Trigonométrie. I] Cercle trigonométrique et radians

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1 I] Cercle trigonométrique et radians Dans le plan muni d un repère orthonormé, on appelle cercle trigonométrique le cercle de centre O et de rayon 1 sur lequel on définit un sens de parcours appelé sens trigonométrique et correspondant au sens inverse des aiguilles d une montre. Remarques : Le périmètre du cercle trigonométrique est de 2. On considère la droite graduée tangente au cercle en. Pour un réel repéré sur la droite, on considère le point M que l on obtiendrait sur le cercle trigonométrique par «enroulement» de sur le cercle. On dit que M est l image sur le cercle du réel Exercice 1 : Soit le cercle ci-contre de rayon 1. Après avoir indiqué d une flèche le sens positif, compléter la figure en plaçant les points : O, le centre du cercle A, le point de coordonnées (1 ; 0) M, un point du cercle P, la projection sur l axe des abscisses du point M : cos Q, la projection sur l axe des ordonnées du point M : sin T, le point d intersection entre le droit (OM) et la tangente au cercle passant par A : tan Exercice 2 : Placer sur le cercle trigonométrique les points correspondant à puis les points : Outils de mathématiques Semestre 1 Chapitre 1 Page 1

2 II] Sinus, cosinus et tangente II- / Définitions Soit le point de coordonnées (1 ; 0) dans le repère orthonormé. On considère sur le cercle trigonométrique, le point M image du réel. On dit que mesure exprimée en radians, à près de l arc orienté IM ou de l angle orienté est une II- / Relation fondamentale et propriétés élémentaires Remarque : cette relation découle du théorème de Pythagore Propriétés : Exercice 3 : est un réel tel que Calculer la valeur de Résultat On ne peut pas le déterminer II- / Périodicité Outils de mathématiques Semestre 1 Chapitre 1 Page 2

3 III] Quelques valeurs remarquables IV] Angles orientés Mesures IV- / Définitions Définition 1 : On considère sur le cercle trigonométrique, le point M image du réel On dit que est une mesure en radians de l angle orienté, noté plus simplement Les mesures d un angle en degrés et en radians sont proportionnelles. Le coefficient de proportionnalité est de pour passer des radians aux degrés. pour passer des degrés aux radians et de Définition 2 : deux vecteurs et non nuls déterminent un angle orienté. En considérant un cercle trigonométrique, on définit une mesure en radians de l angle orienté. Remarque : si et sont des réels strictement positifs, les mesures des angles et sont identiques. IV- / Propriétés Soit un angle orienté et une mesure en radians de. L ensemble des mesures de l angle orienté est l ensemble des réels avec. L angle orienté a une et une seule mesure dans l intervalle, cette mesure est appelé mesure principale de l angle. Outils de mathématiques Semestre 1 Chapitre 1 Page 3

4 Remarques : On assimilera souvent un angle orienté à ses mesures. Ainsi, on pourra écrire = ou ou. Pour que deux réels soient des mesures du même angle orienté, il faut et il suffit que soit un multiple entier de (c'est-à-dire avec ). On écrira ou. Exercice 4 : Déterminer les mesures principales des angles dont les mesures sont :. Lorsque la mesure de l angle n est pas dans l intervalle multiple entier de, se ramener à une mesure dans., il faut en faisant apparaître un donc l angle de mesure a pour mesure principale. Avec la même méthode, on obtient ensuite : Exercice 5 : Soit ABCD, un carré de centre O tel que (on dit que ABCD est un carré direct). Déterminer une mesure (en radians) de chacun des angles (aucune justification n est demandée). (voir figure en annexe) Pour tout vecteur non nul, on a : Pour tous vecteurs et non nuls, on a : Pour tous vecteurs non nuls, et, on a : (Relation de Chasles). Soient, deux vecteurs non nuls : sont colinéaires et de même sens sont colinéaires et de sens contraires sont colinéaires c'est-à-dire Outils de mathématiques Semestre 1 Chapitre 1 Page 4

5 Exercice 6 : On considère deux vecteurs tels que Déterminer ; Exercice 7 : 1 ) Soit ABC un triangle Démontrer que 2 ) Soit ABC un triangle équilatéral tel que Montrer qu il n est pas possible d avoir En déduire que Justifier de même que 3 ) Soit ABC un triangle équilatéral tel que Soit A, B et C les milieux respectifs de [BC], [AC], [AB]. Déterminer justifiera). Voir la correction en annexe. (on V] Equations trigonométriques élémentaires V- / Propriétés V- / Application Résoudre : On sait que. Donc si alors D où dans la relation donc Outils de mathématiques Semestre 1 Chapitre 1 Page 5

6 D après les propriétés élémentaires, Outils de mathématiques Semestre 1 Chapitre 1 Page 6

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