MF1.2 - Ecoulements compressibles, dynamique des gaz et ondes de choc

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1 INSA de Rouen - MECA3 - Année MF1. - Ecoulements compressibles, dynamique des gaz et ondes de choc Sommaire 1 Ecoulements compressibles et dynamique des gaz 1.1 Ecoulements à densité variable Ecoulements compressibles Nombre de Mach Grandeurs thermodynamiques Ecoulement stationnaire mono-directionnel dans une conduite à section variable 3.1 Considérations générales Hypothèses Conservation de la masse Conservation de la quantité de mouvement Conservation de l énergie Comportement de l écoulement Atteinte du régime supersonique Solution préliminaire Condition d arrêt Calcul des valeurs d arrêt Détermination des conditions critiques Ondes de choc Observation Onde de choc droite Conditions de part et d autre du choc Relation d Hugoniot Onde de choc oblique Conditions de part et d autre du choc Relation d Hugoniot Notions d acoustique Introduction Théorie linéaire Equation de Lighthill

2 1 Ecoulements compressibles et dynamique des gaz 1.1 Ecoulements à densité variable La variation de densité du gaz est uniquement contrôlé par la variation de température. P On a donc pour P = P 0 + P, << 1. P 0 La loi d état donne ρ = ρ 0 T 0 T (P cte). 1. Ecoulements compressibles Il y a un fort couplage entre la pression, la densité et le champ de vitesse. La loi d état reste P = ρrt. La distinction entre les deux régimes d écoulement des gaz se fait par les phénomènes acoustiques. 1.3 Nombre de Mach Un déplacement dans un gaz génère une onde de pression qui va précéder celui-ci pour informer le milieu aux alentours. Ces ondes de pression sont des ondes acoustiques, du son. Célérité du son : c = P = γrt ρ S Nombre de Mach : M = u 1 Energie cinétique = c Energie interne Le mur du son est à M = 1, le bruit qui retentit est lié au choc contre l air : l objet va plus vite que l information signalant son passage. Le chapitre suivant montre que dρ ρ = M du u. Classification des écoulements : M << 1 (M < 0,3) densité variable M < 1 subsonique M = 1 sonique M 1 transsonique M > 1 supersonique M > 5 hypersonique 1.4 Grandeurs thermodynamiques Rapport des chaleurs spécifiques : γ = C P C V et C P C V = r Energie interne : E i = Ei 0 + T C V dt T 0 Enthalpie : h = h 0 + T C P dt T 0 Entropie : s = s 0 + T dt P C P T 0 T r ln P 0

3 Ecoulement stationnaire mono-directionnel dans une conduite à section variable.1 Considérations générales.1.1 Hypothèses Ecoulement confiné Ecoulement stationnaire Ecoulement sans dégagement de chaleur : pas de réaction exothermique ou endothermique Mélange à proportions constantes : r constante Ecoulement isentropique : pas de frottement important Cette condition introduit l Equation de Laplace Pρ γ = cte De même, elle pose pour l enthalpie dh = C P dt = 1 ρ dp Viscosité négligée : L écoulement est unidimensionnel Gravité négligée Les variations de section vont modifier toutes les grandeurs aérodynamique et thermodynamiques qui caractérisent l écoulement. On va donc chercher à obtenir des relations entre ces grandeurs et la section..1. Conservation de la masse Première forme intégrale dρ dt + (ρ u )dv = 0 V V Seconde forme intégrale (Green-Ostrogradsky) dρ dt dv V d Q m = 0 avec d Q m = ρ u n ds Pour une conduite non non poreuse, on a Q m = ρ(x)u(x)s(x) = cte = par différenciation, dρ ρ + du u + ds S = Conservation de la quantité de mouvement Théorème d Euler : Fk = u d Q m k V Equation d Euler : ρudu = dp pour un fluide stationnaire En utilisant la formule d une onde de pression et le nombre de Mach, on a M du u = dρ ρ.1.4 Conservation de l énergie En considérant l écoulement isentropique, la conservation de l énergie révèle l équation de Saint-Venant (équivalente compressible de l équation de Bernoulli) : 1 u + Φ + γ P γ 1ρ = cte.1.5 Comportement de l écoulement La précédente relation donne du u = 1 ds M, qui epxrime ceci : 1 S Divergent : ds S > 0 Convergent : ds S < 0 M < 1 M > 1 du u < 0 du u > 0 du u > 0 du u < 0 3

