FONCTIONS D UNE VARIABLE REELLE :DERIVATION I. DERIVEE EN UN POINT. 1. Définition. 2. Interprétations
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- Marc-Antoine Lussier
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1 FONCTIONS D UNE VARIABLE REELLE :DERIVATION I DERIVEE EN UN POINT Déinition Soit une onction déinie au voisinage d un réel ( c est à dire que D contient un intervalle du type ] α; α[ + ( + ( On dit que est dérivable en si lim (cela sous entend que cette limite doit être inie eiste dans ( + ( On appelle alors cette limite nombre dérivé en ou dérivée de en et on la note ( = lim Remarque : en écrivant = +, on peut aussi écrire Interprétations ( = lim ( ( Droite y = m+ p Rappel sur les droites : soit D une droite non parallèle à (Oy d équation y = m+ p Le réel m est la pente de D α unité Pente m de la droite Le réel p est l ordonnée à l origine Si D est une droite de pente m, alors m = tgα où α = (, i u, u étant un vecteur directeur de D Si D est une droite de pente m, alors v(; m est un vecteur directeur de D p α i Ordonnée à l origine
2 Interprétation géométrique de la dérivabilité en un point Soit une onction dérivable en, soit M ( ; ( un point de la courbe de yn ym ( ( Soit N( ; ( La pente de la droite ( M N est égale à = = «Lorsqu on ait glisser le point N»sur la courbe, la droite ( M N tend vers une droite ( M T appelée tangente à la ( ( courbe en M dont la pente est égale lim = ( A retenir : la pente de la tangente à C au point M ( ; ( a pour pente ( Et donc si ( = alors la courbe admet une tangente orizontale en M ( ; ( N M Remarque : ---dérivée et angles : si l on note α = (, i ( ( MN, on a tgα = donc, lorsque N tend M, α tend vers β tel que ( ( tg β = lim = ( ce qui montre aussi que la pente de la tangente ( M T est ( ( = y= y + y N Tangente en M β T Conséquence : une équation de cette tangente est y ( = ( ( y M α Cas de non dérivabilité en un point Tangente verticale : Soit une onction déinie au voisinage d un réel, si ( ( lim =, alors la courbe de admet en M ( ; ( une tangente verticale Eemple I : Pour : en = ; Donc la courbe de admet en ( ( lim = lim = lim = M (; une tangente verticale lim = + ( ( = + ou si Dérivée à droite et dérivée à gauce Demi-tangentes Pour un réel, il peut eister une dérivée à droite ( d ( = lim '( et une dérivée à gauce + d ( = lim '( + qui sont diérentes Dans ce cas, la onction n est pas dérivable en y La courbe admet en deu demi-tangentes λ ( = λe si Eemple I : Soit λ > et la onction déinie par λ ( = λe si < - - O Pour =, d ( = lim '( = lim ( λ e λ = λ
3 et ( = lim '( = lim( λ e λ = λ g Courbe ci-contre tracée pour λ =, n est pas dérivable en =, la courbe admet en = deu demi-tangentes 4 Tau de variation Considérons une quantité y qui dépend d une autre quantité, y est donc onction de, ce que nous écrivons y = ( Si varie de entre et = +, la variation de y qui en résulte vaut ( ( = ( + ( = y y Le quotient = ( + (, =, + ( + ( y Si tend vers, ce quotient tend vers lim = lim ( = ( si est dérivable en Cette limite est appelée tau de variation instantané en On note aussi est appelé tau moyen de variation de y par rapport à sur [ ] [ ] y dy lim ( = d Un tau de variation instantané peut donc être considéré comme la pente d une tangente à une courbe Ceci est utilisé dans diérentes disciplines pour déterminer des approimations de tau de variation instantané (calcul de vitesse instantanée, de puissance, tau de réaction en cimie, coût marginal en économie 5 Approimations Situation- problème : supposons que pour des durées t, t,, t n, des mesures m, m,, mn ont été obtenues Il eiste une onction m= ( t pour laquelle on ne connaît que n points ( t ; ( t = m pour i n i i i Cas général :Les valeurs prises par une onction n étant connues que pour un ensemble discret de points ( a i i n, comment trouver une valeur approcée de la dérivée en un point? ( ( En première approimation, on peut utiliser ( + pour petit (appro ( + ( Une meilleure approimation est donnée par ( pour petit (appro Cette approimation peut être obtenue soit par le calcul, soit par un grapique = ---par le calcul : on écrit (appro ( ( pour (- petit : ( ( ( soit ( ( + ( En ajoutant avec (, on obtient l appro M M M --- par le grapique : cela revient à considérer que la pente de C au point M est très peu diérente de la pente de la droite ( MM où M(, ( et M( +, ( + +
