Le cercle trigonométrique I. Degrés et radians

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1 Angles non orientés, compléments Quelques angles non orientés : Trigonométrie Présentation provisoire A D B Figure: Un triangle équilatéral et des angles de et. Pierre Mathonet Département de Mathématique Faculté des Sciences Liège, le mars 5 γ δ Figure: Des angles égau déterminés par une sécante sur des parallèles. β Quelques résultats Une sécante détermine avec deu droites parallèles des angles opposés par le sommet, alternes internes, correspondants et alternes eternes de même amplitude. Des angles à côtés parallèles sont soit égau, soit supplémentaires. Des angles à côtés perpendiculaires sont soit égau, soit supplémentaires. Angles orientés du plan, angles de vecteurs Dans le plan, on a deu sens de rotation : Le sens trigonométrique positif, opposé à celui des aiguilles de la montre; Le sens trigonométrique négatif : celui des aiguilles de la montre. B 45 B A A L angle ÂB vaut 45 degrés. L angle ĈBA vaut 5 degrés (ou -45 degrés). On peut prendre comme convention un angle entre et Dans l espace, il n a pas de sens trigonométrique privilégié, donc pas d angle orienté entre deu demi-droites ou deu vecteurs. Figure: Des angles à côtés parallèles et perpendiculaires 4

2 Le cercle trigonométrique I On se donne un sstème d aes orthonormés du plan, d origine O et d aes (gradués) et ; Le cercle trigonométrique est cercle de raon, centré à l origine O; B O P A B A Degrés et radians Nous avons associé à chaque amplitude (en degrés) un point P sur le cercle trigonométrique. e point peut aussi être repéré par la longueur d arc parcourue (également notée ), entre le point E définissant le repère et le point P; ette longueur d arc est comptée positivement si on suit le sens trigonométrique positif et négativement sinon. E O P() E 5 Tout angle orienté ÂB permet de définir un point P sur le cercle trigonométrique, et vice versa. Attention : les angles sont orientés. On a donc une correspondance (imparfaite) amplitude - point - longueur d arc; Le périmètre du cercle est, et correspond à degrés; Les grandeurs longueur d arc (en radians) et amplitude (en degrés) sont directement proportionnelles. On obtient donc : O 4 Nombres trigonométriques, définitions I Soit l amplitude d un angle eprimée en radians ou en degrés. Par définition, les coordonnées du point P correspondant du cercle trigonométrique sont (cos(), sin()). On a donc cos() P() sin() P() 7 Dans la suite, nous donnerons un angle par un nombre de degrés ou un nombre de radians, sans que cela crée de confusion. 8 Attention, cos() et sin() sont des coordonnées et non des longueurs : ce sont des nombres éventuellement négatifs, compris entre et.

3 Nombres trigonométriques, définitions II On définit la tangente et cotangente de par tg () = sin() cos(), et cotg () = cos() sin(). Bien sûr, ces nombres ne sont définis que si le dénominateur est non nul : tg () est défini pour R \ { + k : k Z}; cotg () est défini pour R \ {k : k Z}. On peut les représenter de manière géométrique. tg () cotg () Premières propriétés I (Relation fondamentale) Pour tout R, on a la relation fondamentale : cos () + sin () =. (-Périodicité) Pour tout R, on a cos( + ) = cos() et sin( + ) = sin(). En général, pour tout k Z, on a De même, on a cos( + k) = cos() et sin( + k) = sin(). 9 tg ( + k) = tg () et cotg ( + k) = cotg (). (Angles opposés) Premières propriétés II Pour tout R, on a cos( ) = cos( ) = cos() et sin( ) = sin( ) = sin(). Une bonne nouvelle : cela se voit es résultats sont dus au smétries de la figure suivantes, qui préservent les longueurs. (Angles supplémentaires) Pour tout R, on a cos( ) = cos() et sin( ) = sin(). + (Angles antisupplémentaires) Pour tout R, on a cos( + ) = cos() et sin( + ) = sin(), et donc tg ( + k) = tg () et cotg ( + k) = cotg (), pour tout k Z. Utilité : Ramener l étude des nombres trigonométriques au angles entre et.

