Chapitre 4 La trigonométrie

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1 Chapitre 4 La trigonométrie Chapitre 4.1 Les rapports Sinus, Cosinus et Tangente dans les Triangles rectangles (soh-cah-toa) Chapitre 4.2 Trouver les angles d un triangle (Arc sinus, Arc cosinus et Arc tangente) Chapitre 4.3 La loi des sinus Chapitre 4.4 La formule de Héron La formule trigonométrique Mathématiques 4 e secondaire CST Collège Letendre 2017 Nom : Groupe : Document préparé par Christian Desjardins et Josiane Richard 1

2 Révision Les rapports Le rapport est un mode de comparaison entre deux quantités ou deux grandeurs de même nature exprimées dans les mêmes unités et qui fait intervenir la notion de division. Exemples : 1) Dans le triangle ci-contre, déterminer le rapport de la mesure de BC sur celle de AB : 2) Dans le triangle ci-contre, déterminer le rapport de la mesure du côté opposé à l angle A sur celle du côté adjacent à l angle A : Les proportions On appelle proportion l égalité entre deux rapports. a b = c d = k est une proportion qui indique que les deux rapports sont équivalents à un même nombre (le rapport k) Un proportion est formée de quatre termes : et sont les, et sont les. Dans cet exemple si b 0 et d 0, alors le produit des extrêmes est égale au produit des moyens : a b = c d ad = bc Exemples : 3) Si les deux figures suivantes sont semblables, déterminer la valeur de x à l aide des proportions. 2

3 4) Déterminer la valeur manquante des proportions suivantes : a) x = 18 b) 7 = y² c) 51 = 5 d) x = 16 y x e) 18 = 31x 7 f) x = 323 4x g) x = x h) x =

4 Chapitre 4.1 : Les rapports trigonométriques Les rapports trigonométriques fonctionnent seulement. Tout comme la relation de Pythagore. Nous allons calcules les rapports trigonométriques du triangle ABC cicontre. Le Sinus, le Cosinus et la Tangente d un angle Le d un angle est égal au rapport de la mesure du côté à cet angle, sur la mesure de. Le sinus de l angle A se note : Sin A = OPP HYP Le d un angle est égal au rapport de la mesure du côté à cet angle, sur la mesure de. Le cosinus de l angle A se note : Cos A = ADJ HYP La d un angle est égal au rapport de la mesure du côté à cet angle, sur la mesure du côté à cet angle. La tangente de l angle A se note :. Exercice Tan A = OPP ADJ Calculez les rapports trigonométriques de l angle B 1) Sin B = 2) Cos B = 3) Tan B = 4

5 Triangle rectangle ayant un angle de 30 degré Dans un triangle rectangle dont les angles mesurent 30, 60 et 90 degrés, le côté opposé à un angle de 30 degré a pour mesure la de l hypoténuse. On peut alors déduire que : Sin 30 = Cos 60 = Aide pour les exercices : Angle d élévation Angle de dépression Chapitre 4.2 : La résolution d un triangle Résoudre un triangle, c est trouver la mesure de et de ses. Remarques importantes : * Gardez toujours 4 décimales lorsque vous calculez vos rapports trigonométriques ; ** La calculatrice doit toujours être en mode degré (DEG). 5

6 Exercices 1) Dans le triangle rectangle suivant 2) Dans le triangle rectangle suivant a) Déterminez la mesure : 1) du côté opposé à l angle A ; 2) du côté adjacent à l angle A ; 3) de l hypoténuse ; a) Déterminez la mesure : 1) du côté opposé à l angle A ; 2) du côté adjacent à l angle A ; 3) de l hypoténuse ; b) Calculez le rapport correspondant* : 1) au sinus de l angle A ; 2) au cosinus de l angle A ; 3) à la tangente de l angle A ; b) Calculez le rapport correspondant* : 1) Au sinus de l angle A ; 2) Au cosinus de l angle A ; 3) À la tangente de l angle A ; c) À l aide des touches, et de la calculatrice, vérifiez vos réponses* sachant que la mesure de l angle A est de 46. 1) Sin 46 = 2) Cos 46 = 3) Tan 46= c) À l aide des touches, et de la calculatrice, vérifiez vos réponses* sachant que la mesure de l angle A est de 46. 1) Sin 25 = 2) Cos 25 = 3) Tan 25= 6

