Chapitre 6 Comportement asymptotique et limites de fonctions Limites de suites

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1 Chapitre 6 Comportement asymptotique et ites de fonctions Limites de suites 1. Limite d une fonction en ou en. 1.1 Limite infinie d une fonction en ou en Cadre : Soit I=]a ; [, où a est un réel fixé (NB : I est appelé un voisinage de ). f (x) admet pour ite lorsque x tend vers, signifie que les réels f (x) sont aussi grands que l on veut, dès que les réels x sont suffisamment grands (exemple 1 de l activité ). On note alors : f x = Remarques : On dit aussi que la fonction f tend vers + quand x tend vers +. La définition rigoureuse (mais moins intuitive) est la suivante : Pour tout réel M >, il existe un réel m tel que, si x > m, alors f (x) > M. Lorsque x prend des valeurs de plus en plus grandes, la courbe C f finit par se situer au dessus de n importe quelle droite horizontale Exemple : La fonction x x 2 admet pour ite + lorsque x tend vers +. f (x) admet pour ite lorsque x tend vers, signifie que les réels f (x) sont aussi petits que l on veut, dès que les réels x sont suffisamment grands. On note alors : f x = Remarque : «les réels x sont aussi petits que l on veut» ne veut pas dire qu ils sont proches de zéro mais qu ils sont négatif est que leur valeur absolu est très grande. Par exemple 1 1 n est pas petit, il est proche de zéro, alors que est très petit, il est négatif et sa valeur absolue est très grande. On dit aussi que la fonction f tend vers quand x tend vers +. La définition rigoureuse (mais moins intuitive) est la suivante : Pour tout réel M >, il existe un réel m tel que, si x > m, alors f (x) < M. 1 1SFA Cours Sainte Marie de Hann

2 Lorsque x prend des valeurs de plus en plus grandes, la courbe par se situer au dessous de n importe quelle droite horizontale C f finit Exemple : La fonction x 2x admet pour ite lorsque x tend vers + Cadre : Soit I=] ;b [, où b est un réel fixé (NB : I est appelé un voisinage de ). On reprend les deux définitions, en remplaçant «lorsque x tend vers» par «lorsque x tend vers» et «dès que les réels x sont suffisamment grands» par «dès que les réels x sont suffisamment petits». On obtient alors les définitions de «f(x) admet pour ite + lorsque x tend vers» et de «f(x) admet pour ite lorsque x tend vers». f x = f x = 1.2 Limite finie d une fonction en ou en, asymptote horizontale. Cadre : Soit I=]a ; [, où a est un réel fixé. f (x) admet pour ite l (l réel) lorsque x tend vers, signifie que les réels f (x) sont aussi proches de l (c est à dire les réels f x l sont aussi proche de ) que l on veut, dès que les réels x sont suffisamment grands. On note alors : f x =l. Remarque : On dit aussi que la fonction f tend vers l quand x tend vers +. illustration : Lorsque x prend des valeurs de plus en plus grandes, la distance MN tend vers. La courbe C f se rapproche sans cesse de la droite d équation y=l 2 1SFA Cours Sainte Marie de Hann

3 Cadre : I=] ;b [, où b est un réel fixé. f (x) admet pour ite l (l réel) lorsque x tend vers, signifie que les réels f (x) sont aussi proches de l (c est à dire les réels f x l sont aussi proche de ) que l on veut dès que les réels x sont suffisamment petits. On note alors : f x =l. Remarque : On dit aussi que la fonction f tend vers l quand x tend vers. Lorsque x prend des valeurs de plus en plus petites, la distance MN tend vers. La courbe C f se rapproche sans cesse de la droite d équation y=l f x =l on dit que la droite d équation +.. f x =l on dit que la droite d équation y=l est asymptote horizontale au voisinage de y=l est asymptote horizontale au voisinage de Remarques : y=l est appelée asymptote horizontale car c est une droite horizontale. Il existe des fonctions qui n ont pas de ites en + ou, par exemple x cos x et x sin x. 1.3 Asymptote oblique Soit a ( a ) et b deux réels et C f la courbe représentant une fonction f dans un repère. Dire que la droite d équation y=ax b est asymptote oblique à C f en + (respectivement en ) revient à dire que : f x ax b = (respectivement f x ax b = ). Remarque : dans le cas d une asymptote oblique en + (resp. ) on a forcément f x = (resp. f x = ) on ne cherche donc pas d asymptotes obliques pour des fonction qui n ont pas de ite infinie en l infini. Par contre il existe des fonctions qui ont une ite infinie en l infini sans avoir d asymptote oblique, c est le cas de la fonction carré. Pour un réel x fixé, f x ax b représente la longueur MP au signe près. Dire que (D)est asymptote à (C) revient donc à dire que la distance MP tend vers, ou que la courbe se rapproche de la droite x -2 M P (C) : y = SFA Cours Sainte Marie de Hann

