Cours de mathématique. 5ème année option 6 heures par semaine

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1 Cours de mathématique 5ème année option 6 heures par semaine

2 Partie I ALGEBRE

3 Chapitre 1 LES RADICAUX D INDICE n 1.1 Nombres réels et puissances (rappels) Exercice 1.1 Démontrer que l addition et la multiplication confèrent à l ensemble des réels une structure de champs ( corps commutatif) Exercice 1. Pour quelle(s) raison(s), l ensemble des naturels muni de l addition ne possède pas la structure de groupe? Exercice 1.3 Effectuer et à retenir! 1. (a + b) =. (a b) = 3. (a b)(a + b) = 4. (a + b) 3 = 5. (a b) 3 = 6. (a + b)(a ab + b ) = 7. (a b)(a + ab + b ) = 8. (a + b + c) = Exercice 1.4 Résoudre les équations suivantes : 1. x = 4. x = 7 3. x + = 6 4. x 4 = 5 5. x 8 x + = 0 6. x 3 + x = 5 3

4 CHAPITRE 1. LES RADICAUX D INDICE N 4 7. x x 3 = 5 8. x x 3 = 3 Exercice 1.5 Effectuer 1. a 1 a+3 a 3 a+1. 1 (a 1) + 1 (a+1) 1 a 1 Exercice 1.6 Effectuer 1. 15ab 7a b. 8a c 30ac 3. a 4b a 9b a+b a+3b. a 9b c 4d. c d a 3b 4. a+b 1 a + 1 b 1. Racines carrées - Radicaux d indice (rappels) Exercice 1.7 Simplifier 180a 18 b 13 c 6 = Exercice 1.8 Préciser sous quelle(s) condition(s) les radicaux suivants existent : 1. x ;. ( x) ; 3. x + 1 ; 4. (x 3) ; 5. (x 1) ; Exercice 1.9 Rendre le dénominateur rationnel: a+b+ a b a+b+ a b Exercice 1.10 Elever au carré a + b. Exercice 1.11 Prouver que a, b IR + 0 : a + b ab = 1 b + 1 a Exercice 1.1 Ecrire sans radicaux les expressions suivantes 1. x + (x 1) + (x + 1) (x 1) (x + 3) (x ) (x + 1) (x 3) x

5 CHAPITRE 1. LES RADICAUX D INDICE N Racines cubiques - Racines d indice 3 Définition La racine cubique d un nombre réel x est le nombre réel r tel que r 3 = x. Exemples : est la racine cubique de 8 car 3 = 8 ; est la racine cubique de 8 car ( ) 3 = 8 ; 3 est la racine cubique de 7 car 3 3 = 7 ; 3 est la racine cubique de 7 car ( 3) 3 = 7. Notation La racine cubique se note 3 qui est appelé radical d indice 3. Comme dans le cas des racines carrées, ce qui se trouve sous le radical s appelle le radicand. Exercices Calculer 3 7, 3 8, Remarque On a par exemple 3 7 = 3 = 3 7. Dans la suite, nous utiliserons alors la notation 3 a = 3 a si a < 0. Cela revient à sortir le moins! Règles de calcul 1. Racine cubique d un produit a, b IR : 3 ab = 3 a 3 b.. Racine cubique d un quotient a IR, b IR 0 : 3 a b = 3 a 3 b. Exercice 1.13 Effectuer = = = =

6 CHAPITRE 1. LES RADICAUX D INDICE N Racines d indice n Définition La racine nème d un nombre réel x est le nombre (positif si n est pair) r tel que r n = x, n pouvant prendre toutes les valeurs naturelles à partir de, c est-à-dire n =, 3, 4, Exemples est la racine quatrième de 16 car 4 = 16 ; est la racine cinquième de 3 car ( ) 5 = 3 ; Propriétés Si n est pair, le réel 0 admet la racine nème 0; tout nombre strictement négatif n admet pas de racine nème. Si n est impair, tout nombre réel admet une racine nème. Notation Si n est pair, la racine n ième se note n ; Si n est impair, la racine nème se note n et on a n a = n a si a < 0. Règles de calcul 1. Racine nème d un produit. Racine nème d un quotient n a.b = n a. n b avec { a, b IR + si n est pair; a, b IR si n est impair. n a n a b = n b avec { a IR +, b IR + 0 si n est pair; a IR, b IR 0 si n est impair. Exercice 1.14 Simplifier les radicaux suivants si on suppose que a, b, c sont (strictement) positifs a7 b 3 = a7 b 8 c = 4 a8 b 5 = 3 a 14 b 7 c 1 = 3 8a5 = 4 3a4 b 7 = 3 16a6 b 4 = 3 a 4 b =

7 CHAPITRE 1. LES RADICAUX D INDICE N a 3 b 4 = 4 48a 4 b 5 c = 3 8 a 1 b 18 = 6 8a9 b 3 = 5 64a 13 b 15 c 6 9 = 1.5 Les exposants fractionnaires Définition Si n est un entier non nul, si p est un entier positif supérieur ou égal à, alors pour tout nombre réel strictement positif a, on écrit p an = a n p. Remarque Le nombre n p est un nombre rationnel. Exemples 4 1 = 4 = 8 3 = 3 8 = 3 64 = 4 Exercices Calculer à l aide des propriétés des radicaux = = 3. 1 = 4. ( 5 ) 4 16 = = 6. 7 = Règles de calcul Les règles de calcul vues pour les exposants entiers sont étendues aux exposants fractionnaires. Si r et s sont des nombres rationnels, si a et b sont des réels strictement positifs, alors on a a r = 1 a r a r a s = a r+s a r a = a r s s (a r ) s = a rs (ab) ( r = a r b r a ) r b = ar b r

8 CHAPITRE 1. LES RADICAUX D INDICE N 8 Exercices 1. Calculer 1) ) ) ) 1 14) 36 5 ) ) 3) 5 1 9) 4) ) 5) ) ( 3 ( 4 9)1 15) 7 ( 16 ) 1 5 ( ) ) ) 6) 1 1) ) ( 1 5)5 ( 4 9) 3. Si a est strictement positif, écrire sans exposant fractionnaire : 1) a 1 a 5) ( a 3 ) 3 9) ) a 1 3 a 1 6) (a ) 3 10) 3) a 5 3 a 1 3 a 1 7) (a 1 5 ) 5 11) 4) a 1 a A l aide de la calculatrice (3 décimales) : 3 17 = 5 54 = = = = 8) (a 3 ) 3 4 Remarque (extension aux réels strictement négatifs) On a par exemple 3 3 ( 8) = = 8 = Si a est négatif, si n est impair et si p est impair, alors on a p an = a n p. ( 1 ) ( a b ) 1 b ( a b ) a ( 3 b a ( a b ) 1 b 1 3 ) 3 Exemples 5 ( )3 = 5 3 = 3 5.

9 CHAPITRE 1. LES RADICAUX D INDICE N Quelques exercices supplémentaires... I. Ecrire sous forme d une puissance à exposant rationnel (a 0) 1) = ) 1 3 = 3) 3 5 = 4) 4 a = 5) 1 3 = 6) = II. Transformer en n écrivant que des radicaux et des puissances à exposants naturels On a a > 0 1)a 1 = )a 5 4 = 3)a 3 = 4) 1 a 5 = 5) a 3 4 = 6)a 0 = III. Calculer sans machine (transformer l écriture) 1)16 1 )7 1 3 = 3)0, 01 1 = 4) = 5)4 3 = 6)100 1 = 7)8 1 3 = 8) ( ) 1 3 = IV. Simplifier en utilisant les propriétés ( ) 5 1)a 1.a = ) a 5 = ( ) 6 ( 3) a ) 3 = 4) 4a 3 = 5)8a.a 1 = V. a étant un réel strictement positif, déterminer x tel que : 1)a 3.a x = a )a 3 4.a x = a 1 3)a 3x.a 3 = 1 4)a 1 x.a x = a 3 x 5)a 1 +x.a 1 +3x = a x VI. Evaluer à l aide de la calculatrice (décrire la séquence) 1)( 0, 4) 39 ) ) 1 3 0,1 4)( 1) 5) 9 6)0, 1 7 7) 4 5 8) ) 8 0, ) 4 31

10 CHAPITRE 1. LES RADICAUX D INDICE N 10 VII. A quelle(s) condition(s) les expressions suivantes désignent-elles des nombres réels? On a n et p IN 0 \ {1} 1) n 8 = ) 4 a = 3) 6 ab = 4) 4 a = 5) 4 ( ) n = 6) n a 3 7) 6 a 1 = 8) 7 a 1 = 9) n p = 10) n p = VIII. Si a, b et c IR + 0, simplifier (n IN 0 \ {1}) 1) 3 a 7 b 3 = ) 3 8a 5 = 3) 4 a 8 b 5 = 4) 5 a 10 b 9 c 8 = 5) 3 16a 3 + 8a 3 b = 6) 4 3a a 4 b = 7) 5 3a ) n 4 n a n+3 b n+1 =

11 Chapitre GRILLE HORNER - LOI DU RESTE (RAPPELS) Définition.1 (Division euclidienne) Effectuer la division euclidienne du polynôme A(x) par le binôme (x a), c est déterminer les polynômes quotient Q(x) et reste R(x) tels que { A(x) = (x a).q(x) + R(x) R(x) est constant. On note alors le reste par r. Vocabulaire Le polynôme A(x) est divisible par x a lorsque le reste de la division est égal à 0, c est-àdire lorsque A(x) = (x a).q(x). Le polynôme A(x) se factorise alors en produit de (x a) et du quotient. Exemple Le polynôme x 4 5x 3 + 3x + 9x 6 est divisible par x puisque x 4 5x 3 + 3x + 9x 6 = (x )(X 3 3x 3x + 3). Exemple introductif Soit à diviser p(x) = 5x 3 + x 4 + x + 1 par x (rem. : a = ). x 4 5x 3 + 0x + x + 1 x Disposition pratique : la grille de HORNER 11

12 CHAPITRE. GRILLE HORNER - LOI DU RESTE (RAPPELS) 1 Cette règle est une disposition simplifiée de la méthode des coefficients indéterminés. Les coefficients du dividende {}}{ La valeur de a }{{} Les coefficients du quotient }{{} Le reste On obtient Q(x) = Le degré du quotient est le degré du dividende diminué de 1. Loi du reste Reprenons l exemple et remarquons que P () = Le reste de la division d un polynôme en x par x a est égal à la valeur numérique du polynôme pour x = a. En effet, par la division euclidienne on a obtenu Mais alors, en particulier, si x = a : Conséquence P (x) = (x a)q(x) + r P (a) = (a a)q(a) + r = 0 Q(a) + r = r Le polynôme P (x) est divisible par (x a) P (a) = 0 Application Soit à factoriser le polynôme P (x) = x + x. Les diviseurs entiers du terme indépendant sont :... P (1) = P ( 1) = Calculons P () = P ( ) = On a donc P (x) = Exercice. Calculer le quotient et le reste de la division de A(x) par B(x) dans chaque cas

13 CHAPITRE. GRILLE HORNER - LOI DU RESTE (RAPPELS) 13 Exercice.3 1 A(x) = x + 5x + 6 Q(x) = x + 3 B(x) = x + R(x) = 0 A(x) = 3x 3 8x + 7x Q(x) = x x + 1 B(x) = 3x R(x) = 0 3 A(x) = 8x 4 x 3 x + 5x + 6 Q(x) = x 3 + x x + B(x) = 4x + 3 R(x) = 0 4 A(x) = 8x 4 3x + 15x x Q(x) = 3x 3 + 4x 5x + B(x) = 3 4x 5x R(x) = 0 5 A(x) = x 3 + 6x + 3x 7 Q(x) = x + 4x 5 B(x) = x + R(x) = 3 6 A(x) = x 3 + 3x + 5x 4 Q(x) = x + 3 B(x) = x 1 R(x) = 3x 1 7 A(x) = x x 3 1 x Q(x) = 1 x + 1 B(x) = 4 + x R(x) = 3 8 A(x) = 4x x x 5 6x Q(x) = x + B(x) = 4 3x x 3 R(x) = 8x 1 9 A(x) = x 5 x x + 5x + x 4 + 7x 3 Q(x) = x 4 + x 1 B(x) = 3x x 3 + R(x) = x 3x A(x) = x 3 + 3x 7x + 3 Q(x) = x + 4x 3 B(x) = x 1 R(x) = 0 11 A(x) = 6 4x + x 3 Q(x) = x 3x + 5 B(x) = x + 3 R(x) = 9 1 A(x) = 5x x x Q(x) = x x + 1 B(x) = x 3 R(x) = 0 13 A(x) = x 3 4x 5 x Q(x) = x 3x 1 B(x) = x + 1 R(x) = 4 14 A(x) = 6x 5 3x 4 x x Q(x) = x 3 x + 4 B(x) = + 3x 3 x 4 R(x) = 3 x 15 A(x) = 0, 4x 0, 05x 4 Q(x) = 0, 5x + 1, 5 B(x) = 0, 8x, 5 R(x) = 0, 5 16 A(x) = x x5 5x x3 0 9 x x 1 Q(x) = 3 B(x) = x4 1 4 x3 x x + x 3 R(x) = 0 17 A(x) = 6x 4m x 3m 8x m + 81x m + 36 Q(x) = B(x) = x m 3 R(x) = 0 Les divisions suivantes se font-elles exactement? Calculer le quotient et le reste. 1. x +x+3x 4 x x+3x 3 +6x 4 x x 3 +(a b)x a x ab(a+b) x a b. 6x 3 x+x 1 x 1 4. x 4 x 3 y+x y xy 3 x y 6. 3x 3 +a 3x 9a x 3a 3 3 x a 3 Exercice.4 Les divisions suivantes se font-elles exactement? Calculer le quotient et le reste (n IN). x 1. 3 a 3 x x a. 5 +a 5 x a 3. x n a n x a 4. x n +a n x a

14 CHAPITRE. GRILLE HORNER - LOI DU RESTE (RAPPELS) 14 Exercice.5 Déterminer k pour que les divisions suivantes donnent comme reste r. Exercice.6 1) x 3 +x x k x 1 r = 0 r = 5 ) 3x 3 4x +kx+3 x 3) 3a 3 +a ka+ a+1 r = k 1 4) k x 3 kx 10x x+3 r = 6 5) kx 4 +kx 3 y+kx y 40xy 3 +3y 4 x 3y r = 0 Déterminer a et b pour que le polynôme p soit divisible à la fois par d 1 et d. Factoriser le polynôme obtenu. 1) p = ax 4 + bx 3 8x 4x + 5 d 1 = x 1 d = x + 1 ) p = ax 4 + bx 3 + ax bx d 1 = x + 1 d = x + 3) p = ax 4 10x y bxy 3 + (b 1)y 4 d 1 = x + y d = x 3y Exercice.7 Décomposer Exercice.8 1)p = x + x 35 sachant que p(5) = 0 )p = x + 3x 3 sachant que p( 3) = 0 3)p = x 3 15x + 19x 6 sachant que p(1) = p(6) = 0 4)p = x 3 + ( 3 6)x ( )x + 6 sachant que p( ) = p( 3) = 0 Factoriser les polynômes suivants: 1. x 3 4x + x + 6. x 3 + 3x 3x Exercice.9 Simplifier les fractions suivantes : 3. x 3 7x 6 4. x 3 6x + 11x 6 5. x 3 + 6x + 11x x 3 5x 4x x 3 3x 4x+1 x 3 6x +11x 6 Exercice.10. x 3 5x 4x+3 4x 4x+1 3. x 3 +x 9x 9 x 3 +3x x 3 4. x 3 7x 6 x 3 +x x 1. Les restes des divisions du polynômes p par (x 1) et par (x ) sont respectivement et 6. Calculer le reste de la division de p par (x 1)(x ).. Les restes des divisions du polynômes p par (x + 1) et par (x 1) sont respectivement 3 et 1. Calculer le reste de la division de p par (x 1). Exercice.11 Déterminer les réels a et b pour que le polynôme ax 4 + bx soit divisible par 1. x 1. (x 1) 3. (x + 1) Dans chacun des cas, précisez le quotient.

15 CHAPITRE. GRILLE HORNER - LOI DU RESTE (RAPPELS) 15 Exercice.1 Dans chaque cas, déterminer un polynôme de degré 4 1. qui possède 4 racines rélles distinctes.. qui possède uniquement 3 racines réelles distinctes. 3. qui possède uniquement racines rélles distinctes. 4. qui possède 1 et une seule racine réelle. 5. qui ne possède aucune racine réelle. Décomposer x 5 1 en un produit de 3 facteurs réels. Exercice Déterminer les paramètres a et b du polynôme suivant : P (x) = x 3 + (a + b + )x + (ab + a + b)x + ab de telle façon que le reste de la division par (x ) soit égal à 5, et que le reste de la division par (x + 1) soit égal à En exploitant ces seules données (sans effectuer la division), déterminer quel sera le reste de la division de P (x) par (x )(x + 1) Exercice.14 Quelles conditions faut-il imposer aux nombres réels a et b pour que le polynôme x 4 + x 3 + ax + bx + 1 possède deux racines réelles distinctes et opposées? Exercice.15 Si z 1, z, z 3 désignent les trois racines du polynôme 4z 3 6z + 9z 1 Calculer 1 z1 + 1 z + 1 z3 Suggestion : identifier le polynôme et sa décomposition en facteurs pour obtenir la somme, le produit et la somme des produits à des racines Exercice.16 Pour quelles valeurs réelles de m le trinôme mx + mx + 1 possède-t-il deux racines distinctes dans l intervalle ], 0[. Exercice.17 Factoriser 3x 4 11x 3 + 9x + 4x 4 sachant que l équation f(x) = 0 admet deux racines dont le produit vaut 1. Exercice.18

16 CHAPITRE. GRILLE HORNER - LOI DU RESTE (RAPPELS) 16 Soit un polynôme de degré trois, à coefficients réels P (x) = x 3 ax + bx c Déterminer tous les réels a, b, c tels que le polynôme P (x) admette ces mêmes nombres a, b, c comme racines. Exercice.19 Déterminer les polynômes P (x) de degré trois, à coefficients réels, tels que : 1. Le coefficient de x 3 dans P (x) est égal à 1 ;. P (x) s annule lorsque x = et lorsque x = 3. Le reste de la division de [P (x)] par x 3 est égal à 4. Exercice.0 Voici la courbe d un polynôme de degré 4 : Soit P (X) = c 0 + c 1 x + c x + c 3 x 3 + c 4 x 4 ce polynôme. Trouver les coefficients c 0, c 1, c, c 3, c 4 afin de déterminer ce polynôme. Exercice.1 Voici la courbe d un polynôme de degré 4 : Soit P (X) = c 0 + c 1 x + c x + c 3 x 3 + c 4 x 4 ce polynôme. Trouver les coefficients c 0, c 1, c, c 3, c 4 afin de déterminer ce polynôme.

