-1- Le théorème qui suit sert à contrôler que deux rapports sont égaux. a = b. c d 28 =. (A SUIVRE!)

Transcription

1 -1- PLHE-TH TH14- alcul des durées Le théorème de THLES est un théorème qui sert à calculer des distances et qui sert à contrôler que des droites sont parallèles. I. Préliminaires Le théorème qui suit sert à contrôler que deux rapports sont égaux. THEOREE (PRODUIT E ROIX) Soit a, b, c et d quatre nombres non nuls. lors l égalité est vraie si et seulement si a b c d a d b c. PPLITIO ET EXEUTIO DES TÂHES 1 : alculer le nombre x tel que x On a immédiatement x 20. ETHODOLOGIE ( SUIVRE!) On multiplie les deux nombres connus sur une diagonale et on divise par le troisième nombre connu. PPLITIO ET EXEUTIO DES TÂHES 2 : alculer le nombre x tel que 42 25,2. 25 x Les deux nombres connus sur une diagonale sont 25 et 25,2. Le troisième nombre connu est alors ,2 On a alors très vite x ISE E GRDE : ette manipulation sera effectuée à chaque fois que vous appliquerez le l théorème de Thalès. Il sera donc très difficile de continuer si vous ne maîtrisez pas complètement le produit en croix.

2 -2- PPLITIO ET EXEUTIO DES TÂHES 3 : alculer les longueurs et EF sachant que : 3,6 9 2,8 EF et ,6 5 9 En suivant à la lettre nos techniques on obtient sans résistance : 2 2, et EF 7. EXERIE DE TRES HUTE PREPRTIO : alculer les longueurs OE et EF telles : OE ,5 1,4 EF En masquant (cachant) successivement le dernier rapport puis le premier on obtient facilement : 4 3,5 10 1,4 12 1,4 EF. 4 OE et 4, 2 II. Le théorème de THLES (Enoncé direct) Soit un triangle ; un point du segment [ ] ; un point du segment [ ]. Si les droites () et () sont parallèles, alors on a :

3 -3- nalysons tout de suite de très près, ce que dit ce théorème. ous avons les égalités : ôtes du triangle (Petit triangle) ôtes du triangle (Grand triangle) Le théorème de Thalès traduit donc une égalité entre les rapports (il y en a 3) ) des côtés de deux triangles. ISE E GRDE (TTETIO!) Les numérateurs (ou les dénominateurs) des trois rapports ne doivent contenir que des côtés d un seul triangle et même triangle.. Par exemple si vous mettez un côté du petit triangle au numérateur, tous les côtés de ce triangle devront impérativement se mettre au numérateur. L erreur malheureusement très fatale la plus courante est le non respect règle. En plus, lorsque vous former vos rapports vous restez dans l alignement l (on reste en ligne!). ETHODOLOGIE ( SUIVRE!) e théorème sert à calculer des longueurs sous trois conditions : un point du segment [ ] (ou les points, et sont alignés dans cet ordre) ; un point du segment [ ] (ou les points, et sont alignés dans cet ordre) ; Les droites () et () sont parallèles. e théorème traduit une égalité entre trois rapports.

4 -4- PPLITIO ET EXEUTIO DES TÂHES 4 : Sur la figure ci-contre contre on donne 35 cm ; 28 cm ; 6 cm et 21 cm. On précise p que () // (). alculer et. Dans le triangle, on a : est un point de [ ] ; est un point de [ ] ; () // () ; D après le théorème de Thalès, on a (attention aux mélanges et on reste en ligne!). En remplaçant par les longueurs connues (il faut penser à reporter vos longueurs sur la figure), on obtient : D après ce qui a été fait en préliminaires (voir 1), on a alors : , 5 cm et 4, 5 cm PPLITIO ET EXEUTIO DES TÂHES 5 : On donne la figure ci-contre contre : Q 5 cm ; QF 10 cm ; E 12 cm et PQ 7,5 cm ; et (PQ PQ) // (EF EF). P Q alculer P et EF. E F On utilise le théorème de Thalès. Dans le triangle EF, nous avons : P est un point de [ E] ; Q est un point de [ F] ; La droite (PQ) est parallèle à (EF).

