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1 235 Chapitre4 Induction 4.1.1Lesloisdel'induction LoideLenz Rappelsdecours donneeparlaloidelenz: magnetiqueetlechampelectrique.unedescriptionphenomenologiqueenest Lecourantinduitdansuncircuitelectriqueesttelqu'ilcreeunchamp Lesphenomenesd'inductionsemanifestentparuncouplageentrelechamp magnetiquequitendas'opposeralacausequiluiadonnenaissance. LoideFaraday Ils'agitdelatraductionmathematiquedelaloideLenz.Soit leuxduchampmagnetique!batraverslasurface(s)delimiteeparuncircuit liforme(c)ferme,lechoixdusensducourantinduitcirculantdanslecircuit =ZZ(S)!B!dS electromotrice(f.e.m.)edanslesenspositifchoisipourlecourant.cettef.e.m. induiteapourexpression: lechapitre10). imposantlesignepositifduux,par(laregledutire-bouchon)(deniedans Toutsepassecommesil'onintercalaitdanslecircuitungenerateurdeforce lavariationduuxprovenant: e= d {dudeplacementoudeladeformationcontinueducircuit; dt; {delavariationduchampmagnetique!b; {descausesprecedentesagissantsimultanement.

2 236 ternateurtransformel'energiemecaniqueenenergieelectrique.soitunespire Exemple:gr^aceacetteformule,onpeutsimplementvoircommentunal- Chapitre4 derotation.pardenition,leuxduchampmagnetiqueautraversdelaspire s'ecrit=!b!s,soitsil'onappellel'angleentrelanormalealaspireetle estplongeedansunchamp!buniformededirectionperpendiculaireal'axe champ!b:=bscos.aundephasagepresqu'ilestpossibledesupprimer enrotationalavitesseangulaire!autourd'undesesdiametres.cettespire RelationdeMaxwell-Faraday aumoyend'uneoriginedestempsconvenablementchoisie,l'anglevaut!t. Enconsequence,laspireenrotationcreeunef.e.m.devaleure=B!Ssin!t. Faraday: Localement,laloideFaradays'exprimeparlarelationdeMaxwelld'introduirelepotentielscalaireVetlepotentielvecteur!Atelsque rot!a LesrelationsprecedentesnedenissentpascompletementleschampsVet!A, Champelectromoteuretforceelectromotriced'induction parlecontourc.uneanalysedetailleedesdierentescontributionsmisesen ferentieldanslequelregneunchampmagnetique!b.soitslasurfacedelimitee ConsideronsuncircuitCferme,sedeplacantaunevitesse~v(C)dansunre- jeulorsdel'apparitionduphenomened'inductionpermetd'ecrire: =I(C) Lepremiertermetraduitlapartieduphenomeneduealavariationtemporelle

3 Induction cequipermetd'ecrire e=i(c)! 237 OnpeutmontrerquepouruncircuitCsedeformantcontin^umentaucoursdu temps,laf.e.m.semetaussisouslaforme Em!dl: m^ememanierelaforceelectromotrice: Danslecasd'uneportion(AB)decircuit(circuitouvert),ondenitdela e= d dt: eab=zb pourl'applicationdelaloidefaraday,ilfauttoujoursreveniracettederniere Cettederniererelationestcellequiestlaplusgenerale.Encasd'ambigute A! Em!dl: expressiondelaforceelectromotriced'induction(voirparexemplel'exercice 4.2.5) Lienavecl'electrocinetique Approximationdesregimesquasi-permanents demaxwells'ecrivent: Pourl'etudedesphenomenesd'inductionelectromagnetique,lesequations div!b=0 exacteetantl'equationdemaxwell-ampere: Seuleladernieredecesequationsconstitueuneapproximation,larelation rot!b'0~ : Plusgeneralement,cesequationssontcellesquidecriventl'approximationdesregimesquasi-permanents(ARQP):onnegligelesphenomenes conservatifmaislesloisdel'electrostatiquesontmodiees(! ondulatoires(voirlechapitre3.2),cequirevientmathematiquementanegli- Ampere. gerlecourantdedeplacement(termeen1=c2)dansl'equationdemaxwell- Danscecadre,lesloisdelamagnetostatiquerestentvraies,~ estaux adesincoherences... re,puisqu'ils'agitd'unesimplicationdesequationsdemaxwellcompletes, placedanscettesituationlorsquel'onfaitdel'electrocinetique. Ilfautcependant^etreprudentdansl'utilisationdel'ARQPquipeutcondui- rot!e6=!0).onse

4 238 Equationelectriqued'uneportiondecircuit Chapitre4 quedanslereferentielduconducteur,s'ecrit: triqueliforme,deresistancerab,danslaquellecirculeuncourantiabetse deplacantalavitesse~v(c)(voirlagure4.1).laloid'ohm,quin'estvalable Consideronsunreferentiel(R)galileenetuneportion(C)d'uncircuitelec- section).enutilisantalorslesformulesnonrelativistesdetransformationdes avec=`=(srab)(`designelalongueurdeconducteurconsidereeetssa champs(cf.exercice3.4.3),ilvient ~ (C)=!E(C); Parconsequent,!E(C)=!E(R)+~v(C)^!B=! ~ (C)=! gradv+! electriquedelaportiondecircuit: Laneutralitelocaleduconducteurpermetd'ecrire~ (R)=~ (C)d'oul'equation UAB=UA UB=RABIAB eab: (R) A ~v(c)b Auto-induction. Fig.4.1-Deplacementd'uneportiondeconducteurdansunreferentielgalileen 4.1.4Autoetmutuelleinduction. geometrieducircuit,telque d'unchampmagnetique!b.ilexisteuncoecientl,nedependantquedela OnconsidereuncircuitliformeparcouruparuncourantI.Ilestal'origine positifets'exprimeenhenry(h). dutire-bouchon).lestappelecoecientd'auto-induction,ilesttoujours oulesignepositifduuxestlieal'orientationducourantiparla(regle propre=li; puissent^etrenegligesleseetsdebord,lechampmagnetiqueengendrea Exemple:sil'onprendlecasd'unsolelodesusammentlongpourque pourexpressionb=0ni,oun=n=lestlenombredespiresparunite coecientd'auto-inductiond'unsolenodeestl=0n2s=l. desuxatraverschacunedesspires,soit=nbs.onendeduitquele delongueur.leuxpropreatraversl'ensembledusolenodeestlasomme