17 Chapitre 3 EQUATIONS ET INEQUATIONS : rappels 3.1 EQUATIONS Remarques importantes 1. Considérons l équation (x )x = 3(x ) (3.1) (a) Si on divise les deux membres de l équation (3.1) par x, on obtient : x = 3 Or l équation (3.1) a pour solutions x = 3 et x =. Donc en divisant les deux membres de l équation (3.1) par une expression qui s annule pour x =, on n obtient pas une équation équivalente. Conclusion 3.1 Lorsqu on divise les deux membres d une équation par une quantité contenant l inconnue, on s expose à supprimer des solutions. (b) Pour résoudre l équation (3.1), on procédera comme suit :. Soit l équation ou (x )x 3(x ) = 0 (x )(x 3) = 0 x = 0. x 3 = 0 x = ou x = 3 x x x x + 4 x 8 x x = 0 (3.) + 4 x 8 x(x ) = 0 Pour que l équation ait un sens, il faut que x soit différent de 0 et de. Chassons les dénominateurs en multipliant les deux membres par x(x ), ce qui donne une équation équivalente, x étant supposé différent de 0 et de : (x ) + 4x 8 = 0 (x ) + 4(x ) = 0 (x )(x + 4) = 0 (x )(x + ) = 0 x = 0 ou x + = 0 x = ou x = 17

18 CHAPITRE 3. EQUATIONS ET INEQUATIONS : RAPPELS 18 La première valeur est à rejeter. La racine de l équation (3.1) est. Conclusion 3. En multipliant les deux membres d une équation par une quantité contenant x, on s expose à introduire des solutions étrangères (parasites) Règle Lorsqu on chasse des dénominateurs, il faut rejeter comme solution éventuelle toute valeur de x qui annule un des dénominateurs de l équation donnée. 3. Soit l équation x = élevons ses deux membres au carré, nous obtenons x = 4 qui a pour solutions x = et x =. Conclusion 3.3 En élevant les deux membres d une équation au carré, on s expose à introduire des solutions étrangères (parasites). Règle Si on élève les deux membres d une équation au carré, il faut rejeter comme solution éventuelle toute valeur de x qui donne aux deux membres de l équation donnée, des signes contraires Exercices Exercice (x + 1) (x 1) = x =. 3x + 10 = 8x x + 1 3x 9 = x + 1 = x x + (1 3)x 3 = 0 Exercice 3.5 Résoudre les équations suivantes x+1 x 1 3 x+1 x 1 x 1 x+1 Exercice 3.6 Résoudre l équation Exercice 3.7 x+3 = 1. x 3 + x 3 x+3 = 4x + 4x 9 x 1 x+1 x+1 x 1 1 x 1 x+1 Déterminer le nombre a pour que les équations suivantes aient la solution indiquée x + 1 x+1 = a x(x+1) avec S = { 1 }. x+1 x 1 + x 1 x+1 = (x+a) x 1 avec S = { 0 } Exercice 3.8 Résoudre l équation Exercice 3.9 Résoudre les équations (x + 5) x + 4 = = x + 5 x + 4

19 CHAPITRE 3. EQUATIONS ET INEQUATIONS : RAPPELS (x + x 4) = (x x 5). (y + 3y + 4) = (y + 5y + 4) Exercice 3.10 Résoudre l équation Exercice 3.11 (x x + ) (x + x + ) = 1 1. Transformer a 3 a a + 1 en un produit de facteurs du premier degré en a.. Résoudre l équation a 3 a a + 1 = 0 Exercice 3.1 Résoudre les équations 1. x x =. x x = x Exercice Calculer k pour que 4a + 1a + k soit le carré d un binôme du premier degré en a. En déduire les solutions de l équation 4a + 1a + 5 = 0 Exercice 3.14 On pose A(x) = x 8x Un des nombre, 1, 0, 1, est solution de l équation A(x) = 0. Lequel?. Factoriser A(x) et en déduire les solutions de A(x) = 0. Exercice Déterminer p pour que l équation en a 6a + ap 15 = 0 admette la solution 3.. Calculer les solutions de cette équation. Exercice 3.16 Calculer les solutions de l équation x 4x + 1 = 0 sachant qu elles ont la forme a + b 3, a et b étant des nombres entiers. Exercice 3.17 On donne l équation en x 4x 3 + ax + bx 1 = 0 1. Calculer a et b pour que cette équation admette les solution 1 et Résoudre l équation donnée pour les valeurs trouvées de a et b. Exercice 3.18 Détermine k pour que l équation en u 18u 9u + k = 0 admette deux racines telles que l une soit le double de l autre.

20 CHAPITRE 3. EQUATIONS ET INEQUATIONS : RAPPELS Les équations du premier degré à coefficients paramétriques Synthèse Pour résoudre une équation du premier degré à une inconnue, il faut isoler les termes en x dans l un des membres, c est-à-dire, regrouper: les termes contenant l inconnue dans un des membres; les termes ne contenant pas l inconnue dans l autre membre: indépendants. ces termes s appellent termes Nous obtenons alors un équation du type a. x = b: 1. si a n est pas nul, la solution s obtient en divisant les deux membres de cette équation par a;. si a est nul, l équation s écrit 0x = b. Après avoir remarqué que le produit de tout nombre réel par 0 est le nombre 0, nous déduisons que si b n est pas nul, l équation n a pas de solution (équation impossible); si b est nul, tout nombre réel est solution (équation indéterminée). Exercice 3.19 Résoudre chacune des équations en x suivantes où m est un paramètre réel. 1. mx + 1 = 0. mx + m = 0 3. m(m 1)x + 1 = m 4. m (x 1) = m(x ) 5. (m 1)x = (m 1)x + m 3 3m + 3m 9 6. m(m 4)x + m(x 5) = x + x(m + m + ) = (x + 1) + m 1 8. (m 1)(x m) = x + m Exercice 3.0 Déterminer m pour que l équation suivante en x n admette pas de solution Exercice 3.1 x m 4 mx 1 3 = 1 Déterminer a pour que l équation suivante en x n admette pas une solution unique (a 3)x + = 3 x Exercice 3. Déterminer les réels a et b pour que l équation en x ax + = 3x + b 1. n admette pas de solution,. admette tout réel comme solution.

21 CHAPITRE 3. EQUATIONS ET INEQUATIONS : RAPPELS 1 3. INEQUATIONS - TYPE SIMPLE - PREMIER DEGRE 3..1 Remarques importantes 1. Soit l inéquation x > x Pour résoudre cette inéquation, on ne divise pas les deux membres par x dont on ne connaît pas le signe, mais on procède comme suit : x x > 0 x(x ) > 0 Règle : pour résoudre une inéquation d un degré supérieur à 1, on groupe les termes dans un même membre, on factorise ce membre, on étudie le signe de chaque facteur.. Pour résoudre une inéquation fractionnaire, on la met sous la forme : et on étudie les signes de A et de B. A B > Exercices Exercice 3.3 Résoudre les inéquations suivantes : 1. x + 4 > 5x. x 4x x > 3(x 1) 4. 4x 5 x 10 > x x+ 1 < x+1 3 Exercice 3.4 (Inéquations paramétriques) Résoudre les inéquations paramétriques suivantes où m est un paramètre réel. 1. m(x ) < x + 3. (x + 3) m(x + 4) 3. (m + 1)x + > 0 4. (m 1)x m + 1 < 0 5. mx + x + 3m 6. m + 3x (m + 1)(x + ) 7. (m 1)x (x+) m 3 < x (m 1)(mx + 1) > (m 1)x + 3 Exercice 3.5 (Equations et inéquations paramétriques) Résoudre les équations et les inéquations paramétriques suivantes où a et b sont des paramètres réels, x l inconnue. 1. ax 3a b = 0. ax 3a b 0 3. a x > 3 x 4. a x 1 = ax + b 5. a(x a) + b(x + b) = 0 6. a(x 1) = x + b + 7. a(ax 1) = 4x b ax < x + b 1 9. a x + 4 b 3ax 10. ab(x 1) + bx = 3(a + ) + b

22 CHAPITRE 3. EQUATIONS ET INEQUATIONS : RAPPELS 3.3 INEQUATIONS - TYPE GENERAL Rappels - Etudes du signe Le binôme du premier degré La forme générale d un binôme du premier degré est ax + b où { a ( 0) est le coefficient de x; b est le terme indépendant. La racine 1 de ax + b est b a. L étude du signe de la fonction f(x) = ax + b se résume par x b a ax + b SIGNE CONTRAIRE DE a 0 SIGNE DE a Le trinôme du second degré La forme générale d un trinôme du second degré est a ( 0) est le coefficient de x ; ax + bx + c où b est le coefficient de x; c est le terme indépendant. On a = ρ = b 4ac. 1. Si > 0, alors le trinôme du second degré admet deux racines réelles distinctes : x 1 = b + a et x = b a Connaissant les racines d un trinôme du second degré, il est alors facile de faire l étude du signe de la fonction f(x) = ax + bx + c : x x 1 x ax + bx + c SIGNE DE a 0 SIGNE CONTRAIRE DE a 0 SIGNE DE a. Autrement dit, un trinôme du second degré du type ax + bx + c est toujours du signe de a sauf entre ses racines.. Si = 0, alors le trinôme du second degré admet une racine double : x 1 = x = b a. Dans ce cas l étude du signe de la fonction f(x) = ax + bx + c se résume par x b a ax + bx + c SIGNE DE a 0 SIGNE DE a 1 Pour rappel, on appelle racine d un polynôme P (x) tout réel qui annule ce polynôme, c est-à-dire toute valeur de x qui vérifie l équation P (x) = 0. En supposant que x 1 < x.

23 CHAPITRE 3. EQUATIONS ET INEQUATIONS : RAPPELS 3 3. Si < 0, alors le trinôme du second degré n admet pas de racine. Dans ce cas, l étude du signe se simplifie et devient x + ax + bx + c SIGNE DE a PARTOUT! Etude du signe d un produit ou d un quotient Pour étudier le signe de f(x).g(x).h(x) ou f(x).g(x), h(x) on doit étudier le signe des fonctions f(x), g(x) et h(x). Ensuite on fait le PRODUIT des signes. Pour le QUOTIENT, il ne faut pas oublier de REJETER les valeurs de x qui ANNULENT (éventuellement) h(x). Soulignons également les deux propriétés suivantes : Si n est pair, f(x) n 0 x Dom f. Si n est impair, f(x) n a le même signe 3 que f(x) ( x Dom f) Exercices Exercice 3.6 Résoudre les inéquations suivantes : 1. (x )(x + 3) < 0 3. x > x 3 x+1 > 0 7. x+ x 3 0. x 5x 0 4. x(x 9) > 0 6. x+ x < x 1 x+3 > Exercice 3.7 Résoudre les inéquations suivantes : 1. x+1 x(x 1) 1 x + 1 x 1. (3x + 1)(x 1)( 5x) 0 7. x(x 9) 9 x 8. (x + 3)(5 16x ) > 5 16x (1 x )(x+) x(x+1) < 0 (x+1) (x 1) 1 9x > 0 ( 3x)(+3x) x(16 9x ) < 0 x(x 1)(x ) (x 3)(x 4) 0 9. (x + 4)(4x 5) < (x + 3)(4x 5) 10. x+3 x 1 > x+1 x x 1 4 x 3 x x x x+ x 3 Exercice 3.8 Résoudre les inéquations suivantes : 1. x 4 13x + 36 < 0 3. x x 4x 4x+1 1. (x 1)(x 3x) 4x 16x x+1 x 3 < x(1 x) 6x x 9 3 Mathématiquement, on pourrait écrire : x Dom f : f(x) n. f(x) 0.

24 CHAPITRE 3. EQUATIONS ET INEQUATIONS : RAPPELS 4 5. (x ) (x ) (x 3) 3 (x 3) 0 8. (3x +x ) x +x+1 x + x x 4 +3x 3 +x 6x (x 3x) +11 > 0 7. x 1 x 3 x 1 x+1 4 x (1 x )(3 x) 9. x 3 x x 6x+4 > x 3 +x x+6 3x 3 x x 18 Exercice 3.9 Résoudre les inéquations suivantes : 1. (x 3x + 3) (x + 3x ). (x + 1)(x 9x + 7) > x 5x (14 3x) (x ) (x ) 1 4. x x x +x + x +x x x 5. (x 3)(+x) (x 3) (+x) x 4 +x (x+) 4 < x 3x + 1 x +3x < 6 x 3 9x 8. x 4 +x 6x+8 3x +x 9. 6x 10x+4 x 3 +5x 6 < x x > 10. x+ 6x 3 11x 3x+ x+1 6x 3 13x +x+ Exercice 3.30 (Inéquations paramétriques) Quelle(s) valeur(s) faut-il donner au paramètre réel m pour que les inéquations soient vérifiées pour tout valeur réelle de x? 1. x + mx + m > 6. (m 1)x + 8x 8(m + ) < 0 3. (1 m)x + (m 1)x 5m (m + 1)x + mx + m m+1 0

25 Chapitre 4 EQUATIONS ET INEQUATIONS A DEUX INCONNUES 4.1 Equation linéaire à deux inconnues L équation de la forme ax + by + c = 0, avec a, b, c IR est une équation linéaire à deux inconnues. L ensemble des solutions d une telle équation à deux inconnues réelles est une partie de IR IR, c està-dire un ensemble de couples de nombres réels. Le graphique de cet ensemble est donc une partie du plan cartésien Rechercher des solutions d une équation linéaire à deux inconnues Exemple 4.1 Soit à résoudre l équation linéaire x 3y + 6 = 0. Donnons à x une valeur quelconque : 5. On obtient alors y = 163. Le couple de réels (5; 163) est une solution de l équation Donnons à y une valeur quelconque :. On obtient alors x = 6. Le couple ( 6; ) est une solution de l équation. Il apparaît ainsi que l ensemble des solutions de cette équation est infini Graphique cartésien d une équation linéaire à deux inconnues Dans l exemple ci-dessus, nous avons déterminé l ensemble S des solutions d une équation du type ax + by + c = 0 Selon les valeurs réelles données aux coefficients a, b, c différents cas peuvent se présenter. Premier cas: les coefficients a et b ne sont pas nuls simultanément. 1. a 0, b 0, c 0 ax + by + c = 0 y = a b x c b L année passée nous avons vu que la représentation graphique d une telle équation était une droite d: a b c b étant le coefficient de direction, étant l ordonnée à l origine. 5

26 CHAPITRE 4. EQUATIONS ET INEQUATIONS A DEUX INCONNUES 6 Pour déterminer cette droite, il suffit d en connaître deux points. On dit que la droite d a pour équation ax + by + c = 0 et on écrit : d ax + by + c = 0 Exemple 4. Soit l équation x 3y + 6 = 0. Celle-ci est équivalente à y = 3x + dont la représentation graphique est la droite d de coefficient de direction 3, qui passe par les points (0; ) et ( 3; 0).. a 0, b 0, c = 0 ax + by + 0 = 0 y = a b x Nous reconnaissons l équation cartésienne d une droite qui passe par l origine (0, 0) Pour déterminer cette droite, il suffit d en connaître un deuxième point. On écrit d ax + by = 0 Exemple 4.3 Soit l équation x 3y = 0. Celle-ci est équivalente à y = 3x dont la représentation graphique est une droite de coefficient de direction 3, qui passe par les points (0; 0) et (1; 3). 3. a = 0, b 0, c 0 Celle-ci est équivalente à y = c b l axe Ox qui passe par (0; c b ) 0x + by + c = 0 dont la représentation graphique est une droite parallèle à

27 CHAPITRE 4. EQUATIONS ET INEQUATIONS A DEUX INCONNUES 7 Exemple 4.4 Soit l équation 0x 3y + 6 = 0. Celle-ci est équivalente à y = dont le graphique cartésien est la droite d parallèle à l axe Ox qui comprend le point (0; ). Cas particulier a = 0, b 0, c = 0 Le graphique est l axe Ox. 4. a 0, b = 0, c 0 0.x + by + 0 = 0 y = 0 ax + 0y + c = 0 Celle-ci est équivalente à x = c a dont lee graphique est l ensemble des points dont l abscisse est c a, c est-à-dire la droite parallèle à l axe Oy, qui passe par le point ( c a ; 0). ATTENTION : la droite obtenue n est pas le graphique d une fonction. Exemple 4.5 Soit l équation x 0y + 6 = 0. Celle-ci est équivalente à x = 3. On obtient l ensemble des couples qui ont pour origine 3. Ces couples sont les coordonnées des points d une droite parallèle à l axe Oy qui comprennent le point ( 3; 0). Cas particulier: a 0, b = 0, c = 0 Le graphique est l axe Oy. ax + 0.y + 0 = 0 x = 0 Deuxième cas: a = 0 et b = 0 1. c 0 0x + 0y + c = 0 Aucun couple de réels n est solution de l équation : S = Φ. Le graphique est l ensemble vide.

28 CHAPITRE 4. EQUATIONS ET INEQUATIONS A DEUX INCONNUES 8 Exemple 4.6 0x + 0y + 6 = 0 L équation se ramène à 6 = 0 qui est une égalité toujours fausse. Il n y a donc aucun couple de réels qui est solution de cette équation.. c = 0 L équation devient 0x + 0y + 0 = 0. Tout couple de réels est solution de l équation : S = IR IR. Le graphique est le plan. Conclusion 4.8 Exemple 4.7 0x + 0y + 0 = 0 L équation se ramène à 0 = 0 qui est une égalité toujours vraie. Tout couple de réels est solution de cette équation. L équation ax + by + c = 0 (a, b, c IR) a une infinité de solutions qui sont des couples de réels et son graphique est une droite si a et b ne sont pas simultanément nuls. Exercice 4.9 Dans chaque cas, représente graphiquement l ensemble de solutions des équations suivantes. a 3(x 1) + (y + 7) = 0 b x 3 + y 5 8 = 0 c x 7 1 d 7(x ) 3x 4y = y 3(y + 1) 3 6 5y 8 = x 3y Exercice 4.10 Représenter graphiquement dans un repère orthonormé les ensembles de solutions de A x.y = 0 B x 9y = 0 C (x y + 3)( x + 3y 6) = 0 Dans ce qui précède, on a vu que toute équation linéaire ax + by + c = 0 avec a 0 ou b 0 a pour graphique une droite. En géométrie, on a vu que toute droite du plan cartésien est définie par une équation linéaire de la forme ax + by + c = 0 avec a 0 ou b 0. Conclusion 4.11 Remarque 4.1 Le graphique cartésien d une équation est une droite si et seulement si cette équation est de la forme ax + by + c = 0 avec a 0 ou b 0 On a 1 ax + by + c = 0 (r.a)x + (r.b)y + (r.c) = 0 avec r IR Donc si d ax + by + c = 0 alors d (r.a)x + (r.b)y + (r.c) = 0 et une droite du plan peut être déterminée par une infinité d équations équivalentes. Exercice 4.13 Voici une équation linéaire : 4x 5y + 10 = 0. Donner deux autres équations équivalentes. Calculer le coefficient de direction des graphiques de chaque équation. 1 En vertu des principes d équivalences des équations

29 CHAPITRE 4. EQUATIONS ET INEQUATIONS A DEUX INCONNUES Régions du plan déterminées par la droite d équation ax + by + c = 0 Exemple 4.14 Soit l équation x 3y + 6 = 0. Cette équation a comme graphique une droite d du plan cartésien. Cette droite détermine deux demi-plans 1 et. Oy d Ox Exercice 4.15 Déterminer la valeur que prend cette équation lorsque l on remplace le couple d inconnues (x, y) respectivement par En différents points de d (0; ) ( 3; 0) (3; 4) En différents points de 1 (0; 3) ( 3; 1) ( ; 3) En différents points de (0; 0) ( 1; ) (; 1) Quelles constatations peut-on faire au sujet du signe des valeurs obtenues selon les demi-plans auxquels le point (x; y) appartient? Dans l exercice ci-dessus, le demi-plan 1 est déterminé par l inéquation x 3y + 6 < 0 le demi-plan est déterminé par l inéquation x 3y + 6 > Résoudre graphiquement l inéquation ax + by + c < 0 L inéquation de la forme ax + by + c < 0, avec a, b, c IR est une inéquation du premier degré à deux inconnues. Dans le cas où a et b ne sont pas nuls simultanément, l ensemble des solutions d une telle inéquation à deux inconnues réelles est une partie de IR IR, c est-à-dire un ensemble de couples de nombres réels. Le graphique de cet inéquation est une des parties du plan déterminées par la droite d ax+by+c = 0. Exercice 4.16 Représenter graphiquement les inéquations suivantes : 1. 5x + y 3 > 0. x 1 < y x 6 0 5x > 4y 5 5. x.y > 0 6. (x 1)(y + 3) 0

