Université de Nice Sophia-Antipolis Licence L3 Mathématiques Année 2008/2009. Analyse Numérique. Corrigé du TD 7. EXERCICE 1 Normes vectorielles

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1 Analyse Numérique Corrigé du TD 7 EXERCICE Normes vectorielles Définitions Soit un entier n > 0 a Montrer que les applications suivantes définies sur R n sont des normes sur R n, x x x i, x x x i, x x,,n x i i x x x i est une norme sur R n Positivité Pour x t x,, x n R n, on a x i 0 i {,, n}, donc x 0 Soit x t x,, x n R n tel que x 0 Alors i {,, n}, x i 0, ie i {,, n}, x i 0, qui montre que x 0 Homogénéité Soient x t x,, x n R n et λ R λ x λ x i λ x i λ x Inégalité triangulaire Soient x t x,, x n et y t y,, y n R n Comme x i + y i x i + y i, i {,, n}, on obtient en sommant sur les i x + y x + y

2 ii x x x i est une norme sur R n Positivité Soit x t x,, x n R n x i 0 i {,, n}, donc x 0 Si x t x,, x n R n est tel que x 0, alors i {,, n}, x i 0, ie i {,, n}, x i 0, qui prouve que x 0 Homogénéité Soient x t x,, x n R n et λ R λ x λ x i Inégalité triangulaire On montre deux inégalités auxiliaires Première inégalité λ Pour tous a, b R on a ab a + b car a b 0 x i λ x Deuxième inégalité Soient x t x,, x n et y t y,, y n R n Si x 0 et y 0 alors on a la chaîne d inégalités suivante par application directe de la première inégalité donc on a xi y i [ xi yi ] + x y x y [ n x i n x + y i ] y [ x ] x + y y, x i y i x y L inégalité est encore vraie pour x 0 ou y 0 Elle est dite inégalité de Cauchy-Schwarz ou encore de Bunyakovski-Cauchy-Schwarz ou bien encore de Hölder Soient x t x,, x n et y t y,, y n R n

3 Par application de l inégalité de Cauchy-Schwarz on obtient x i + y i x i + y i + x i y i x + y + x y x + y En prenant la racine carrée de l inégalité ci-dessus on a L inégalité 3 est dite de Minkowski x + y x + y 3 iii x x x i est une norme sur R n,,n Positivité Pour x t x,, x n R n, on a x i 0 i {,, n}, donc x Soit x t x,, x n R n tel que x 0 Alors,,n x i 0,,n x i 0, puis i {,, n}, x i 0, ie i {,, n}, x i 0, qui prouve que x 0 Homogénéité Soient x t x,, x n R n et λ R la chaîne d implications suivante λ x i λ x i i {,, n} λ x i λ x i λ x λ x,,n,,n Inégalité triangulaire Soient x t x,, x n et y t y,, y n R n les implications suivantes x i + y i x i + y i i {,, n} x i + y i x i + y i,,n,,n,,n x + y x + y Remarque Dans ce qui précède, on n a jamais prouvé l égalité 0 0, parce que non seulement c est une évidence mais aussi elle est contenue dans la propriété d homogénéité, dans laquelle il suffit de faire λ 0 pour obtenir le résultat b Montrer que, pour p < +, l application suivante définie sur R n est une norme sur R n, x x p x i p p 3

4 x x p x i p p est une norme sur R n Le cas p étant évident et traité dans la question précédente, on s intéresse aux cas < p < + Positivité Soit x t x,, x n R n x i p 0 i {,, n}, donc x p 0 Si x t x,, x n R n est tel que x p 0, alors i {,, n}, x i p 0, ie i {,, n}, x i 0, qui prouve que x 0 Homogénéité Soient x t x,, x n R n et λ R λ x p λ x i p p λ p x i p p λ x p Inégalité triangulaire On montre deux inégalités qui serviront dans la suite de cette question Première inégalité Pour tous p > et p > 0 tels que /p + /p et pour tous a, b > 0 on a ab p ap + p bp 4 En effet, en posant α lna p et β lnb p et en utilisant le fait que la fonction exponentielle x e x est convexe, on obtient e α/p+β/p p eα + p eβ 5 En reportant les valeurs de α et β en fonction de a et b dans l inégalité 5, on obtient la relation 4 Deuxième inégalité Soient x t x,, x n et y t y,, y n R n Si x 0 et y 0 alors on a la chaîne d inégalités suivante par application de la relation 4 : 4