5 Induction Mutuelleinduction. 239 tiques.lecircuitc1estparcouruparuncouranti1etenvoieunux1!2a traversc2.ilexisteuncoecient,designequelconque,nedependantquedes formesetpositionsrelativesdesdeuxcircuitsettelque ConsideronsdeuxcircuitsC1etC2eninteractionvialeurschampsmagne- Mestappelecoecientdemutuelleinductiondel'ensembleC1-C2.Sonsigne estquelconque:ildependdesorientationschoisiespourlescircuitsc1etc2. M=1!2 I1=2!1 I2: Exemple:soientdeuxsolenodesimbriquesdenombresdespires,longueur courantsi1eti2quilestraversentsontprisdesensopposes.ennegligeant etsectionn,lets(=1ou2)ettelsques1<s2etl1>l2.les unenouvellefoisleseetsdebord,lechampmagnetiqueengendrepar1est nulal'exterieurde1etuniformedevaleur0n1i1=0n1i1=l1al'interieur. Leuxengendrepar1sur2apourexpression,etantdonneel'orientation lesignedemn'estpasconnuapriori:silescourantstraversantlesdeux mutuelleam= 0N1N2S1=l1.Remarquonsque,commeonl'avaitprecise, contrairedesdeuxsolenodes,1!2= N2B1S1,cequiconduitpourla 4.1.5Aspectenergetique Energiemagnetiquedecircuitsliformes solenodesavaientetedem^emesens,mauraitetepositif. I1etI2(voirlagure4.2).I1 Soientdeuxcircuits(C1)et(C2)parcourusrespectivementpardescourants L1 M L2I2 circuits: Unbilanenergetiqueconduital'energiemagnetiquedel'ensembledesdeux Fig.4.2-Lespartiesmagnetiquesdescircuits(C1)et(C2) Or,onpeutecrire Em=12L1I21+12L2I2+MI1I2: cequiconduita: 1=L1I1+MI2 Em=12I11+12I22: 2=L2I2+MI1

6 Cetteexpressionsegeneraliseaunsystemedecircuitsliformes: 240 Chapitre4 Densited'energiemagnetique Em=12XiIii: L'energiemagnetiqued'uncircuitquelconquesemetsouslaforme Ondenitalorsladensited'energiemagnetique(voirl'exercice3.4.1)par: Em=12ZZZcircuit~!Ad=ZZZespace!B2 20d: wm=!b2 ellededeuxdistributionsdecourants: Commeenelectrostatique,ondenitl'energiemagnetiqued'interactionmutu- 20: avec Emm1;2=ZZZespace10!B1!B2d: Em(1+2)=Em1+Em2+Emm1;2 Contrairemental'energiemagnetiquedechaquedistributionquiestdesigne positif,cetteenergiemagnetiquemutuelleestdesignequelconque Barremobilesuruncadre Exercices UniversitedeVersailles UnebarremetalliquePQ,demassem,delongueura,peutglissersans Duree45min LaresistancetotaleducircuitestR,elleestindependantedelapositiondela barrepq. frottementlelongdedeuxrailsverticaux. Dansl'espaceoupeutsedeplacerlabarre,regneunchampmagnetique LesrailssontreliesaungenerateurdeforceelectromotriceconstanteU0. t=0,elleestlibereeavecunevitesseinitialenulle. uniformeetconstant:!b=b~ey. Jusqu'al'instantinitialt=0,labarreestmaintenueimmobile.Al'instant

7 Induction 241!B U 0+ R P m~g Q yoz x Fig.4.3-Schemaducircuit a 1.Ecrirelesequationselectriquesetmecaniquesquiregissentl'evolution 2.Resoudrecesystemed'equationscouplees(equationelectriqueetequation dansletempsdecesysteme. 3.AquelleconditiondoitsatisfairelaresistanceRducircuitpourquela etl'expressiondel'intensitei(t)ducourantelectriquequicirculedansle circuit. mecanique).endeduirel'expressiondelavitessev(t)priseparlabarre ApplicationNumerique: U0=1;5V;m=0;5g;B=0;5T;R=8;a=5cm. barresedeplaceverslebas? Onnegligeralechampmagnetiquecreeparlecourant. b)tracerlesgraphesdesfonctionsv(t)eti(t). a)determinerlavitesselimitepriseparlabarre. bornesducircuituneforceelectromotriceinduite.l'orientationdeiestdonnee 1.Lorsquelabarresedeplacedanslechampmagnetique,ilappara^taux Solution demaniereconventionnelleparlatensionu0dugenerateur.uneforceelectromotriced'inductionestorienteedetellemanierequ'elleestpositivelorsqu'elle debitelecourantdanslesenspositif.leschemaelectriqueestalors:

8 242 U0 Chapitre4 P e R Qi Lebilanelectriques'ecritU0 Ri+e=0. Fig.4.4-Circuitelectrique Laforceelectromotriceinduiteestrelieea,uxduchampmagnetiquea traverslecircuit,parlaformule: Ici,levecteursurfaceducircuitestorienteparl'intensitei,c'est-a-direparle vecteurunitaire ~y:d e= d dt ou =~B~S: Onadonc: dt=~bd~s dt=b~yav( ~y)= Bav: Nouspouvonsmaintenantexprimerl'equationdubilanelectriquesouslaforme: v(t)=ri(t) U0 e=bav: Lebilanmecaniqueestlesuivant:labarreestsoumiseadeuxforces,son Ba. poids~petlaforcedelaplace~f.cettederniereapourexpression:!f=p = iba~z: ZQi!dl^!B Enreportantcetterelationdansl'equationfondamentaledeladynamiqueappliqueealabarre,onobtientm_v(t)=mg i(t)ba.

9 Induction 2.Lecouplagedecesdeuxequationsnousfournit,eneliminanti 8><>:i(t)=U0+Bav(t) 243 Parhomogeneitedutermedegauchedeladeuxiemedecesequations,ondenit _v+(ba)2 mrv=g BaU0 R,homogeneauntemps,par mr. Aveccettenouvellegrandeur,l'equationdierentielleprecedentequiestdu premierordre,admetcommesolutionparticuliere: =mr (Ba)2. del'equationsanssecondmembreonaparconsequent: Poursasolutiongenerale,sommedelasolutionparticuliereetdelasolution vpart(t)=g BaU0 mr: OndeterminelaconstanteAintroduitelorsdecetteresolution,gr^aceala conditioninitialequistipulequev(t)jt=0=0. v(t)=ae t=+vpart(t). equationdenotresysteme Onobtientainsil'expressiondevpuiscelledeienreportantdanslapremiere 8><>:v(t)=g BaU0 i(t)=mbah1 e t=i mrh1 e t=i. quel'onait quelabarredescende,ilfautquecettevitesselimitesoitpositive,c'est-a-dire 3.Remarquonsquelavitesseesttoujoursdusignedesavaleurlimite.Pour Autrementdit,gr^aceal'expressiondevtrouveeprecedemment v(t)t!+1!v1 g BaU0 mr>0 ou v1>0. soit R>BaU0 mg.