30 Partie II ANALYSE 30

31 Chapitre 5 SUITES ARITHMETIQUES ET GEOMETRIQUES 5.1 Suites numériques Vocabulaire et notations 1. Une suite numérique est une liste ordonnée de nombres réels. En d autres mots, il s agit d une fonction de IN ou IN 0 dans IR, qui, à chaque numéro de place, fait correspondre le réel situé à cette place. Les éléments de cette suite se nomment termes de la suite.. La facilité et la tradition ont mis en place une notation particulière, dite notation indicée : chaque terme est noté par une lettre (la même pour tous les termes de la suite) affectée d un indice naturel qui indique sa place dans la suite. 3. Dans la notation indicée, la lettre u étant par exemple choisie, le terme u n est appelé terme général. La suite est alors notée (u n ). Exemple 1, 1, 1 3, 1 4,, 1 n, est une suite numérique. Il s agit de la fonction f : IN 0 IR : n 1 n. 1, 1, 1 3, 1 4,, 1 n, sont les termes de la suite. Dans la notation indicée, choisissant la lettre u, il vient : la suite peut se noter ( 1 n). Détermination d une suite u 1 = 1, u = 1, u 3 = 1 3, u 4 = 1 4,, u n = 1 n, 1. Une suite (u n ) est déterminée quand on connaît son premier terme u 1 et son terme général u n.. Le terme général d une suite numérique peut être défini par une formule qui donne sa valeur en fonction de n. Cette formule, dite formule explicite, permet aussi de déterminer le premier terme de la suite. La suite est alors connue. 31

32 CHAPITRE 5. SUITES ARITHMETIQUES ET GEOMETRIQUES 3 3. Le terme général d une suite numérique peut être défini par une formule qui le lie au terme précédent. Cette formule, dite formule de récurrence, ne permet pas de déterminer le premier terme de la suite. Dans ce cas, il faut donner le premier terme, pour que la suite soit connue. Exemples 1. Le terme général de la suite (a n ) est défini par la formule a n = 3 + n (n 1). Le premier terme est ainsi égal à a 1 = = 4. La suite est donc : 4, 5, 6, 7, 8,, c est-à-dire la suite des naturels supérieurs ou égaux à 4.. Le terme général de la suite (c n ) est défini par la formule c n = c n (n > 1). Le premier terme ne peut pas être déterminé par cette formule. Il faut donc le donner : par exemple, c 1 = 4. La suite est alors connue : 4, 4 + 1, (4 + 1) + 1,, c est-à-dire la suite 4, 5, 6, 8, qui n est autre que celle proposée dans l exemple précédent. Pour définir la suite dans cette manière de faire, il faut donc donner { c1 = 4. c n = c n (n > 1) Exercices 1. Un test d orientation scolaire consiste à soumettre aux élèves des suites de nombres liés entre eux par une loi à découvrir. Pour chacune des suites suivantes, (a) trouve un exemple de trois termes consécutifs à partir du cinquième; (b) exprime le n e terme en fonction du naturel n, si tu as noté u 1, le premier terme : i. 1; 3; 5; 7; ii. 3; 1, 5; 0, 75; 0, 375; iii. 1; 1 ; 1 3 ; 1 4 ; iv. 0; 1 ; 3 ; 3 4 ; v. ; 3; 5; 8;. On donne les suites (a n ) telle que (1) a n = n + 1 (n IN); () a n = n 5n + 4 (n IN); (3) a n = 1 n 1 (n IN \ {0; 1}); (a) Complète le tableau suivant : (4) a n = 3 (n IN); { n a1 = 3 (5) a n = a n 1 1 (n IN \ {0, 1}). ( Les suites ) a 0 a 1 a a 3 a 4 a 5 a n 1 a n a n+1 (1) n + 1 ; (n IN) () ( (n ) 5n + 4) (n IN) 1 (3) n 1 (n IN \ {0; 1}) ( ) 3 (4) (n IN) { n a1 = 3 (5) a n = a n 1 1 (n IN \ {0; 1}) (b) Représente graphiquement ces suites dans le plan cartésien. (c) Pour quelle(s) suite(s) la différence de deux termes consécutifs est-elle un réel constant? (d) Pour quelle(s) suite(s) le quotient de deux termes consécutifs est-il un réel constant?

33 CHAPITRE 5. SUITES ARITHMETIQUES ET GEOMETRIQUES Suites arithmétiques Exemples : Observons chacune des suites dont on vous donne les premiers termes. loi de formation et d écrire quelques termes supplémentaires. Tâchons d en découvrir la 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 13, 16, 19,, 4, 1,, 5, 8, 11, 1, 5 3, , 3, 3, 13 3, Définitions Une suite arithmétique (ou progression arithmétique) est une suite de nombres tels que chacun d eux (à partir du deuxième) est égal au précédent augmenté d un nombre constant.. Chacun des nombres de la suite est un terme de la suite, que nous noterons à l aide d un t minuscule indicé par sa position (rang) dans la suite. 3. Le nombre constant est la raison de la suite, que nous noterons souvent r. Mathématiquement, t 1 étant donné, on écrit n IN 0 \ { } 1 : t n = t n 1 + r. Propriété 5. (Calcul du terme de rang donné) Si (t n ) est une suite arithmétique de premier terme t 1 et de raison r, alors, pour tout naturel n supérieur à 1, on a Démonstration. On a t n = t 1 + (n 1)r. t = t 1 + r (1) t 3 = t + r () t 4 = t 3 + r (3). t n = t n 1 + r (n 1) En additionnant membre à membre ces (n 1) égalités, il vient : t + t 3 + t t n = t 1 + t + t t n 1 + (n 1)r soit, après simplification, t n = t 1 + (n 1)r. Propriété 5.3 (Calcul de la raison) Soit t n (n > 1) une suite arithmétique connue, de raison r inconnue. On a alors r = t n t 1 n 1. Démonstration. La raison est explicitée en fonction du premier terme t 1, du n e terme t n et du nombre de termes n 1.

34 CHAPITRE 5. SUITES ARITHMETIQUES ET GEOMETRIQUES 34 Propriété 5.4 (Calcul de la somme de n termes consécutifs d une suite arithmétique) La somme de n termes consécutifs d une suite arithmétique dont le premier est t p et le dernier t q, est égale au produit du nombre n de termes par la demi-somme des termes extrêmes. Mathématiquement, Démonstration. S pq = n t p + t q. Considérons n termes consécutifs d une suite arithmétique de raison r t p, t p+1, t p+,, t q, t q 1, t q avec évidemment q = p + (n 1). Calculons-en la somme S pq. Constatons d abord que les termes de cette somme peuvent s écrire t p, t p + r, t p + r,, t q r, t q r, t q. Exprimons S pq de deux manières en parcourant la suite arithmétique une fois dans un sens, une fois dans l autre. S pq = t p + (t p + r) + (t p + r) + + (t q r) + (t q r) + t q S pq = t q + (t q r) + (t q r) + + (t p + r) + (t p + r) + t p Ajoutons membre à membre les égalités précédentes en tenant compte que les sommes des nombres alignés verticalement sont égales; on en déduit S pq Et donc, d où S pq = (t p + t q ) + (t p + t q ) + (t p + t q ) + + (t p + t q ) + (t p + t q ) + (t p + t q ). }{{} n termes S pq = n(t p + t q ), S pq = n(t p + t q ). Exemples 1. Soit la suite 3 4, 5 4, 7 4, (a) S agit-il d une suite arithmétique? Si oui, quelle est sa raison? (b) Que vaut son 17 e terme? (c) Que vaut le n e terme? (d) Que vaut la somme des 17 premiers termes de cette suite? (e) Que vaut la somme des n premiers termes de cette suite?. Cinq nombres sont en progression arithmétique. Calculer ces nombres si le premier et le dernier de ces nombres sont respectivement 3 et Cinq nombres sont en progression arithmétique. Calculer ces nombres sachant que leur somme est 1 et que la somme des deux premiers est 38. Notations Nous avons déjà rencontré en quatrième, un symbole particulier, appelé symbole sommatoire, qui permet de décrire une somme : n f(i) i=1

35 CHAPITRE 5. SUITES ARITHMETIQUES ET GEOMETRIQUES 35 Ce symbole signifie qu il faut faire la somme de toutes les expressions obtenues en remplaçant, dans f(i), i par toutes les valeurs entières qu il peut prendre, la première étant indiquée sous le symbole et la dernière étant indiquée au-dessus du symbole. Ainsi, 8 t i = t 1 + t + t 3 + t 4 + t 5 + t 6 + t 7 + t 8. Application i=1 Soit la suite des n nombres naturels à partir de 1 : 1,, 3,, n 1, n. Il s agit d une suite arithmétique dont le premier terme est 1 et la raison est 1. Calculons la somme de ces n termes : Et donc, Exercices n i=1 i = (n 1) + n = n 1 + n. n i = i=1 n(n + 1). Dans les exercices suivants, on désigne par t 1, t, t 3,, t n, les termes d une progression arithmétique, par r la raison de cette progression et par S, S 3,, S n, la somme des deux, trois,..., n,..., premiers termes. 1. Dans chacun des cas suivants, les données permettent de déterminer une progression arithmétique. Calculer les éléments demandés. On donne On demande 1) t 1 = 3 r = 4 t 7, S 7 ) t 1 = t = 5 r, S 7 3) t 3 = 9 t 5 = 15 r, t 1, S 7 4) t 8 = 17 t 7 = 53 t t 8 5) t 5 = 3 4 r = 1 8 t 0, S 0 6) t 17 = 14, 3 r = 0, 3 t 5, S 15 7) t 1 = 4 S 8 = 5 t 8, r. On considère la progression arithmétique dont les deux premiers termes sont a et a + b. Calculer la raison, le 5 e terme et la somme des 5 premiers termes. 3. Ecrire les 11 premiers termes d une progression arithmétique dont les 4 e et 11 e termes sont respectivement 3 et On donne la progression arithmétique Quel est le rang de 95? 1, 7, 13, 5. Calculer les sommes suivantes : (a) (b) ( 11) 6. Calculer le n e terme de chacune des progressions arithmétiques suivantes : (a) 5, 10, 15, (b) 4, 14, 4, (c) 1, 3, 5,

36 CHAPITRE 5. SUITES ARITHMETIQUES ET GEOMETRIQUES 36 (d) 0,, 4, 7. Calculer, en fonction de n : (a) n (b) (n 1) (c) n (d) (3n + 1) 8. Calculer la somme des 51 premiers nombres naturels dont l écriture se termine par Calculer la somme des 5 premiers nombres naturels dont l écriture se termine par 4 ou par Calculer les 10 premiers termes de la progression arithmétique telle que t 3 + t 6 = 1 et t 8 = Trois nombres sont en progression arithmétique. Calculer ces nombres si l on sait que leur somme est 54 et que le plus grand est le double du petit. 1. Calculer cinq nombres en progression arithmétique dont la somme est 15 et tels que la différence entre les nombres extrêmes est Calculer trois nombres en progression arithmétique si on sait que leur somme est 3 et que leur produit est Calculer quatre nombres en progression arithmétique dont la somme est 36 et tels que le plus grand vaut cinq fois le plus petit. 15. Considérons la progression arithmétique, 1, 4, Calculer n si l on sait que la somme des n premiers termes est Démontrer que, dans chacun des cas suivants, les trois nombres donnés sont en progression arithmétique. 1) a a 3a a+b ) a b 3) a b b a a+3 4) a 1 a 5) a 1 a+5 a 1 3a a 1 3a+7 a 1 4 a a Démontrer que si a, b et c sont en progression arithmétique, il en est de même des trois nombres suivants : (a) 1, a + c + 4, 4b + 7 (b) a, b(a c), c (c) a, b ac, c (d) b + bc + c, c + ac + a, a + ab + b 18. ABCD est un carré de côté a. DE est un quart de cercle centré en A et comprenant D ; EF est un quart de cercle centré en B et comprenant E ; et ainsi suite. Calculer la longueur de cette spirale à quatre centres limitée à 17 quarts de tours. 19. Calculer la longueur de la ligne polygonale dessinée ci-dessous et prolongée jusqu au 13 e côté.

37 CHAPITRE 5. SUITES ARITHMETIQUES ET GEOMETRIQUES Suites géométriques Exemples : Observons chacune des suites dont on vous donne les premiers termes. loi de formation et d écrire quelques termes supplémentaires. 1, 10, 100, 1000, 48, 4, 1, 6, 5, 15, 45, 135, Tâchons d en découvrir la Définitions Une suite géométrique (ou progression géométrique) est une suite de nombres tels que chacun d eux (à partir du deuxième) est égal au précédent multiplié par nombre constant.. Chacun des nombres de la suite est un terme de la suite, que nous noterons à l aide d un t minuscule indicé par sa position (rang) dans la suite. 3. Le nombre constant est la raison de la suite, que nous noterons souvent q, remarquons que dans les cas où la raison est nulle ou égale à 1, une suite devient très particulière. Mathématiquement, t 1 étant donné, on écrit n IN 0 \ { } 1 : t n = t n 1 q. Propriété 5.6 (Calcul du terme de rang donné) Si (t n ) est une suite géométrique de premier terme t 1 et de raison q, alors, pour tout naturel n supérieur à 1, on a t n = t 1 q n 1.

38 CHAPITRE 5. SUITES ARITHMETIQUES ET GEOMETRIQUES 38 Démonstration. On a t = t 1 q t 3 = t q = t 1 q t 4 = t 3 q = t 1 q 3. t n = t n 1 q = t 1 q n 1 On obtient, de proche en proche, chacun des termes en fonction du premier terme, de la raison et du rang de ces termes. Propriété 5.7 (Calcul de la raison) Soit t n (n > 1) une suite géométrique connue, de raison q inconnue. On a alors q n 1 = t n. t 1 La raison est explicitée en fonction du premier terme t 1 et du n e terme t n.démonstration. propriété découle tout simplement de la propriété précédente. Cette Propriété 5.8 (Calcul de la somme de n termes consécutifs d une suite géométrique) La somme de n termes consécutifs d une suite géométrique dont le premier est t s et le dernier t v, est donné par Démonstration. raison q S sv = t s 1 q n 1 q. Considérons n termes consécutifs (le premier étant t s ) d une suite géométrique de t s, t s+1, t s+,, t v, t v 1, t v avec évidemment v = s + (n 1). Calculons-en la somme S sv. Constatons d abord que les termes de cette somme peuvent s écrire Exprimons S sv et S sv q : t s, t s q, t s q,, t s q n 1. S sv = t s + (t s q) + (t s q ) + + t s q n 1 S sv q = (t s q) + (t s q ) + + t s q n 1 + t s q n Soustrayons membre à membre les deux égalités obtenues : S sv S sv q = t s t s q n. Et donc, d où S sv (1 q) = t s (1 q n ), S sv = t s 1 q n 1 q. Exercices Dans les exercices suivants, on désigne par t 1, t,t 3,...,t n,... les termes successifs d une progression géométrique et par q la raison de cette progression. 1. Dans chacun des cas suivants, les données permettent de déterminer une progression géométrique. Calculer les éléments demandés.

39 CHAPITRE 5. SUITES ARITHMETIQUES ET GEOMETRIQUES 39 (a) On donne t 1 = 1 et q =. On demande t 5 et S (b) On donne t 1 = et t = 6. On demande t 4 et S 1 7. (c) On donne t 3 = 6 et t 5 = 6. On demande q et t 3 x t 4 x x t 10. (d) On donne t 5 = et t 4 =. On demande q et t 1. (e) On donne t 8 = 1 et t 11 = 4 3. On demande q et t 8 + t 9 + t 10 + t 11. Les deux premiers termes d une progression géométrique sont et 6. Calculer la raison, le 10 e terme, le produit et la somme des dix premiers termes. 3. Quatre nombres sont en progression géométrique. Calculer ces nombres sachant que le premier et le dernier de ces nombres sont respectivement 96 et Calculer a si l on sait que sont en progression géométrique. 35, a, Trois nombres sont en progression géométrique. Calculer ces nombres sachant que les nombres extrêmes sont 7 et Déterminer la raison de la progression géométrique telle que t 3 = 11, 5 et t 5 = 19, Déterminer les quatre premiers termes de la progression géométrique de raison et telle que S 1 5 = Calculer les cinq premiers termes d une progression géométrique dont les deux premiers termes sont a et a b. Calculer ensuite S Déterminer la raison d une progression géométrique telle que 10. Calculer chacune des sommes suivantes (a) (b) 1 + 0, 1 + 0, (c) (d) n 1 3 n (e) + a + b + a + b + + a n + b n t + t 4 = 10 et t 4 + t 6 = Calculer les huit premiers termes d une progression géométrique telle que t 3 = 9 et t 8 = Déterminer cinq nombres en progression géométrique tels que la somme des trois premiers est 30 et la somme des trois derniers est Dans la figure ci-dessous, chacun des demi-cercles a pour diamètre un rayon du demi-cercle précédent. Calculer la longueur de cette spirale lorsqu elle est composée de cinq demi-cercles, le rayon du plus grand mesurant cm.

40 CHAPITRE 5. SUITES ARITHMETIQUES ET GEOMETRIQUES A partir d un carré de 8 cm de côté, on construit le carré dont les sommets sont les milieux des côtés du premier carré. On poursuit le processus ainsi entamé jusqu à ce que l on obtienne huit carrés emboîtés. (a) Calculer la longueur des côtés de chacun de ces carrés. (b) Calculer la somme des périmètres de ces carrés. (c) Calculer la somme des aires de ces carrés. 15. Le plan étant muni d un repère orthonormé, on considère les points A(4, 0) et B(0, 3). La perpendiculaire à AB comprenant B coupe 0x en C ; la perpendiculaire à BC comprenant C coupe Oy en D et ainsi de suite. Calculer: AB + BC + CD + DE + EF + F G. 16. A partir de 1983, le premier janvier de chaque année, Laetitia place F à intérêts composés aux taux de 8%. De quelle somme disposera-t-elle le 31 décembre 199? 17. On considère le triangle équilatéral T 1 = A 1 B 1 C 1 de côté a, puis le triangle T dont les sommets A, B et C Sont les milieux des côtés de T 1, puis le triangle T 3 dont les sommets sont les milieux des côtés de T et ainsi de suite. Calculer (a) la somme des périmètres des cinq premiers triangles obtenus; (b) la somme des aires de ces triangles. Propriété 5.9 Quels que soient le réel q, distinct de 1, et le naturel n, 1 + q + q + q q n 1 = 1 qn 1 q. Démonstration. C est une simple conséquence de la propriété 3! Exemple On a n 1 i=0 3 i = n 1 = 1 3n 1 3 = 1 (3n 1).