7 3) Soit le triangle ABC ci-contre. a) À l aide de la calculatrice, déterminez la valeur du sinus de 20 : b) En utilisant x et le rapport sinus de l angle C, écrivez l équation qu on peut former à partir de la réponse à la question précédente et des renseignements indiqués sur la figure. Résolvez cette équation à l aide des proportions. c) Déterminez m B et m AC. 4) Trouver la mesure de AC dans le triangle ci-dessous avec le rapport cosinus de l angle de 35 : 5) Trouver la mesure de BC dans le triangle ci-dessous avec le rapport sinus de l angle de 35 : 7

8 6) Trouver la mesure de EF dans le triangle ci-dessous avec le rapport de la tangente de l angle de 38. 7) Trouver la mesure de DE dans le triangle ci-dessous avec le rapport de cosinus ou sinus de l angle de 38. Truc pour se rappeler des rapports trigonométriques : 8

9 Chapitre 4.2 : Résoudre un triangle rectangle (la suite) L arc sinus, l arc cosinus et l arc tangente Alors que le sinus, le cosinus et la tangente permettent de calculer d un triangle rectangle à partir des rapports associés à des mesures d angles données;, et permettent d effectuer le travail inverse, c est-à-dire de dont on connait de la valeur des rapports trigonométriques correspondants. (On connait les mesures des côtés du triangle rectangle) Remarque On utilise les touches, et sur une calculatrice scientifique. Utilisez la 2 nd fonction et assurez-vous que la calculatrice soit en mode degré (DEG). Exercices 1) À l aide de votre calculatrice scientifique, calculez la valeur de chacune de ces expressions. a) sin 1 (0,95) b) arc cos (0,12) 2,2 cm c) cos 1 (1) d) arc tan 1,1 cm 2) À l aide de votre calculatrice, calculez la mesure de l angle A a) cosa = 4 5 b) sina = 3 2 c) tana = 8 15 d) tana =

10 3) Dans le triangle ABC ci-dessous, déterminer la mesure de l angle A est possible grâce l arc sinus ; 4) Dans le triangle DEF ci-dessous, déterminer la mesure de l angle D est possible grâce l arc cosinus ; 5) Dans le triangle GHI ci-dessous, déterminer la mesure de l angle G est possible grâce l arc tangente ; En résumé, les rapports trigonométriques permettent de résoudre n importe quel triangle rectangle dès que j ai les informations suivantes : et 10

11 Exercices 1) Résous le triangle DEF suivant : mde = mef = m F = 2) Résous le triangle DEF suivant : mdf = m F = m E = 3) Résous le triangle GHI suivant : mgh = m G = m H = 11

12 Chapitre 4.3 : La loi des Sinus Il est possible de résoudre un triangle quelconque plus rapidement si l on connaît les mesures : Grâce aux rapports suivants : Explications (pourquoi ça marche): Dans le triangle ci-contre, traçons la hauteur h issue du sommet B. On a : Exercices : Déterminez la mesure représentée par la variable x dans chacun des triangles ci-dessous. a) 12

13 b) Cas particuliers de la loi des Sinus ; lorsque l angle recherché est obtus. Avec la loi des sinus, l angle que la calculatrice nous donnera avec la touche sin 1 sera toujours un angle aigu. Lorsque l angle recherché est obtus, pour s assurer d avoir la bonne réponse, il faudra faire l opération suivante : Exercices Calculer l angle X 13

14 Chapitre 4.4 : Les formules d aire des triangles La formule trigonométrique Nous pouvons calculer l aire d un triangle qui n est pas rectangle lorsque l on connaît On peut utiliser la formule trigonométrique : Explications (pourquoi ça marche?) Soit le triangle ci-dessous, abaisser une hauteur h sur le côté b du triangle. Exercices 1) Calculer l aire de ce triangle 14

15 2) Calculez l aire de ce triangle La formule de Héron Lorsqu on connaît les mesures des d un triangle quelconque, l aire peut se calculer à l aide de la formule de Héron : Exemples : Calculer l aire du triangle suivant 15