5 -5- P Q PQ Par Thalès, on a alors avec E 12 cm ; Q 5 cm ; PQ E F EF P 5 7, 5 7,5 cm F Q + QF cm. On a alors EF ,5 15 On a enfin P 4 cm et EF 22, 5 cm RERQUE : Dans certains sujets de P, la place laissée ne permet pas une rédaction complète. Dans ce cas,, on laisse de côté les trois premières lignes de cette correction (autrement dit, on écrit directement les rapports puis on fait le produit en croix). III. La configuration papillon (théorème de Thalès bis) Soit ( ) et ( ) deux droites sécantes en O O Si les droites () et ( ) sont parallèles (figure papillon), alors on a : O O. O' O' ' OTE : Il s agit là aussi i des égalités des rapports entre les côtés de deux triangles. ISE E GRDE : Dans ce théorème les distances sont notées au point de croisement O et on reste en ligne.

6 -6- PPLITIO ET EXEUTIO DES TÂHES 6 : On donne la figure ci-dessous on donne les longueurs : O 6 cm ; OP 8 cm ; OQ 181 cm et Q 12 cm. Sachant que les droites (P) et (Q) sont parallèles, calculer les longueurs P et O. Q O P On règle pat Thalès : Les droites () et (PQ) sont sécantes en O ; Les droites (P) et (Q) sont parallèles. O OQ Q O D après le théorème de Thalès, on a. D où. O OP P 6 8 P Le produit en croix donne alors O 13, 5 cm et P 5, 3 cm (au 8 18 dixième). IV. La réciproque du théorème de Thalès Soit un triangle ; un point du segment [ ] ; un point du segment [ ].

7 -7- Si deux des trois rapports ; et sont égaux, alors les droites () et () sont parallèles. OTE : Dans ce cas, les trois rapports sont alors égaux. ETHODOLOGIE ( SUIVRE!) e théorème réciproque sert exclusivement à montrer que deux droites sont parallèles. Pour cela, il faut écrire et comparer des rapports. Il devient alors important de se souvenir que : a c si et seulement si b d a d b c e résultat déjà est un critère surpuissant pour contrôler l égalité de deux rapports. PPLITIO ET EXEUTIO DES TÂHES 7 : Sur la figure ci-dessous on donne : R 7,5 cm ; E 4,5 cm ; F 2,4 cm et S 4 cm. ontrer que les droites (EF) et(rs) sont parallèles. F E R S On utilise la réciproque du théorème de Thalès. Dans le triangle RS, on a : E est un point du segment [ R] ; F est un point du segment [ S]. On compare les rapports : nous avons

8 -8- E 4,5 R 7,5 et or 4, et 7,5 2,4 18. Donc F 2,4 S 4 4,5 7,5 2,4. 4 On a donc l égalité E F et d après la réciproque du théorème de R S Thalès, les droites (EF) et (RS) sont parallèles. EXERIES FIRE ET REVOYER : EXERIE 1 : Sur la figure ci-contre contre on donne 28 cm ; 22,4 cm ; 4,8 cm et 16,8 cm. On précise p que () // (). alculer et. EXERIE 2 : On donne la figure ci-contre contre : Q 4 cm ; QF 8 cm ; E 9,6 cm et PQ 6 cm ; P Q et (PQ PQ) // (EF EF). alculer P et EF. E F

9 -9- EXERIE 3 : On donne la figure ci-dessous on donne les longueurs : O 15 cm ; OP 20 cm ; OQ 45 cm et Q 30 cm. Sachant que les droites (P) et (Q) sont parallèles, calculer les longueurs P et O. Q O P EXERIE 4 : On se place dans la figure ci-contre. contre. 1 alculer et. 2 alculer le périmètre du triangle. 1,5 m D 6 m 7,2 m 9 m E Réponses : 1,8 m ; 2, 25 m et 5,55 m.