I- DÉRIVATION EN UN POINT. 1) Taux de variation. 2) Nombre dérivé. f est une fonction définie sur un intervalle I, a et a + h sont deux réels de I.

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1 I- DÉRIVATION EN UN POINT 1) Taux de variation Définition : pour toute fonction numérique f définie sur un intervalle I, et a, b deux réels distincts de I, le taux de variation de f entre a et b est le nombre réel m défini par : Remarque : m est le coefficient directeur de la droite passant par les points A et B de coordonnées respectives (a ; f(a)) et (b ; f(b)). Exemple : f est la fonction définie sur [0 ; + [ par :. Le taux de variation de f entre 1 et 0 est : Soient A et B les points de coordonnées respectives (1, 1) et (0, 0). Le coefficient directeur de (AB) est égal à 1. 2) Nombre dérivé a) Définition f est une fonction définie sur un intervalle I, a et a + h sont deux réels de I. Notons T(h) le taux de variation de f entre a et a + h : Définition 1 : soit f une fonction définie sur un intervalle I ; a et a + h deux réels de I. f est dérivable en a, signifie qu il existe un nombre réel L tel que : lim Le nombre L est appelé nombre dérivé en a de f, on le note f (a). 1

2 Remarque : «f (a)» se lit «f prime de a». Exemple : utiliser la définition précédente pour démontrer que la fonction f définie sur par 23 est dérivable en -1. Nous préciserons le nombre dérivé f (1). Comportement du taux de variation ( 0) : lim 2 Ainsi, f est dérivable en -1 et f (-1) = 2. b) Interprétation graphique - tangente Soit C la courbe représentative, dans le plan muni d un repère ;,, d une fonction f et a un réel appartenant à son ensemble de définition Df. Soit un réel h 0 tel que a + h appartienne à Df. Le taux de variation de f entre a et a + h est le coefficient directeur de la droite (AM), avec ; et ;. Si f est dérivable en a, ce coefficient admet pour limite f (a) lorsque h tend vers 0. Graphiquement, le point M se rapproche de A en restant sur la courbe C, et la droite (AM) tend à occuper une position limite. La droite est la tangente à C au point A. Définition 2 : soit f une fonction numérique définie sur un intervalle I. Soit a un réel de I tel que f soit dérivable en a, de nombre dérivé L = f (a). On note C la courbe représentative de f dans un repère orthogonal du plan. La tangente à C au point A(a ; f(a)) est la droite passant par A de coefficient directeur L. Animation «skieur» : 2

3 Exemple 1 : sur le graphique ci-dessous, on a tracé la courbe C représentant la fonction f ainsi que ses tangentes aux points A, B et C. Déterminer graphiquement les nombres dérivés de f en 0, 1 et 3. La tangente en A(0 ; 3) a pour coefficient directeur 0, donc f (0) = 0. La tangente en B(1 ; 0,5) a pour coefficient directeur -5, donc : f (1) = -5. La tangente en C(3 ; 0,5) a pour coefficient directeur 1, donc f (3) = 1. Exemple 2 : activité Euler n 52 (passage de 4 élèves au tableau). Théorème : soit f une fonction numérique dérivable en un réel a de nombre dérivé L = f (a). Soit C sa courbe représentative dans le plan muni d un repère orthogonal. L équation réduite de la tangente à C au point d abscisse a est :. Démonstration : d après la définition précédente, la tangente à C au point a, a pour coefficient directeur f (a), donc a une équation de la forme : avec. De plus, comme, ; ce qui donne. On remplace alors dans la première expression : Exemple : f est la fonction définie sur par :. Soit C sa courbe représentative dans le plan muni d un repère orthogonal ;,. On cherche l équation réduite de la tangente à C au point A d abscisse ² lim 6 6 Ainsi, f est dérivable en -3 et f (-3) = -6. On en déduit que l équation réduite de la tangente à C au point A est :