4 . Atteinte du régime supersonique..1 Solution préliminaire Pour accélérer un écoulement confiné jusqu à une vitesse supérieure à celle du son, il faut utiliser une tuyère convergente divergente. M < 1 M = 1 M > 1 col sonique La loi d état après différenciation donnant dp P = dρ ρ + dt, on peut établir les relations suivantes : T.. Condition d arrêt dρ ρ du = M u = 1 dp γ P = 1 dt γ 1 T = M ds 1 M S Définition : La condition d arrêt caractérise l écoulement quand il est ramené au repos. Elle correspond aux propriétés du fluide quand le vitesse est nulle. L écoulement étant isentropique, c est la référence qui serait obtenue dans un réservoir sous pression et contenant le fluide qui alimente la conduite. La condition d arrêt est aussi appelée condition totale, condition de réservoir ou condition isentropique. Grandeurs d arrêt Vitesse d arrêt : u = 0 Pression d arrêt : P = P i Température d arrêt : T = T i Densité d arrêt : ρ = ρ i Enthalpie d arrêt : h = h i Réservoir P i, T i, ρ i, h i, u ligne isentropique Ecoulement aval P, T, ρ, h..3 Calcul des valeurs d arrêt Les conditions d arrêt sont calculées ainsi : Température d arrêt Conservation de l énergie totale : h i = h(x) + 1 u (x) Deuxième Loi de Joule : C p T i = C p T (x) + 1 u (x) Expression en ratio : Expression finale : T i T (x) = 1 + T i T (x) = 1 + γ 1 u (x) C p T (x) u(x) = T i c(x) T = 1 + γ 1 M avec C p = γr γ 1 et c = γrt Pression et densité d arrêt Par l équation de Laplace, on a : ( P i P = 1 + γ 1 ) γ γ 1 M et ( ρ i ρ = 1 + γ 1 ) 1 γ 1 M Ces relations sont tabulées en fonction du nombre de Mach. Par exemple, à θ = 98,15K : Gaz Masse molaire M Rapport des chaleurs spécifiques γ Constante massique du gaz parfait r Chaleur spécifique C p Air 8,96kg.kmol 1 1,400 87J.kg 1.K J.kg 1.K 1 4

5 ..4 Détermination des conditions critiques La section au col sonique est la section critique S. Le débit massique dans la conduite est donné par Q m = ρsu = γ + 1 ( ( P SM (γrt ) 1/ Pi = S )γm 1 + γ 1 ) (γ 1) rt γrti M (x) γ + 1 Pi Pour le Mach à l ordre de l unité, on a Q m = ψ S avec ψ (γ 1) = γ c i γ + 1 Le régime sonique n est obtensible que dans le col sonique, c est donc le débit maximal dans la conduite. S On a finalement S = 1 ( ( 1 + γ 1 )) γ + 1 (γ 1) M γ + 1 M S S 1 1 M 5

6 3 Ondes de choc 3.1 Observation On observe dans les fluides des discontinuités qui se développent sur de très faibles épaisseurs. Ces discontinuités sont le lieu de variations brutales de la densité, de la pression et de la vitesse du fluide. Elles s organisent sur des distances de l ordre de 10 microns, ce qui est de l ordre du libre parcours moyen des molécules. En supersonique, l augmentation de la vitesse va s accompagner d une diminution de la pression. En sortie de tuyère, une brutale re-compression du fluide s organise pour raccorder les deux conditions (écoulements dans la conduite et extérieur). : c est l onde de choc. On peut aussi chercher à créer une tuyère accordée, c està-dire que l ensemble est défini pour avoir la même pression ambiante que celle de sortie de tuyère. Plusieurs ondes de choc sont généralement nécessaires pour le raccordement : Onde de choc droite P = P 0 Onde de glissement M = 1 P<<P 0 M > 1 P < P 0 Disque de Mach Onde de choc oblique P = P 0 Onde de détente 3. Onde de choc droite 3..1 Conditions de part et d autre du choc Choc Amont P 1, T 1, ρ 1, M 1 Ecoulement isentropique Aval P, T, ρ, M Ecoulement isentropique saut d entropie Un choc droit est une recompression brutale, elle vérifie : P 1 < P ρ 1 < ρ T 1 < T M 1 > M 3.. Relation d Hugoniot Conservation de la masse : Sur une surface S de choc fixée, on a Q m = ρ 1 u 1 S = ρ u S On a ρ 1 ρ = u u 1 = M c M 1 c 1 ou P P 1 = M 1 M ( T T 1 ) 1 par la loi d état. Conservation de la quantité de mouvement : Q m (u u 1 ) = (P 1 P )S On a en introduisant le nombre de Mach, la relation P P 1 = 1 + γm γm Conservation de l énergie : h 1 + u 1 = h + u On passe ici par la conservation de l énergie totale, car le choc casse la continuité isentropique, on ne peut donc pas utiliser Saint-Venant. Seule l énergie totale est conservée. 6