41 Chapitre 6 LES FONCTIONS 6.1 Synthèse sur les fonctions du premier degré La forme analytique la plus générale d une fonction du premier degré est f(x) = ax + b avec a, b IR. Propriété 6.1 La représentation graphique de la fonction f(x) = ax + b est la droite d équation y = ax + b. Elle passe par le point (0, b) de l axe Oy et est parallèle à la droite d équation y = ax. Le nombre a détermine la direction de la droite et s appelle ainsi coefficient de direction 1 de la droite. Le nombre b porte le nom d ordonnée à l origine de la droite. Discussion suivant les paramètres a et b a b y = ax + b devient Nom de la fonction Représentation graphique 0 IR y = b fonction constante une droite parallèle à Ox IR 0 0 y = ax fonction linéaire une droite oblique passant par l origine des axes IR 0 IR y = ax + b fonction affine une droite oblique ne passant pas par l origine des axes A propos de l ordonnée à l origine b Le coefficient b s appelle l ordonnée à l origine pour la simple et unique raison que b correspond à l ordonnée du point d intersection de la droite considérée avec l axe Oy. Par exemple, 1 Ce coefficient porte également le nom de coefficient angulaire lorsque le repère est orthonormé 41

42 CHAPITRE 6. LES FONCTIONS 4 (0;3) (x;x+3) Figure 6.1: voici le graphe de f(x) = x + 3. A propos du coefficient de direction a Représentons plusieurs fonctions du premier degré ayant des coefficients de direction a différents. On obtient, par exemple, Nous constatons ainsi que le graphique d une fonction du premier degré est une droite ayant une pente d autant plus raide que la valeur absolue de son coefficient de direction est plus grande; si a > 0, alors le graphique de la fonction du premier degré est une droite croissante ; si a < 0, alors le graphique de la fonction du premier degré est une droite décroissante 3. Une fonction f est croissante si les valeurs de f(x) augmentent lorsque x augmente. 3 Une fonction f est décroissante si les valeurs de f(x) diminuent lorsque x augmente.

43 CHAPITRE Les représentations 6. LESgraphiques FONCTIONS de ces fonctions sont des droites parallèles. 43 A présent proposreprésentons du zéro d une des fonctions du du premier degré degré ayant le même coefficient a, mais des coefficients b différents. On obtient, par exemple, pour a = Le zéro d une fonction du premier degré est le réel qui annule cette fonction, c est-à-dire la solution de l équation f(x) = 0. On a f(x) = 0 ax + b = 0 x = b a. Ainsi, le zéro de la fonction du premier degré f(x) = ax + b est b a Ce zéro correspond à l abscisse du point d intersection de la représentation graphique de le fonction du premier degré avec l axe Ox. Exercices 1. En indiquant une croix dans le tableau, repère chaque type de droites : Equations Droite passant par (0, 0) Droite Oy Droite Ox y = x y = 4 x = x = 5 x y = 0 3y = 0. Rechercher l expression analytique de droite qui passe par le point de coordonnées (0; 5) et de coefficient de direction égale à Trace la droite dont voici une équation : (a) a x + 3y = 1 (b) b x y = 0 (c) c x + 3 = 0 (d) d 3x 5y + 15 = 0 (e) e y = (f) f y = 3x + 4 (g) g 3x + 5y = 8 (h) h x = y 4 (i) i x + y = 0 (j) j x + y 3 = 1 (k) k (x y) = 4 (l) l 3x y 3 = 5 Questions à choix multiples : 1. Une fonction est dite linéaire si sa forme est : (a) f(x) = ax + b (b) f(x) = ax (c) f(x) = a (d) f(x) = ax. L expression de la fonction linéaire définie par f() = 6 est : (a) f(x) = 3x (b) f(x) = x 3 (c) f(x) = 6 (d) f(x) = x La représentation graphique d une fonction linéaire est : (a) une droite parallèle à Oy (b) une droite quelconque (c) une droite passant par l origine du repère (d) une courbe quelconque 4. La droite dont l équation est y = x, est (a) la représentation graphique d une fonction constante. (b) la représentation graphique de la fonction identique.

44 CHAPITRE 6. LES FONCTIONS 44 (c) la représentation graphique d une fonction décroissante. (d) n est pas la représentation graphique d une fonction du premier degré. 5. L équation de la droite passant par les points (0; 0) et dont 1 est le coefficient de direction est (a) y = x (b) y = 0, 5x (c) y = x (d) y = x + 6. Quel point parmi ceux proposés ci-après appartient-il à la droite d équation y = x (a) (1; ) (b) (; 1) (c) ( 1; ) (d) (; 1) 7. La droite dont l équation est y = 3x passe par le point (a) ( 3; 1) (b) (1; 3) (c) (0; 3) (d) (1; 3) 6. Synthèse sur les fonctions du deuxième degré - Parabole Sa forme générale La forme générale d une fonction du second degré est a ( 0) est le coefficient de x ; f(x) = ax + bx + c où b est le coefficient de x; c est le terme indépendant. Son Souvent on sera amené soit à trouver les zéros d une telle fonction, soit d étudier son signe. cela, il faudra presque toujours calculer ou ρ. On a Pour = ρ = b 4ac. Ses zéros 1. Si > 0, alors la fonction du second degré admet deux zéros réels distincts : x 1 = b+ a et x = b a.. Si = 0, alors la fonction du second degré admet un zéro double : x 1 = x = b a. 3. Si < 0, alors la fonction du second degré n admet pas de zéro. Son signe Une fonction du second degré est toujours du signe de a sauf entre ses racines

45 CHAPITRE 6. LES FONCTIONS Si > 0, alors nommons x 1 et x les deux zéros réels distincts (avec x 1 < x ) : x x 1 x ax + bx + c SIGNE DE a 0 SIGNE CONTRAIRE DE a 0 SIGNE DE a. Si = 0, alors nommons x 1 le zéro double : x b a ax + bx + c SIGNE DE a 0 SIGNE DE a 3. Si < 0, alors pas de zéro. x + ax + bx + c SIGNE DE a PARTOUT! Son sommet Les coordonnées du sommet de la parabole sont ( b S = a, ) 4a Le sommet est un minimum Le sommet est un maximum. Son axe de symétrie Son axe de symétrie est une droite parallèle à l axe Oy, passe par le sommet de la parabole, a pour équation Tableau x = b a

46 CHAPITRE 6. LES FONCTIONS 46 Intersection avec une droite Marche à suivre Ecrire le système constitué de l équation de la parabole et de l équation de la droite: { y = ax + bx + c Résoudre l équation y = mx + p ax + bx + c = mx + p en ramenant tous les termes dans le même membre puis en réduisant le polynôme obtenu si nécessaire: ax + (b m)x + c p = 0 On obtient ainsi un polynôme du second degré dont les racines sont les abscisses des éventuels points d intersection recherchés. Exercice 6. Rechercher graphiquement puis algébriquement l(es) éventuel(s) point(s) d intersection de la parabole et de la droite : 1. P y = x 8x + 15 et d y = x + 3. P y = x + x et d y = x P y = x 5x + 6 et d y 6x 1 = 0 4. P y = x 10x + 4 et d y = x P y = x + 9x et d y = 14

47 CHAPITRE 6. LES FONCTIONS Fonction y = a x - Hyperbole Exemple 6.3 Un terrain rectangulaire a une superficie de 400 m. Calculer une dimension du rectangle en fonction de l autre, écrire la fonction correspondante et représenter graphiquement. Compléter le tableau suivant : dimension1 (x) 0m 40m 45m 6m 75m 100m 00m dimension (y) Rappel : l aire d un rectangle est donnée par l égalité S = x.y où x et y désignent les deux dimensions du rectangle. Pour un rectangle de 400 m d aire, on a donc 400 = x.y ou encore y = 400 x. Représenter la fonction y = f(x) = 400 x pour x 0. Constatations : Si x = 0, alors on ne peut calculer y, 0 n a donc pas d image par cette fonction f. Nous dirons que la fonction n est pas définie en 0 et 0 / Dom f. Tous les autres réels ont bien une image par cette fonction, nous écrivons alors Dom f = IR 0. Le graphe ne coupe pas les axes. Si x, alors y Si x, alors y Si y, alors x x et y sont des grandeurs inversement proportionnelles ; Si y, alors x le graphique est une branche d hyperbole, et non pas une hyperbole car une hyperbole est constituée de deux branches d hyperboles. Représentons à présent l hyperbole complète, c-à-d. la fonction f : x 400 x sur IR 0 Remarques Considérons un point mobile qui se déplace vers la droite sur la branche droite de l hyperbole. La distance de ce point à la droite Ox va devenir et rester aussi petite que l on veut. Nous dirons que Ox est asymptote à la branche d hyperbole. Considérons un point mobile qui se déplace vers la gauche sur la branche gauche de l hyperbole. La distance de ce point à la droite Oy va devenir et rester aussi petite que l on veut. Nous dirons que Oy est asymptote à la branche d hyperbole. Important! Une asymptote est avant toute chose une droite. Celle-ci a une propriété particulière par rapport à la fonction: la fonction s en approche de plus en plus mais sans jamais la toucher. Il existe des asymptotes horizontales, verticales et obliques. Les axes Ox et Oy sont des asymptotes pour le graphe de cette hyperbole. Celles-ci sont donc perpendiculaires. C est la raison pour laquelle cette hyperbole se qualifie d équilatère.

48 CHAPITRE 6. LES FONCTIONS 48 Exemple 6.4 Représenter graphiquement la fonction g(x) = x. Faire un tableau de nombres : x g(x) = y Représenter la fonction!

49 CHAPITRE 6. LES FONCTIONS 49 Constatations : Si x = 0, on ne peut calculer y : la fonction n est pas définie en ce point, on a Dom g = IR 0. si x, alors y si x, alors y si y, alors x si y, alors x x et y sont des grandeurs Le graphe ne coupe pas les axes. Vocabulaire Dans les deux exemples précédents, le produit de x par y est un nombre constant non nul. Nous dirons que x et y sont inversement proportionnels.

50 CHAPITRE 6. LES FONCTIONS 50 Petite synthèse x et y sont directement proportionnels y x = a (a = constante non nulle) Exercices divers On a une droite x et y sont inversement proportionnels x.y = a (a = constante non nulle) On a une hyperbole équilatère 1. Les grandeurs suivantes sont-elles directement ou inversement proportionnelles? (a) Le périmètre et la longueur du côté des carrés. (b) La hauteur et la base des rectangles de 10cm d aire. (c) Le périmètre et le diamètre des cercles. (d) L aire et le rayon des cercles. (e) La résistance et la longueur des conducteurs en cuivre de 1, 5mm de section. (f) La résistance et l aire de la section des conducteurs électriques de 10m de longueur. (g) La puissance dégagée en chaleur par un conducteur électrique et, d une part, la résistance de ce conducteur et, d autre part, l intensité du courant qui le traverse. comprenne le point P (, 3). Dessiner en-. Déterminer k pour que l hyperbole d équation y = k x suite cette hyperbole. 3. On désigne par t le temps mis par une voiture pour parcourir 140 km à une vitesse constante v. Représenter graphiquement la fonction qui applique t sur v. 4. A température constante, le produit de la pression d un gaz par le volume qu il occupe est constant (loi de Boyle-Mariotte). Représenter graphiquement la fonction qui applique le volume d un gaz sur la pression en tenant compte qu à une température donnée, un volume de 50 cm 3 de ce gaz se trouve à la pression de 1 bar. 5. Un capital placé à intérêts simples au taux de 10% doit rapporter un intérêt de 50e au bout d un certain temps. a) Représenter graphiquement le montant du capital à placer en fonction du temps de placement. b) Utiliser le graphique pour déterminer le capital correspondant à un placement de 4, 5 ans et le temps de placement correspondant à un capital de F.

51 CHAPITRE 6. LES FONCTIONS 51 a= a= a= a= a= a= a= a= a= Figure 6.: voici les graphes de f(x) = y = ax 1 pour quelques valeurs de a

52 CHAPITRE 6. LES FONCTIONS 5 b= b= b= b= b= b= b= b= b= b= b= b= Figure 6.3: voici les graphes de f(x) = x + b pour quelques valeurs de b

53 CHAPITRE 6. LES FONCTIONS 53 a>0 a<0 x ax +bx+c -b a - 4a x ax +bx+c -b a - 4a >0 =0 <0 a>0 a<0 points d intersection 1 point d intersection Aucun point d intersection >0 =0 <0

54 CHAPITRE 6. LES FONCTIONS 54

55 CHAPITRE 6. LES FONCTIONS 55

56 Chapitre 7 FONCTION HOMOGRAPHIQUE HYPERBOLE 7.1 Rappels : fonction inverse Nous savons que le graphe cartésien de la fonction inverse f : IR IR : x 1 x suivante : se présente de la manière Ce graphe cartésien est constitué de deux branches séparées par deux droites dont elles se rapprochent sans cesse, sans jamais les rencontrer. Ce graphe cartésien porte le nom d hyperbole. Les axes du repère qui sont les deux droites qui séparent les deux branches de l hyperbole portent le nom d asymptotes de l hyperbole : la droite d équation y = 0 (Axe Ox) est asymptote horizontale de l hyperbole, la droite d équation x = 0 (Axe Oy ) est asymptote verticale de l hyperbole. 56

57 CHAPITRE 7. FONCTION HOMOGRAPHIQUE HYPERBOLE 57 (0; 0) sont les coordonnées du point d intersection de ces deux asymptotes. Vocabulaire Si le produit de variables x par y est un nombre constant non nul, alors nous dirons que x et y sont des variables inversement proportionnelles. Petite synthèse x et y sont directement proportionnels y x = a (a = constante non nulle) On a une droite x et y sont inversement proportionnels x.y = a (a = constante non nulle) On a une hyperbole équilatère 7. Fonctions homographiques Définition 7.1 On appelle fonction homographique toute fonction : où a, b, c et d sont des réels, c étant non nul; f : IR IR : x ax + b cx + d le numérateur n est pas un multiple du dénominateur. Propriété 7. Toute fonction homographique f : IR IR : x ax + b cx + d peut s écrire sous la forme f : IR IR : x m + n x + p. Exemples Mettre sous la forme m + n x+p les fonctions homographiques suivantes : 4x + 4x 1 et 3x + 4 x + Exercice 7.3 On donne les fonctions homographiques définies par : Pour chacune de ces fonctions f(x) = x 1, g(x) = x + 1 x x 1 et h(x) = 4x 6 x Ecris-la sous la forme m + n x+p.. Au départ de cette deuxième écriture, représente-la graphiquement dans le plan cartésien. 3. Ecris son domaine. 4. Détermine l équation de ses asymptotes;

58 CHAPITRE 7. FONCTION HOMOGRAPHIQUE HYPERBOLE Détermine les coordonnées du point d intersection de ses asymptotes; 6. Détermine sa racine 1. Exercice 7.4 Soit la famille d hyperboles d équation y = a + b (a IR, b IR). x Détermine a et b pour que l équation obtenue soit celle de l hyperbole qui 1. passe par les points A = (3, 1) et B = (, 3);. passe par le point K = (, 1) et coupe l axe Ox au point d abscisse 3; 3. admet la droite y = 5 comme asymptote horizontale et passe par le point T = ( 1, 1). Exercice 7.5 (bac 003) Déterminer une équation de chaque asymptote à la courbe représentative de la fonction f définie par Exercice 7.6 (bac 005) f(x) = 3 x x 5 Déterminer une équation de chaque asymptote à la courbe représentative de la fonction f définie par Exercice 7.7 (bac 00) On considère les fonctions f et g définies par f(x) = f(x) = 4 x x + 5 x x et g(x) = x Soient F et G les graphiques respectifs des fonctions f et g dans le plan rapporté à un repère orthonormé (Oxy). 1. Déterminer le domaine de définition de f, le point d intersection de F avec l axe Oy, les intervalles de croissance et de décroissance de f, et les asymptotes de F.. Dessiner F et G dans le repère (Oxy). 3. Déterminer les coordonnées des points d intersection de F et G. 4. Montrer que la tangente à F en l un des points d intersection des deux courbes est perpendiculaire à G Exercice 7.8 (bac 006) On considère les fonctions réelles f et g définies par f(x) = x + 4 x et g(x) = 1 x + et leurs graphiques F et G dans un repère orthonormé. Déterminer les coordonnées des points communs aux graphiques F et G. 1 C est l abscisse du point d intersection du graphe de la fonction avec l axe Ox.

59 CHAPITRE 7. FONCTION HOMOGRAPHIQUE HYPERBOLE 59 Exercice 7.9 (Bac 006) Soit la fonction f définie par f(x) = ax + b x + Calculer a et b afin que la droite d équation : y = 3 soit asymptote et que la représentation graphique de f passe par le point A( 1; 5). Exercice 7.10 (Bac 006) On considère les fonctions réelles f et g définies par f(x) = x + 1 x 1 et g(x) = x + 1 Soient F la représentation graphique de f et G celle de g dans le plan rapporté à un repère orthonormé. 1. Déterminer l ensemble de définition de f et les coordonnées de ses points d intersection de F avec les axes de coordonnées.. Déterminer les intervalles de décroissance de f. 3. Déterminer une équation de chacune des asymptotes de F. 4. Calculer les coordonnées des points d intersection de F et G. 5. Représenter F et G dans le même plan rapporté à un repère orthonormé. 6. Montrer que f(x) peut s écrire sous la forme f(x) = + 3 x 1

60 Partie III PROBABILITE 60

61 Chapitre 8 PROBABILITE 8.1 Exercices introductifs 1. On tire une carte d un paquet bien mélangé et on note la couleur de cette carte: coeur, carreau, pique, trèfle. Parmi les adjectifs possible, certain et Impossible lequel te semble le plus approprié pour qualifier les résultats suivants : obtenir pique ou trèfle? obtenir carreau? obtenir pique, trèfle, coeur ou carreau? obtenir pique et coeur?. Un jeu de trente-deux cartes est constitué de huit cartes de chacune des quatre couleurs. Combien de cartes faut-il tirer au minimum pour être certain d avoir une carte de chaque couleur? qu il soit possible d avoir une carte de chaque couleur? qu il soit impossible d avoir une carte de chaque couleur? 3. Une urne contient six boules identiques numérotées de 1 à 6. On effectue une série de tirages d une boule, avec remise de la boule dans l urne, après avoir noté le point. On s intéresse à la question suivante: le point est-il 6 ou non? Voici les résultats de deux simulations faites sur ordinateur : Nombre de tirages Nombre de 6 en simulation 1 Nombre de 6 en simulation (a) Quelle chance a-t-on d obtenir la boule 6 lors d un tirage? Quelle serait la chance d obtenir une autre boule que la 6? Explique ton point de vue. 61

62 CHAPITRE 8. PROBABILITE 6 (b) Complète les deux tableaux suivants : Nombre de tirages Nombre de 6 Fréquence Nombre de non-6 Fréquence Nombre de tirages Nombre de 6 Fréquence Nombre de non-6 Fréquence (c) Compare le résultat théorique que tu as obtenu en a) avec d une part, la fréquence d apparition de la boule 6 et, d autre part, la fréquence d apparition d une autre boule. Que conclus-tu? 8. Calcul élémentaire des probabilités 8..1 Vocabulaire 1. Un phénomène fortuit est une expérience qui donne lieu à plusieurs résultats dont on ne peut prédire à l avance lequel se réalisera. Chacun de ces résultats porte le nom d épreuve du phénomène.. L ensemble de toutes les épreuves d un phénomène fortuit se nomme catégorie d épreuves du phénomène. On la note Ω, ce qui se lit oméga. 3. Tout ensemble d épreuves d un phénomène fortuit est appelé événement de ce phénomène. Il s agit donc de sous-ensembles de Ω. Ils sont notés par des majuscules latines. Ceux qui se limitent à une seule épreuve sont appelés événements élémentaires du phénomène fortuit. 4. Un événement se produit lorsque le résultat réalisé appartient à cet événement. En particulier, l événement Ω se produit toujours, c est l événement certain; l événement Φ ne se produit jamais, c est l événement impossible. 5. L événement 1 A B se produit si les événements A et B se produisent simultanément. 1 Rappelons A B ou intersection des ensembles A et B est l ensemble des éléments qui appartiennent simultanément à A et à B. A B ou union des ensembles A et B est l ensemble des éléments qui appartiennent à A ou à B. A \ B ou différence des ensembles A et B est l ensemble des éléments qui appartiennent à A sans appartenir à B.