4 II- DÉRIVATION SUR UN INTERVALLE FONCTION DÉRIVÉE 1) Définition On établit dans cette partie des méthodes de calcul qui permettront de ne pas avoir à utiliser la définition 1 précédente pour chaque calcul d un nombre dérivé d une fonction f en a. On va voir comment, si une fonction est dérivable pour toutes les valeurs d un intervalle, on peut établir une formule de calcul pour tous les nombres dérivés de cette fonction sur cet intervalle. Exemple : soit la fonction f définie sur par f(x) = x² et dérivable sur. Etudions la dérivabilité de f en a, sans donner de valeur numérique à a. ² 2 lim 2 On en déduit que la fonction f est dérivable pour tout réel a et que le nombre dérivé de f en a est f (a) = 2a. On peut donc facilement déterminer le nombre dérivé d un réel quelconque, sans avoir a effectuer le développement de f(a + h) : f (2) = 4 ; f (-3) = -6 ; f ( 5) = 2 5 Définition : soit f une fonction définie un intervalle I. f est dite dérivable si et seulement si, pour tout a I, f admet un nombre dérivé en a. La fonction définie sur I qui, à tout réel a de I, associe le nombre dérivé de f en a est appelée fonction dérivée de f. Cette fonction est notée f. Exemple : la fonction f : x x² est dérivable sur et f : x 2x. 2) Fonctions dérivées des fonctions usuelles A partir de la définition et par le même type de calcul que celui fait dans l exemple du paragraphe précédent, on démontre les résultats suivants que l on admettra ici. 4

5 Fonction f définie sur : Par : Dérivable sur : Fonction dérivée f définie par :,0 0,,0 0, (n entier strictement positif),0 0, ² n entier,0 0, strictement positif 0, 0, 3) Opérations sur les fonctions dérivables a) Résultats Soit u et v deux fonctions définies et dérivables sur un même intervalle I. On admettra les résultats suivants : Opération Fonction définie sur : Par : Dérivable sur : Fonction dérivée définie par : Addition I I Multiplication par un réel I avec I Multiplication I I Carré I ² I Division Inverse Fonction composée I 0 I 0 I é I 0 I 0 I é ² ² 5

6 b) Exemples Applications : activités Euler n 30 ; 31 ; 33 ; 1481 ; 1483 ; 1485 ; 1487 ; 1489 ; 1491 ; 1516 ; exercices par activité (24 exercices à faire en classe ou à la maison). III- NOTATION DIFFÉRENTIELLE En physique, on utilise souvent une autre notation pour la dérivée : la fonction dérivable f de la variable x est considérée comme une grandeur f qui varie lorsque la grandeur x varie. Le taux de variation de f par rapport à x est alors noté. La limite de ce taux, quand tend vers 0, x restant proche de a, est le nombre dérivée de f en a et noté (a). La fonction dérivée de la fonction f par rapport à la grandeur x est alors noté. Cette notation est appelée notation différentielle ou notation de Leibniz (mathématicien, ). 6

7 Exemples : En électricité : dans un circuit électrique, un condensateur, de capacité C, soumis à une tension u(t), est parcouru par un courant i(t), et on a la relation : En mécanique : la vitesse instantanée v est la dérivée par rapport au temps de la fonction qui, à l instant t, associe la distance parcourue x(t). On note v =. La vitesse à l instant t 0 s écrit v(t 0 ) = (t 0). De même, l accélération est la dérivée de la fonction vitesse v : =. IV- APPROXIMATION D UNE FONCTION PAR UNE FONCTION AFFINE 1) Approximation affine de la fonction h (1 + h)² au voisinage de 0 Soit f la fonction définie sur par f(h) = (1 + h)². On a (1 + h)² = 1 + 2h + h² Si est proche de 0 alors h² est négligeable par rapport à 2h. y = (1 + h)² Aussi pour des valeurs de h proche de 0, 1 + 2h est une approximation de (1 + h)². L erreur commise est égale à h². y = 1 + 2h Si 10 alors l erreur commise est inférieure à , ,01 1,001² 1,002 h Pour h proche de 0, la droite d équation y = 1 + 2h est une «bonne» approximation de la courbe représentative de la fonction (1 + h)², on a donc : (1 + h)² 1 + 2h 7

8 2) Approximation affine de la fonction h (1 + h) 3 au voisinage de 0 Soit f la fonction définie sur par f(h) = (1 + h) 3. On a (1 + h) 3 = 1 + 3h + 3h 2 + h 3. Si est proche de 0 alors 3h 2 et h 3 sont négligeables par rapport à 3h. Aussi pour des valeurs de h proche de 0, 1 + 3h est une approximation de (1 + h) 3. L erreur commise est égale à 3h²+ h 3. 3) Approximation affine de la fonction h 1 / 1 + h au voisinage de 0 4) Approximation affine de la fonction h au voisinage de 0 Applications : TP livre p. 95 8