7 En introduisant les chaleurs spécifiques, on a T 1 + γ 1 = M T γ 1 M 1 Grandeurs totales : On peut considérer que par la conservation de l enthalpie totale uniquement, seule la température totale est conservée, à l inverse de la pression et de la densité totales. M Les relations précédentes mènent à M 1 + = γ 1 γ γ 1 M 1 1 La relation est bijective, on peut aussi remarquer que devenant ionisés) lim M M1 + = γ 1 (la relation ne se vaut plus en hypersonique, les gaz γ On obtient les trois relations suivantes : P = γ P 1 γ + 1 M 1 γ 1 γ + 1 ρ ρ 1 = (γ + 1)M 1 + (γ 1)M 1 M 1 = (γ + 1)P + (γ 1)P 1 γp Onde de choc oblique Conditions de part et d autre du choc Les ondes de choc obliques apparaissent au niveau des rampes de compression (un changement d orientation de la paroi). τ Dans le repère associé au choc : n u1 = u 1n n + u1τ τ = u 1 sin(α) n + u 1 cos(α) τ Ecoulement incident u1 α β δ u Ecoulement réfléchi u = u n n + uτ τ = u sin(β) n + u cos(β) τ 3.3. Relation d Hugoniot Conservation de la masse : ρ 1 u 1 = ρ u Conservation de la quantité de mouvement : on projette suivant n et τ suivant n : P 1 + ρ 1 u 1n = P + ρ u n suivant τ : ρ 1 u 1τ u 1n = ρ 1 u τ u n Conservation de l énergie : h 1 + u 1n + u 1τ = h + u n + u τ Dans la direction normale au choc : u 1n > u n Dans la direction tangentielle : u 1τ = u τ Il y a donc déviation de l écoulement vers l onde de choc Dans la direction normale au choc, les relations obtenues pour les chocs droits sont toujours valables, il suffit de remplacer M 1 pas M 1n = u 1n c 1 = M 1 sin(α) Ainsi : P = γ P 1 γ + 1 M 1 sin (α) γ 1 γ + 1 ρ ρ 1 = (γ + 1)M 1 sin (α) + (γ 1)M 1 sin (α) ( T γ = T 1 γ + 1 M 1 sin (α) γ 1 ) γ 1 γ + 1 γ (γ + 1)M1 sin (α) 7

8 4 Notions d acoustique 4.1 Introduction Il existe trois méthodes pour la résolution des problèmes d acoustique en mécanique des fluides : La Théorie linéaire, avec des équations spécialisées pour l acoustique basées sur la propagation des ondes de pression L Equation de Lighthill, qui permet de simuler l acoustique tridimensionnelle sans résoudre le couplage direct avec le champ de vitesses. l Aéroacoustique qui recherche la solution complète à partir des équations de la mécanique des fluides avec l acoustique. 4. Théorie linéaire Hypothèse adiabatique : dp dρ = 1 ρx Démarche : Equations-bilans : avec X la compressibilité adiabatique. Linéarisation : ρ t + ρu x = 0 u t + u u x = 1 P ρ x dp dρ = 1 ρx Equation d onde : Après réécriture des équations-bilans, on trouve l équation d onde suivante : P 1 t P 1 c x = 0 avec c = 1 ρx P = P 0 + ψp 1 (x,t) ρ = ρ 0 + ψρ 1 (x,t) u = u 1 (x,t) ψ 1 Helholtz : Soit P 1 = Pe iωt et k = ω c = π λ le nombre d onde. On a P x + k P = 0. La résolution de cette équation pour une géométrie donnée permet de déterminer les modes acoustiques auxquels le système est susceptible de répondre. 4.3 Equation de Lighthill Il s agit d abord de représenter l acoustique à travers une équation pour la densité ou la pression. En cherchant à retrouver une expression similaire à partir des équations de conservation de la masse et de la quantité de mouvement grâce à quelques multiplication, dérivation et divergence, on obtient : ρ t c 0 ρ = T i j x i x j avec T i j = ρu i u j σ i j + ( P c 0ρ ) δ i j Cette équation permet aux logiciels de mécanique des fluides spécialisés dans les écoulements incompressibles de simuler la propagation d une onde acoustique, sans considérer explicitement la compressibilité du gaz. 8