5 donc on a xi y i [ xi p + yi p ] x p y p p x p p y p [ n x i p p x p + n y ] i p p p y p p [ x p p p x p + y p ] p p p y p p [ p + ] p, x i y i x p y p 6 L inégalité 6 est encore vraie pour x 0 ou y 0 Elle est dite de Hölder Soient x t x,, x n et y t y,, y n R n x i + y i p x i + y i x i + y i p x i x i + y i p + y i x i + y i p 7 En appliquant l inégalité de Hölder 6 à chacun des termes du second membre de l inégalité ci-dessus on a : x i x i + y i p x p x i + y i p p p y i x i + y i p y p x i + y i p p p Si x + y 0, l inégalité 7 devient n x i + y i p x p + y p, n x i + y i p p p 8 De /p /p p p p et /p /p, on déduit de l inégalité ci-dessus la relation x i + y i p p x p + y p, 5

6 ou encore x + y p x p + y p 9 Si x + y 0, l inégalité 9 est encore vraie Elle est dite de Minkowski Équivalence de normes Montrer les relations suivantes sur R n, x x n x, x x n x, x x n x Équivalence de normes et Soient x t x,, x n R n, et i o tel que x i0 x i,,n D où x i0 x i0 + i {,, n}, x i x i0 x i x x i i 0 x i n x i0 x n x x x n x Équivalence de normes et Soient x t x,, x n R n, et i o tel que x i0 x i,,n x i0 x i0 + x i i i 0 i {,, n}, x i x i0 x i0 x i 0 + x i i i 0 x x x i n x i0 n x i x n x n x i0 D où x x n x 6

7 Équivalence de normes et Soit x t x,, x n R n x i x i + i<j n x i x j x i x i x i x i En appliquant l inégalité de Cauchy-Schwarz on obtient x i x i x i x x D où x i x i x i x x n x x i n x i x n x 3 Relation entre la norme p et la norme + Pour x R n, montrer que lim x p + p x Soit p < + Soient x t x,, x n R n, et i o tel que x i0 x i0 p x i0 p + x i p i i 0 i {,, n}, x i p x i0 p x i0 p x i 0 p + x i i i 0 x i,,n p x x p x i p n x i0 p x i p p n x i0 p p x n /p x 7

8 D où x x p n /p x 0 On fait p + dans 0, et on utilise le fait que lim x p + p x lim p + n/p 0, pour obtenir EXERCICE Normes matricielles Soit A une matrice carrée d ordre n > 0, A a ij i,j,,n Pour p +, on note par p la norme matricielle calculée à partir de la norme vectorielle p ie A p Ax p sup Ax p sup Ax p sup x p x p x 0 x p a Montrer que A A j,,n a ij,,,n j a ij Cas de la norme matricielle Soit x t x,, x n R n Ax Ax i a ij x j j x j j j,,n j a ij x j j a ij x j,,n a ij x j a ij x j j a ij Donc on obtient ou encore A sup Ax x A sup x x j,,n a ij j,,n a ij, 8