63 CHAPITRE 8. PROBABILITE 63 L événement A B se produit si l événement A ou l événement B se produit. L événement A \ B se produit si l événement A se produit sans que l événement B ne se produises. 6. Des événements contraires sont des événements qui n ont rien en commun et dont la réunion est Ω. Pour noter que A et B n ont rien en commun, on écrit A B = Φ. On dit encore que A et B sont disjoints. 7. Si tous les événements élémentaires d un phénomène fortuit sont également possibles, on dit qu ils sont équiprobables. 8. Le nombre d épreuves ou de résultats d un événement A est le nombre d éléments de A. On le note #A qui se lit cardinal de A. 8.. Exemples 1. Lancer un dé et examiner le point de la face supérieure est un phénomène fortuit. Les épreuves sont les différents résultats: 1,, 3, 4, 5, 6. { }. Pour le phénomène fortuit précédent, la catégorie d épreuves est Ω = 1,, 3, 4, 5, 6.

64 CHAPITRE 8. PROBABILITE Pour le { phénomène } fortuit précédent, voici quelques événements: A = 1, 3, 5 (tirer un impair), #A = 3; { } B =, 4, 6 (tirer un pair), #B = 3; { } C = 1,, 3, 4, 5 (ne pas tirer 6), #C = 5; { } Ω = 1,, 3, 4, 5, 6 (tirer un nombre), #Ω = 6; {} Φ = (ne rien tirer), #Φ = 0; { } D = 5 (tirer 5), #D = 1. Les événements élémentaires sont { } { } { } { } { } { } 1,, 3, 4, 5, 6. { } { } 4. Pour le phénomène fortuit précédent, A = 1,, 3 et B = 4, 5, 6 sont des événements { } { } contraires. Il en est de même pour Ω et Φ; pour C = 1,, 3, 4, 5 et F = 6 ; Parmi les phénomènes fortuits à événements élémentaires équiprobables, citons : le lancement d un dé non pipé; le lancement d une pièce de monnaie (pile ou face) bien équilibrée; l extraction, dans une urne, d une boule parmi des boules identiques; le tirage d une carte dans un jeu bien mélangé; Définition, propriétés La probabilité veut mesurer le nombre de chances de chaque événement d un phénomène fortuit. Quelques règles habituelles aux mesures sont dès lors d application : à l événement impossible, rien ne se produit, correspond la probabilité 0; à l événement certain, n importe quelle épreuve se produit, correspond la probabilité 1; tout autre événement a ainsi une probabilité comprise entre 0 et 1; si deux événements n ont rien en commun, la probabilité que l un ou l autre se réalise égale la somme des probabilités de chacun d eux. Ces considérations se résument dans la définition : Définition 8.1 (Axiomes de Kolmogorov) Une loi de probabilité est une fonction P chaque événement, associe un nombre compris entre 0 et 1, de sorte que P (Ω) = 1; P (Φ) = 0; si A B = 0, alors P (A B) = P (A) + P (B) qui, à Propriété 8. Si tous les événements élémentaires d un phénomène fortuit sont équiprobables, alors la probabilité de tout événement A est donné par la formule P (A) = nombre de cas favorables nombre de cas possibles.

65 CHAPITRE 8. PROBABILITE 65 Données : Thèse : P (A) = n N. Démonstration un phénomène fortuit de N épreuves; un événement A composé de n épreuves. Comme il y a N épreuves, il y a N événements élémentaires. Tous les événements élémentaires étant équiprobables, ils ont la même probabilité que l on note x. La réunion des événements élémentaires donne Ω. Les événements élémentaires n ont rien en commun deux à deux. La définition de probabilité permet alors de conclure : Ainsi, x = 1 N. 1 = P (Ω) = x + x + x + + x = Nx. }{{} (n termes) Comme A est constitué de n événements élémentaires, il vient P (A) = 1 N + 1 N + 1 N = n }{{ N } N (n termes) Propriété 8.3 Si A et B sont des événements contraires, alors P (A) = 1 P (B) et P (B) = 1 P (A). Données : A B = Φ et A B = Ω. Thèse : P (A) = 1 P (B) et P (B) = 1 P (A). Démonstration Comme A B = Ω, (A B) = P (ω) = 1. Comme A B = Φ, P (A ) = P (A) + P (B). On peut alors conclure : P (A) + P (B) = 1. Propriété 8.4 Si A et B sont deux événements quelconques, alors P (A B) = P (A) + P (B) P (A B). Données : A et B sont des événements quelconques. Thèse : P (A B) = P (A) + P (B) P (A B). Démonstration A B = (A B) (A \ B) (B \ A) et A B, A \ B, B \ A sont deux à deux disjoints. Dès lors, P (A B) = P (A \ B) + P (A B) + P (B \ A) définition de P = P (A) + P (B \ A) + P (A B) P (A B) = P (A) + P (B) P (A B). Exemple 8.5 Une urne contient des boules identiques: 3 boules rouges numérotées de 1 à 3 et 4 boules vertes numérotées de 1 à 4. On tire au hasard boules successivement, sans remise, et on regarde la couleur et le numéro des boules tirées. Quelle est la probabilité d obtenir une seule boule verte?

66 CHAPITRE 8. PROBABILITE 66 On peut admettre que tous les tirages sont équiprobables puisque les boules sont identiques et que l extraction se fait au hasard. Il faut donc déterminer d une part, le nombre total de tirages, d autre part, le nombre de tirages favorables. Nombre total de tirages Lors du tirage de la première boule, 7possibilités se présentent, comme le montre l arbre suivant : Pour chacun de ces résultats, il reste 6 possibilités de tirer la deuxième boule, comme le montrent les deux sous-arbres que voici parmi les 7 qui sont possibles : Nombre de tirages favorables Les tirages favorables sont de deux types soit tirer une verte au début et ensuite une rouge; soit tirer une rouge au début et ensuite une verte.

67 CHAPITRE 8. PROBABILITE 67 Dans le premier cas, il y a 4 3 ou 1 possibilités : De même, dans le second cas, il y aura 3 4 ou 1 possibilités. Finalement, il y a ou 4 tirages favorables. On peut donc conclure que la probabilité cherchée est 4 4 ou 4 7. Exemple 8.6 D un jeu bien mélangé de 5 cartes, on tire successivement cartes sans remise et on note ces cartes. Quelles est la probabilité d avoir au moins un as? On peut admettre que tous les tirages successifs de deux cartes sont équiprobables. Voici une première manière de résoudre le problème: on utilise exclusivement la propriété 8.. Nombre total de tirages de deux cartes Lors du tirage de la première carte, 5 possibilités se présentent. Pour chacun des 5 résultats, il y a 51 possibilités de compléter le tirage. Il y a ainsi 5 51 ou 65 tirages possibles. Nombre de tirages favorables Les tirages favorables sont de trois types : soit un as suivi d une carte qui n est pas un as, soit une carte qui n est pas un as suivie d un as, soit deux as. Il y a 4 48 ou 19 tirages du premier type. En effet, la première carte tirée devant être un as, il y a 4 possibilités. Pour chacune de ces 4 possibilités, on doit compléter par une carte qui ne peut être un as: il y a donc 5 4 ou 48 possibilités de compléter le tirage. Une analyse identique montre qu il y a aussi 19 tirages du deuxième type. Enfin, il y a 4 3 ou 1 tirages du troisième type. En effet, la première carte tirée devant être un as, il y a 4 possibilités. Pour chacune de ces 4 possibilités, il faut compléter par un as. Comme il n en reste que 3, il y a donc 3 manières de compléter le tirage. Finalement, il y a ou 396 tirages favorables. On peut conclure que la probabilité cherchée est = 33 1.

68 CHAPITRE 8. PROBABILITE 68 Voici une deuxième manière de résoudre le problème: on utilise les propriétés 8.3 et 8.4. L événement obtenir au moins un as est l événement contraire de l événement n obtenir aucun as. Le calcul de la probabilité de ce deuxième événement est plus aisé que celui que nous venons de faire ci-dessus, comme on va le voir ci-après. Le calcul du nombre total de tirages se fait comme ci-dessus. On obtient donc 65 tirages. Le calcul du nombre de tirages ne comprenant pas d as se fait d une manière analogue à partir des 48 cartes permises. On obtient = 56 tirages. La probabilité de n obtenir aucun as est ainsi = La probabilité cherchée est alors = 33 1 L exemple suivant est célèbre. Il montre le danger qu il y a d utiliser la formule des événements équiprobables sans tenir compte des restrictions qui l accompagnent. Exemple 8.7 Un joueur lance une pièce de monnaie parfaitement symétrique. Si le côté pile est au-dessus, le jeu s arrête et le joueur à gagné. Si le côté face est au-dessus, le joueur relance la pièce et le jeu s arrête définitivement. Si le côté pile est au-dessus, le joueur a gagné, sinon il a perdu. Quelle est la probabilité de gain du joueur? Le brillant mathématicien français d Alembert étudia ce problème et en publia une solution fausse dans l Encyclopédie (article Croix et pile de 1754) : Ainsi donc, il y a trois cas possibles dont deux sont favorables; la probabilité demandée vaut donc un tiers. En fait, d Alembert appliquait indûment la formule des événements équiprobables, comme nous le montrons ci-après. 1/ 1/4 La probabilité de gain pour le joueur est donc ou 3 4 et non 3. Exemple 8.8 Dans un jeu bien mélangé de 3 cartes, on tire une carte au hasard. probabilité de tirer une dame ou un coeur? Quelle est la On peut admettre que tous les tirages sont équiprobables puisque les cartes sont bien mélangées et que l extraction se fait au hasard. Ω est l ensemble des 3 tirages possibles. On note A pour l ensemble des quatre dames; B pour l ensemble des huit coeurs. Il est clair que A B est l ensemble formé de la dame de coeur; P (A) = 4 3 = 1 8 ; P (B) = 8 3 = 1 4 ; P (A B) = 1 3 ; Ainsi, P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) = = 11 3.

69 CHAPITRE 8. PROBABILITE Exercices A. Quelle est la catégorie d épreuve des phénomènes aléatoires suivants? Déterminer également le cardinal de chacune de ces catégories d épreuves. 1. Les billets d une loterie sont numérotés de 1 à 100 a) je tire un billet et je note le numéro. b) je tire billets (sans remise) et je note les numéros. c) je tire un billet et je note le dernier chiffre. d) je tire billets et je note le dernier chiffre de chacun.. Une urne contient 5 boules blanches, 3 boules noires, rouges. a) je tire boules avec remise et je note la couleur. b) je tire 3 boules avec remise et je note la couleur. c) je tire 3 boules sans remise et je note la couleur. 3. On jette dés, l un noir et l autre blanc et on note a) la somme des points. b) la valeur absolue de la différence des points. c) la différence des points (point du dé noir moins le point du dé blanc) 4. On jette 3 dés et on note la somme des points. 5. On jette 5 fois une pièce et on note la suite des côtés visibles. 6. Parmi 5 pièces de valeurs différentes, je tire pièces et je note leur valeur. 7. Un comité de 6 personnes (A, B, C, D, E, F ) choisit en son sein un président, un secrétaire et un trésorier. On note les noms de ceux-ci. 8. D un lot de pièces fabriquées par une machine, on tire successivement 4 pièces avec remise et on note si ces pièces sont bonnes ou mauvaises. D un lot de pièces fabriquées par une machine, on tire successivement 4 pièces avec remise et on note si ces pièces sont bonnes ou mauvaises. B. On considère certains phénomènes aléatoires. Ecrire en symboles les événements demandés et déterminer le cardinal de chacun de ces événements. 1. Les billets d une loterie sont numérotés de 1 à 100. On tire un billet et on note le numéro. Evénements a) le numéro sorti se termine par 5. b) le numéro sorti est pair. c) le numéro sorti ne commence pas par 3. d) le numéro sorti finit par un chiffre pair et commence par. e) le numéro sorti est un multiple de et 3 et 4.. Une urne contient 5 boules blanches, 3 noires et rouges. On tire 3 boules sans remise et on note les couleurs. Evénements a) il sort au moins boules blanches. b) il sort 3 boules de couleurs différentes. c) il sort 3 boules de même couleur. d) la première et la dernière boules sorties sont de même couleur. 3. On Jette 3 dés et on note les points. Evénements a) la somme des points est 6. b) la somme des points est 0. c) le premier point est 6 et la somme des points est 9. d) les premiers points sont pairs et la somme des points est 10. e) les premiers ou les derniers points sont égaux et pairs.

70 CHAPITRE 8. PROBABILITE On jette 5 fois une pièce et on note les côtés visibles. Evénements a) on note au plus 3 piles. b) on note face la première fois et en tout 3 fois pile. c) on note 3 fois face et 3 fois pile. d) on note au plus 3 fois piles et au moins 3 fois face. C. Calculs de probabilités 1. Quelle est la probabilité qu en jetant 4 pièces de monnaie ensemble, il y en ait exactement 3 qui montrent pile?. Quelle est la probabilité que, dans une famille où il y a 3 enfants, les plus jeunes,soient des garçons? 3. Quelle est pour une famille où il y a 4 enfants, la probabilité de la répartition la plus probable des garçons et des filles? 4. Le centre de gravité d un dé a été truqué de telle façon que la probabilité d obtenir un nombre de points n déterminé soit proportionnelle à n. Quelle est la probabilité d obtenir avec ce dé a) un six? b) un nombre impair? c) un nombre pair? d) d amener fois le 6 en lançant le dé 3 fois de suite? 5. Sur une roue de la fortune, on a inscrit les nombres de 1 à 10 dans des secteurs circulaires directement proportionnels aux nombres qu ils portent. a) quelle est la probabilité d obtenir 7? b) a-t-on plus de chances de gagner en pariant sur les pairs ou sur les impairs? 6. Des observations effectuées dans une réserve naturelle d oiseaux ont permis de constater que la fréquence des oiseaux migrateurs y était de 0, 55, celle des oiseaux aquatiques de 0, 35, et celle des oiseaux aquatiques sédentaires de 0, 15. Quelle est la probabilité qu un oiseau pris au hasard: a) soit un oiseau sédentaire? b) ne soit ni un oiseau migrateur, ni un oiseau aquatique? 7. En supposant qu un nouveau-né a autant de chance d être un garçon que d être une fille, calculer la probabilité qu une famille de 5 enfants soit composée de 3 garçons et de filles. 8. On élève se présente à un examen comportant 4 questions prises au hasard parmi 5 questions qui lui avaient été proposées à l étude. Cet élève n ayant étudié que 10 questions, on demande la probabilité que parmi ces 10 : a) figurent les 4 questions posées. b) figurent des questions posées. c) ne figure aucune des questions posées. d) figure au moins une des 4 questions posées. 9. Le fonctionnement d un distributeur automatique de cigarettes est déréglé, en ce sens que fois sur 5 on ne reçoit rien, 1 fois sur 5 la pièce est retournée et 1 fois sur on obtient des cigarettes. Cependant on a parfois la chance de voir venir la pièce et les cigarettes. Si l on essaye une pièce à un moment quelconque, calculer la probabilité de cette dernière éventualité. 10. Dans un sac se trouvent: jetons portant le numéro 0 4 jetons portant le numéro 10 4 jetons portant le numéro 5 3 jetons portant le numéro

71 CHAPITRE 8. PROBABILITE 71 On extrait simultanément 5 jetons et on demande la probabilité que le total indiqué vaille Calculer la probabilité d amener au moins une fois 6, en lançant un dé fois consécutivement. 1. On lance deux dés 10 fois consécutivement. Calculer la probabilité d amener le double 6 au moins une fois. 13. Trois personnes A, B, C lancent une pièce de monnaie à tour de rôle, et dans cet ordre. S il est décidé que le vainqueur sera la première personne qui amènera pile, évaluer les chances respectives de chacun. 14. On sac contient n boules, dont 5 sont blanches et les autres noires. On tire 3 boules du sac et on demande a) la probabilité d amener au moins blanches. b) la probabilité d amener 3 blanches. c) pour quelle valeur de n chacune de ces probabilités vaudra 0, 5? 15. On considère un groupe de cellules, dont on sait que 5% sont infectées par des bacilles, 15% par des champignons, tandis que 4% sont infectées par des bacilles et des champignons. Calculer la probabilité qu une cellule prise au hasard, ne soit pas infectée du tout. 16. D une boite de 0 pralines comprenant 10 pralines à la liqueur, 8 au massepain, au chocolat, une dame en tire 3 au hasard. Calculer la probabilité a) qu elle tire dans l ordre : chocolat, massepain, liqueur. b) quelle en ait 3 au massepain. c) que les 3 pralines soient de même nature. d) qu il y en ait 1 à la liqueur et au massepain. e) qu elles soient de nature différente. f) qu il y en ait au moins une à la liqueur. 17. Quatre messieurs déposent leur chapeau au vestiaire, et en fin de soirée la préposée à celui-ci les leur remet au hasard. Calculer la probabilité a) que les 4 messieurs reçoivent leur chapeau. b) qu un seul ait son chapeau. c) qu exactement des messieurs aient leur chapeau. d) qu exactement 3 des messieurs aient leur chapeau. 18. Trois joueurs jouent à pile ou face comme suit : A et B jouent la première partie; celui qui gagne joue la deuxième avec C, celui qui gagne la deuxième joue la troisième avec celui qui n a pas joué la deuxième; et ainsi de suite. Si un joueur gagne deux parties consécutives, il est déclaré vainqueur et le jeu s arrête. Calculer la probabilité a) que le jeu ne soit pas terminé à la fin de la troisième partie. b) que le joueur C l emporte en 6 parties au plus, en comptant les parties où il n a pas joué.

