Application des lois de Newton et Lois de Kepler

Transcription

1 sa dérivée donne : Constante k a t + b a t 2 + b t + c une primitive donne : 1. Mouvement dans un champ de pesanteur uniforme 1.1. Champ de pesanteur La pesanteur se faisant ressentir dans tout l espace autour de la Terre, on dit qu il eiste un champ de pesanteur. Ce champ est vectoriel puisqu en chaque point, il a une valeur, une direction et un sens. Définition : Au voisinage de la Terre, le vecteur champ de pesanteur g en un point où se trouve une masse m (en kg) est défini par : g = avec P le poids (en N) de la masse m Caractéristiques de : Direction :. Sens :. Valeur ou intensité de la pesanteur : g = 9,8 N/kg à la surface de la Terre Propriétés : Localement (si les dimensions n ecèdent pas quelques km), le champ de pesanteur est considéré comme.. Le vecteur g a alors le.. en direction, sens et intensité en tout point Chute sans frottement : chute libre Définition : Définition : Analse phsique Le sstème étudié est un objet de masse m et de centre d inertie G. 0 v 0 G 0 Il est lancé au voisinage de la Terre avec une vitesse initiale v 0. Le référentiel d étude est le.. supposé galiléen. Dans le domaine du lancer, le champ de pesanteur est k considéré comme P j O r 0 Forces etérieures appliquées au sstème : i portée On néglige la force de frottement fluide et la poussée d Archimède. On se retrouve dans le cas D après la deuième loi de Newton : α S 1

2 Equation horaires du vecteur accélération : Dans le repère d espace orthonormé (O, i,j, k), la projection de la relation vectorielle a = g donne : G a a a ( t ( t ( t ) = ) = ) = Conditions initiales Dans le repère d espace orthonormé (O, i,j, k ) Conditions initiales : Supposons qu à l instant t = 0, le point matériel G est lancé de G 0 avec une vitesse initiale v faisant un angle α avec l ae O. (0) = Le vecteur position initiale s écrit alors OG (0) = (0) = v 0 = Le vecteur vitesse initiale a pour coordonnées : v v 0 = Equations horaires du vecteur vitesse dv ( t ) = dv ( t ) a G G dv ( t ) donc = dv ( t ) = v et par intégration des équations horaires du vecteur accélération, on obtient : vt v v v 0 = Fig 2 : Vecteur vitesse v On détermine les constantes à l aide des conditions initiales : Equations horaires du vecteur vitesse : Lors d une chute libre avec une vitesse initiale située dans le plan (0) et formant un angle α avec l ae (O), les coordonnées du vecteur vitesse du centre d inertie du solide sont : v v v Le mouvement est. selon l ae O et. selon l ae O. 2

3 Equations horaires du vecteur position : d ( t ) = d OG ( t ) d ( t ) v G donc = d ( t ) = et par intégration des équations horaires du vecteur vitesse, on obtient : (t)= OGt (t)= (t)= On détermine les constantes à l aide des conditions initiales : Equations horaires du vecteur position : Lors d une chute libre avec une vitesse initiale située dans le plan (0) et formant un angle α avec l ae (O), les coordonnées du vecteur position du centre d inertie du solide sont : Remarque : Comme (t) = 0, le mouvement s effectue dans le plan Equation de la trajectoire L équation = f() est celle de la trajectoire du centre d inertie G du sstème. Elle s obtient en éliminant t entre (t) et (t). ( t ) (1) devient t =, que l on reporte dans l epression de (t). On v cos( α ) 0 obtient ainsi l équation de la trajectoire. () = L équation de la trajectoire () = est celle d une parabole dont la concavité est tournée vers le bas. Fig 3 : a) Influence de la vitesse b) Influence de l angle Remarque : Déterminer la flèche c'est calculer l'altitude maimale atteinte par le projectile. 3