4 Eemple I : avec le tableau ci-contre, on trouve t I(t 8, 7,5 5,4 I(99 I(99 I(989 I(99 Avec appro : I (99, ( avec = ou I (99,6 ( avec = I(99 I(989 Avec appro : I (99 5 ( avec = cela revient à aire la moyenne des deu (appro trouvées précédemment Remarque : on pourrait aussi trouver une valeur approcée de I (989,5 Avec appro I(99 I(989 I (989,5,6 ( avec =,5 II FONCTIONS DERIVEES DERIVEE DE FONCTIONS COMPOSEES Fonction dérivée Si est dérivable sur un intervalle I, la onction qui, à tout de I, ait correspondre son nombre dérivé, s appelle la onction dérivée de On la note ou d d Dérivée de sommes, produits, quotients Si et g sont dérivables sur I, alors ( + g est dérivable sur I et ( + g ( = ( + g ( Si et g sont dérivables sur I, alors ( g est dérivable sur I et ( g( = ( g( + ( g ( Si et g sont dérivables sur I, et si g ne s annule pas sur I, alors ( g est dérivable sur I et ( g( ( g ( ( ( = g g ( Dérivée de onctions composées Déinition de la composée de deu onctions Etant données deu onctions et g,la onction composée Cela peut se représenter ainsi g est déinie par g ( = ( g ( g g g( (g( Eemple II avec ( = et g( = + 5 g( = ( g( = + 5 et g ( = g( ( = + 5 En général g g Ensemble de déinition de g : g ( = ( g ( est calculable lorsque D et g( D g Dérivation de la composée de deu onctions Si g est dérivable en et si est dérivable en g( alors g est dérivable en et ( g( = '( g( g ( 4
5 Remarque : '( g ( signiie que l on prend la dérivée de et qu on l applique à g ( dy dy du --Avec les notations de Leibniz, cela donne si y = ( u et u = g( alors = d du d Eemples II dérivées de : sin( et k: sin = ( sin -- ( = ( g( avec g( = et ( = sin donc ( = '( g( g ( = cos( g( = cos( -- k( = ( g( avec g( = sin et ( = donc k ( = '( g( g ( = ( g( g'( = sincos n u Conséquences : de la ormule encadrée ci-dessus, on déduit les dérivées de uu,, e, Lnuoù u désigne une onction d( u ( = u (, pour plus de commodité on notera d u u de ( u dlnu ( = e u ( ; = u ( d d u Sens de variation et courbe de 4 Dérivée et sens de variation g : c eercices Soit I un intervalle de R Si : I, ( > alors est strictement croissante sur I Si : < sur I, alors est strictement décroissante sur I Si : = sur I, alors est constante sur I 5 Dérivée seconde et dérivées d ordre supérieur ou d y d( u = u ( ; d u n du ( n = nu u ( ; d On note la dérivée seconde d une onction d ( peut s interpréter comme la pente de la tangente à la courbe d équation y = ( au point ( (, '( La dérivée de se note La dérivée d ordre n de se note ( (se lit «dérivée d ordre de» ( n ( n Eemple II : vériier que pour n 4 : cos ( = cos( + n π et En ait ces égalités sont vraies pour tout entier naturel n si = + n π ( n n ( sin( 6 Concavité Conveité Point d inleion 6 Concavité-conveité : Le signe de la dérivée seconde inorme sur la concavité-conveité de la courbe --si >, est strictement croissante donc les pentes des tangentes vont en augmentant, C est dite convee (comme l eponentielle --si <, est strictement décroissante donc les pentes des tangentes vont en diminuant, C est dite concave 5
6 O O >, les pentes des tangentes vont en augmentant, C est convee (la courbe est au dessus des tangentes Eemple: la onction eponentielle <, les pentes des tangentes vont en diminuant, C est concave (la courbe est en dessous des tangentes eemple : la onction Logaritme 6Point d inleion Lorsque cange de signe (en étant continue, le point (, ( tel que ( = s appelle un point d inleion En ce point, «la courbe traverse la tangente» Eemple: Sur la courbe ci-contre, les pentes des tangentes décroissent jusqu au point d abscisse b, puis ré augmentent ensuite est strictement décroissante sur [ ab, et est strictement croissante sur [ bc, ] admet un minimum en b, celui ci vaut '( b pente de la tangente à la courbe de au point de coordonnées (b,(b ] a b c III DERIVATION IMPLICITE Certaines onctions ne sont pas déinies de manière eplicite comme : sin, mais de manière implicite par une relation comme + y = 5 Cette relation permet en ait, de déinir deu onctions Si une onction est déinie de manière implicite par la relation y = ( = 5 et y = g( = 5 + y = 6y, cela veut dire que vériie + ( = 6 ( Si, alors, on veut avoir la valeur de la dérivée de en un point, il n est pas nécessaire d epliciter y en onction de (et parois ce serait très diicileil suit de dériver de manière implicite la relation Eemple III : si l on veut avoir la pente de la tangente au cercle d équation + y = 5 en un point, on dérive les deu membres de l égalité + y = 5 par rapport à d d dy Cela donne ( + y = (5 soit + y = d où d d d Donc par eemple au point (,4, la pente de la tangente au cercle vaut = -,75 et la tangente a pour équation 4 dy d = y y 4 =,75( 6
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