Chapitre Les fonctions linéaires et affines Cours

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1 1 Introduction Propriété : Chapitre Les fonctions linéaires et affines Cours Dans un repère, l'ensemble d des points M(x;y) tels que y = ax+b ou x=c est une droite. Réciproque : Dans un repère, toute droite d a une équation soit de la forme y = ax + b, soit de la forme x =c 2 Les fonctions affines Définition Une fonction affine est définie sur R par f(x) = ax + b, où a et b sont deux nombres réels Si b = 0, la fonction f définie par f(x) = ax est appelée fonction linéaire. Si a = 0, la fonction f définie par f(x) = b est une fonction constante. Propriété : Une fonction linéaire est représentée par une droite passant par l'origine. Une fonction constante est représentée par une droite parallèle à l'axe des abscisses. Vocabulaire : a est le coefficient directeur de la droite. b est l'ordonnée à l'origine de la droite. Exemples 2 : Pour chaque fonction affine, donner le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine. f 1 (x)=2 f 2 (x)=3x f 3 (x)=3x 2 f 4 ( x)= 3x 2 3 Proportionnalité des accroissements Δ y= y 2 y 1 =f (x 2 ) f ( x 1 ) Δ x=x 2 x 1 Chapitre - Les fonctions linéaires et affines 1-8

2 Propriété Si une fonction f est affine, alors, pour tous nombres réels x ₁ et x ₂ distincts, Δ y f (x ₂) f (x ₁) = Δ x x ₂ x ₁ Remarque : Δ y f (x ₂) f (x ₁) = =a donc Δ y=a Δ x Δ x x ₂ x ₁ est constant. On a alors f (x₂) f (x ₁) a= x ₂ x ₁ Démonstration Soit f une fonction affine définie par f(x) = ax + b f (x ₂) f (x ₁) x₂ x ₁ = ax 2+b (ax 1 +b) x ₂ x₁ Nous avons donc f (x ₂) f (x ₁) x₂ x ₁ = ax 2+b ax 1 b x₂ x ₁ = a(x 2 x 1 ) x ₂ x ₁ =a qui est constant et égal à a. Exemples 3 : Si une fonction affine f est telle que f(3)=5 et f(2)=7, alors f (3) f (2) a= = = 3 2 Si une fonction affine f est telle que f(-3)=5 et f(2)=-7, alors f (2) f ( 3) a= = = 2 ( 3) 4 Représenter une fonction affine 4.1 Avec deux points Représenter la fonction h( x)= 2x+3. 1) On détermine les coordonnées d'un premier point : Exemple, si x = 0 alors h(0) = 3, d'où le point A(0;3) 2) On détermine les coordonnées d'un deuxième point : Exemple, x = 3 alors h(3)= 2 3+3= 3, d'où le point B(3;-3). 3) Tracer la droite passant par les deux points. Remarque : plus les points sont éloignés plus le tracé est précis. Chapitre - Les fonctions linéaires et affines 2-8

3 4.2 Avec un point et le coefficient directeur Représenter la fonction g( x)= 2 3 x 3. 1) On détermine les coordonnées d'un premier point : Exemple, si x = 0 alors g(0) = -3, d'où le point A(0;-3) 2) On détermine le coefficient directeur a= f (x 2) f (x 1 ) x 2 x 1 pour trouver un deuxième point. On pose a= f (x ) f (x ) 2 1 = Δ Y avec x 2 x 1 Δ x Δ x=x 2 x 1 est le déplacement horizontal, Δ y=f (x 2 ) f (x 1 ) est le déplacement vertical. Exemple 4.2 : si on se fixe un déplacement horizontal de Δ x=3 et sachant que a= Δ y Δ x est : Δ y=a Δ x= 2 3=2 d'où le deuxième point 3 B (0+Δ x; 3+Δ y), soit B (0+3; 3+2) et donc B(3;-1) alors le déplacement vertical 2 (déplacement vertical) 3 (déplacement horizontal) Chapitre - Les fonctions linéaires et affines 3-8

4 5 Variations et signes 5.1 Sens de variation d'une fonction affine Théorème Soit f une fonction affine définie sur R par f(x) = ax + b Si a > 0, alors f est strictement croissante. Si a < 0, alors f est strictement décroissante. Si a = 0, alors f est constante. Exemples 5.1 : Donner le sens de variation des fonction affines : h( x)= 2x+3 g ( x)= 2 3 x 3 Pour h(x), a = -2 donc a < 0, donc h(x) est strictement décroissante. Pour g(x), a= 2 3 donc a > 0, donc h(x) est strictement croissante. 5.2 Signe de ax + b, a 0 Théorème ax + b est du signe de a pour les valeurs de x supérieures à la valeur x 0 = b a qui annule ax+b. Illustration Exemples 5.2 : 1) Établir un tableau de signe pour chacune des fonctions h et g définies sur R par : h( x)= 2x+3 g ( x)= 2 3 x 3 Méthode 1 : utiliser la propriété du cours Méthode 2 : résoudre h(x) > 0 et g(x) > 0 2) Faire une représentation graphique à la calculatrice pour vérifier la valeur de x ₀ et le signe de ax+b Chapitre - Les fonctions linéaires et affines 4-8