4 2. Mouvement d une particule chargée dans un champ électrostatique uniforme 2.1. Champ électrostatique E et force électrique (Voir cours de 1ère S) Un champ électrostatique s obtient entre deu armatures métalliques planes P et N séparées d une distance d, entre lesquelles une tension U PN est appliquée. Caractéristiques du champ électrique E : - Direction : - Sens : - Norme : E en V.m -1 ; U PN en V ; d en m Remarque : Un champ électrostatique E uniforme a même valeur, même direction, même sens en tout point de l espace Une particule chargée de charge électrique q dans un champ électrostatique E subit une force F telle que : F en N ; E en V.m -1 et q en C (Coulomb) 2.2. Analse phsique Une particule chargée de masse m et de charge électrique q pénètre avec une vitesse initiale v dans une région où règne dans un champ électrostatique uniforme E. Sstème étudié : Référentiel : Forces etérieures appliquées au sstème : Eercice : 20 p D après la deuième loi de Newton : Σ F = m. a t F = m. a t q E = m. a t d où a t = q E m 2.3. Equations horaires du vecteur accélération Dans le repère d espace orthonormé (O, i,j, k), la projection de la relation vectorielle a G = q E m a (t) = a (t) = a (t) = donne : 4

5 2.4. Conditions initiales Chapitre 11 Dans le repère d espace orthonormé (O, i,j, k ) Conditions initiales : Supposons qu à l instant t = 0, la particule chargée est lancé de O avec une vitesse initiale v faisant un angle α avec l ae O. (0) = 0 Le vecteur position initiale s écrit alors OG (0) = 0 (0) = 0 v 0 = v 0 cos α Le vecteur vitesse initiale a pour coordonnées : v v 0 = Equations horaires du vecteur vitesse v 0 = v 0 sin α a G dv G ( t ) donc dv dv ( dv ( ( t ) t ) t ) = = = et par intégration des équations horaires du vecteur accélération, on obtient : v v v On détermine les constantes à l aide des conditions initiales : Equations horaires du vecteur vitesse : avec une vitesse initiale située dans le plan (0) et formant un angle α avec l ae (O), les coordonnées du vecteur vitesse du centre d inertie de la particule chargée placée dans un champ électrostatique sont : v v v Le mouvement est uniforme selon l ae O et uniformément varié selon l ae O Equations horaires du mouvement d ( t ) = d OG ( t ) d ( t ) v G donc = d ( t ) = 5

6 et par intégration des équations horaires du vecteur vitesse, on obtient : On détermine les constantes à l aide des conditions initiales : Equations horaires du vecteur position : Avec une vitesse initiale située dans le plan (0) et formant un angle α avec l ae (O), les coordonnées du vecteur position du centre d inertie de la particule chargée placée dans un champ de pesanteur sont : Remarque : Comme (t) = 0, le mouvement s effectue dans le plan Equation de la trajectoire L équation = f() est celle de la trajectoire du centre d inertie G du sstème. Elle s obtient en éliminant t entre (t) et (t). (1) devient t =, que l on reporte dans l epression de (t). On obtient ainsi l équation de la trajectoire. () = La trajectoire est parabolique : - tournée dans le sens du champ E si q > 0 (fig 5) - tournée dans le sens opposé au champ E si q < 0 (fig 6) Eercices : 7 p 172 ; 17 p 174 ; 21 p 176 (corrigé) ; 23 p 177 Fig 5 Fig 6 3. Mouvements des planètes et des satellites 3.1. Loi de la gravitation universelle Deu objets ponctuel A et B, de masses respectives m A et m B, et dont les centres sont séparés d une distance d, eercent l un sur l autre des forces d attraction gravitationnelle, de sens opposés, dirigés selon la droite (AB), de même intensité telle que : F A/B = - F B/A = G. m A m B d². u!" u!" est un vecteur unitaire porté par la droite (AB), orienté de B vers A G est la constante de gravitation universelle : G = 6, m 3.kg -1.s -2 F A/B et F B/A s epriment en Newton (N), m A et m B en kilogramme (kg) et d en mètre (m) 3.2. Eemple d un satellite terrestre en orbite circulaire On considère le mouvement circulaire d un satellite S considéré comme ponctuel de masse m, en orbite autour de la Terre de centre O et de masse M T. Sstème étudié : 6