72 Partie IV TRIGONOMETRIE 7

73 Chapitre 9 LE NOMBRE π Objectifs : revoir, sous un éclairage historique, le nombre π ainsi que les extensions successives des notions de nombre. 9.1 Valeur approchée du nombre π Définition 9.1 Le rapport de la longueur (L) d une circonférence à son diamètre (D ) est le même pour toutes les circonférences; cette constance est notée π (première lettre du mot périmètre en grec): Approximation de π L D = π Archimède de Syracuse ( 87 1 A.C.) rechercha une approximation du nombre π en partant d un hexagone régulier inscrit à un cercle et en doublant successivement le nombre de côtés jusqu à obtenir un polygone régulier à 96 côtés. Il fit de même avec des polygones réguliers circonscrits et conclut qu à chaque étape la longueur de la circonférence est comprise entre les périmètres des polygones inscrit et circonscrit. Il en déduit l approximation suivante : Archimède a fait ses calculs à partir des formules suivantes : P n = 3, 1408 < π < 3, 148. p np n p n + P n et p n = p n P n 73

74 CHAPITRE 9. LE NOMBRE π 74 où p n P n est le périmètre d un polygone régulier à n côtés inscrit circonscrit à un cercle. En appliquant ces formules dans une circonférence de diamètre égal à 1, et en partant d un carré (n = 4, p 4 = et P 4 = 4), on obtient successivement: Nombre de côtés périmètre du polygone régulier périmètre du polygone régulier du polygone inscrit à un cercle de rayon 1 circonscrit à un cercle de rayon 1 n p n P n 4, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Quelques décimales... Akira Haraguchi, un Japonais de 60 ans, a récité décimales de Pi en 16h30 le 3 octobre 006, battant ainsi son propre record (non-officiel) de décimales établi l année dernière! Premier commentaire de l intéressé: Je n ai rien ressenti de sensationnel, j ai juste vidé tout ce qu il y avait dans ma mémoire

75 CHAPITRE 9. LE NOMBRE π 75 A quoi cela sert-il de connaître tant de décimales de pi? Le calcul de décimales de pi est un très bon test pour vérifier la précision des calculs des ordinateurs (deux erreurs graves furent ainsi détectées sur les super-ordinateurs IBM 590 et R8000) La recherche de motifs de régularité et les calculs de statistiques sur les chiffres du nombre pi nécessitent de connaître de plus en plus de décimales. Mais la motivation la plus importante n est pas de connaître de plus en plus de décimales de pi mais bel et bien de les calculer. En effet, le calcul d un si grand nombre de chiffres demande des algorithmes de calculs très perfectionnés et a permis de très grand progrès dans ce domaine. π = 3,

76 Chapitre 10 ANGLES ET ARCS 10.1 Mesure des angles - Unités d angles Introduction Exercice 10.1 Soit un cercle de centre O et de rayon r. Au lieu de mesurer l angle au centre en degrés, choisissons une nouvelle unité : l angle au centre qui intercepte l arc de longueur r est l angle de mesure 1. Compléter : Part de cercle Longueur de cette part Angle au centre AB B r cercle entier 1 cercle o A 1 4 cercle 3 4 cercle r 1 7 cercle Que constate-t-on si le rayon du cercle est 1? Exercice 10. Dans le plan, on donne un cercle de centre O et de rayon 1 ainsi que le sens du parcours positif sur ce cercle. Imaginons un point mobile M qui, au départ de l origine A, parcourt le cercle dans le sens positif ou dans le sens négatif. Il s arrête en B. Si M a parcouru, sur le cercle, une distance égale à d sans le sens positif, on dit que B est représenté par le réel d; sans le sens négatif, on dit que B est représenté par le réel d; 76

77 CHAPITRE 10. ANGLES ET ARCS Déterminer le point du cercle représenté par : π π π 3π 4 π 6 7π 6 5π 6 π 4 5π o r = 1 d B + A. En tenant compte des points placés sur le cercle ci-contre, compléter : B -d C Points A B C D E D B + Réels π π 4 3π 4 E o A Définitions F G H Définition 10.3 Le DEGRE est l amplitude d un angle qui intercepte ( 1 360)ème d un cercle centré en son sommet. Ainsi 360 est l amplitude d un angle qui intercepte tout le cercle centré en son sommet. Les subdivisions du degré sont: 1 = 60 1 = 60 Le système degré est utilisé en géométrie, géodésie, astronomie, navigation, mécanique,... La navigation reste attachée au système degré car 1 en latitude correspond à 1 mille marin. (le mille marin international : 185 m, le mille marin britannique : 1853 m, le mille terrestre : 1609 m ) Définition 10.4 Le RADIAN est l amplitude d un angle qui intercepte sur un cercle centré en son sommet un arc dont la longueur est le rayon du cercle. M Remarques 10.5 l En radians et dans un cercle de rayon 1, tout angle au centre et l arc intercepté ont même mesure. Mais attention : l unité n est pas la même! O A La longueur de l arc intercepté l et la mesure de l angle au centre qui intercepte α sont des valeurs proportionnelles. Longueur de l arc intercepté πr π Mesure de l angle au centre l α πr α = π l α = l r

78 CHAPITRE 10. ANGLES ET ARCS 78 Conversion Degré π Radian π π π Exercices Convertir 90 = rad 45 = rad 30 = rad 60 = rad 150 = rad π 3 rad = π 4 rad = π 6 rad = 5π 6 rad = π 5 rad = 7π 4 rad = 4π 3 rad = π 3 rad = 3π rad = 3π 4 rad = 10 = rad 10 = rad 40 = rad 70 = rad 7π 6 rad = 7π 1 rad = 5π 4 rad = 11π 6 rad = 5π 3 rad = π 10 rad = π 5 rad = π 18 rad =. Compléter 3 = rad 3 = rad 13 0 = rad = rad = rad 0, rad = 5, 1 rad =, 43 rad = 0, 04 rad =

79 Chapitre 11 ANGLES ORIENTES 11.1 Définitions, vocabulaire Cercle trigonométrique + Définition 11.1 Un cercle orienté est un cercle sur lequel on distingue les deux sens de parcours : le sens direct ou positif et le sens indirect ou négatif. Définition 11. Un cercle trigonométrique est un cercle de rayon 1 orienté de telle sorte que le sens direct est celui du sens inverse des aiguilles d une montre. O Le plan orienté Définition 11.3 Le plan est dit orienté lorsque tous les cercles sont orientés comme un cercle trigonométrique. Dans la suite le plan est orienté. 11. Angle orienté d un couple de vecteurs non nuls Mesures positives C est un cercle trigonométrique de centre O ; A et B sont deux points de C. Lorsqu on fait fait tourner OA dans le sens direct pour l amener sur OB, le point A parcourt un arc de cercle de longueur l (Comme le rayon du cercle est 1, l est aussi, la mesure en radians de l angle géométrique ÂOB ). On convient de dire que l est une mesure de l angle orienté ( OA, OB) ( OA est écrit en premier pour indiquer que l on part de A). O 1 α B A l

80 CHAPITRE 11. ANGLES ORIENTES 80 Exercice 11.4 Dans chaque cas, placez sur un cercle trigonométrique les quatre points K, L, M, N tels que : π 1. 4 est une mesure de ( OK, π OL) ; est une mesure de ( OK, π OM) ; 3 est une mesure de ( OM, ON). 6 est une mesure de ( OK, 3π OL) ; est une mesure de ( OK, 5π OM) ; 3 est une mesure de ( OM, ON).. 7π Après avoir fait tourner OA dans le sens direct pour l amener sur OB une première fois, on peut faire un tour de plus, toujours dans le sens direct. Le point A parcourt un arc de cercle de longueur l + π. On convient de dire que l + π est une mesure de l angle orienté ( OA, OB) Après être arrivé en B une première fois, si on effectue k tours de cercle, toujours dans le sens direct, le point A parcourt un trajet de longueur l + kπ, ce nombre est aussi une mesure de ( OA, OB). Exercice 11.5 Placez sur un cercle trigonométrique les quatre points K, L, M, N tels que : π 3 + π est une mesure de ( OK, 5π OL) ; 6 + 4π est une mesure de ( OK, 7π OM) ; 4 est une mesure de ( OM, ON). Mesures négatives Mais pour amener OA sur OB on peut aussi parcourir le cercle dans le sens indirect. Alors lorsque OA arrive sur OB pour la première fois, le point A parcourt un arc de cercle de longueur π l. Pour indiquer que l on parcourt le cercle dans le sens indirect sans l écrire, on convient de compter ce trajet négativement et de dire que (π l) est une mesure de l angle orienté ( OA, OB). π-l O 1 α B A l + - Exercice 11.6 Dans chaque cas, placez sur un cercle trigonométrique les quatre points K, L, M, N tels que : 1. π 4 est une mesure de ( OK, OL) ; π est une mesure de ( OK, OM) ; π 3 de ( OM, ON).. 7π 6 est une mesure de ( OK, OL) ; 3π est une mesure de ( OK, OM) ; 5π 3 mesure de ( OM, ON). est une mesure est une

81 CHAPITRE 11. ANGLES ORIENTES 81 Après avoir fait fait tourner OA dans le sens indirect pour l amener sur OB une première fois, on peut faire un tour de plus, toujours dans le sens indirect que l on compte négativement. On convient de dire que (π l) π est une mesure de l angle orienté ( OA, OB). Après être arrivé en B une première fois, si on effectue k tours de cercle, toujours dans le sens indirect direct, que l on compte négativement, on obtient pour mesure de ( OA, OB) le nombre réel (π l) k π ce qui s écrit encore l + ( k 1)π. Exercice 11.7 Placez sur un cercle trigonométrique les quatre points K, L, M, N tels que : 5π 3 π est une mesure de ( OK, OL) ; 7π 6 4π est une mesure de ( OK, OM) ; 3π 4 est une mesure de ( OM, ON). Ensemble des mesures Pour amener OA sur OB on peut aussi faire une partie du parcours dans le sens direct et une autre dans le sens indirect. On démontre que tous les parcours permettant d amener OA sur OB sont associés, par les procédés décrits ci-dessus, aux nombres de la forme l + kπ, où k Z. Ces nombres sont appelés les mesures de l angle orienté ( OA, OB). Exercice 11.8 Placez sur un cercle trigonométrique les quatre points K, L, M, N tels que : 5π 3 π est une mesure de ( OK, OL) ; 7π 6 3π est une mesure de ( OK, OM) ; 7π 6 + π π 3 est une mesure de ( OM, ON). Cas général N l u = OM et v = ON sont deux vecteurs non nuls représentés à partir d un point O. Notons C le cercle trigonométrique de centre O. Les demi-droites [OM et [ON coupent C en A et B. Notons l la longueur de l arc de cercle AB, parcouru de A vers B dans le sens trigonométrique. B v O u A M Définition 11.9 Les nombres de la forme l + kπ, k Z, sont les mesures en radians de l angle orienté de vecteurs ( u, v ). Remarque : si x est une mesure, toute autre mesure y s écrit y = x + kπ, k Z Mesure principale Parmi toutes les mesures l + kπ, il en existe une et une seule dans l intervalle ] π; +π] (] 180 ; 180 ]). Cette mesure est appelée la mesure principale de ( u, v ). La valeur absolue de la mesure principale de ( u, v ) est égale à la mesure en radians de l angle géométrique formé par u et v.

82 CHAPITRE 11. ANGLES ORIENTES Rotation du plan orienté Définition I est un point fixé du plan et α un réel. La rotation de centre I et d angle α, mesuré en radians, est la transformation du plan orienté telle que I est invariant et pour tout point M I, son image M est le point tel que IM = IM et ( IM, IM ) = α (+k. π avec k ZZ). M α I M 11.5 Propriétés des angles orientés Ne pas oublier que tout angle orienté possède une infinité de mesures Angles et colinéarité u et v sont deux vecteurs non nuls, l angle ( u, v ) permet de traduire leur colinéarité car, d après la définition des mesures d un angle orienté : On en tire le théorème suivant : ( u, u ) = 0 et ( u, u ) = ( u, u ) = π. Théorème Dire que u et v sont colinéaires et de même sens équivaut à dire que ( u, v ) = 0. Dire que u et v sont colinéaires et de sens contraires équivaut à dire que ( u, v ) = π. v u u π v Relation de Chasles Théorème 11.1 (admis) Pour tous vecteurs non nuls u, v, w : ( u, v ) + ( v, w ) = ( u, w ). Selon cette relation de Chasles, en additionnant n importe quelles mesures de ( u, v ) et de ( v, w ), on obtient une mesure de ( u, w ). Réciproquement, toute mesure de ( u, w ) peut s écrire comme la somme d une mesure de ( u, v ) et d une mesure de ( v, w ). Exemple: ( BA, CD) = ( BA, BC) + ( BC, CD), donc ( BA, CD) = 3π 4 + π 3 = 5π 1.

83 CHAPITRE 11. ANGLES ORIENTES 83 Propriété Pour tous vecteurs non nuls u et v : 1. ( u, v ) = ( v, u ) 3. ( u, v ) = ( u, v ) + π. ( u, v ) = ( u, v ) + π 4. ( u, v ) = ( u, v ) Démonstration. 1. ( u, u ) = 0 et selon la relation de Chasles, ( u, u ) = ( u, v )+( v, u ) donc ( u, v )+( v, u ) = 0 d où le résultat.. ( v, v ) = π et selon la relation de Chasles, ( u, v ) = ( u, v ) + ( v, v ) d où le résultat. 3. ( u, u ) = π et selon la relation de Chasles, ( u, v ) = ( u, u ) + ( u, v ) d où le résultat. 4. Selon la relation de Chasles, ( u, v ) = ( u, u ) + ( u, v ) = ( v, v ), donc ( u, v ) = ( u, v ) + π d où le résultat Transformations usuelles et angles orientés Définition Dire qu une transformation du plan conserve les angles orientés signifie que quels que soient les trois points du plan, distincts deux à deux, M, N, P d images respectives M, N, P alors ( M N, M P ) = ( MN, MP ). Dire qu une transformation du plan change les angles orientés en leurs opposés signifie que quels que soient les trois points du plan, distincts deux à deux, M, N, P d images respectives M, N, P alors ( M N, M P ) = ( MN, MP ). Propriété Les translations, les homothéties et les rotations conservent les angles orientés. Une réflexion change un angle orienté en son opposé.

84 Chapitre 1 NOMBRES TRIGONOMETRIQUES A partir de maintenant, tout angle orienté représenté dans un cercle trigonométrique aura comme vecteur de départ i. j 1 + O i Définition 1.1 Un repère orthonormé (O; ı, ȷ )du plan est dit direct lorsque ( ı, ȷ ) = ( ı, ȷ ) = π. π, indirect lorsque 1.1 Quadrants Dans la figure suivante, les axes représentés en pointillés bordent 4 régions du plan. Chacune de ces régions porte le nom de QUADRANT. II I III IV Exercice 1. 84

85 CHAPITRE 1. NOMBRES TRIGONOMETRIQUES 85 Entoure le numéro du quadrant correspondant. 60 est un angle du quadrant I II III IV 305 est un angle du quadrant I II III IV 4 est un angle du quadrant I II III IV 18 est un angle du quadrant I II III IV 400 est un angle du quadrant I II III IV 5 est un angle du quadrant I II III IV 18O 9O II I o III IV O + 7O Exercice 1.3 Entoure le numéro du quadrant correspondant. 5π 6 est un angle du quadrant I II III IV π 4 est un angle du quadrant I II III IV 7π 4 est un angle du quadrant I II III IV 4π 3 est un angle du quadrant I II III IV 7π 3 est un angle du quadrant I II III IV π 4 est un angle du quadrant I II III IV π π/ II I o III IV + 0 π 3π/ Exercice 1.4 Placer, sur le cercle trigonométrique, les points images des angles dont on donne une mesure A: 30 B: 10 F: 5 G: 405 II 9O I + C: 00 D: 330 H: 135 I: O o III IV O E: 10 J: 300 7O Exercice 1.5 Placer, sur le cercle trigonométrique, les points images des angles dont on donne une mesure A: π 4 B: π 3 C: 7π 4 D: 5π 6 F: 5π G: 5π 4 H: 9π 4 I: 5π 3 π π/ II I o III IV + 0 π E: 3π 4 J: 7π 6 3π/ Exercice 1.6 Donner, en degrés, la mesure principale des angles orientés dont on donne une mesure en degrés.

86 CHAPITRE 1. NOMBRES TRIGONOMETRIQUES Exercice 1.7 Donner, en radians, la mesure principale des angles orientés dont on donne une mesure en radians. 17π 6 11π 5 19π 5 3π 5π 3 8π 7 Exercice 1.8 On donne des nombres. Quels sont ceux qui sont la mesure principale, en radians, d un angle? 3π 4 1, 9 5π 3 π 4, 5π 6 Exercice 1.9 Un angle  a une infinité de mesures : π 6 + k.π (k ZZ) Parmi les nombres suivantes, quels sont ceux qui sont une mesure en radians de  13π 6 11π 6 5π 6 7π 6 73π 6 1. Cosinus et sinus d un angle orienté de vecteurs 1..1 Cosinus et Sinus d un réel C est un cercle trigonométrique, A et B sont deux points de ce cercle tels que, si on pose ı = OA et ȷ = OB alors le repère (O; ı, ȷ )est orthonormé direct. B Définition 1.10 α est un réel quelconque. Il lui correspond un unique point M de C (on associe donc un point du cercle à α) tel que α soit une mesure en radians de ( ı, OM). Le cosinus de α, noté cos α, est l abscisse de M dans le repère (O; ı, ȷ ). sin x x 0 cos x A Le sinus de α, noté sin α, est l ordonnée de M dans le repère (O; ı, ȷ ). Remarques : 1. On dit certaines fois, pour associer un point du cercle trigonométrique à un réel, que l on enroule l ensemble des réels autour du cercle trigonométrique.

87 CHAPITRE 1. NOMBRES TRIGONOMETRIQUES 87. Il est essentiel de retenir quelques valeurs de cosinus et sinus pour des réels paticuliers. La figure suivante donne les valeurs à connaître (Le calcul de chacune de ces valeurs repose sur la géométrie élémentaire... et quelques symétries...).

88 CHAPITRE 1. NOMBRES TRIGONOMETRIQUES 88 sin π/ 3π/4 π/3 3 π/3 π/4 5π/6 1 π/6 π cos 5π/6 1 π/6 3π/4 π/3 3 π/ π/3 π/4 Proposition 1.11 Pour tout réel x : 1. cos x + sin x = 1. cos( x) = cos x et sin( x) = sin x 3. cos(x + π) = cos x et sin(x + π) = sin x 4. cos(x + π) = cos x et sin(x + π) = sin x 5. cos(π x) = cos x et sin(π x) = sin x 6. cos( π x) = sin x et sin( π x) = cos x 7. cos( π + x) = sin x et sin( π + x) = cos x Démonstration. Les figures suivantes illustrent cette proposition.

89 CHAPITRE 1. NOMBRES TRIGONOMETRIQUES Fonctions cosinus et sinus Définition 1.1 (Fonction cosinus) La fonction cosinus, notée cos, est la fonction qui à tout réel x associe son cosinus. cos : IR IR x cos x Sa courbe représentative est la suivante : y +1 y = cos x O +1 x Exercice 1.13 Expliquez les propriétés (variations, symétrie, périodicité etc...) que vous remarquez sur cette représentation. Définition 1.14 (Fonction sinus) La fonction sinus, notée sin, est la fonction qui à tout réel x associe son sinus. sin : IR IR x sin x

90 CHAPITRE 1. NOMBRES TRIGONOMETRIQUES 90 Sa courbe représentative est la suivante : y +1 y = sin x O +1 x Exercice 1.15 Expliquez les propriétés (variations, symétrie, périodicité etc...) que vous remarquez sur cette représentation Cosinus et sinus d un angle orienté Si x désigne une mesure en radians d un angle orienté ( u, v ), alors toute autre mesure est du type x + kπ, avec k entier relatif. Comme la fonction cosinus est π périodique, alors cos(x + kπ) = cos x et sin(x + kπ) = sin x. Il en résulte la définition suivante : Définition 1.16 Le cosinus (respectivement le sinus) d un angle orienté ( u, v ) est le cosinus (respectivement le sinus) de l une quelconque de ses mesures en radians. Notation 1.17 Le cosinus de l angle ( u, v ) se note cos( u, v ) et le sinus, sin( u, v ) 1..4 Lien entre cosinus d un angle orienté et l angle géométrique associé Notons α la mesure principale de l angle orienté ( u, v ) et θ la mesure en radians de l angle géométrique ÂOB. Nous savons que α = θ et que la fonction cosinus est paire donc cos θ = cos( α ) = cos α. Propriété 1.18 L angle orienté de vecteurs ( u, v ) et l angle géométrique formé par ces deux vecteurs ont le même cosinus. Remarque : ( u, v ) et ÂOB n ont pas toujours le même sinus. En effet la fonction sinus est impaire donc sin α = sin α si α est positif et sin α = sin α si α est négatif. Ainsi les sinus de ( u, v ) et ÂOB sont égaux ou opposés.