4 En général on étudiera la position relative d une courbe et de son asymptote, pour cela il suffira d étudier le signe de la différence : f x ax b y = Il ne faut pas penser qu une asymptote oblique à (C) ne coupe pas (C), comme le montre l illustration graphique cicontre où est la droite d équation y=x Limite d une fonction en un réel I est tel que x est élément de I ou une borne exclue de I. (NB : I est appelé un voisinage de x ). Exemples : I= ] ; x [ I=] x ;b[ où b x ; I=] x h ; x h[ où h etc Limite infinie d une fonction en un réel x, asymptote verticale. f (x) admet pour ite lorsque x tend vers x, signifie que les réels f (x) sont aussi grands que l on veut dès que les réels x sont suffisamment proches de x. On note alors : f x =. Remarque : On définit de même f x =. Lorsque x prend des valeurs de plus en plus proches de x, la courbe C f finit par se situer au dessus ( et en dessous pour la deuxième figure ) de n importe quelle droite horizontale. f x = f x = f x =± x x, alors on dit que la droite d équation x=x est asymptote verticale à la courbe représentative de la fonction f. 4 1SFA Cours Sainte Marie de Hann

5 2.2 Limite finie d une fonction en un réel a. f (x) admet pour ite le réel l lorsque x tend vers x, signifie que les réels f (x) sont aussi proches de l que l on veut dès que les réels x sont suffisamment proches de x. On note alors : f x =l. Remarque : si f est définie en x et si f admet une ite finie en x alors f x =f x. C est le cas en tout réel x de l ensemble de définition des fonctions polynômes, rationnelles, trigonométrique, de la fonction racine carré et de leurs composées. 2.3 Limites à droite et à gauche en un réel a. Dans le cas général on dira et l on notera : f (x) admet pour ite ± lorsque x tend vers x à gauche (ou vers x par valeurs f x = f x =± inférieures) et on note : dite ite à gauche de f en x ). f (x) admet pour ite ± lorsque x tend vers x à droite (ou vers x par valeurs f x = f x =± supérieures) et on note : (dite ite à droite de f en x ). f (x) admet pour ite l lorsque x tend vers x à gauche (ou vers x par valeurs inférieures) et f x = f x =l (dite ite à gauche de f en x ). f (x) admet pour ite l lorsque x tend vers x à droite (ou vers x par valeurs supérieures) et on note : on note : f x = f x =l Dans cet exemple on a : f x = f x = et f(x) n admet pas de ite en x. (dite ite à droite de f en x ). f x = f x = 5 1SFA Cours Sainte Marie de Hann

6 3. Calcul d une ite 3.1 Limites en, + et des fonctions de référence. alors : La fonction f est définie par f x = x f x = f x = f x =c avec c R f x =x f x = x f x =x 2 f x =x 3 f x =x 2k avec k N f x =x 2k 1 avec k N f x = x f x = 1 x f x = 1 avec k N 2k x f x = 1 avec k N 2k 1 x f x = 1 x 3.2 Opérations sur les ites de fonctions. désigne + ou ou un réel x fixé. f et g sont des fonctions définies au voisinage de [pas nécessairement en quand =x (réel fini)]. l est un réel fixé. Théorème : Limite d une somme. f x = l l + + g x = l + + Alors f g x = 6 1SFA Cours Sainte Marie de Hann

7 Théorème : Limite d un produit. f x = l l l + + Alors f g x = g x = l + + ± Théorème 3 : Limite d un quotient. On écrira g x = (resp. ) lorsque la ite de g en vaut et que, au voisinage de, g reste à valeurs strictement positives (resp. au voisinage de strictement négatives), g reste à valeurs f x = l l l l g x = l + ± ± Alors f g x = f x = ± g x = l l + + ± Alors f g x = Remarque : il existe quatre situations pour lesquelles les théorèmes ne permettent pas de conclure. On les appelle les formes indéterminées. Dans ces cas, on cherche la ite éventuelle en transformant l écriture de la fonction pour lever l indétermination. 4. ites de suites Définition: On dit qu'une suite u n n N converge vers un réel l si tout intervalle ouvert ]a;b [ contient tous les termes de la suite à partie d'un certain rang. Lorsqu'une suite n'est pas convergente on dit qu'elle est divergente. Notation : dans ce cas on note u n =l. Interprétation graphique : 7 1SFA Cours Sainte Marie de Hann