10 244Pourquelabarredescende,ontrouvequeRdoit^etresuperieureaunevaleur ApplicationNumerique:R>7;6. Chapitre4 critiquedonneeparbau0=(mg).est-cecoherent?onpeut,pourrepondrea LaforcedeLaplaceexerceesurlabarrevadoncs'annuleretlabarrenesera cettequestion,etudiercequ'ilsepassedanslalimiter!1.pourlesgrandes plussoumisequ'asonpoids.ellevadoncdescendre::: valeursdelaresistance,lecourantnepeutpluscirculer,etl'ondoitavoiri!0. limiter!1dansl'expressionobtenuealaquestion2?lorsquelaresistance devienttresgrande,tendversl'inni,etdonc: poids,savitessedoitobeirav(t)=gt.retrouvet-onceresultatenprenantla Onpeutm^emeallerunpeuplusloin:silabarren'estsoumisequ'ason Ainsi, e t==1 t+ot2 1 e t==t+o1: 2: Ilvientalors: quiestbienleresultatattendu. 3.a)Lavitesselimitepriseparlabarreest: v(t)=gt+o1r; ApplicationNumerique: v1=g BaU0 v1=2;7m=s. mr: 3.b)L'alluredesfonctionsvetis'obtientquantaellesansdicultepuisqu'il pourlavitesse,etm=(ba)pourl'intensite. s'agitd'unerelaxationexponentiellede0jusqu'aunevaleurlimitequiestv1 v1 v(t) i(t) mba Fig.4.5-Alluredevetdeienfonctiondutemps. t t

11 forceelectromotricequipeutlaisserperplexe.sitelestlecas,onpeutfaire Induction Remarque:onautilisealaquestion1.uneconventiondesignepourla 245 unevericationassezsimplequiprouvelavaliditeducalculinitial.onconsideredirectementlechampelectromoteurd'induction!emquivautdanslecas Pardenition: e=p D'autrepart, ZQ!Emd~l: Onendeduit:!Em=Bv~z^~y= Bv~x: Onretrouvebienl'expressionobtenueparlecalculdelavariationtemporelle duux. e=bav: 4.2.2Fourainduction etdeconductivite,soumisaunchampmagnetiquespatialementuniforme, variabledansletempsetdedirectionparalleleal'axeducylindre(gure4.6). Onconsidereunbarreaumetalliquexedelongueurh,derayonRh Duree20min 1.QuelestlechampelectriqueinduitenunpointMdubarreau? 2.Calculerl'expressiondelapuissanceJouledissipeedanslebarreau. Voyez-vousuneapplicationpossibleacephenomened'induction? etparrotationdem^emeaxe:lechampelectriqueinduit!emnedependquede 1.DanslalimiteRh,leproblemeestinvariantpartranslationd'axeOz Solution lavariabler.parailleurs,d'apresl'equationdemaxwell-faraday(1)(voir composantesuivantoz. plusbas),sonrotationnelestporteparozcequisignieque!emn'apasde

12 246 Chapitre4!B(t) O H r M~z ~ur ~u champ!b;!emestdoncorthogonalacepland'ou Fig.4.6-Barreaucylindriqueetbasemobiledescoordonneescylindriques. SoitMunpointexterieuraOz.LeplancontenantOzetMcontientle derayonr,inclusdansleplanorthogonalaozetpassantparo: Calculonsensuitelacirculationde!EmlelongducercleCdecentreOet IC!Emd~l=2rE(r):!Em=E(r)~u: L'equationdeMaxwell-Faradayreliantlechampelectriqueinduitauchamp magnetiqueimposeest SoitDledisquedelimiteparC.OnorientelecontourCpar~upourecrire IC!Emd~l=ZZD! @td!s= r2db dt: (1) Onendeduit!Em= r2db associepossibleestdonnepar Autremethode:lechamp!B(t)etantuniforme,unpotentielvecteur dt~u:!a(t;m)=12!b(t)^! OM OH+12!B(t)^! HM:

13 Induction Lechampmagnetiqueetantdirigeselonladirectionverticale~z,ilvient247 Danslecaspresent,lechampelectriqued'inductionestdonnepar!A(t;M)=12rB(t)~u: pourladensitedecourant~=!em= 2rdB 2.Enl'absencedechampelectriquestatique,laloid'Ohmlocaledonne dt~u: Ladensitedepuissancedissipeedansleconducteurs'exprimequantaelleau moyende pj=~!em=r2 4dB dt~u: soitpourl'ensembledubarreau: PJ=Z barreaupjrdrddzdt2; d'ou =2hZR 0r2 PJ=h 8R4dB 4dB dt2: dt2rdr; induction. ecaceetcourammentutiliseedansl'industrieainsiquedanslescuisinieresa Complement:danslecalculprecedentdelapuissancedissipeedansle Cettemethodedechauagedesmateriauxconducteursestparticulierement Cesderniersontpourexpression: barreau,onanegligelechampmagnetique!bbcreeparlescourantsinduits. D'apresl'exercice2.3.6,lechampmagnetiquecreeparcettedistributionde courant,quiestnulpourrr,s'ecrit: ~(r)= 2rdB dt~u:!bb(r)= 0 4(R2 r2)d!b dt pourrr:

14 !B=!Boe i!t.sil'onveutquelechampmagnetique!bbsoitentoutpointdu 248Supposonsquelebarreausoitsoumisaunchampmagnetiquesinusodal Chapitre4 barreauaumoinsdixfoisplusfaiblequelechampmagnetiqueexterieur!b,la geometriedubarreaudoitremplirlacondition: ouestl'epaisseurdepeaudumateriaualafrequence(voirleprobleme 3.5.2). Bb(O)B=10=)R2r1 100!==p5 soumisaunchampmagnetiquedefrequence=!=(2)=50hz,ona ApplicationNumerique:pourunbarreauencuivre(=5:107Sm 1) avonsfaiten'estpasvalable.ilfautalorsutiliseruneformulationondulatoire analogueacelleemployeedansleprobleme3.5.2(eetdepeau). Ainsi,danslaplupartdessituationsusuelles,l'approximationquenous R4;5mm: 4.2.3FreinageparcourantsdeFoucault. d'uneplaque(p)encuivrerelieeenaaunetigeisolante,peutoscillersans frottementsautourd'unaxepassantparlepointo.lechamp!b,localisedans Onconsiderelesystemedelagure4.7:unpendulevertical,constitue Duree10min lazone(e),estconstant. O!B A (E) (P) quelquesoscillations.expliquer. qu'ilestralentiets'immobilisedanslaposition=0,apreseventuellement Lependuleestl^acheendehorsdelazone(E).Lorsqu'ilypenetre,onobserve Fig.4.7-Lesystemeetudie