5 5.3 Résoudre des inéquations du premier degré Exemple 5.3 : Soit h( x)= 2x+3 et g( x)= 2 x 3. Résoudre h(x) > g(x) 3 Se ramener à une inéquation du type ax + b >0 On utilise le signe de ax + b pour résoudre 2x+3> 2 3 x 3 2x 2 3 x+3+3>0 6x 2 x +6> x+6>0 Méthode 1 : on utilise le théorème sur le signe de ax+b pour déterminer le signe de 8 3 x+6. Méthode 2 : on peut résoudre l'inéquation 8 3 x+6>0 5.4 Résoudre un système d'inéquations Exemple 5.4 : soit f 1 (x)= x+2 et f 2 (x)= 1 2 x 2. Résoudre { f 1 (x)<0 f 2 (x) 0 soit { x+2<0 1 2 x 2 0. l'accolade signifie "ET". Il faut donc trouver les solutions communes aux deux inéquations. { x+2<0 1 { 2 x 2 0 Soit x>2 x 4 Pour x>2, S 1 = ]2 ;+ [ Pour x 4, S 2 = ] ;4 ] Donc S =S 1 S 2 = ]2;4 ] Chapitre - Les fonctions linéaires et affines 5-8

6 6 Fonctions linéaires et proportionnalité 6.1 Proportionnalité Propriété : Si f est une fonction linéaire définie sur R par f (x)=ax, alors f (x) est proportionnel à x et a est le coefficient de proportionnalité. Réciproquement, toute relation de proportionnalité peut se traduire par une fonction linéaire. Exemple 6.1 : Soit le tableau suivant ,5 9 Calculer le coefficient de proportionnalité ; Placer les points dans un repère ; Tracer la droite passant les trois points Rechercher l'expression de la fonction affine f Comparer le coefficient directeur et le coefficient de proportionnalité. 6.2 Propriété de linéarité Propriété Soit f une fonction linéaire définie par f(x) = ax. Pour tous nombres réels x ₁, x ₂ et k, Démonstration Conséquence f (x ₁+x ₂)=f (x ₁)+f (x ₂) ; f (kx ₁)=k f (x ₁) f (x ₁+x ₂)=a( x ₁+x ₂)=ax ₁+ax ₂=f (x ₁)+f ( x₂) f (kx ₁)=a(kx₁)=k(ax₁)=k f (x ₁) Dans un tableau de proportionnalité on peut : additionner les nombres de deux colonnes pour former une nouvelle colonne ; multiplier les nombres d'une colonne par un même nombre Illustration x ₁ x ₂ x ₁ + x ₂ k x ₁ f(x ₁) f(x ₁) f(x ₁) + f(x ₁) k f(x ₁) Chapitre - Les fonctions linéaires et affines 6-8

7 Exemple : Soit le tableau suivant ,5 9 10,5 15 Remarques : Addition de colonnes : = 7 et 3 + 7,5 = 10,5 Multiplication d'une colonne : 2x5 = 10 et 2x7,5 = Pourcentages Exemples 6.3 1) Un produit est vendu au prix hors taxe de P HT =50. Le taux de TVA est T TVA =20%. a) On demande de calculer le montant de TVA à payer pour ce produit. b) Donner l'expression de la fonction linaire associée au calcul de la TVA. 2) Dans un magasin, le prix des chemises augmente de 3 %. a) Calculer le pris d'une chemise dont le prix initial est de 20. b) Donner l'expression de la fonction associée au calcul du prix d'une chemise. 3) Un article à un prix initial de 30 est proposé avec une remise de 5 %. a) Cet article sera-t-il vendu au prix de 28,50? b) Donner la fonction linéaire associée au prix d 'un article avec une remise de 5 %. Chapitre - Les fonctions linéaires et affines 7-8

8 7 Utiliser le signe de ax+b pour résoudre des inéquations 7.1 Signe d'un produit Théorème Le produit de deux nombres non nuls est strictement positif si, seulement si, ces deux nombres sont de même signe, sinon il est strictement négatif. Exemple7.1: f (x)=(2 x+1)( x+2) - On étudie le signe de chaque facteur ; - Dans un tableau on place le signe de chaque facteur ; - On utilise le signe d'un produit pour compléter la dernière ligne. 7.2 Signe d'un quotient Théorème Le quotient de deux nombres non nuls est strictement positif si, seulement si, ces deux nombres sont de même signe, sinon il est strictement négatif. Exemple 7.2 : f (x)= 2x+1 x+2 - On étudie le signe du numérateur puis le signe du dénominateur ; - On regroupe les informations dans un tableau ; - On utilise le signe d'un quotient pour compléter la dernière ligne. - Remarque : les valeurs qui annulent le dénominateur sont interdites. 7.3 Résolution d'inéquations Méthode générale : - On place tous les termes dans un seul membre ; - On réduit au même dénominateur si nécessaire; - On factorise; - On complète le tableau de signe avec le signe de chaque facteur ; - On complète la dernière ligne du tableau ; - On conclut avec l'ensemble solution. Exemple 7.3 a) : Résoudre dans R Exemple 7.3 b) : On veut résoudre 1 x > 1 x +1 1) Déterminer les valeurs interdites. 2) Résoudre l'inéquation. x(x 1)>2(x 1)(x+1) Chapitre - Les fonctions linéaires et affines 8-8