7 Référentiel : Forces etérieures appliquées au sstème : On considère le repère de Frenet (S, u #, u ) D après la deuième loi de Newton : Σ F = m. a $ t F T/S = m. a $ t d où. avec r = OS Il vient donc : Le vecteur accélération est... Comme vu dans le chapitre 6 : pour un mouvement circulaire dans le repère de Frenet : avec a n = accélération normale et a n = v2 r avec a t = accélération tangentielle et a t par identification, on en déduit que : u n et = dv u t % & = dv u t+ v2 r u n dv (1) v 2 r (2) L égalité (1) implique que la valeur de la vitesse v est.. Ce mouvement circulaire est donc... L égalité (2) donne La valeur de la vitesse v du satellite est indépendante de la masse du satellite, mais dépend du raon r = R T + h de la trajectoire. Définition : La période de révolution T du satellite est la durée mise par le satellite pour effectuer un tour complet sur son orbite. T = ()* + = ()*, G.M T r = 2π, r3 G.M T Conclusion : la période de révolution T d un satellite sur une orbite circulaire autour d un astre attracteur est : T : période de révolution (s) ; r : raon de l orbite circulaire (m) ; M T : masse de l astre attracteur (kg) 7

8 Remarque : cette étude réalisée pour un satellite en orbite circulaire autour de la Terre peut être généralisée à tout satellite ou planète en orbite circulaire autour d un astre de masse M. 4. Lois de Kepler 4.1. Première loi ou loi des orbites... Remarque : A l eception de Mercure, les mouvements des planètes peuvent être considérés comme circulaires. Leurs trajectoires sont quasiment des cercles, c est-à-dire des ellipses dont les foers sont confondus Deuième loi ou loi des aires.. (Sur l eemple : S1 =S2) Troisième loi ou loi des périodes Pour toutes les planètes du sstème solaire, le rapport entre le carré de la période de révolution T et le cube de la demi-longueur du grand ae a de l ellipse est le même. 89:; < = :>?:;@>A:? B :> CèEF: C K G ;@>?E8>E:? (.C IJ Le coefficient k est caractéristique de l astre autour duquel la (les) planète(s) tourne(nt). Cette loi est également applicable au satellites en rotation autour d une planète. Pour un mouvement circulaire, 2 3 = 6 )² 4 5. On trouve alors que k ne dépend que de la masse de la planète autour de laquelle le satellite tourne. Ainsi 7 tous les satellites de la Terre ont le même k., on peut démontrer que k = 8

9 Démonstration : T = 2π, r3 G.M Chapitre 11 on élève cette epression au carré, cela donne : Activité : De très patientes observations astronomiques furent effectuées par Tcho Brahé( ), pour l'essentiel entre 1576 et 1597 dans son observatoire à Uraniborg au Danemark. Johannes Kepler ( ), qui fut le jeune assistant de Tho Brahé put ainsi disposer de toutes les archives accumulées sur le mouvement de la planète Mars, et énoncer au début du 17ème siècle, entre 1609 et 1619, trois lois empiriques qui permettent de décrire les mouvements des planètes dans le ciel. Voici un tableau que Kepler aurait pu faire pour consigner les résultats des observations de Tcho Brahé et de ses calculs. Pour les planètes du sstème solaire : planète a demi grand ae en 10 3 km ou 10 6 m T période de révolution en jour T période de révolution en 10 6 s T 2 /a 3 en jour 2.km -3 T 2 /a 3 en s 2.m -3 Mercure ,97 7, , Vénus ,7 19, , Terre ,26 31, , Mars ,98 59, , Jupiter ,71 373, , Compléter la dernière colonne du tableau page suivante. Conclue. 2, , , , , Eercices : 18 p 175 (corrigé) ; 25 p 178 (corrigé) ; 2005 Centres étrangers Voage autour de Saturne 9