15 Induction Solution 249 surlaplaquedemaniereas'opposeralavariationduuxmagnetique(loide magnetique,ilseproduitunphenomened'induction:descourantsapparaissent l'energiesousformed'eetjoule,acausedelaresistancedelaplaque,cequi Lenz).Cescourants,quel'onappellecourantsdeFoucault,dissipentde Lorsquelaplaqueconductriceentredanslazone(E)ouregnelechamp positiond'equilibre=0. diminuel'energiecinetiquedecettederniere.ainsi,lependules'arr^etedanssa pourlefreinagedespoidslourdsoupourlafusiondesmetaux(voirexercice 4.2.2). leferutilisedanslestransformateurs).cesm^emescourantssontmisaprot divisantcedernierenfeuilletsoubresseparesparunisolant(c'estlecaspour Remarque:ondiminuelescourantsdeFoucaultdansunconducteuren 4.2.4Unemodelisationdudiamagnetismedesatomes. magnetiqueunmomentmagnetiquedesensoppose!m=!b.untelcomportementestditdiamagnetique.c'estessentiellementuneetd'induction Duree:1h Denombreuxatomesoumoleculesdeveloppentenpresenced'unchamp UniversiteJosephFourier(Grenoble) electromagnetique,commelecalculsuivantdeaunniveauelementairevale montrer. 1.Soitunatomedontunelectrondecrit,selonlemodeledeBohr,un d'associeraunetelletrajectoireuneintensiteelectriquei= e!0=2 magnetiquetotaldel'atomeestneanmoinsnulenl'absencedechamp lavitesseangulaire(positive)!0.expliquerpourquoiilestraisonnable etunmomentmagnetique!m=ia20~uz.onsupposeraquelemoment cerclederayona0dansleplanxoyautourdesonnoyausitueeno,avec 2.Onappliquemaintenantunchampmagnetiqueuniformeperpendiculaire alatrajectoiredel'electron,delaforme!b=b(t)~uz.lafonctionb(t) estnullepourt<t0,passegraduellementde0asavaleurnalebpour magnetiqueexterieur,parsuitedecompensationsal'interieurdel'atome. t0<t<t1,puisresteconstantepourt>t1.onadmettraqu'enpremiere approximationlerayona0del'orbiteelectroniquenevariepasetque l'intervalledetempst1 t0esttreslongparrapportauneperiodede tangentielleasatrajectoireetd'amplitude(e=2)(db=dt)a0.endeduire uneforcesupplementaire,durantlaperioded'etablissementduchamp, EnutilisantlaloideFaraday,montrerquel'electronestsoumisa revolutiondel'electronsursonorbite. egalea!0maisa!0+eb=(2m)(oumestlamassedel'electron). qu'unefoislechampetabli,lavitesseangulairedel'electronn'estplus

16 250resulte. Donnerl'expressiondumomentmagnetiqueinduitetcelledequien Chapitre4 3.Undip^olemagnetiquedemoment!M,placedansunchampmagnetique Calculerlaforceressentieparunatomediamagnetiquequiseretrouverait inhomogene,estsoumisauneforcequel'onpeutmettresouslaforme dansuneregionoulechampmagnetique,creeparunsystemedebobines!f=mx!rbx+my!rby+mz!rbz: d'helmholtz,peuts'ecriresouslaforme uneapplicationdecedispositif? avecl'origineoaucentredelaregionconsideree.voyez-vousducoup!b(x;y;z)=(x~ux+y~uy 2z~uz); sique,aunespirecirculaireparcourueparuncouranti.lecourantestdeni 1.Latrajectoiredel'electronpeut^etreassimilee,d'unpointdevueclas- Solution parlarelationi=dq=dt= e=toutestlaperiodederotationdel'electron sursonorbite,cequidonne: Latrajectoireetantunespirecirculaireparcourueparuncourant,ellepossede unmomentmagnetique!m=i!soulevecteursurface!sestorientepari I= e!0 2: selonlaregledutire-bouchon.lemomentmagnetiqueassocies'exprimesous laforme:!m=ia20~uz: z x ~uz~ur~uy!evaperturberlatrajectoiredel'electronautourdunoyau. d'induction,carl'amplitudeduchampmagnetiquevarie:unchampelectrique 2.Durantlaperioded'etablissementde!B,ilseproduitunphenomene Fig.4.8-Latrajectoiredel'electrondanslemodeledeBohr.

17 Induction riodederotationdel'electron,onpeututiliserlesequationsdemaxwellavec Lesphenomenesetudiesayantlieusurunedureetresgrandedevantlape- 251 electromoteurd^ualaperioded'induction. lesgrandeursmacroscopiquesmoyennees.d'apreslaloidefaraday,l'electronserasoumisauneforceelectromotrice~f= e!emou!emestlechamp Laspirecirculaireetantimmobile,lechampelectromoteursereduita: Aveclesnotationsdelagure4.8,ilvient!A=12!B^~r: d'ou!em= a0!a=12br~u; semetsouslaforme: Ainsi,laforcesubieparl'electronlorsdel'etablissementduchampmagnetique 2dB ~f=a0e 2dB dt~u: Ils'agitbiend'uneforcetangentiellealatrajectoirecirculairedel'electron. Appliquonsletheoremedumomentcinetiqueal'electron,dansunreferentiel galileen,durantlaperioded'etablissementduchampmagnetique!b: dt~u: cequidonne,enprojetantsuivantoz: ma20d! md! dt~uz=a0~ur^~f l'existenced'uneforceorthogonalealatrajectoire,quis'opposealaforcecentrifuge.cetteforceaunmomentenonul. projetersuivantladirectiontangentiellealatrajectoire: Onpeutaussiappliquerlarelationfondamentaledeladynamiqueetla Remarquonsquel'enoncesupposequelerayona0nevariepas.Celaimplique dt=e2db dt: etl'onretrouve ma0d! md! dt=e2db dt=~f~u; dt:

18 252 rivera: L'integrationdelarelationprecedenteentrelestempst0ett1permetd'ar- Chapitre4!=!0+eB duchampmagnetiqueestdelaforme: Lavitesseangulairedel'electronestmodifeeparlamiseenplaceduchamp magnetique!b.ils'ensuitquelecourantinduitdansla(spire)parl'apparition 2m: Lemomentmagnetiqueinduitestdonc: Iind= e 2eB 2m: Enutilisantladenitiondedonneedansl'enonce,ilvient:!Mind= e2a20 4m!B: Remarque:estdesignepositif,cequisigniequelemomentmagnetique =e2a20 4m: del'atomeestdesensopposeauchampmagnetiquequiluiadonnenaissance. Ils'agitlad'uneformeparticulieredelaloideLenz. ou,enutilisantlarelation!m=!b: 3.Laforceressentieparl'atomediamagnetiques'ecrit:!F= Lechampmagnetiquequesubitl'atomeetantdelaforme!B(x;y;z)=(x~ux+ y~uy 2z~uz),laforce!Fapourexpression: 21A: deviationd'unechantillondiamagnetiqueparlechampmagnetiquedonnera Uneapplicationdecedispositifseralamesuredelasusceptibilite:la!F= 2(x~ux+y~uy+4z~uz): accesalavaleurde.