91 CHAPITRE 1. NOMBRES TRIGONOMETRIQUES Tangente et Cotangente d un angle orienté de vecteurs Tangente et Cotangente d un réel Définition 1.19 Si x IR \ { π + k. π : k ZZ}, alors Définition 1.0 Si x IR \ { k. π : k ZZ }, alors tg x = sin x cos x cotg x = cos x sin x 1.3. Interprétation graphique de la Tangente et de la Cotangente Pour obtenir une représentation graphique de la tangente de x, on trace la droite tangente au cercle trigonométrique au point A de coordonnées (1, 0). La tangente de x est l ordonnée du point M, intersection de avec OB. j O B αx i B' M A En effet, les triangles OAM et OB B étant semblables (A - A), on a OA OB = AM B B = 1 cos x = AM sin x = AM = sin x cos x = tg x Pour obtenir une représentation graphique de la cotangente de x, on trace la droite tangente au cercle trigonométrique au point C de coordonnées (0, 1). La cotangente de x est l abscisse du point M, intersection de avec OB. C M B j O x i B A En effet, les triangles OCM et OB B étant semblables (A - A), on a OC OB = CM B B = 1 sin x = CM cos x = CM = cos x sin x = cotg x

92 CHAPITRE 1. NOMBRES TRIGONOMETRIQUES Fonctions tangente et cotangente Définition 1.1 (Fonction tangente) La fonction tangente, notée tg, est la fonction qui à tout réel x π + k. π(k ZZ) associe sa tangente Sa courbe représentative est la suivante : tg : IR IR x tg x 4 y = tan x O Exercice 1. Expliquez les propriétés (variations, symétrie, périodicité etc...) que vous remarquez sur cette représentation. Définition 1.3 (Fonction Cotangente) La fonction cotangente, notée cotg, est la fonction qui à tout réel x k. π(k ZZ) associe sa cotangente. Sa courbe représentative est la suivante : cotg : IR IR x cotg x 4 y = cotan x O Exercice 1.4 Expliquez les propriétés (variations, symétrie, périodicité etc...) que vous remarquez sur cette représentation.

93 CHAPITRE 1. NOMBRES TRIGONOMETRIQUES Tangente et Cotangente d un angle orienté Si x désigne une mesure en radians d un angle orienté ( u, v ), alors toute autre mesure est du type x + kπ, avec k entier relatif. Comme la fonction tangente est π périodique, alors tg (x + kπ) = tg x et cotg (x + kπ) = cotg x. Il en résulte la définition suivante : Définition 1.5 La tangente (respectivement la cotangente) d un angle orienté est la tangente (respectivement la cotangente) de l une quelconque de ses mesures en radians. 1.4 Signe des nombres trigonométriques Cos a Sin a Tg a Cotg a Nombres trigonométriques d angles remarquables DEG sin 0 cos 1 3 tg cotg 3 1 π π RAD π π Exercices Exercice 1.6 Calculer sans machine. 1. sin( 90 ) =. cos( 90 ) = 3. sin( 70 ) = 4. cos( 360 ) = 5. tg ( 180 ) = 6. cotg ( 180 ) = 7. tg (70 ) = Exercice cotg (90 ) = 9. cotg (0 ) = 10. tg (90 ) = 11. cos( π) = 1. sin( π ) = 13. cos(3π) = 14. tg ( π ) = 15. sin( 5π ) = 16. cotg ( π ) = 17. cos( π) = 18. cos( π) = 19. cos( π) = 0. cos( π) = 1. cos( π) = 1. Sachant qu α est un angle du deuxième quadrant et que sin α = 4 5, calculer cos α, tg α et cotg α puis donner, pour chacun de ces nombres trigonométriques, une interprétation graphique sur un cercle dont le rayon mesure cm.. Idem si α [ 180, 70 ] et tg α = 1, 5 (rayon du cercle =, 5 cm).

94 CHAPITRE 1. NOMBRES TRIGONOMETRIQUES Idem si α [ 3π, π] et cos α = 1 4. Idem si α au quadrant I et sin α = Idem si α [ π, π] et cos α = 4 5. Exercice 1.8 (rayon du cercle = 1, 5 cm). Un élève a résolu des exercices analogues à ceux de l exercice précédent. Chercher les éventuelles erreurs. 1. α [ 180, 70 ] cos α = 1 4 sin α = α [ 0, 90 ] cos α = 5 sin α = α [ π, π] sin α = 3 cotg α = 5 Exercice 1.9 Démontrer les formules suivantes : Exercice tg x = 1 cos x et 1 + cotg x = 1 sin x Vérifier les identités suivantes, après avoir précisé les conditions d existence. 1. cos 4 α sin 4 α = cos α sin α. sin α(1 cotg α) = cos α(tg α 1) 3. cos α cos 3 α = cos α sin α 4. sin 4 α cos 4 α = sin α 1 5. cotg α 1 sin α = 1 6. (tg α + 1 cos α ) = 1+sin α 1 sin α 7. sin α + sin αtg α = tg α 8. (1 cos α + sin α)(1 + cos α sin α) = sin α cos α 9. cos α cotg α = cotg α cos α 10. sin 4 α(3 sin α) + cos 4 α(3 cos α) = sin 6 α + cos 6 α sin 4 α cos 4 α + sin α = 0 (suggestion : grouper les termes en sin α) 1. sin 6 α + cos 6 α + 3 sin α cos α = (sin 6 α + cos 6 α) 3(sin 4 α + cos 4 α) = tg α 1+tg α = sin α tg α 1+tg = sin α cos α α 16. sin α sin β = cos β cos α Exercice 1.31 Montrer que 1 1+sin α et 1 1 sin α sont solutions de l équation: x cos α + x sin α 1 = 0.

95 CHAPITRE 1. NOMBRES TRIGONOMETRIQUES 95 Vocabulaire 1.3 Deux angles sont opposés si leur somme vaut une mesure de l angle nul Deux angles sont supplémentaires si leur somme vaut une mesure de l angle plat Deux angles sont complémentaires si leur somme vaut une mesure de l angle droit Deux angles sont anti-supplémentaires si leur différence vaut une mesure de l angle plat. Ainsi, si α est un angle orienté quelconque, alors Les angles α et π α sont appelés angles supplémentaires. Les angles α et α sont appelés angles opposés. Les angles α et π α sont appelés angles complémentaires. Les angles α et π + α sont appelés angles antisupplémentaires. Exercice 1.33 Compléter Exercice 1.34 Angle α Opposé Supplémentaire Complémentaire Antisupplémentaire π 5 π 4 Parmi les propositions suivantes, repérer les égalités et corriger les signes dans les égalités fausses afin d obtenir des égalités. 1. sin 60 = sin 10. sin 60 = sin( 60 ) 3. cos 30 = cos cos 45 = sin cos 60 = sin tg 135 = tg ( 45 ) 7. sin 300 = sin sin 45 = cos sin 60 = sin( 40 ) 10. cos 3 = cos cos 5 = sin tg 1 = tg cotg ( 90 ) = cotg cos(180 + α) = cos(180 α) Exercice 1.35 Simplifier sans utiliser de calculatrice 1. cos( 0 ) cos 160. sin(100 ) cos( 10 ) 3. cos( 3π 5 ) sin( π 10 )

96 CHAPITRE 1. NOMBRES TRIGONOMETRIQUES 96 Exercice 1.36 Simplifier (on suppose les dénominateurs non nuls) 1. sin(90 α) sin( α) 3. sin (90 α) tg (45 +α) cos(360 α) tg (5 +α) 5. sin(180 α) cos(90 α) + sin(90 +α) sin(70 +α). cos(90 +α) cos(90 α) 4. sin( α) sin(90 +α) cos( α) cos(180 +α) cos(70 α) 6. tg (70 +α) tg sin(180 α) (180 α) sin(70 α) 1.7 Equations trigonométriques Angles ayant même sinus : sin x = sin α ( angles supplémentaires) Angles ayant même cosinus : x = α + kπ ou x = π α + kπ (k ZZ) cos x = cos β ( angles opposés) Angles ayant même tangente : x = β + kπ ou x = β + kπ (k ZZ) tg x = tg γ x = γ + kπ ( angles antisupplémentaires) (k ZZ) Exemples 1.37 Résolvons les équations trigonométriques élémentaires suivantes: 1. sin x = sin 1. sin x = sin 0, 5 3. cos x = cos cos x = cos 1, 3 5. tg x = tg tg x = tg 0, 9 Exemples 1.38 Résolvons dans l ensemble des angles (en degrés) et dans l ensemble des réels (en radians) les équations trigonométriques suivantes : 1. sin x =. sin x = 1 3. cos x = 3 4. cos x = 1 5. tg x = 3 6. tg x = 1 Exemples 1.39 Résolvons dans l ensemble des angles (en degrés) et dans l ensemble des réels (en radians) les équations trigonométriques suivantes :

97 CHAPITRE 1. NOMBRES TRIGONOMETRIQUES sin x = 0, cos x = 0, tg x =, 71 Exercices 1.40 Résoudre dans IR (poser des conditions d existence si nécessaire): 1. sin 3x = sin x. cos 3x = cos x 3. tg 3x = tg x 4. cos 3x = sin x 5. cos x cos x 1 = 0 Exercices 1.41 Résous dans IR : 1. sin 4y sin y = 0. cos ( 3γ π 4 ) sin ( γ + π 3 ) = 0 3. sin x = sin x 4. tg z + tg z = 0 5. cos x = cos ( x π 9 ) Exercices 1.4 Résous dans IR : 1. cos x = 1. tg x + 4tg x + 3 = 0 3. tg x cotg x = 1 Exercices 1.43 Cherche le domaine de définition et l ensemble des racines des fonctions f : IR IR : x f(x), telles que f(x) égale 1 cos x+cos x 1. cos 3x+1. sin x 1

98 Chapitre 13 TRIANGLES QUELCONQUES 13.1 Rappels : TRIANGLES RECTANGLES Figure de référence C a γ b Notations B β c A a = longueur du côté opposé au sommet A L angle de sommet A se nomme α. b = longueur du côté opposé au sommet B L angle de sommet B se nomme β. c = longueur du côté opposé au sommet C L angle de sommet C se nomme γ. Cosinus = adjacent sur hypoténuse cos β = AB BC = c a cos γ = AC BC = b a Sinus = opposé sur hypoténuse sin β = AC BC = b a sin γ = AB BC = c a Tangente = côté sur côté tg β = AC AB = b c tg γ = AB AC = c b Pythagore Angles BC = AC + AB a = b + c α + β + γ = π β + γ = π 98

99 CHAPITRE 13. TRIANGLES QUELCONQUES 99 Exercice 13.1 Résoudre le triangle ABC 1 rectangle en A dans chacun des cas suivants. a b c β γ , 6 38, 47, 5 54, Exercice 13. Un observateur veut déterminer la distance de A à B sans devoir franchir la rivière représentée cidessous. A En A est planté un piquet et en B se trouve l observateur. Celui-ci est muni d un théodolite. 1. Imaginer une méthode et les mesures à prendre pour résoudre le problème.. Supposer des mesures et calculer la distance de A à B d après ces mesures. Exercice 13.3 Quand la planète Vénus est observée depuis la Terre pendant une certaine période, elle paraît se mouvoir en avant et en arrière le long d un segment de droite, Le Soleil étant au milieu. A la distance apparente maximale du Soleil, l angle 3 Soleil-Terre-Venus est d environ 36. Sachant que la distance Terre-Soleil vaut environ 148, km, estimez la distance séparant Vénus du Soleil. B 1 La figure de référence est celle donnée en début de paragraphe Appareil qui permet de mesurer des angles sur le terrain 3 Cet angle s appelle l élongation. Il est maximum quand le Soleil, la Terre et Vénus sont en quadrature.

100 CHAPITRE 13. TRIANGLES QUELCONQUES TRIANGLES QUELCONQUES Al-Kashi, mathématicien originaire d Iran mort approximativement en 1436 est connu pour avoir donné des décimales de π assez précises. Mais nous allons nous intéresser ici au théorème qui porte aujourd hui encore son nom, et qui est une forme généralisé du théorème de Pythagore. Il énonce une relation entre la longueur des côtés d un triangle quelconque et l un des angles de celui-ci. Notons que le résultat fut trouvé antérieurement par Euclide d Alexandrie au IIIème siècle avant J.C. et figure dans la proposition XII du second livre des Eléments Théorème du cosinus (Théorème d Al-Kashi) Soit ABC un triangle quelconque. Deux cas se présentent. Les trois angles sont aigus Un angle est obtus A Y c B (x;y) β y α b x D (x;0) a γ C (b;0) X B (x;y) y D (x;0) β π α x c Y A a α b γ C (b;0) X cos α = AD c = x c ou x = c cos α cos α = cos(π α) = AD c = x c ou x = c cos α sin α = y c ou y = c sin α sin α = y c ou y = c sin α a = (b x) + y Donc = (b c cos α) + (c sin α) = (b bc cos α + c cos α) + c sin α = b + c (cos α + sin α) bc cos α a = b + c bc cos α En faisant une permutation cyclique des lettres a, b, c et α, β, γ, nous obtenons les formules pour b et c Théorème du sinus Soit ABC un triangle quelconque. On déduit des figures du théorème précédent : sin α = y c et sin γ = y a sin α = sin(π α) = y c et sin γ = y a

101 CHAPITRE 13. TRIANGLES QUELCONQUES 101 Ainsi, y = c sin α et y = a sin γ y = c sin(π α) = c sin α et y = a sin γ Ce qui nous donne Un raisonnement similaire donne la relation Aire d un triangle Soit ABC un triangle quelconque. a sin γ = c sin α = a sin α = a sin α = b sin β b sin β = Base Hauteur A = On déduit des figures du premier théorème : a sin α = c sin γ qui, combinée avec la précédente, nous fournit: c sin γ = b y A = bc sin α ab sin γ bc sin(π α) bc sin α ab sin γ ou A = A = = ou A = Un raisonnement analogue donne la relation Formulaire A = ac sin β Figure de référence A α b c C γ a Les angles β B α + β + γ = π Théorème du cosinus Théorème du Sinus Aire a = b + c bc cos α b = a + c ac cos β c = a + b ab cos γ a sin α = b sin β = c sin γ A = A = A = bc sin α ab sin γ ac sin β

102 CHAPITRE 13. TRIANGLES QUELCONQUES 10 Remarques importantes 1. Lorsque deux angles sont donnés, le troisième sera calculé à l aide de l égalité α + β + γ = π.. Lorsqu un seul angle est donné, chacun des angles inconnus sera calculé en utilisant soit le théorème du cosinus, soit le théorème du sinus mais pas la formule donnant la somme des trois angles qui peut alors conduire à des erreurs. 3. On privilégiera toujours, si possible, le théorème du cosinus à celui du sinus pour déterminer un angle inconnu. En effet, si l angle est donné par son cosinus, seule la solution comprise entre 0 et π est à retenir (Celle donnée systématiquement par la calculatrice!). Par contre, si l angle est donné par son sinus, deux solutions comprises entre 0 et π sont éventuellement à prendre en considération : l une donnée systématiquement par la calculatrice, l autre étant la supplémentaire de la première Exercices Exercice 13.4 Résoudre les triangles ABC suivants et calculer également leur aire : 1. a = 70.4 b = 8.1 γ = β = 58.5 γ = a = a = b = 96.9 c = a = 0.43 b = 5.63 c = β = a = b = β = a = b = Réponses 1. α = β = 90.5 c = α = 8.37 b = c = α =.99 β = 64.5 γ = impossible 5. α = 7.89 γ = c = deux solutions : α = γ = 80. c = ou α = γ = 1.06 c = Un observateur, couché sur le sol, voit un satellite sous un angle de 35 avec la verticale. Sachant que le satellite gravite à 1000 km au-dessus de la surface de la Terre, quelle est la distance séparant le satellite de l observateur (rayon de la Terre : 6370 km)? Réponse: km Exercice 13.5 Un bateau quitte le port à 13h00 et fait route dans la direction 55 W à la vitesse de 38 km/h (les angles sont mesurés avec la direction N). Un deuxième bateau quitte le même port à 13h30 et vogue dans la direction 70 E à 8, 5 km/h. Calculez la distance séparant les bateaux à 15h00. Réponse: km

103 CHAPITRE 13. TRIANGLES QUELCONQUES 103 Exercice 13.6 (Le pavage de Penrose) Les pavés de Penrose 4 ont la forme d un losange ABCD dont la longueur des côtés est 1 et dont un angle intérieur fait 7. On situe un point P sur la diagonale AC à une distance 1 du sommet C. De ce point partent les deux segments de droite P B et P D rejoignant les deux autres sommets du losange, comme le montre la figure ci-dessous. Les deux pavés ainsi formés sont appelés fer de lance et cerf-volant. B 1 Cerf-volant C P A 7 Fer de lance 1 D 1. Calculez les mesures en degrés de ÂBP, ÂP B et BP C.. Calculez la longueur du segment [BP ] à près. 3. Calculez l aire d un fer de lance et d un cerf-volant à 0.01 près. Réponses , , 36 0, 59 4 Ce pavage joue un rôle important en cristallographie. Roger Penrose (Colchester, 8 août ) Physicien et mathématicien britannique. Il enseigne les mathématiques au Birkbeck Collège de Londres où il élabore la théorie décrivant l effondrement des étoiles sur elles-mêmes (Death of stars), entre 1964 et 1973, où il rencontre le célèbre physicien Stephen Hawking. Ils travaillent alors àune théorie de l origine de l univers, Penrose y apportant sa contribution mathématique a la théorie de la relativité générale appliquée à la cosmologie et à l étude des trous noirs. En 1974, il publie un article où il présente ses premiers pavages non-périodiques : les pavages de Penrose (Pentaplexity, Bulletin of the Institute for Mathematics and its Applications, 10, 66 71, 1974 ).