8 Remarques : la formulation «tout intervalle ouvert» doit être comprise dans le sens «n importe lequel des intervalles ouverts» ou «tous les intervalles ouverts». Il suffit que cela ne soit pas vrai pour un seul de ces intervalles pour que l on ne puisse pas affirmer que (u n ) converge vers l. En d autres termes on peut dire que si u n =l alors : Tout intervalle ouvert contenant l contient tous les termes de la suite (u n ) sauf un nombre fini d entre eux. Le terme général u n est aussi proche que l on veut, de l, à partir d un certain rang n. Propriété : une suite (u n ) converge, sa ite est unique. Démonstration : Nous allons effectuer un raisonnement dit «par l absurde». Supposons que la suite (u n ) converge vers les ites l et l et que l l. Les réels l et l étant différents, la distance qui les séparent ll ' est différente de. ll ' Posons r= et considérons les deux intervalles I = ] l r ; l+r [ et I = ] l r ; l +r [. 4 Comme (u n ) converge vers l, il existe un rang n 1, tel que pour tout n n 1 u n I. Comme (u n ) converge vers l, il existe un rang n 2, tel que pour tout n n 2 u n I. Considérons n = max(n 1 ; n 2 ). Alors pour tout n n, u n I et u n I. Or ceci est absurde (impossible) car les deux intervalles I et I sont disjoints. Notre hypothèse de départ «Supposons que la suite (u n ) converge vers les ites l et l et que l l» est donc fausse. Cela revient à dire qu une suite ne peut pas converger vers deux ites distinctes. Propriétés: Soient u n et v n deux suites. u n converge vers l et si v n converge vers l', alors: u n v n converge vers l l ' u n v n converge vers l l ' de plus l', u n v n converge vers Théorème: des gendarmes Soient u n, v n et w n trois suites. l l ' à partir d'un certain rang on a u n w n v n et si les suites u n et v n ont la même ite l, alors la suite w n converge vers l. Démonstration: Considérons un intervalle ouvert ]a;b [ contenant l. v n =l donc il existe un entier N 1 tel que pour tout n N 1, v n ]a ;b [ u n =l donc il existe un entier N 2 tel que pour tout n N 2, v n ]a;b [ Soit N, le plus grand des entiers N 1 et N 2, on a pour tout n N, v n b et u n a et puisque 8 1SFA Cours Sainte Marie de Hann

9 u n w n v n on a w n ]a;b [ On a donc démontrer que tout intervalle ouvert contenant l contient tous les termes de w n à partir d'un certain rang c'est à dire que w n =l Définition: Soit u n une suite. tout intervalle de la forme ]a; [ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang, on dit que la suite u n a pour ite. On écrira u n =. tout intervalle de la forme ] ;a [ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang, on dit que la suite u n a pour ite. On écrira u n =. Remarques: Dire qu'une suite a pour ite revient à dire que tout intervalle ]a; [ contient tous les termes de la suite sauf un nombre fini d'entre eux. Dire qu'une suite a pour iter evient à dire que tout intervalle ] ;a [ contient tous les termes de la suite sauf un nombre fini d'entre eux. On ne parlera pas ici de convergence qui est réservé dans le cas d'une ite finie. Propriété : Soit (u n ) une suite arithmétique de premier terme u k de raison r. r > alors u n = et si r < alors u n =, n n Remarque : dans le cas où r = on montre facilement que la suite est constante donc sa ite est égale u k. Propriété : Soit q un nombre réel on considère la suite q n n. q 1 alors q n =. n q=1 alors pour tout n, q n =1 donc q n =1. n 1 q 1 alors q n =. n q 1 alors la suite q n n n a pas de ite. Démonstration : Cette propriété sera admise en classe de première. Mais pas d'inquiétude, nous la démontrerons en Terminale. Remarque : Cette propriété et le théorème sur la ite du produit d une suite par un réel, nous permettent de conclure sur la ite de n importe quelle suite géométrique. Exemple : Soit la suite u n définie par u =3 et pour tout n u n 1 =2u n. u n est une suite géométrique de premier terme 3 et de raison 2 donc pour tout n, u n =3 2 n. Comme 2 n = et que 3 < on a u n =. n 9 1SFA Cours Sainte Marie de Hann