19 Induction 4.2.5Disquemetalliquedansunchampmagnetique253 UniversitedeVersailles magnetique!buniforme,paralleleal'axedudisque(voirlagure). tourd'unaxeperpendiculairedansuneregiondel'espaceouregneunchamp UndisquemetalliquederayonRtourneavecunevitesseangulaire!au- Duree30min!B ~! 1.Decrivezlephenomenephysiquequiseproduit. 2.Calculerlechampelectriqueentoutpointdudisque. 3.Calculerladierencedepotentielexistantentrelecentreetlacirconferencedudisqueteuretnouslessupposeronsimmobilesdanslereferentieldudisque.Lescharges 1.Leselectronssontlesseuleschargeseventuellementmobilesd'unconduc- Solution rentieltournant(nongalileen). positivesfontpartiedureseaucristallinetsontdoncimmobilesdanslerefe- Leselectronsdecharge eetdemassemsontsoumisalaforcecentrifuge ailleurs,leschargessontmobilesetontunevitesse~vdanslereferentielgalileen ou~rdesignelapositiondeselectronsparrapportaucentredudisque.par!fc=m!2~r; Sil'onnegligelechampmagnetiqueinduit,lechampmagnetiquetotalsereduit xedu(laboratoire):ellesressententlaforcedelorentz auchampimpose!b.nouspreciseronsleslimitesdevaliditedecetteapproximation.cesdeuxforcesvontentra^nerdesmigrationsdecharges,quiseront!fl= e~v^!btotal= e!btotal~r:

20 responsablesdelacreationd'unchampelectrique!einduit.celui-ciexercera 254 surleselectronsuneforce: Chapitre4 Enresume,leschargessontsoumisesatroistypesdeforcesdistincts: {laforcedelorentzdueauchampmagnetiqueexterieur,!fe= e!e: {laforceelectriquedueauchampelectriqueinduit. {laforcecentrifuge, Nousendeduisonslechampelectriqueinduit: 2.Danslereferentieltournant,unelectronestaurepos,d'ou: m!2~r e!b~r e!e=!0: Lechampquenousvenonsdecalculerestlechampqueressententleselectrons danslereferentielgalileenxedulaboratoire.!e=me!2!b~r: L'equationdeMaxwell-Ampere! magnetiqueinduit?estimonsl'ordredegrandeurdurapportbinduit=btotal. Validitedel'approximationfaite:est-illegitimedenegligerlechamp permetdedonnerunordredegrandeurdebinduit: Binduit/0R : rot!b=0~ de: Parailleurs, =v,soit /R!ouladensitevolumiquedechargesededuit E'!BtotalR.Comptetenude"00c2=1,ilvient: Ainsi, /"0E!.Danslecasoulaforcecentrifugeestnegligeable,ona Binduit Btotal/R2!2 div!e="0: tantquelavitessedelaperipheriedudisquen'estpasrelativiste.cetypede raisonnement,quipeutpara^tretresapproximatif,permetd'eviterdescalculs souventfastidieuxousansinter^et. c21 induitentrelecentreetr=r: 3.Pourobtenirladierencedepotentiel,integronslechampelectrique V=V(R) V(0) =ZR 0!B m!2 0!Ed~r erdr:

21 Induction Ainsi, V=!B m!2 er2 255 Notonsquecettedierencedepotentielestcellequiseraitmesureeparunappareilimmobiledanslereferentieldulaboratoire,etqu'elleestaprioridierente 2: electriqueinduitainsiquevs'annulent.ils'agitdelapulsationcyclotron: immobileparrapportaudisque.eneet,lechampelectromagnetiquedepend deladierencedepotentielmesureeparunappareil(embarque)c'est-a-dire dureferentieldanslequelonseplace. Ilappara^tqu'ilexisteunevitessederotationseuil,pourlaquellelechamp etdemassemdansunchampmagnetiqueb:ellecorrespondaunecompensationparfaiteentrelaforcedelorentzetlaforcecentrifuge.lemouvementde rotationn'induitalorsaucunemigrationdecharge:lechampelectriquemesure riecomme!2devientsuperieuraumoduledelaforcedelorentzquivarie danslereferentieldulaboratoireestnul.pourcettepulsation,leselectronsne lineairementavec!.ilyadoncunexcesdechargesnegativesalaperipherie superieuresalapulsationcyclotron,lemoduledelaforcecentrifuge,quiva- dudisqueetunedepletionaucentre.onretrouvequelechampelectriqueest (sentent)pasqu'ilsfontpartied'uncorpsenrotation.pourdespulsations Cettepulsationesteneetlapulsationnaturellederotationd'unechargee!=!cyclotron=eBm: qu'alaperipherie:vestnegatif. danscecasdirigeversl'exterieuretquelepotentielvestpluseleveaucentre seconde. degrandeurde!cyclotronest106rad.s 1,cequicorresponda105tourspar kg,e=1:610 19C)dansunchampmagnetiqueB'10 5T,l'ordre magnetiqueterrestre),lapulsationcyclotronestelevee.pourunelectron(m= Terminonsenprecisantquem^emepourdeschampsfaibles(commelechamp queladensitevolumiquedecharge Remarque:nousavonstrouveque!Eestproportionnela~r,cequisignie qu'unconducteurparfaital'equilibreestlocalementneutreenvolume,maisle disqueesticial'equilibredansunreferentielnongalileen.deplus,leconducteur estconstantedansleconducteur.celapeutsurprendrepuisquenoussavons ="0div!E doit^etreglobalementneutre.ici,lachargevolumiqueconstanteestcompensee parunechargesurfaciquedesigneoppose.

22 256 Problemes Chapitre Generateurdynamo UniversitePaulSabatier,Toulouse electriquedit(moteuruniversel).onseproposedeverierquecem^eme Onconsiderelemontageexperimentalpermettantdemodeliserlemoteur Duree30min montagepermetdemodeliserlegenerateurdecourantcontinudit(dynamo). unchampmagnetiqueuniforme!bdecoordonnees(0;0;bz=b>0).dansr positifncdabmchoisi(voirlagure4.9a.).laspireestconnecteeaucircuit unespirerectangulairepeuttournerautourd'unedesesmedianesconfondue avecox,lanormale~nalaspireestorienteedefaconcompatibleaveclesens UnensemblededeuxsolenodescreedanslaregionRentourantl'origine (voirlagure4.9b.).sidesignel'angle(oz;~n),alors: exterieur,fermeparuneresistancer,parl'intermediaired'uncollecteurabalai {pour <<0,lecollecteurassurelescontactsPMetQN(casdela {pour0<<,lecollecteurassurelescontactspnetqm. gure); z B A ~n B P x2b M + z N a y C D M NC ~n yr gurea. Q gureb. i(t) + convention,esticinegatif. Fig.4.9-Schemasdespartiesmecaniquesetelectriquesdeladynamo.Par.1.ExprimerVQ VPenfonctiondeVN VMet(eetducollecteur). uneresistancenegligeable.onfaittournerlaspireavecunevitesseangulaire Laspire,l'ensemblecollecteuretlesconducteursducircuitexterieuront