104 CHAPITRE 13. TRIANGLES QUELCONQUES 104 Exercice 13.7 Une basilique est située au sommet d une colline (voir schéma ci-dessous). Quelle est la hauteur de cette basilique? Réponse: 105 m Exercice 13.8 Quelle est la longueur du segment [DE]? Réponse: 4, 69 Exercice 13.9 Construire et mesurer l intensité de la force résultante (résolution algébrique) A 10N A 80N N 10 0N Réponse: 155, 4N et 17, 3N

105 CHAPITRE 13. TRIANGLES QUELCONQUES 105 Exercice Le parallélogramme ABCD a ses diagonales qui mesurent 4m et 51m et qui font un angle de 6. Calculer les mesures des côtés et les angles de ce parallélogramme. A B O 6 D C Réponses: AB = DC = 39, 96 m ; AD = BC = 4, 6 m; Â = Ĉ = 10, 474 et B = D = 77, 56. Exercice Les côtés parallèles d un trapèze mesurent 15cm et 10cm et les autres côtés 5cm et 6cm. Calculer les angles et les longueurs des diagonales. Exercice 13.1 Un calibre d angles a la forme de la figure. Il est découpé dans une pièce d acier de 15cm sur 10cm. Indiquer les cotes sur le plan si les encoches doivent avoir des parois de cm de long Exercice Calculer les éléments manquants. M N P 18 Q

106 Partie V GEOMETRIE PLANE 106

107 Chapitre 14 LES VECTEURS : RAPPELS 14.1 Définition et notation Etant donné deux points distincts A et B, considérons la translation t AB. A chaque point du plan, cette translation fait correspondre une image. Ainsi, aux points P, Q, R,..., elle associe respectivement les points P, Q, R,... tels que AB P P QQ RR [AB, [P P, [QQ, [RR,... de même sens AB = P P = QQ = RR =... Q Q' B R A R' P P' La translation t AB engendre, de la sorte, des couples 1 de points : (P, P ), (Q, Q ), (R, R ), Chacun de ces couples permet, à lui seul, de (re)définir la translation : t AB = t P P = t QQ = t RR = Tous les couples engendrés par la translation jouent un rôle équivalent au couple originel (A, B). L ensemble de ces couples, en nombre infini, est un vecteur, c est le vecteur associé à la translation t AB ou, plus simplement, le vecteur de la translation t AB. Définition 14.1 Dans le plan Π, le vecteur de la translation t AB est l ensemble { (P, P ) P π et P = t AB (P ) }. 1 Pour rappel, dans le terme couple l ordre a de l importance, ce qui n est pas le cas dans la notion de paire. 107

108 CHAPITRE 14. LES VECTEURS : RAPPELS 108 Cet ensemble est constitué des couples engendrés par la translation; chacun de ces couples est un représentant du vecteur. Notation 14. Le vecteur de la translation t AB est noté AB Caractéristiques Reconsidérons les couples de points (A, B), (P, P ), (Q, Q ), (R, R ), engendrés par la translation t AB. Direction Les droites AB, P P, QQ, RR, sont parallèles; elles définissent la direction du vecteur AB. Sens Les demi-droites [AB, [P P, [QQ, [RR, sont dirigées dans le même sens; elles donnent le sens du vecteur AB. Longueur Les segments [AB], [P P ], [QQ ], [RR ], ont la même longueur, celle-ci est la longueur du vecteur AB. Ainsi, un vecteur AB possède trois caractéristiques : une direction, un sens, une longueur. 14. Egalité de deux vecteurs Proposition 14.3 Etant donné quatre points A, B, C et D non alignés, les vecteurs AB et CD sont égaux si et seulement si le quadrilatère ABCD est un parallélogramme. Proposition 14.4 Deux vecteurs sont égaux si et seulement s ils ont la même direction, le même sens et la même longueur. Proposition 14.5 Si les vecteurs AB et CD sont égaux, alors les vecteurs AC et BD sont égaux Représentation graphique d un vecteur Graphiquement, le vecteur AB est représenté (concrétisé) par le segment [AB] pourvu d une flèche, un segment orienté. Le segment en lui-même sert à montrer la direction et la longueur du vecteur; quant à la flèche, elle indique le sens du vecteur. A Dans cette représentation du vecteur AB au départ du couple (A, B), les points A et B sont respectivement dénommés origine et extrémité du vecteur. B

109 CHAPITRE 14. LES VECTEURS : RAPPELS 109 Remarque 14.6 Il est impossible de représenter un vecteur, on peut juste le représenter (partiellement) à l aide d un segment orienté Une autre notation des vecteurs Nous allons munir l ensemble des vecteurs d une addition et d une multiplication scalaire. Pour énoncer les propriétés de ces opérations, il n est pas nécessaire de connaître les translations auxquelles sont associés les vecteurs. Dès lors, une autre notation des vecteurs va nous être utile. Lorsqu on ne souhaite pas faire référence explicitement à la translation à laquelle est associé un vecteur, celui-ci est noté par une lettre minuscule surmontée d une flèche; par exemple, u, v, w. Le fait d écrire u = AB indique alors que ce vecteur est associé à la translation tab et que (A, B) est un représentant du vecteur u. Par abus de langage, nous dirons aussi de AB qu il est un représentant du vecteur u. Notons V l ensemble de tous les vecteurs du plan Norme d un vecteur Une unité de mesure ayant préalablement été choisie, la mesure de la longueur du segment [AB] est la distance du point A au point B, on la note AB, cette distance s appelle aussi la norme du vecteur AB, on la note AB et on a donc AB = AB 14.6 Addition de deux vecteurs Soient les vecteurs AB et BC. Ceux-ci sont respectivement associés aux translations t AB et t BC. Définition 14.7 La somme des vecteurs AB et BC est le vecteur associé à la composée tbc t AB de ces deux translations, c est-à-dire le vecteur de la translation t AC. Par définition, nous avons donc AB + BC = AC Cette égalité définissant la somme de deux vecteurs est connue sous le nom de relation de CHASLES. Construction Soient deux vecteurs u et v. Pour obtenir graphiquement le représentant de leur somme u + v, trois cas différents se présentent à nous :

110 CHAPITRE 14. LES VECTEURS : RAPPELS 110 Les représentants des vecteurs sont consécutifs Deux représentants de vecteurs sont dits consécutifs si l extrémité de l un correspond à l origine de l autre. Dans ce cas un représentant du vecteur somme s obtient très facilement : C v u+v C v A u B A u B Les représentants des vecteurs ont même origine On utilise alors la règle du parallélogramme : C C u+v D v A u B v A u B Les représentants des vecteurs sont quelconques On se ramène à un des deux cas précédents. u v v u+v u v u+v u

111 CHAPITRE 14. LES VECTEURS : RAPPELS 111 Exercice 14.8 Dans chacun des cas, construisez u + v : u B A v C A u B v C C v A u B Exercice 14.9 Dans chacun des cas suivants, construire le point X tel que OX = u + v + w O u O u v w v w w u O u v v O w 14.7 Soustraction de deux vecteurs La soustraction de deux vecteurs est un cas particulier de l addition de vecteurs. On a u, v V : u v = u + ( v ).

112 CHAPITRE 14. LES VECTEURS : RAPPELS Multiplication d un vecteur par un réel Définition Si r 0 et v o, le vecteur r. v possède les caractéristiques suivantes : la même direction que celle de v, une norme égale à r fois celle de v : r. v = r. v, le même sens que v si r > 0 et le sens opposé à celui de v si r < 0. Si r = 0, le vecteur r. v est le vecteur nul : 0. v = 0. Si v = 0, le vecteur r. v est le vecteur nul : r. 0 = 0. Le produit d un vecteur par un nombre réel est un vecteur Vocabulaire a, b, c, d, sont des nombres réels a. u est une combinaison linéaire du vecteur u. a. u + b. v est une combinaison linéaire des vecteurs u et v. a. u + b. v + c. w est une combinaison linéaire des vecteurs u, v et w. a. u + b. v + c. w + d. x est une combinaison linéaire des vecteurs u, v, w et x.... Définition (Colinéarité) Deux vecteurs u et v sont colinéaires s il existe un réel r, tel que u = r. v ou v = r. u. Figure 14.1: Vecteurs colinéaires et vecteurs non colinéaires On a Vecteurs parallèles Vecteurs multiples l un de l autre Vecteurs colinéaires Propriété 14.1 (Alignement) Trois points distincts A, B et C sont alignés si et seulement s il existe un réel non nul r tel que AC = r. AB.

113 CHAPITRE 14. LES VECTEURS : RAPPELS 113 A B C Propriété (Parallélisme) Les droites AB et CD sont parallèles si et seulement s il existe un réel non nul r tel que CD = r. AB. A B C D Propriété (Milieu d un segment) On a M est milieu de [AB] AM = MB AM + BM = O AM = 1 AB. Exercice (Théorème du milieu) Soit ABC un triangle quelconque. Soient M et N les milieux des segments [AB] et [BC] respectivement. Démontrer que MN = 1 AC Exercice Soit ABCD un quadrilatère quelconque. Démontrer que le quadrilatère obtenu en reliant les milieux consécutifs des côtés du quadrilatère ABCD est un parallélogramme. Exercice Soit G le point de concours des médianes d un triangle ABC. 1. Montrer que GA + GB + GC = 0. Montrer que MA + MB + MC = 3 MG quelque soit le point M Exercice Comment choisir les vecteurs u et v pour que u + v = u v

114 Chapitre 15 LES VECTEURS : PRODUIT SCALAIRE 15.1 Plan métrique Dans tout ce chapitre, un longueur a été privilégiée. Cette longueur est appelée longueur unitaire ou unité de longueur; bien sûr, cette longueur sera utilisée pour la détermination des distances. Le plan dans lequel une unité de longueur a été fixée est appelé plan métrique. 15. Introduction La figure ci-contre représente une péniche hâlée par un tracteur. La force développée par le tracteur sur le bateau est représentée par le vecteur F. Cette force peut se décomposer en deux forces : F dirigée selon l axe du canal, F dirigée perpendiculairement au déplacement (cette force est sans effet sur le déplacement du bateau). Le travail 1 effectué par le force F sur le bateau est = F AB = ( F. cos α). AB = F. AB. cos α Nous dirons que ce travail est le produit scalaire du vecteur-force F par le vecteur déplacement AB. Nous écrirons = F AB = F. AB. cos α 1 Rappel de physique: dès qu une force déplace le corps auquel elle est appliquée, elle travaille. Le travail d une force F, qui déplace son point d application dans sa direction de l mètres, effectue un travail dont la mesure se calcule par = F l. L unité du travail est le JOULE. 114

115 CHAPITRE 15. LES VECTEURS : PRODUIT SCALAIRE Produit scalaire de deux vecteurs Définition 15.1 (Première définition) Dans le plan métrique, le produit scalaire des vecteurs non nuls OA et OB est le réel OA OB cos ÂOB. De plus, le produit scalaire de deux vecteurs dont l un est le vecteur nul est le nombre zéro. Notation Le produit scalaire des vecteurs OA et OB est noté OA OB et est lu OA scalaire OB. Cas particulier important Les points A et B étant donnés, l ensemble des points P tels que AB AP = 0 est la droite perpendiculaire à AB comprenant le point A. Dans ce cas,les vecteurs AB et AP sont appelés vecteurs orthogonaux. Propriété 15. Deux vecteurs orthogonaux sont deux vecteurs dont le produit scalaire est nul. Carré scalaire d un vecteur Définition 15.3 Le carré scalaire d un vecteur est le produit scalaire de ce vecteur par lui-même. Il se note AB. Propriété 15.4 La norme d un vecteur est la racine carrée de son carré scalaire. Démonstration. On a AB = AB AB = AB. AB. cos BAB = AB. cos O = AB Propriété 15.5 Le produit scalaire est commutatif. Démonstration. Nous constatons que OA. OB. cos ÂOB = OB. OA. cos BOA En effet, ÂOB et BOA ont le même cosinus et la multiplication des réels. OA OB = OB OA. La distance de A à B est la norme du vecteur AB ; on dit aussi que c est la longueur ou le module du vecteur AB.

116 CHAPITRE 15. LES VECTEURS : PRODUIT SCALAIRE 116 Exercices 1. Que devient le produit scalaire de deux vecteurs lorsque l on remplace l unité de longueur par une unité deux fois plus grande?. Calculer OA OB dans les cas suivants : OA OB ÂOB 1) π ) 4 3 3) 3 5 π 4) 5 8 5) Soient O, A et B trois points alignés. Calculer OA OB en fonction OA et de OB dans chacun des cas suivants : A est entre O et B ; O est entre A et B ; B est entre O et A. Calculer OA OB dans chacun des cas suivants : A = B A est milieu de [OB] B est le milieu de [OA] O est le milieu de [AB] B appartient à la médiatrice de [OA] 4. On donne deux points A et B. (a) Marquer un point C tel que AB AC > 0; un point D tel que AB AD < 0; un point E tel que AB AE = 0; (b) Quel est l ensembles des points M tels que AB AM > 0; (c) Quel est l ensembles des points P tels que AB AP < 0; (d) Quel est l ensembles des points Q tels que AB AQ = 0; Définition 15.6 (Deuxième définition) Le produit scalaire de deux vecteurs AB et CD du plan, noté AB CD, est le réel égal au produit scalaire de l un d eux par la projection orthogonale de l autre sur la droite comprenant le premier. A B O B A

117 CHAPITRE 15. LES VECTEURS : PRODUIT SCALAIRE 117 En effet, dans le cas où l angle 3 entre les deux vecteurs non nuls est aigu (voir figure ci-dessus), on a OA OB = OA OB cos ÂOB }{{} = OB B étant la projection orthogonale du point B sur la droite OA. Ou alors, OA OB = OB OA = OB OA cos BOA }{{} = OA A étant la projection orthogonale du point A sur la droite OB. = OA OB = OA OB, = OB OA = OB OA = OA OB, dans le cas où l angle entre les deux vecteurs non nuls est obtus (voir figure ci-dessous), on a OA OB = OA OB cos ÂOB }{{} = OB B étant la projection orthogonale du point B sur la droite OA. Ou alors, OA OB = OB OA = OB OA cos BOA }{{} = OA A étant la projection orthogonale du point A sur la droite OB. = OA OB = OA OB, = OB OA = OB OA = OA OB, B B O A A Exemple d application de cette définition Le triangle ABC est isocèle et est tel que BC = 6 et AB = AC = 5. Calculer AB BC. Exercices 1. ABC est un triangle équilatéral dont les côtés mesurent 6 (unités de longueur). A étant le milieu du côté [BC], calculer 3 Pour trouver l angle entre deux vecteurs non nuls, il faut choisir deux représentants de même origine de ces vecteurs. L angle recherché est alors le plus petit des deux angles formés par ces deux représentants. Il est donc évident que cet angle est toujours compris entre 0 et 180!

118 CHAPITRE 15. LES VECTEURS : PRODUIT SCALAIRE 118 (a) AB AC (b) AB BC (c) AB CA (d) AB AA.. Calculer le produit scalaire de toute paire de vecteurs dont les représentants ont même origine (l unité de longueur étant celle d un côté du quadrillage): A C O B D E O G I O F H 3. Le plan étant rapporté à un repère orthonormé (O, i, j ), on considère les points dont les coordonnées sont données dans le tableau : x y A 3 0 B 0 C 1 5 D 3 Calculer (a) OA OC (b) OA OD (c) OB OC (d) OD OB (e) AC AD (f) CD AB 4. ABCD est un carré de côté a dont les diagonales se coupent en O. Calculer, en fonction de a : (a) AB AC (b) CD CO (c) AC BD (d) AO BC (e) CA DA (f) BD DB 5. ABC est un triangle équilatéral de côté a. On désigne par A, B, C les milieux des côtés [BC], [AC] et [AB] et par O le centre du cercle circonscrit. Calculer, en fonction de a : (a) AB AC (b) AB AA (c) BA AB (d) B A A B (e) OA OB (f) OA OB

119 CHAPITRE 15. LES VECTEURS : PRODUIT SCALAIRE 119 Quelques propriétés du produit scalaire 1. Le produit scalaire de deux vecteurs est commutatifs (nous le savions déjà!), c est-à-dire u et v : u v = v u.. Le produit scalaire jouit de l associativité mixte, c est-à-dire u, v et k IR : (k u ) v = u (k v ) = k ( u v ). 3. Le produit scalaire se distribue sur l addition des vecteurs, c est-à-dire u, v et w : u ( v + w ) = u v + u w. Définition 15.7 (Troisième (et dernière) définition) Dans un repère orthonormé du plan, le produit scalaire des vecteurs AB = (a, b) et CD = (c, d) est donné par AB CD = ac + bd. B (a,b) A C (c,d) J O I D En effet, le plan étant muni du repère orthonormé (O; i, j ), nous savons que AB = (a, b) AB = a i + b j et CD = (c, d) CD = c i + d j. Calculons le produit scalaire AB CD en fonction des composantes de AB et de CD. On a AB CD = (a i + b j ) (c i + d j ) = ac i + ad ( i j ) + bc ( j i ) + bd j = ac + bd puisque { i = j = 1 i j = j i = 0 vu que le repère (O; i, j ) est orthonormé. Cas particulier connu Nous savons déjà que la norme d un vecteur est tout simplement la racine carrée de son carré scalaire. Dans le cas où le plan est muni d un repère orthonormé, on en déduit aisément que :

120 CHAPITRE 15. LES VECTEURS : PRODUIT SCALAIRE 10 La norme d un vecteur est la racine carrée de la somme des carrés de ses composantes dans une base orthonormée. Ainsi, si dans un repère orthonormé AB a pour composantes (a, b), alors la norme de ce vecteur s obtient facilement par AB = a + b. Exercices Dans chacun des exercices qui suivent, le plan est rapporté à un repère orthonormé. 1. Dans chacun des cas suivants, calculer AB CD : A B C D 1) (0, 0) (, 3) ( 1, ) (0, 0) ) (0, 0) (1, ) (1, ) (4, 3) 3) (1, ) (5, 3) (, 1) (, 4) 4) ( 1, 4) (, 3) (1, ) (, 3) 5) (0, 0) (a, b) (1, ) (3, 4). Soit a = (3, ) dans un repère orthonormé du plan. Donner un vecteur b = (r, s) tel que a b = 0. Quelle est la relation entre r et s. 3. On considère les points A = (1, ), B = (, 1) et C = (3, 4). (a) Démontrer que le triangle ABC est rectangle. (b) Calculer les longueurs de chacun des côtés de ce triangle. 4. Calculer OA, AB, BC et AC dans le cas où A = (, 1), B = (5, 3), C = (5, 5). 5. Recherchez le produit scalaire de chaque paire de vecteurs donnés dans la figure ci-dessous: c e d a b i

121 CHAPITRE 15. LES VECTEURS : PRODUIT SCALAIRE Exercices récapitulatifs 1. Dis si les expressions suivantes représentent un réel ou un vecteur : (a) AB CD + AC BD (c) (AB) (3 CD) (b) AB( AB + BC) (d) AB ( BC + CD). Dans un repère orthonormé du plan, soit AB de composantes ( ; 1), CD EF = (0; 3). = (; 1) et (a) Calcule i. AB ( CD + EF ); ii. ( AB + CD) EF ; iii. ( AB CD) EF. (b) Vrai ou faux? Justifie ta réponse! i. AB ( CD + EF ); ii. ( AB + CD) EF ; iii. (( AB CD) ( EF ); (c) Calcule de deux manières différentes : en n effectuant qu un seul produit scalaire; en utilisant les propriétés du produit scalaire. i. AB (3 CD + EF ); ii. ( AB + CD) ( AB AB 5 CD) ( AB + CD); iii. (3 CD); iv. EF ( CD + 3 AB). 3. Détermine le réel a pour que, dans un repère orthonormé du plan, les vecteurs AB = (a; 5) et CD = ( 4, 3) soient orthogonaux. 4. On donne les points A, B et C du plan, construis le lieu des points P du plan tel que (a) AB CP = 0 (b) AB AP = 3 (c) AP BC = 0 (d) AC AP = 5. À l aide de la définition du produit scalaire utilisant la projection orthogonale, démontre les propriétés suivantes du triangle rectangle, déjà rencontrées antérieurement et démontrées autrement: (a) la longueur de tout côté de l angle droit est moyenne proportionnelle entre la longueur de l hypoténuse et la longueur de la projection orthogonale de ce côté sur l hypoténuse; (b) la longueur de la hauteur relative à l hypoténuse est la moyenne proportionnelle entre les longueurs des segments qu elle détermine sur l hypoténuse.

122 CHAPITRE 15. LES VECTEURS : PRODUIT SCALAIRE 1 6. Soit le triangle isocèle BAC rectangle en A, un point M quelconque de l hypoténuse [BC]. Démontre l égalité : MB + MC = MA. Des conseils : Soit le point O, milieu de [BC]. Caractérise ÂOC. Compare OA, OB et OC. Exprime MB et MC à l aide de vecteurs d origine O. Elève au carré les deux membres des égalités vectorielles que tu viens d écrire. Additionne-les membres à membres. 7. Soit le carré ABCD et un point quelconque M de la diagonale [BD]. Démontre : AB AM = BM DM.