GENERALITES SUR LES FONCTIONS

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1 Chapitre I GENERALITES SUR LES FONCTIONS I. RAPPELS SUR LES FONCTIONS A) Définition Définir une fonction c est définir un procédé qui permet à tout nombre d un intervalle donné d associer un autre nombre. Une fonction définie sur un intervalle associe à chaque nombre de cet intervalle un nombre réel et un seul. En mathématiques, on caractérise une fonction par la notation suivante: f : I R x f x Ce qui signifie que la fonction f, définie sur un intervalle I, associe à tout réel x de l'intervalle I, un unique réel noté f(x). Si deux nombres réels y 0 et x 0 sont tels que y 0 = f(x 0 ), on dit que: y 0 est l'image de x 0 par la fonction f Ou que x 0 est un antécédent de y 0 par la fonction f Remarque: L'ensemble de définition de f est l'ensemble des réels qui ont une image par cette fonction. Il est généralement noté D f. B) Représentation graphique Le plan est muni d un repère (O, i, j ). Soit f une fonction définie sur l intervalle I. On appelle courbe représentative de f sur I, l ensemble des points M(x,y) du plan tels que : x I et y = f(x) Remarque: On note, le plus souvent, C f la courbe représentative de f. On dit que la courbe C f a pour équation cartésienne y = f (x ) relativement au repère (O; i, j). Hélène Trouilhet 1/6

2 Exemple et contre-exemple de courbe représentative d'une fonction: C) Sens de variation d'une fonction Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On dit que : f est croissante ( resp. strictement croissante ) sur I, lorsque pour tous réels x et x de I, tels que x < x, on a f ( x ) f ( x ) (resp. f ( x ) < f ( x ) ). f est décroissante ( resp. strictement décroissante ) sur I, lorsque pour tous réels x et x de I, tels que x < x, on a f ( x ) f ( x ) ( resp. f ( x ) > f ( x ) ). f est monotone ( resp. strictement monotone ) sur I, lorsque f est soit croissante ( resp. strictement ) sur I, soit décroissante ( resp. strictement ) sur I. Remarque n 1: En langage profane, on a pour habitude de dire qu une fonction croissante conserve l ordre, et une fonction décroissante l inverse. Remarque n 2: Etudier les variations d une fonction, c est préciser les intervalles sur lesquels la fonction est monotone.on résume ces résultats dans un tableau appelé tableau de variations. x f(x) 2 Hélène Trouilhet 2/6

3 II. LES FONCTIONS DE RÉFÉRENCE Fonction Ensemble de définition, sens de variation Représentation graphique Affine: y =... f : x ax b Si a > 0, f est croissante sur R Si a < 0, f est... sur R y =... Carré: f : x x 2 f est croissante sur... et décroissante sur... Remarque 1:... Remarque 2:... Cube: f : x x 3 f est... sur... Remarque:... Hélène Trouilhet 3/6

4 Inverse: f : x 1 x f est... Remarque:... Racine carré: f : x x f est... Valeur abolue: f : x x f est croissante sur... et décroissante sur... Remarque:... Cosinus: f : x cos x Sinus: f : x sin x f est périodique de période... Sur l'intervalle [0;2 ], f est croissante sur... et décroissante sur... Remarque 1:... Remarque 2:... f est périodique de période... Sur l'intervalle [0;2 ], f est croissante sur... et décroissante sur... Remarque 1:... Remarque 2:... Hélène Trouilhet 4/6

5 III. OPÉRATIONS SUR LES FONCTIONS A) Somme, produit et quotient de fonctions 1. Définition: Soient f et g deux fonctions définies respectivement sur Df et Dg, et k un réel non nul. Opération Notation Définition Définie pour Somme de deux fonctions Produit d'une fonction par un réel Produit de deux fonctions Inverse 1 f Quotient f g f g x = f x g x x D f D g kf kf x =k f x x D f f g f g x = f x g x x D f D g f g 1 f = 1 f x f f x x = g g x x D f et f x 0 x D f D q et g x 0 Exemple: On considère les fonctions f: x x + 1 définie sur et g: x f + g est la fonction définie sur...par ( f + g ) ( x ) =... f g est la fonction définie sur... par ( f g ) ( x ) =... 5f est la fonction définie sur... par ( 5 f ) ( x ) = Sens de variation 1 x définie sur... Soient f et g deux fonctions monotones sur un intervalle I et k un réel non nul Les fonctions f et f + k ont le même sens de variation sur I. Si k > 0, les fonctions f et k f ont le même sens de variation sur I. Si k < 0, les fonctions f et k f ont des sens de variation contraire sur I. Si f et g sont strictement croissantes sur I, alors f + g est strictement croissante sur I. Si f et g sont strictement décroissantes sur I, alors f + g est strictement décroissante sur I Remarque: Pour connaître le sens de variation de f g, partir du sens de variation de f et de -g puis appliquer la règle sur la somme car f+g = f + ( g ) Attention! Il est difficile d'établir des propriétés analogues pour les produits et quotients de fonctions! Concernant le produit de deux fonctions, le signe de chaque fonction va aussi jouer un rôle dans le sens de variation de la fonction produit. Hélène Trouilhet 5/6

6 Concernant les quotients de fonctions, nous aurons recours à la règle sur les composées de fonctions (voir ci-dessous). B) Composition de fonctions 1. Définition Soit f et g deux fonctions. On appelle fonction composée de f par g, et on note g o f ( lire «g rond f»), la fonction définie par : g f x = g f x L écriture ( g f ) ( x ) = g ( f ( x ) ) n a de sens que si x D f et f x D g. Ainsi dire que x D g f revient à dire que x D f et f x D g. Ex : On considère les fonctions f : x x 1 définie sur R et g : x 1 x définie sur R g f est définie si, et seulement si, x D f et f x D g ssi x 1 0 ainsi D g f =R \{1} et, pour tout x D g f : g f x =g x 1 = 1 x 1 f g est définie si, et seulement si, x D g et g x D f ssi x 0 ainsi D f g =R * et, pour tout x D f g : f g x = f 1 x = 1 x 1 Remarque: En général f g g f. 2. Sens de variations Propriété: Soient f et g deux fonctions, telles que f soit monotone sur I D f et g soit monotone sur J D g, avec pour tout x I, f x J. Si f et g ont même sens de variation, alors la fonction composée g f est croissante sur I. Si f et g varient en sens contraire, alors la fonction composée g f est décroissante sur I. Le théorème est aussi valable si on considère des fonctions strictement monotone Hélène Trouilhet 6/6