23 Induction 2.Calculerleuxde!Batraverslaspire Endeduirelaforceelectromotriced'inductionVN VMpuisVQ VP. 4.Donnerennl'expressionducourantietmontrerquesi<0,alorsi(t) 5.Decriresuccintementcommentavecdeuxspiresdisposeesencroix(decaleesl'uneparrapportal'autrede=2)etavecuncollecteurformede4 aunsigneconstant;lequel? lagure4.9b. lefonctionnementdunouveaucollecteural'aided'uneguredutypede presquecontinu(encomparaisondeceluien4.);ilestsuggered'expliquer quartsdebague(aulieudedeuxmoitiesdebague)onauraituncourant VN VMchangedesignecommelafonctionsin.Deplus,onconstateense 1.D'apresladescriptionfaitedansl'enonce,larelationentreVQ VPet Solution pointspetmsontaum^emepotentiel,ainsiquelespointsqetn.ainsi: referantalagure4.9b.pourlaquellel'angleaunevaleurnegative,queles tpar 2.Leuxduchampmagnetique!Batraverslaspireestdonneauninstant VQ VP= signe(sin)(vn VM). carlechampestuniformesurlasurfacedelaspire.enfonctiondesparametres duprobleme,ilvient =2ab!B~n(t) =!B!S(t); 3.et4.,nouschoisirons'=0,cequicorrespondauneoriginedestempstelle Entoutegeneralite,onapris'commedephasagearbitraire.Pourlesquestions ) =2abBcos(t+'). caspresent.ainsi, lorsqu'elletendadebiterducourantdanslesenspositif,(ncdabm)dansle que=0pourt=0. 3.Parconvention,uneforceelectromotriced'inductionestprisepositive Deplus,laforceelectromotriceestlieeauuxduchampmagnetiqueatravers laspirepare= d e=(vm VN). dt ) (VM VN)=2abBsint.

24 Onutiliseleresultatdelapremierequestionpourtrouverl'expressiondeVQ 258 VP Chapitre4 electromotricee.lebilanelectriquesereduita 4.Lecircuitestconstitueuniquementd'uneresistanceretd'uneforce VQ VP=2abBjsintj. Pour<0,lecourantidebiteestdesigneconstantpositif. VP VQ=ri, i= 2abBjsintj r. ~n1 spire1 spire2 dec^oted'untelmontageestdonneeparlagure4.10.laspire1,estconnectee 5.Onmontemaintenantunsystemeanaloguemaisavecdeuxspires.Lavue Fig.4.10-Dispositifadeuxspires. pour L'autrespireestconnecteelerestedutemps.Chacunedesspirespeut^etre 34<< 4 traiteedelam^emefaconquedanslapremierepartie,etgeneredoncuncourant 4<<34. envaleurabsoluedesint.cependant,etc'estlaquelaremarquesurle sontdephasesde=2.suivantquel'uneoul'autredesspiresestconnectee,le dephasage'prendtoutsonsens,lescourantsproduitsparchacunedesspires courantsuitlasinusodeassociee,etsonallureestdonneesurlagure4.11, lignedecr^ete,ets'approched'unsignalcontinu. surlaquelleonarepresentelesarchesdesinusodescorrespondantachacune desphasesdumouvement.lecourantresultantestquantaluidonneparla

25 Induction i(t) 259 courantresultant Fig.4.11-Allureducourantpourdeuxspires. spire1 spire2 =43=4 t 4.3.2Momentmagnetiquedansunsolenodeetcadremetalliqueenrotation Universited'Angers dient,divergenceetrotationneln'estautorise.lescalculatricessontinter- dites. ExerciceI: schemasuivant.cettespireestparcourueparuncourantd'intensitei. Onconsiderelaspirecirculaired'axeOzetderayonRrepresenteeparle Aucundocumentautrequ'unformulairerappelantlesexpressionsdesgra- Lesdeuxexercicessonttotalementindependants. Duree3h Z R z IO M 1.Calculerlechampmagnetiquecreeenunpointquelconquedel'axedela spire.

26 2602.UnsolenodenidelongueurLpossedantNspiresderayonRestpar- couruparuncourantd'intensitei. Chapitre4 a)calculerlechampmagnetiqueenunpointpdesonaxeal'interieurdu traversantuneepaisseurdzdesolenode.onrespecteralesnotations delagurejointe. solenode.oncalculerad'abordl'epaisseurd'unespirepuislecourant z0 P2 RO 1 z b)donnerlavaleurdecechampsurl'axepourunsolenodeinni. c)onplaceunespirecirculairederayona,dem^emeaxequelesolenode, aupointp.onsupposeraatrespetitdevantlerayonrdusolenode. d)calculerleuxenvoyeparlaspirederayonaparcourueparuncourantidansunespirequelconquedusolenode.endeduireleuxtotal l'inductancemutuellem.onprendral'origineoaucentredusolenode surl'axez0z. Calculerleuxcreeparlesolenodeautraversdelaspire.Endeduire mutuellem0. Ondonnelepotentielvecteur!Acreeparunespireenunpointquelconquedel'espacesitueaunedistancedelaspiregrandedevantson envoyeparlaspirederayonadanslesolenodeainsiquel'inductance e)lapetitespireesttoujoursparcourueparuncouranti.calculerla rayon. forceexerceesurcelle-cietdonnersonsens.!a=0!m^~r 4r3. ExerciceII: f)existe-t-ilunepositiond'equilibrepourlapetitespireal'interieurdu solenode?s'agit-ild'unepositiond'equilibrestableouinstable? 1.Enumererlesmethodespossiblespourcalculerleuxenvoyeparlel 2.Montrerquel'inductancemutuelleestdonneepar: innidanslecadre(gure4.12).calculerceuxparlamethodeque vousjugerezlaplussimple. M=0 4alnl2+a2=4 alcos l2+a2=4+alcos:

27 Induction 3.Onfaittournerlecadredanslesensdirectavecunevitesseangulaire! constanteautourd'unaxeparalleleauletpassantparlemilieuducadre 261 Nota:leletlecadrenesetrouventpasdanslem^emeplan. letypedecourantobtenu. O0.Calculerlaforceelectromotricegenereedanslesystemeetindiquer I Ba a C A D lo vuedec^ote vuededessus cadre a=2 l O0a=2 Fig.4.12-Schemaduletducadremobile. ExerciceI: 1.Pourcalculerplusaisementlechampmagnetique,consideronslesproprietesdesymetrieduprobleme.Ilappara^tquetoutplanverticalcontenantl'axe Solution ~zestpland'antisymetriepourladistributiondecourant:lechampmagnetique plan. enunpointdeceplannepossededoncpasdecomposanteperpendiculaireau consideresauparavant)sedoitd'^etreinclusdanschacundecesplans,donc fairepartiedeleurintersection.ils'ensuitque Lechamp!Benunpointdel'axe(intersectiondel'ensembledesplans OnappliquealorslaloideBiotetSavartdanslecasd'unesourcelineique decourant!b=b(z)~z. oulesnotationsprisessontpreciseesdanslagurequisuit!b(m)=0 4ZCI!dl^~uPM PM2

