Décalage (filtre réalisable physiquement) n 6

8 -5- Amélioration : notion de fenêtre Si on reprend l exemple de l échantillonnage temporel, la réponse harmonique présente des ondulations dans la bande passante et dans la bande atténuée. La réponse impulsionnelle a été tronquée brutalement ; son spectre est donc étendu et ne respecte pas le théorème de Shannon. ous retombons dans les problèmes de repliement de spectre. Afin de limiter ces effets, on réalise une troncature «en douceur» en affectant les coefficients a k = h(k) d un facteur de pondération (voir le chapitre sur la FF). Méthode résumée : g(t) h(n) =.g(n. ) h '(n) = h(n).w(n) ( w(n) : facteurs de pondération) décalage pour que le filtre soit réalisable um = k= H () h'(k). k xemple : fenêtre de Hamming : n w(n) =,54 +, 46.cos. π π sin n. π 5 n sin n. h '(n) =,..,54 +, 46.cos. π 5 π n. 7 h(n) =,. π 5 n. 5 Après décalage de 8 échantillons, on obtient le tableau suivant : k h(k) h (k) k h(k) h (k) H um (j.ω).8.6 Filtre analogique fenêtre rectangulaire fenêtre de Hamming La figure ci-contre permet de comparer les deux résultats : fenêtre rectangulaire et fenêtre de Hamming f/f 7

9 -6- Intérêts et limites des filtres RIF Intérêts : ) les filtres RIF sont toujours stables ) on peut facilement réaliser des filtres RIF à phase linéaire Inconvénients : on arrive rapidement à des filtres d ordre élevé (voir les exemples ci-dessus : = 7). Les calculs sont donc longs. Ces filtres sont rapidement limités en fréquence (F limitée) III/ Synthèse des filtres R.I.I. -- Les différentes méthodes Il existe de nombreuses méthodes de synthèse des filtres RII, suivant le critère qu on s impose : réponse temporelle imposée. * réponse impulsionnelle méthode d invariance impulsionnelle * réponse indicielle méthode d invariance indicielle (cette méthode a été utilisée pour réaliser en AU le ID numérique, la consigne étant souvent un échelon) simulation numérique d une équation différentielle * méthode d uler * méthode des trapèes réponse en fréquence imposée : transformation bilinéaire our illustrer ces méthodes, on cherchera à réaliser un filtre numérique à partir d un filtre analogique prototype de fonction de transfert G anal(p) =, avec τ = + τ.p (système déjà pris comme exemple dans la première partie) -- Invariance impulsionnelle Cette méthode est résumée ci-dessous : t ransformée de Laplace G anal(p) = g(t) =.e τ. γ(t) inverse +τ.p τ n chantillonnage τ = = ransformée en Z = τ h(n).g(n. ). e.u(n) τ H(). τ e. Remarque : G anal (p) possède un pôle (valeur de p rendant G anal (p) infini) : p = τ H() possède un pôle : τ.p = =, où p est le pôle de G anal (p). e e 8

10 -3- Invariance indicielle G anal(p) = Y(p) = G anal(p). Γ (p) =. +τ.p p +τ.p y(t) e. (t) t Laplace = τ γ chantillonnage = n. y(n) e τ.u(n) Y() H().U() H(). ransformée en Z = = = τ On obtient donc l expression de H() : H() =.Y() = = ( ) e. τ e. τ τ e. e. -4- Méthode d uler : approximation de la dérivée Un filtre analogique est défini par sa fonction de transfert G anal (p) : m a + a.p a m.p G anal(p) = n + b.p b n.p ou, ce qui est équivalent, par l équation différentielle : n m dy d y dx d x y + b b n. = a n.x + a a m. m dt dt dt dt Le problème consiste à simuler sous forme numérique cette équation différentielle. Considérons donc un dérivateur : dx x(t) x( t t) y= = lim dt t t Si est «petit», on pourra assimiler t à ; on aura donc : dx x(t) x( t ) y(t) = dt n écrivant cette relation à l instant t = n., on obtient : dx x(n) x(n ) y(n. ) = y(n) = dt t = n. et en prenant la transformée en Z de chaque membre : Y() =.X() 9

11 n résumé : dx x(n) x(n ) quation temporelle : y = Récurrence : y(n) = dt ransformée de Laplace : Y(p) = p.x(p) ransformée en : Y() =.X() G anal(p) p= H um() On passe de G anal (p) à H um () en remplaçant p par xemple : Remarques x y() (si y()=) p = anal um G (p) = H () = =. +τ.p τ τ +τ. + τ +... On a fait le parallèle transformée de Laplace - transformée en Z en utilisant.p l identité : = e..p Si.p : = e (.p) =.p soit p =. La méthode d uler est une approximation au premier ordre de l identité.p = e. On conçoit facilement que cette approximation est grossière pour les dérivées seconde, troisième Il faut que x(t) varie «peu» sur une période d échantillonnage.. Considérons un intégrateur analogique : G anal(p) =. Son équivalent p numérique par la méthode d uler est : H um() = =. n revenant à la récurrence : y(n) y(n ) =.x(n). y() - y() y(n) - y(n - ) Méthode d uler = approximation d une intégrale par une somme de Darboux. (n-). n. t

12 -5- Méthode des trapèes On peut améliorer le calcul d une intégrale en utilisant la méthode des trapèes : x x(n) + x(n ). dy Si x = : dt n. (n). x(n) + x(n ) x(t).dt. = y(n) y(n ) (n-). n. t La méthode est résumée ci-dessous : dy Laplace quation temporelle : = x G anal(p) = dt p p =. + x(n) + x(n ) + Récurrence : y(n) y(n ) =. H () =. ransformée en Z um On passe de G anal (p) à H um () par la transformation p =. + xemple : G anal(p) = H um () = Ganal p =. +τ.p + = +τ =. τ τ +.. τ. +.