9 Soit j o tel que R n tel que a ij0 j,,n Alors on obtient Ax 0 Ax 0 i a ij On définit le vecteur x 0 t x 0,, x0 j,, x0 n x 0 j a ij x 0 j j { si j j0, 0 si j j 0 a ij0 x 0 j 0 En regroupant les équations et, on obtient D où le résultat A j,,n a ij a ij0 A Cas de la norme matricielle Soit x t x,, x n R n Donc on a ou encore Soit i o tel que R n tel que Ax A,,n j Ax i,,n,,n a ij x j j,,n j,,n j,,n j,,n j a ij x j j,,n a ij sup Ax sup x x x a ij A,,n j a ij x j x j j,,n a ij x,,n j a ij, a ij 3 a i0 j On définit le vecteur x 0 t x 0,, x0 j,, x0 n j a i0 j x 0 si a i0 j 0, j a i0 j 0 si a i0 j 0 9

10 Si j {,, n}, a ij 0 ie si la matrice A est nulle alors A 0 Sinon on a x 0 et Ax 0,,n j j, a i0 j 0 a i0 jx 0 j,,n,,n j j j, a i0 j 0 a i0 j a i0 j,,n j j, a i0 j 0 a i0 j 4 Comme x 0, x 0 est l un des vecteurs de la boule unité pour la norme l équation 4, on déduit que et, de A Ax 0 Finalement des équations 3 et 5, on a A,,n j,,n j a ij a i0 j 5 b Soit B une matrice réelle et symétrique Montrer que pour x 0 λ min B Bx, x x λ B, où λ min B et λ B sont respectivement les plus petite et grande valeurs propres de B Comme B est une matrice réelle et symétrique, il existe une matrice diagonale D et une matrice orthogonale U telles que B t UDU De plus les valeurs propres de B sont réelles Par suite pour x 0, on a Bx, x t UDUx, x DUx, Ux Dy, y où y Ux Or, d une part ou encore D autre part λ min D y Dy, y λ D y, λ min B y Dy, y λ B y y Ux Ux, Ux x, t UUx x, x x 0

11 Il vient λ min B x Bx, x λ B x, et finalement pour x 0 Bx, x λ min B x λ B En déduire que A ρ t AA, où A est une matrice réelle, ρ est le rayon spectral La matrice t AA est réelle et symétrique car t t AA t A t t A t AA On peut donc faire B t AA dans la question précédente et on trouve λ min t AA t AAx, x x λ t AA, 6 pour x 0 Comme t AAx, x Ax, Ax Ax, on déduit de 6 d une part que λ min t AA et λ t AA sont positives, donc toutes les valeurs propres de la matrice t AA sont positives D où Ax λ t AA λ t AA ρ t AA x En prenant la racine carrée on trouve Ax x ρ t AA Maintenant on prend la borne supérieure sur R n \{0} de l inégalité ci-dessus, Ax sup ρ x R n, x 0 x t AA Par suite A ρ t AA 7 Considérons à présent un vecteur propre x 0 de la matrice t AA associé à la valeur propre la plus grande en module λ t AA λ t AA ρ t AA Ax 0 Ax0, Ax 0 t AAx 0, x 0 λ t AA x 0, x 0 λ t AA x 0, x 0 λ t AA x 0,

12 ce qui implique Ce qui entraîne à son tour Ax 0 λ t AA x 0 Ax 0 λ t AA x 0 Il vient puis Ax sup Ax0 x R n, x 0 x x 0 λ t AA, A λ t AA ρ t AA 8 Des relations 7 et 8, on tire A ρ t AA D où le résultat EXERCICE 3 Une application Soit θ n n 0 une suite définie par θ n+ θ n + βθ n + α n, pour tout n, avec θ n, α n, β R + a Montrer qu il existe une matrice A et un vecteur B n tels que θn θn A + B n pour tout n θ n+ θ n Pour θ n n on peut écrire ou encore θn θ n+ On trouve donc θ n θ n, θ n+ θ n + βθ n + α n, pour tout n, A 0 β 0 β θn θ n 0 et B n α n + 0 α n 3 3