28 262 Z Chapitre4 RzOMd!B I ~upm Decefait,lemoduleduchampcreeparuneportionelementairedelaspire!dl apourexpression kd!bk=0i 4dl unecontributionnulle;ilsutdoncdesommerlacomposante scalaire tion,lescomposantesduvecteurd!bquisontorthogonalesal'axevontdonner Lesconsiderationsdesymetrieinitialesnousassurentqu'al'issuedel'integra- PM2. suivantl'axe,soitd'apresnotreschema Rpar: Ens'aidanttoujoursduschema,onvoitqueladistancePMestrelieeaurayon dbz=kd!bksin. cequiconduita B(z)=0Isin3 PM2=R2 4R2ZCdl sin2 circulaireenunpointdesonaxe soitnalementpourl'expressionduchampmagnetiqueengendreparunespire 2.a)Unespirecreeunchamp!Bspire.IlyaNspiresrepartiessurune!B(z)=0I 2Rsin3~z. longueurl,doncunesimpleregledetroisnousfournitlacontributiond'une portionsolenodedelongueurdz pointd'evaluationdecelui-ci(variationdez)aveclavariationdel'anglesous riationdeladistanceentrelatranchedebobinecontribuantauchampetle Andepouvoirintegrercetteexpression,ilnousfautmaintenantrelierlava- d!b=!bspirenldz. (variationde).pourcelaonsereportealaguresuivante: lequellatranchedebobineestvuedepuislepointoulechampestcalcule

29 Induction 263 z0 0P d z Onyconstateque z dz soitsil'ondierencie dz= Rd tan=rz; dusolenodeestvueaupointpnecorrespondpasal'anglequenousavions signe.commemontresurlaprecedentegure,l'anglesouslequeluneportion Acestadeducalculsesitueunepetitesubtilitepouvantinduireuneerreurde sin2. considerepourlecalculduchampcreeparunespireunique.onaeneetla relation 8<:= 0 tranchesdebobine!b(p)=nl0i Finalement,lechamps'ecritensommantsurlescontributionsdetoutesles Bspire=0I 2Rsin30. 2R2 Z1( sin3)( R)d quis'integrepourdonner sin2~z Onanoten=N=Llenombredespiresparunitedelongueur.!B(P)=0nI 2.b)Pourunsolenodeinni,lesanglessouslesquelsapparaissentlesextremitesaupointPtendentrespectivementvers 2(cos1 cos2)~z. limites.ilvientalors Lecosinusetantunefonctioncontinue,lalimitedel'expressiondonnantle champ!bs'obtientenprenantleresultatdel'expressionappliqueeauxangles 1!0 2!:!B1=0nI~z.

30 264 prendreentoutpointdelapetitespirelechampmagnetiqueegalauchamp 2.c)Commelerayondelapetitespireesttelqu'ilverieaR,onpeut Chapitre4 magnetiquesurl'axe.l'expressionduuxtraversantcettepetitespiresereduit alorsa Pardenitiondelamutuelleinductance,ilvientalors =SspireBsole =0nI 2(cos1 cos2)a2. M=0n conquedugrandsolenode,onvaseservirdutheoremeditcirculation-rotati- onnel(outheoremedestokes).leuxduchampmagnetiques'ecriteneet =ZZS!Bd!S 2.d)Pourcalculerleuxenvoyeparlapetitespiredansunespirequel- 2(cos1 cos2)a2. =IC!A!dl. rot!ad!s dernieresoitidentiqueauchampcreeparundip^olemagnetique.ilestainsi sammentloindelapetitespirepourquelechampmagnetiquecreeparcette considererqu'entoutpointappartenantaunespiredelabobine,onestsuf- Etantdonneelatailledelapetitespiredevantcelledusolenode,onpeut dansl'enonce,oulesnotationsdelagure4.13onteteadoptees. possible etlicite d'utiliserpourlepotentielvecteur!alaformulefournie z0 ~e ~e' P d ~er z Fig.4.13-Denitiondesvecteursunitaires z dz

31 Induction Danscesconditions,onobtient 265 =I0 =I0 4r3!M^~r!dl 4r3(a2i~z)^~err(Rd')~e' soitdonc ()=0 4r3(a2i)rRsind' Ensereportantalagureprecedente,onconstateque 4(a2i)(2R)sin sin=rr r2. solenode,vusousunangle: cequinousdonnepourleuxenvoyeparlapetitespiredansunespirede elementdebobinedelongueurdz,onacommeprecedemmentndzspiresd'ou Leuxtotalenvoyedanslesolenodes'obtientalorsparintegration.Surun ()=0 2(a2i)1Rsin3. Enreprenantleraisonnementdelaquestion2.a),ona total=z()ndz: etleuxtotals'ecrittotal=n0 dz= Rd 2(a2i)1 sin2 ouencore Z2 sind pourm): PardenitiondelamutuelleontrouvealorspourM0unevaleur(lam^emeque total=n0 2(a2i)(cos1 cos2). 2.e)Laforces'exercantsurundip^olemagnetiqueestdonneeparlaformule M0=n0!F=(!M!r)!B=(!M! 2(a2)(cos1 cos2). grad)!b.

32 sereduitdansnotrecasa Ledip^olemagnetiqueetantsuivantl'axedelabobine,l'expressionprecedente 266 Chapitre4 Lorsqu'onecrit: dz= lepointpestxeetzreperelapositiond'unespireelementaire.ici,ondoit calculerladeriveeduchampmagnetiquesuivantl'axe,c'est-a-direfairevarier lapositiondupointp.pourcefaire,consideronsquezreperelapositionde sin2; Psurl'axeparrapportaupointO.Onaalors: rappeleeplushautpuisquel'onachangedereference.onpeutbiens^uraussi Onpeuteneetseconvaincrequecettevariationdoit^etrel'opposeedecelle dz=rd sin2: dierencier: Quoiqu'ilensoit,ilfautremarquerquelorsquezaugmente,augmenteaussi: celapermetdeverierlesigneobtenu.ilvientmaintenant: tan1= L=2 2~zdcos =0nI 2R sin312~z 2R sin32 sin31~z: dz12 Laforceexerceesurlapetitespires'ecritalors Remarque:sil'onneconna^tpaslaformule:!F=(a2i)0nI 2R(sin32 sin31)~z. mediat.ilsutdeserappelerl'expressiondelaforcedelorentz(oude ilesttoutdem^emepossiblederetrouverleresultatmaiscelan'estpasim-!f=!m! grad!b; Laplace):uneportiondeld~`parcourueparuncourantisubitlaforce d!f=id~`^!b:

33 Induction Onadoncici:!F= izspire!b^d~`: 267 Sil'onconsiderequelerayondelaspireesttrespetitparrapportaceluidu solenode,ilesttentantdeprendre!bconstantetalors: (1) L'hypothese!Bconstantn'estdoncpasrecevableetilfauttenircomptedes petitesvariationsduchamp,c'est-a-direevaluerl'expression(1)aupremier!f= i!b^zspired~`=!0: question2.a)etnousallonsendeduirelacomposanteborthogonaleal'axe. ordrenonnul. Celle-ciesttrespetitedevantBzmaiselleestresponsabledelaforces'exercant surlaspire.calculonsleuxduchampsuruncylindreelementairederayon R,d'axez0zetsitueentrezetz+dz: SoitBzlacomposantesuivantzduchamp.Celle-ciaetecalculeeala commesurtoutesurfacefermee.developponsleux: 2dzB+2[Bz(z+dz) Bz(z)]=0: ZZ!Bd!S=0; Ainsi,auvoisinagedel'axe, d'ou!f' izspire!b(=0)^d~` telleque1= 2 estunepositionpourlaquellelaforceestnulle; 2.f)Surl'expressionencadreede!F,onconstatequelapositioncentrale grad!b: doncunepositiond'equilibre.onpeutremarquerquec'estlaseuleposition, pourlaquellelaforceestnulle,quipeut^etrequalieedepositiond'equilibre.

