Limites - Continuité - Asymptotes

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1 Série d eercices Hichem Khazri Limites e M Limites - Continuité - Asymptotes EXERCICE N - Déterminer Lim f() et Lim f() ( 2) - ( 2) + 2- La fonction f admet-elle une limite en 2 EXERCICE N 2 - Déterminer Df puis simplifier f() 2- Déterminer Lim f(), Lim f(), Lim f() f admet-elle une limite en 4. EXERCICE N ² Déterminer Lim f() - 2- a) Factoriser f(). b) Déterminer Lim f() puis Lim /f() + - EXERCICE N Ecrire f() sous la forme : f()= a+ +2, a et b étant deu réels que l on déterminera.

2 2- Déterminer Lim f() et Lim f() EXERCICE N 5 - Simplifier f() sur ] -,-[ puis sur ]-, + [ 2- Calculer Lim f() et Lim f() ; que peut-on conclure? (-) + (-) - - Calculer Lim f() et Lim f() + - EXERCICE N 6 Déterminer les limites éventuelles suivantes : EXERCICE N 7 Déterminer les limites éventuelles suivantes :

3 EXERCICE N 8 Déterminer les limites des fonctions suivantes lorsque tend vers + EXERCICE N 9 Déterminer les limites des fonctions suivantes lorsque tend vers + EXERCICE N 0 Soit la fonction définie par : f()= Déterminer Lim f(), Lim f() et Lim f() + -

4 EXERCICE N Déterminer Lim f(), Lim f() et Lim f() EXERCICE N Soit la fonction f définie par : f()= Déterminer Lim f() et Lim f() EXERCICE N + Soit la fonction f définie par : f()= Déterminer Lim f() ; Lim f() et Lim f() EXERCICE N Soit la fonction f définie par : f()= Déterminer Lim f() et Lim f() EXERCICE N 5 + Déterminer Lim f() + EXERCICE N 6

5 Soit la fonction f définie par : f()= Déterminer Lim f() et Lim f() EXERCICE N 7 + Déterminer le domaine de définition de f et Lim f() EXERCICE N Etudier suivant les valeurs de m la limite de f au point 0 = 2- Etudier suivant les valeurs de m la limite de f en + et en - EXERCICE N 9 Déterminer suivant les valeurs de m la limite de f lorsque tend vers 4. EXERCICE N 20 - Déterminer l e domaine de définition de f. 2- Déterminer Lim f() et Lim f() 2

6 EXERCICE N 2: Calculer la limite de f en 0 2 f ( ) = en ² ² f ( ) = en9 5 ² 9 f ( ) = en 2 ² + 6 f ( ) = en f ( ) = en f ( ) = en f ( ) = 4 en ( ) + f ( ) = en0 EXERCICE N 22: ² + Soit la fonction f ( ) = ² + 2 ) calculer la limite de f en2 2) la fonction f est elle prolongeable par continuité en 2. si oui définir ce prolongement EXERCICE N 2 On considère la fonction f définie sur IR ² si 4 et 4 ² 6 par : f ( ) = a si =4 b si =-4 ) Déterminer la valeur de a pour que f soit continue en 4 2) Déterminer la valeur de a pour que f soit continue en -4 EXERCICE N 24: 2 ² + + f ( ) = si < Soit la fonction f définie par : + 2 f ( ) = ² + si et Cf sa courbe représentative

7 ) Déterminer le domaine de définition de f 2) Calculer lim f et lim f. Interpréter graphiquement ( 2 ) + ( 2 ) ) Etudier la continuité de f en - 4) a) Calculer lim f 7 b) Montrer que ], [ : f ( ) = c) Montrer que la droite : y = 2 est une asymptote oblique à Cf au voi de d) Etudier la position relative de Cf et 5) a) Calculer lim f + b) Montrer que IR : + = ² + + c) En déduire que la droite ' : y = est une asymptote oblique à Cf au voi de + EXERCICE N 25 8 si < 2 Soit la fonction f définie sur IR\{2} par : f ( ) = 2 + si > 2 2 ) Calculer lim f ( ) et lim f ( ) + 2 2) f admet elle une limite en 2 ) f est elle prolongeable par continuité en 2 si oui donner se prolongement EXERCICE N 26: Soit la fonction f définie sur ] ;+ [ par : ) Montrer que f est continue sur ] ;+ [ f ( ) = 2) Soit a et b deu réels de l intervalle ] ; + [ tels que a b a) Calculer f ( a) f ( b) (0.25) b) En déduire les variations de f sur ] ;+ [ ) a) Montrer que ] ; + [,( f ) b) Déterminer f ( ],;2 [ ) c) En déduire Que l équation 4) a) Calculer lim f ( ) 2 b) Calculer lim et lim f ( ) f (2) c) En déduire lim EXERCICE N 27 Calculer les limites suivantes : ( ) = 0 + = + = admet une solution α ],;2 [

8 lim + 6 ; lim 0 + ² ; lim ² + EXERCICE N 28 Soit la fonction f ( ) = ² ) Montrer que f est continue sur IR f ( ) f (2) 2) Calculer lim f ( ) et lim ) Montrer que l équation ( ) 0 4) Montrer que α = α ² α EXERCICE N 29 Soit la fonction f définie sur IR par : f = admet une solution α dans l intervalle [ ;2 ] ² f ( ) = si < 2 ² + ² f ( ) = si f ( ) = a ² + si > + ) a) Montrer que si < f ( ) = 2. En déduire lim f ( ) ( ) b) Calculer : lim f ( ) f est elle continue en -. + ( ) 2) Déterminer a pour que f soit continue en f ( ) ) Calculer lim f ( ) et lim Dans la suite en prend a =. 4) a) Montrer que pour > f ( ) = + ² + b) En déduire lim f ( ) + 5) En déduire d après ce qui précède les asymptotes à la courbe représentative de f EXERCICE N 0 Calculer les limites suivantes : ² 4 lim + + lim 2 ² 6 ( )² ; lim 5 6 ² ; lim 25 0 EXERCICE N ² + f ( ) = si < + 2 Soit la fonction f définie sur IR par f ( ) = si <<2 ² 5 4 f ( ) = si 2 5 ; lim + ( ² ) ²

9 ) déterminer le domaine de définition de f 2) a) Calculer lim f ( ) et lim f ( ) + b) f admet elle une limite en? c) f est elle continue en? ) Etudier la continuité de f en 2 4) f est elle continue sur son domaine de définition?justifier 5) f est elle prolongeable par continuité en 2? Si oui donner se prolongement par continuité. EXERCICE N 2 2 f ( ) = si et 2 ² Soit la fonction f définie sur IR par f ( ) = a si =- f ( ) = b si =2 ) Déterminer les valeurs de a et b pour que f soit continue respectivement en - et en 2 2) En déduire le domaine de continuité de f EXERCICE N Soit la fonction f ( ) = si > f définie sur IR par f ( ) = a( )² (-)+ si f ( ) = +b si <0 Avec a et b sont des réels. ) Etudier la continuité de f en 2) Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur a et b pour que f soit continue en 0 ) f est elle continue sur IR si a=0 et b = 4 EXERCICE N 4 f ( ) = + ² + b si < 0 Soit la fonction f définie sur IR par : f ( ) = si 0 <2 + f ( ) = ² + 5 si 2 ) Calculer lim f ( ) ; lim f ( ) En déduire b pour que f soit continue en ) f est elle continue en 2 f ( ) f ( ) f () ) On prend b=-2 Calculer : lim f ( ), lim, lim 5 4) a) Montrer que pour 2 on a : f ( ) = ² b) En déduire lim f ( ) et interpréter graphiquement +