13 Remarques.p + 3..p + 4.p 3 L identité = e donne : +.p +..p ( ) +..p ( ). La 3! méthode des trapèes est une approximation au deuxième ordre de la.p relation = e, alors que la méthode d uler n est valable qu au premier ordre.. Considérons un dérivateur analogique ; dx Laplace y= G anal(p) = p dt. p =. = +.p +..p ( ) +..p ( ) + H um() =. = ranformée en Z y(n) y(n ) x(n) x(n ) inverse + x (n-). t n. t Le théorème des accroissements finis dit que : t (n). ;n. ] [ dx x(n) x(n ) tel que : y(t ) = = dt L approximation consiste à dire que : y(n) + y(n ) y(t ) (x(t) assimilé à un arc de parabole) t -6- Comparaison des différentes méthodes de synthèse Les figures des pages suivantes permettent de comparer les réponses impulsionnelles, indicielles et harmoniques des 4 filtres numériques. our τ = : Invariance impulsionnelle : H() =,36788., 63. Invariance indicielle : H() =, Méthode d uler : H() =.. + Méthode des trapèes : H() =. 3. 3

14 ROSS IMULSIOLLS Invariance impulsionnelle Invariance indicielle Méthode d uler Méthode des trapèes ROSS IDICILLS Invariance impulsionnelle Invariance indicielle Méthode d uler Méthode des trapèes

15 ROSS HARMOIQUS G anal (j.ω) ou H um (j.ω).5 filtre analogique invariance impulsionnelle invariance indicielle méthode d'uler méthode des trapèes f/f Arguments f/f Si on s intéresse au régime harmonique, en basse fréquence (f,5.f ), la méthode des trapèes ou l invariance indicielle donnent, pour le gain, des réponses comparables au premier ordre analogique ; mais seule la méthode des trapèes donne des résultats comparables au premier ordre analogique pour le gain et l argument. -7- ransformation bilinéaire Il s agit d une amélioration de la méthode des trapèes. 7.. «Distorsion» de l axe des fréquences On se pose le problème suivant : connaissant la réponse en fréquence du filtre G (j. ω ) = f( ω ) et Arg G (j. ω ) = g( ω ), où ω A analogique prototype (courbes [ ] anal A A anal A A désigne la pulsation du signal à l entrée du filtre analogique), peut-on obtenir rapidement les courbes H um (j. ω ) = f '( ω )et Arg[ H um (j. ω )] = g'( ω ) où H um est la fonction de transfert du filtre numérique obtenu la méthode des trapèes et ω la pulsation du signal à l entrée du filtre numérique? j. ω. e A j. ω. + + p =. j. ω =. e 4

16 Avant tout calcul, on peut remarquer que : j. ω. ωa e ω j. ω. ω ωa e ω. π ω Autrement dit, toute la gamme des fréquences analogiques ( de à l ) est ramenée sur la F gamme des fréquences numériques (de à ) : on évite ainsi les problèmes de repliement de spectre. Correspondance : j. ω. j. ω. j. ω. e. e e j. ω..j.sin. e j. ω A =. =. ω =. j. ω. + e j. ω. j.. j.. e ω ω. e + e.cos ω. ω A. = tan ω. ω. = arctan ωa. π (l utilisation de la fonction arctan ne pose ici aucun problème, car ω. ; ) La figure ci-dessous indique la construction permettant de passer de la réponse en fréquence du filtre analogique à la réponse en fréquence du filtre numérique. H um = G anal G (j. ω ) anal A ransformation bilinéaire : construction de la réponse en fréquence du filtre numérique à partir de la réponse du filtre analogique prototype H (j. ω ) um ω A ω =.arctan ωa. ω / ω 5

17 7.. xemple On veut réaliser un filtre numérique de pulsation de coupure : ω C = = τ Comment choisir le filtre prototype de fonction de transfert G anal(p) =? p + ω Autrement dit, comment choisir ω CA? our tenir compte de la «distorsion» de l axe des fréquences, on choisira : ωc. ω CA =.tan =.tan puis on applique la transformation bilinéaire : G anal(p) = H um () = + p tan + tan tan + H um() =. + tan tan. + tan La réponse en fréquence est représentée ci-dessous CA -3 db G(j.ω) et H(j.ω) H() obtenue par transformation bilinéaire - - ω. Arg[G(j.ω)] et Arg[H(j.ω)] G(p) = +.p ω.