13 Remarque Dans la relation 3 le symbole est compris comme inégalité entre composantes de chaque vecteur correspondant de part et d autre de ce symbole b En déduire que n θ n e n β θ0 + θ + α i e n iβ, pour tout n Le polynôme caratéristique de A est : P λ λ β λ λ β β + λ β β + λ β + β + Les valeurs propres sont donc β + β + et β β +, d où le rayon spectral de la matrice A est ρa β + β + Comme la matrice A est réelle et symétrique, ses valeurs propres sont réelles et sa norme euclidienne n est que la plus grande valeur absolue de ses valeurs propres ie A ρa β + β + On prend maintenant la norme de l inégalité 3, pour obtenir θn 0 θn β + 0 θ n+ Ce que l on peut encore écrire θn+ + θ n ρa On pose Θ n θ n + θ n θ n α n 33 θn + θn + α n 34 pour n Alors on obtient la récurrence suivante Θ n+ ρa Θ n + α n 35 Par récurrence sur n, avec une démonstration analogue à celle du lemme de Gronwall discret, on obtient Θ n les majorations suivantes : ρa n Θ + θ n n n i ρa α i 36 θ n + θ n Θ n, 37 3

14 et ρa β + β + β + β + + β4 4 β + + β + β + β eβ 38 En utilisant les majorations 37 et 38 dans la récurrence 36 et avec Θ on trouve finalement n θ n e n β θ0 + θ + α i e n iβ, pour tout n EXERCICE 4 Conditionnement d une matrice θ + θ 0, Soit A une matrice carrée d ordre n > 0 Pour p +, on note par cond p A le nombre de conditionnement de A calculé avec la norme matricielle p 4 Quelques propriétés du conditionnement Montrer les propriétés suivantes : a cond p A ; I A A I p A A p A p A p cond p A cond p A b cond p αa cond p A, α 0 ; Comme α 0, on trouve cond p αa αa p α A p α α A p A p A p A p cond p A c cond A i λ i A A min i λ i A A, où les nombres λ ia A sont les valeurs propres de A A et A est l adjoint de A ; cond A A A 4

15 La matrice A A est hermitienne, donc diagonalisable et ses valeurs propres sont réelles On obtient une généralisation des résultats de la question b de l exercice dans laquelle on prend A en lieu et place de t A On trouve aussi Par suite λ i A A i A A i ρ A A A A λ i A A λ i A A i λ i AA λ i A A i i i λ i A A min i λ i A A cond A i λ i A A min i λ i A A d si A est symétrique et réelle alors cond A i λ ia, où les nombres min i λ i A λ i A sont les valeurs propres de A ; Lorsque A est symétrique et réelle, ses valeurs propres sont réelles et, A λ i A A λ i t AA λ i AA λ i A, donc λ i A A λ i A pplique la question précédente et on trouve cond A i λ i A min i λ i A t A A e si U est une matrice orthogonale alors cond U et cond AU cond UA cond A U ρ U U ρi, U ρ U U ρ U U ρ U U ρi, puis cond U U U 5

16 Pour le deuxième conditionnement on écrit : AU ρ AU AU ρ U A AU ρ A A A, D où AU AU AU ρ U A U A ρ A U U A ρ A U U A ρ A UU A ρ A A A cond AU AU AU A A cond A Pour calculer le troisième conditionnement on procède comme ci-dessus : UA ρ UA UA ρ A U UA ρ A A A, UA UA UA ρ A U A U ρ U A A U ρ U A A U ρ U AA U ρ AA ρ A A ρ A A A D où cond UA UA UA A A cond A 4 Analyse perturbative Soient x et x + δx les solutions des systèmes linéaires a Montrer que Ax b, A + δax + δx b δx p x + δx p cond p A δa p A p 6

