Chapitre : Trigonométrie

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1 Chapitre : Trigonométrie Dans tout le chapitre, le plan est muni d un repère orthonormé ;, I. Cercle trigonométrique 1) Repérage sur le cercle trigonométrique Définition : Le cercle trigonométrique C est le cercle de centre O et de rayon 1, et qui est muni d un sens direct : le sens inverse des aiguilles d une montre. Enroulement de la droite numérique : Dans un repère orthonormé ;,, on considère le cercle trigonométrique et une droite (AC) tangente au cercle en A et orientée telle que ; soit un repère de la droite. Si l on «enroule» la droite autour du cercle, on associe à tout point N d abscisse x de la droite orientée un unique point M du cercle. On dit que M est l image de x sur le cercle C. Propriété : Tout point de C est l image d une infinité de réels. Si x est l un d eux, les autres sont les réels x + k où k Ζ. Exemple : Les réels 19 4 et 5 4 ont le même point image sur le cercle C que le nombre réel 4. 4 = 5 4 et ) Le radian = 4 4 Définition : Soit C le cercle trigonométrique. On appelle radian, noté rad, la mesure de l'angle au centre qui intercepte un arc de longueur 1 du cercle. Propriétés : Si M est le point image d un nombre réel x avec 0 x alors = x rad. Exemple : Un angle plat mesure radians, un angle droit mesure radians. Propriété : Les mesures en radians et en degrés des angles sont proportionnelles. En radians En degrés Exemples : a) Donner la mesure en radians d un angle de 16. On note α la mesure en radians de cet angle. b) Donner la mesure en degrés d un angle de rad. On note d le mesure en degrés de cet angle. d =,5

2 II. Cosinus et sinus d un réel 1) Définitions et propriétés Définitions : Soit M l image d un réel x sur le cercle trigonométrique. - Le cosinus du nombre réel x, noté cos x, est l abscisse de M - Le sinus du nombre réel x, noté sin x est l ordonnée de M. Propriétés : Pour tout nombre réel x, on a : 1) 1 cos x 1 ) 1 sin x 1 ) cos x + sin x = 1 4) cos x = cos x + k ( ) où k entier relatif 5) sin x = sin( x + k) où k entier relatif Valeurs remarquables des fonctions sinus et cosinus : x 0 cos x 1 sin x ) Angles associés Définition : Deux angles sont dits associés s'ils admettent des cosinus et des sinus égaux ou opposés. Propriétés : Pour tout nombre réel x, on a : 1) cos( x) = cos x et sin( x) = sin x ) cos( + x)= cos x et sin( + x)= sin x

3 ) cos( x)= cos x et sin( x)= sin x 4) cos + x = sin x et sin + x = cos x 5) cos x = sin x et sin x = cos x Exemple : Calculer la valeur exacte de : a) cos réponse : b) sin! c) cos " a) # $ $%# &#$ # ( b)! )! $*! $*%)! &#$*! # c) "! # 7# cos " $%# &$% &# (

4 ) Equations trigonométriques Propriété : Soit a un nombre réel. L'équation cos x = cos a a pour solutions les nombres réels x = a + k et x = a + k où k est un nombre relatif. Propriété : Soit a un nombre réel. L'équation sin x = sin a a pour solutions les nombres réels x = a + k et x = a + k où k est un nombre relatif. Exemple : 1) Résoudre l équation cos x = cos 6 a) dans l intervalle ]-;/ Les solutions de l'équation cos x = cos 6 dans l intervalle ]-;/ sont 01# b) dans R Les solutions de l'équation cos x = cos 6 dans R sont 6 + k et 6 + k où k est un entier relatif. ) Résoudre dans R l équation sin x = 0,5 sin x = 0,5 donc sin x = sin 6.L'équation a pour solution 6 + k et k = 7 6 un entier relatif. + k où k est

5 III. Mesures d un angle orienté C est le cercle trigonométrique de centre O et ;, est un repère orthonormé direct. 1) Définitions Définition 1: Sur le cercle C, M est le point image d un nombre réel x et N est le point image d un nombre réel y. Les mesures en radians de l angle orienté ( ; ) 4 sont les nombres réels y x + k où k est un entier relatif. On note ( ; )= 4 y x + 5 ou plus simplement ( ; ) 4 = y x Définition : 6 et 7 sont deux vecteurs non nuls tels que : 6 et 7 8 A et B sont les points d intersection des demi-droites [OA) et [OB) avec le cercle trigonométrique C. Les mesures en radians de l angle orienté (6;7 sont les mesures en radians de ( ; 8 ) Définition : Le cosinus et le sinus d un angle orienté sont le cosinus et le sinus d une quelconque de ses mesures. ) Mesure principale Propriété et définition : Parmi toutes les mesures de l angle orienté (6;7, il en existe une et une seule dans l intervalle ]- ; /, on l appelle la mesure principale de l angle orienté (6;7. Exemple : (6;7 est un angle orienté tel que (6;7 = # " ( Quelle est sa mesure principale? # " ) ( ( et ( ]- ; / ) Propriétés des angles orientés Propriétés : 6 et 7 sont deux vecteurs non nuls 6 et 7 sont colinéaires de même sens si et seulement si (6;7=0 6 et 7 sont colinéaires de sens contraires si et seulement si (6;7 = Relation de Chasles : Pour tous vecteurs non nuls 6,7 et ; : (6;7 + (7;; = (6;; Conséquences : Pour tous vecteurs non nuls 6,7 (1) (7;6 # (6;7 () (6;#76;7) () (#6;76;7) (4) (#6;#76;7 Exemple 1: ABC est un triangle équilatéral tel que ( ; 8 ) < = ( Déterminer une mesure de chacun des angles orientés : ( 8; ) 8< et ( ; <8 ) < ( ; 8 ) 8< = # ( ( <8 ; ) < =( <8 ;# ) < = ( ; <8 ) < + = # ) ( ( A B C

6 Exemple :