34 Eneet,pourquelaforces'annuleilfautquelesdeuxsinussoientegaux,ce 268 quidonnecommeconditionsurlesdeuxangles:soitlaconditionprecedente, Chapitre4 lepointocentral. d'equilibredudip^olesoumisauchampmagnetiqueengendreparlabobineest setrouveinnimenteloignedelabobine,onpeutdirequelaseuleposition soitlaconditiond'egalite.cettedernieren'etantrempliequelorsqueledip^ole Pourcelaonprocedeclassiquementenregardantcommentsecomportelaforce presdupointd'equilibre. Oncherchemaintenantatesterlastabilitedecettepositiond'equilibre. z0 1O22 1 z {aupoint1,l'angle1adiminue.ilenvadem^emepourl'angle2.comme Sil'onconsiderelagureconcernantlastabilite,onconstateque Fig.4.14-Etudedestabilite. {Dem^emeaupoint2,lesdeuxanglesontaugmentecequinousdonne oulesintensitesietisontdem^emesigne,avecuneforcepositivec'est- a-direuneforcequitendanousfairerevenirverslepointo. ilssontchacundepartetd'autrede=2,onseretrouve,dansl'hypothese estdoncunpointd'equilibrestable.nousavonssupposeiciquelesintensites magnetiqueexercerauneforcequitendraalafairerevenirverslepointoqui Enconclusion,sil'onecartelapetitespiredesapositiond'equilibre,lechamp uneforcenegativequilaencorenousrapprochedupointd'equilibre. d'equilibreinstable.cesconsiderationsillustrentlaregleduuxmaximal: ietisontdem^emesigne.sicen'estpaslecas,lepointoestunpoint l'equilibrestablecorrespondaucasou!b!mestmaximal,!metantlemoment magnetiquedelapetitespireet!blechampmagnetiquecreeaupointopar lesolenode.lorsqueietisontdem^emesigne,leuxestmaximaletdansle cascontraire!b!mestminimaletl'equilibreestinstable. translationssuivantl'axeoz.pour^etreexhaustif,ilfaudraitetudierlastabilite vis-a-visdumouvementderotation:lechampexercesurlapetitespireun coupledemoment Remarque:nousavonsetudieicilastabilitedel'equilibrevis-a-visdes ExerciceII:! =!M^!B: dedeuxmethodes.soitonappliquelaformulededenitionduux,cequi 1.Pourcalculerleuxenvoyeparlelinnidanslecadre,ondispose

35 Induction demandedecalculerlechampmagnetiquecreeparlel,soitonutilisele theoremedestokes(circulation-rotationnel),maisilfautdanscecascalculer 269 vecteuretaintegrerensuitecederniersurlecontourfermequeconstituele lepotentielvecteurassociealadistributiondecourant lel. cadre: Danslecaspresent,lamethodelaplussimpleconsisteacalculerlepotentiel =ZZS!Bd!S =Icadre!A!dl. rot!ad!s Simplementformuledelasorte,ilva^etrediciledetrouverlepotentielvecteur, Oncherchedonclevecteur!Atelque aussiva-t-onutiliserdesargumentsdesymetriepourrestreindreledomainede!b=! recherche. rot!a. Laissantpourlemomentlecadredec^ote,puisqu'ilnecontribuepasauchamp symetriederevolutionautourdel'axedul;oncherchealorsunpotentielne quel'onveutcalculer,onseretrouveavecunecongurationquipresenteune dependantpasdelavariableangulaire.dem^eme,leletantinni,onaune Consideronslesystemedescoordonneescylindriques,l'axeetantceluidul. invariancepartranslationsuivantl'axedulcequinousconduitachercherun Depluslevecteur!Aestunvecteur(normal)puisque!Bestluiunpseudovecteur(i.e.quichangedesignequandl'onchangelaconventiond'orientation!A=!A(r). del'espace).decefait,lepotentielvecteurauraenunpointunedirectionperpendiculaireaunpland'antisymetriepourladistributiondecourantpassant considerations,oncherchelepotentielvecteursouslaforme parmetperpendiculaireaulestpland'antisymetriepourladistribution parcepoint.soitalorsunpointmquelconquedel'espace,leplanpassant decourant,levecteur!aestdoncenmsuivantz.al'issuedetoutesces potentielnedependantpasnonplusdel'altitudez.finalement Contrairementauchampmagnetique,lepotentielvecteurpossedelam^eme symetriequelescourants.appliquantalorslerotationnelencoordonneescylindriquesonobtient!a=a(r)~ez. remed'ampereavecpourcontouruncerclederayonr.onremarquedonc Onpeutcalculerindependammentlechampmagnetiqueenappliquantletheo-!B=! rot!a=da dr~e.

36 decelui-cisurlasurfaceducadrequiestunpeufastidieuseetrendaunal qu'ilestaiseetrapided'obtenirlechampentoutpoint,maisc'estl'integration 270 Chapitre4 Onaalors soitnalement cettemethodepluslongue;elleresteneanmoinsunbonexercicecalculatoire.!a=0i B(r)=dA 2lnrr0~ez. dr=0i 2r Danscetteexpressionr0estuneconstantearbitraire. OnorientealorslecadreavecunsensdeparcoursABCD,etl'onobtient: =I ABCD0i 2 ZB 2lnrr0~ez!dl =0ia 2lnrB Alnrr0dl ZD rc; Clnrr0dl! oulesdistancesrbetrcsontdeniessurlaguresuivante lo cadre a=2 l O0 a=2 rb r C desdonneesdel'enonce Toujoursensereportantalagure,onpeutexprimerrBetrCenfonction r2b=l acos r2c=l+acos 22+asin Finalement,leuxenvoyeparlelinnidanslecadreapourexpression: 22: 2.Commel'inductancemutuelleestdenieaumoyendelaformule =0ai 4lnl2+a2=4 alcos l2+a2=4+alcos. =Mi;

37 Induction onobtientbien M=0a 4lnl2+a2=4 alcos 271 electromotriceinduitevaappara^tre.celle-cipeuts'exprimerapartirduux, 3.Lecadreetantmisenmouvementdansunchampmagnetique,uneforce l2+a2=4+alcos. Puisquelavitesseangulaireestconstante,ona,aundephasageconstantpres, aumoyende e= d =!t dt. soitenreportantdansl'expressiondu1. cequidonne e= 0ai 4!l2+a2=4 alcos lasin l2+a2=4+alcos lasin e= 0i 4l!a2sinl2+a2=4 alcos+ 1 l2+a2=4+alcos. 1

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