17 Des systèmes linéaires proposés on peut écrire Ax b A + δax + δx Aδx δa x + δx δx A δa x + δx On en déduit puis ou encore δx p A δa x + δx p, δx p A δa p x + δx p A p δa p x + δx p A p A p δa p A p x + δx p, δx p x + δx p cond p A δa p A p 4 b En déduire que si A δa p < alors δx p x p cond p A δa p A p A δa p On part de la première inégalité de la majoration 4, δx p A δa p x + δx p On en déduit δx p A δa p x p + δx p De l inégalité ci-dessus on peut écrire A δa p δx p A δa p x p, qui implique A δa p δx p A p δa p x p cond p A δa p A p x p Comme A δa p <, on peut diviser l inégalité ci-dessus par le nombre non nul A δa p On trouve δx p x p cond p A δa p A p A δa p 7

18 43 Applications Calculer le conditionnement par rapport à la norme suivante T α où α est un paramètre réel α α α 0 α 0 α α α α de la matrice Comme la matrice T α est symétrique et réelle, ses valeurs propres sont réelles, et son nombre de conditionnement est donné par cond T α i λ it α min i λ i T α On commence alors par chercher les valeurs propres de T α Soient q t q 0, q,, q n, q n+ R n+ tel que q 0 q n+ 0 et n l ordre de T α Si t q,, q n est vecteur propre de T α associé à la valeur propre λ alors on a T α q λ q, ou encore q l + λ α q l + q l+ 0, l,, n, avec q 0 q n+ 0 Le polynôme caractéristique associé à la récurrence linéaire 4 est 4 pr r + λ α r +, dont les racines sont λ α λ α 4 r, 43 λ α + λ α 4 r + Ici, le symbole est la racine carrée au sens général c est-à-dire qu il peut conduire à des nombres complexes 8

19 La solution de la récurrence linéaire 4 est alors q l c r l + c + r l + Les conditions q 0 q n+ 0 donnent respectivement 0 c + c + 0 c r n+ +r+ n+ c + c, r+ n+ r n+ La résolution de l équation complexe r n+ + r n+ ou encore z n+ solutions r k ι k π + rk exp, k 0,, n, où ι r+ r n+, donne 44 Cependant le cas k 0 doit être omis car il correspond à r + r et donc q l 0, l,, n, donc au vecteur q 0, supposé être un vecteur propre ι k π En multipliant l équation 44 par exp et substituant les valeurs de r ± fournies par l équation 43, on obtient λ α + λ α ι k π 4 exp Ce qui donne λ α λ α 4 ι k π exp λ α k π k π 4 cos λ α ι sin D où en prenant le carré, on trouve [ ] λ α k π k π k π cos + sin 4 cos 0, ou bien encore 45 [ ] λ α k π cos 0 46 La résolution de l équation 46 d inconnue λ donne k π λ α ± cos 47 On en retient que le signe -, car le signe + engendre le même ensemble des valeurs λ, puisque λ k0 π k 0 α cos α+ cos π+ k 0 π k0 + π α+ cos λ + k 0 +n+ 9

20 Par suite les valeurs propres de T α sont k π λ k α cos, k,, n 48 On fait λ k de 48 dans l équation 43, on trouve k π k π r cos ι sin, k π k π r + cos + ι sin Par conséquent c + ι q k l k l π c + r+ l r l c + ι sin On cherche le coefficient c + pour que q k Pour cela on calcule q k : [ ] q l q k l c + k l π sin k k ι k l π ι k l π [exp exp ] c + ι k c + [ ] ι k l π ι k l π ι exp + exp k c + [ ι k l π ι k l π ] ι exp + exp k k k c + [ ι k l π ι k l π ] ι + exp + + exp k0 k0 k ι k l π ι k l π c + [ exp exp ] ι + + n ι k l π ι k l π exp exp [ ] n c + ι [ ] De la condition q k, on peut prendre c + ι ι 0

21 Conclusion Les valeurs propres de la matrice T α sont k π λ k α cos, k,, n 49 avec les vecteurs propres correspondants q k t q k,, q k l,, q n k où q k k l π l sin, l,, n 40 Les valeurs imale et minimale de valeurs absolues des valeurs propres de T α sont D où i λ i T α n π α cos, min i λ i T α π α cos cond T α i λ it α min i λ i T α n π α cos π α cos