4 Relations dans les triangles rectangles Attention, on parle ici de longueurs, et d angles non orientés, compris entre et 9 degrés (car on a des triangles rectangles). cos() sin() Mais le triangle obtenu en multipliant toutes les dimensions du triangle précédent par un nombre positif a est semblable à celui-ci et a donc les mêmes angles : a a cos() a sin() Les rapports entre les longueurs des côtés sont donc les mêmes que dans le cas précédent. 4 A On a alors les relations suivantes (avec la notation introduite plus haut pour la distance) A AB = cos(), B AB = sin(), B = tg (). A que l on peut retenir par sinus=côté opposé sur hpoténuse (le sinus est si loin); cosinus=côté adjacent sur hpoténuse (le cosinus est collé); tangente =côté opposé sur côté adjacent ; ou encore S.O.H..A.H.T.O.A. ependant, il est préférable de tracer le cercle trigonométrique et d placer un triangle semblable à celui considéré, plutôt que de mémoriser des sigles qui perdent vite leur sens. B Angles complémentaires Les relations dans les triangles rectangles, ainsi que la figure qui suit donnent la relation qui lie sinus et cosinus des angles complémentaires. Valeurs particulières A l aide des identités que nous venons de démontrer, on peut toujours se ramener à un angle compris entre et. ertains angles sont fréquemment utilisés. Voici les valeurs des nombres trigonométriques correspondants. On a le tableau de valeurs suivant. sin() cos() tg() 4 cotg() 5 On a donc pour tout R : cos( ) = sin(), et sin( ) = cos(). Il est utile de les retenir par coeur. ependant, on peut toujours les retrouver en traçant le cercle trigonométrique, comme indiqué ci-après.

5 Les valeurs en et en découlent directement de la définition. Les valeurs du cosinus et du sinus en et se correspondent via la proposition précédente. Elle peuvent être déterminées en utilisant des triangles équilatérau. Enfin pour les valeurs correspondant à l angle 4, on utilise triangle isocèle, et on utilise la relation fondamentale : 4 7 Vu que les hauteurs d un triangle équilatéral sont aussi ses médianes, on obtient directement sin( ) = et par la relation fondamentale cos ( ) = 4 = 4. Puisque cos( ) >, on voit qu il vaut. On peut faire de même pour les valeurs en bien que ce ne soit pas nécessaire. 8 On a en effet et cos( 4 ) = sin( 4 ), cos ( 4 ) + sin ( 4 ) =. Formules d addition Pour tous nombres réels et β, on a cos( + β) = cos() cos(β) sin() sin(β); cos( β) = cos() cos(β) + sin() sin(β); sin( + β) = sin() cos(β) + cos() sin(β); 4 sin( β) = sin() cos(β) cos() sin(β). Formules de duplication omme cas particulier des formules d addition, on obtient les formules de duplication (pour sinus et cosinus) Pour tout R, on a cos() = cos () sin () et sin() = sin() cos(). Il suffit de retenir une formule, car les autres s en déduisent (mais on peut retenir les quatre si on a une bonne mémoire). Pour avoir par eemple la deuième à partir de la première, on remplace β par β; Pour avoir la troisième, on écrit sin( + β) = cos( ( + β)); On retient cosinus d une somme :cos cos -sin sin ; Si on hésite sur le signe, on prend un eemple simple comme = β = 4. En utilisant la relation fondamentale, on obtient en plus ces formules-ci : cos () = + cos() et sin () = cos(). Eemples académiques : calcul de cos(5 ), calcul de cos(5 ), calcul de cos(, 5 ), calcul de sin(, 5 ) 9

6 L arc cosinus Definition Pour tout nombre a [, ], il eiste un unique nombre [, ] tel que cos() = a. e nombre est appelé arccos(a). cos() arccos(a) a Definition L arc sinus Pour tout nombre a [, ], il eiste un unique nombre [, ] tel que sin() = a. e nombre est appelé arcsin(a). sin() a arcsin(a) L arc cosinus a les propriétés suivantes. On a cos(arccos ) =, [, ]; On a arccos(cos ) =, [, ]; La fonction arc sinus a les propriétés suivantes. On a sin(arcsin ) =, [, ]; On a arcsin(sin ) =, [, ]; Definition L arc tangente Pour tout nombre a R, il eiste un unique nombre ], [ tel que tg () = a. e nombre est appelé arctg(a). Equations trigonométriques L équation cos() = a admet les solutions suivantes : Si a / [, ], il n a pas de solution. Si a [, ], on a les solutions : tg () = arccos(a) + k, (k Z), ou = arccos(a) + k, (k Z). arctan(u) L équation sin() = a admet les solutions suivantes : Si a / [, ], il n a pas de solution. Si a [, ], on a les solutions : = arcsin(a) + k, (k Z), ou = arcsin(a) + k, (k Z). u L équation tg () = a admet les solutions suivantes : 4 = arctg(a) + k, (k Z), ou = + arctg(a) + k, (k Z).