Les nombres complexes

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1 I. Introduction La résolution des équations du second degré est connue depuis près de 000 avant notre Ere. En 545, la publication de l Ars Magna (Jérôme Cardan) permit de mettre en lumière la formule découverte par Scipione dal Ferro, à savoir le troisième degré. La démonstration a l air anodine mais il a fallu attendre près de 500 ans avant qu on ne trouve une solution au ème degré. Ce type d équation est de la forme : x = px + q La solution à cette équation est donnée par : x = q + 7q 4p 08 + q 7q 4p 08 x = [ q + (7q 4p 08 ) ] + [ q (7q 4p 08 ) ] La raison d être des nombres complexes est de proposer une solution lorsque 7q 4p < 0. II. Rappel. Présentation Les nombres sont classés en ensembles allant du plus naturel au plus complexe. Pourquoi parlons-nous de nombres naturels, de complexes? La question mérite d être posée afin de comprendre le fondement des mathématiques. C est surement la raison qui m a amené à introduire une présentation des mathématiques pures sur itn-coffee.com. Notre système décimal (base 0) permet, au moyen de chiffres rangés par puissances de dix, de représenter tous les nombres possibles (enfin presque). Ces chiffres ne sont pas le fruit d un concours de circonstances. Nous avons dix doigts et nos ancêtres, comme les enfants aujourd hui, comptaient avec leurs doigts. La notion de zéro n est apparue que par la suite. La question qu il advint : Comment conserver ces dix doigts, symbole d une abstraction de premier degré quand bien même =? C est alors que nous avons compris qu il serait plus pragmatique de nous servir de dix chiffres allant de 0 à 9 pour pouvoir écrire n importe quelle combinaison.

2 Le rangement s opère ainsi : Milliers Centaines Dizaines Unités Dixièmes Centièmes Millièmes... Représenter des objets, et se détacher des sens, par des chiffres est comme nous l avons dit une premier niveau d abstraction. Incorporer le 0, un second. Intégrer la notion de négativité, un troisième. Appréhender un nombre allant au-delà, en précision, du nombre entier constitue un quatrième degré. Considéré le nombre comme approximation et non plus comme valeur déterminée nous éloigne encore d un degré de ce monde naturel de nos sens. On représente aussi certaines valeurs sous forme de symboles (,, ). Enfin nous atteignons le dernier degré, avec les nombres complexes.. Classification Une représentation de cette classification : C R Q dd Z N Naturel ; cet ensemble permet de dénombrer les objets du monde sensible. Zahlen ; il signifie «nombres» en Allemand. Zéro est plus facile à mémoriser car le zéro est le nombre qui permet de situer la position des autres sur un axe orienté. Décimal est un ensemble qui comprend des nombres dont les chiffres sont limités après la virgule. Quoziente représente les nombres écrits sous forme d un quotient de deux entiers ; il est logique qu il faille trouver une forme d écriture simple lorsque nous avons un nombre dont le nombre de chiffres après la virgule tend vers l infini tout en étant périodique ; exemple : = 0, Réel élargit le champ aux nombres irrationnels tels que, e, Complexe est la raison d être de ce cours

3 . Polynômes du second degré Dans le cadre de ce rappel, nous allons réviser les polynômes du second degré. Ce sont des fonctions paires car leur monôme du plus haut degré est pair (x ). ax + bx + c = a [(x b a ) = b 4ac 4a ] La résolution dans R donne le tableau suivant : Equation : ax + bx + c > 0 = 0 < 0 x = b a et x = b+ a x 0 = b a S =.4 Hypoténuse d un triangle rectangle isocèle a AC = a + a = a AC = ඥa = a a a

4 .5 Hauteur d un triangle équilatéral a a a AC = a ቀ a ቁ AC = a = 4a a 4 = a a a.6 Equation de droite Nous savons que la définition d une fonction affine est : y = mx + p Nous savons que le coefficient directeur d une telle fonction vaut sa dérivée : f (x) = m D où nous tirons : f(x) = f (x) + p Il nous reste à calculer p : p = f(x) f (x) Enfin, f(a) = f (a) + p f(a) = f (a) + f(x) f (x) Pour finir, nous rangeons les termes et procédons à une factorisation : f(a) + f (x) f (a) = f(x) f(x) = f (x a) + f(a) Une équation de droite vaut : f(x) = f (x a) + f(a)

5 .7 Equation cartésienne d une droite De même, nous savons que : ax + by + c = 0 et (a ; b) (0 ; 0).7. Colinéarité Démontrons avant tout la colinéarité entre les deux vecteurs u et v tels que : u (x ; y) et v (x ; y ) Dire que ces deux vecteurs sont colinéaires revient à écrire : Si v = 0 alors x = 0 et y = 0 k R tel que v = 0 ou u = kv Si u = kv alors : x = kx y = ky Prenons la définition de la colinéarité de deux vecteurs : x. y x y = 0 (kx )y x (ky ) = kx y kx y = 0 Ainsi : u = kv x. y x y = 0 x x det (u, v) = 0 y y = 0.7. Démonstration ax + by + c = 0 Soient deux points A et M de coordonnées respectives : A (x A ; y A ) M (x ; y) M(x ; y) est un point quelconque de la droite δ. Ainsi : AM = (x x A ; y y A )

6 Soit le vecteur directeur u tel que u et AM sont colinéaires. Donc si u et AM sont colinéaires alors leur déterminant est nul : Soit u (a ; b) On a alors det (AM, u ) = 0 x x A a y y A b = 0 u = kam (x x A )b (y y A )a = 0 b(x x A ) a(y y A ) = 0 bx ay (bx A + ay A ) = 0 On pose ensuite : c = (bx A + ay A ) On trouve donc : bx ay + c = 0 Je sais vous me direz que c est moche et qu il faudrait sûrement faire quelque chose pour que cette équation soit cohérente et acceptable. On avait u (a ; b) donc on va modifier les lettres de sorte que l on ait non plus, bx ay + c = 0 mais une équation du type ax + by + c = 0. Il faudrait que b = a et que a = b : On modifie donc u (a ; b) en u ( b ; a). Nous avons donc : det (AM, u ) = 0 x x A b y y A a = 0 pour ax + by + c = 0.7. Application Soit la droite δ définie par les point A (; ) et u ( ; ). Déterminer une équation cartésienne de la droite δ. On pose, M (x ; y) ; d où AM (x ; y )

7 (y b) Les nombres complexes det (AM, u ) = 0 x y = 0 (x ) [ (y )] = 0 x [ y + 6] = 0 x + y 6 = 0 x + y 8 = 0.8 Équation cartésienne d'un cercle dans le plan Soit un plan muni d'un repère orthonormé (O, i, j). Soit un cercle C de centre Ω (a ; b) et de rayon r. Soit le point M (x ; y). M C signifie que C est l ensemble des point M situés à distance égale de Ω. ΩM = r et (ΩM) = r (x a) + (y b) = (ΩM) (x a) + (y b) = r y r (x a) x

8 .8. Application Soit l équation : x² 4x + y² 6y = 0 Nous savons que : x 4x = (x ) 4 et y 6y = (y ) 9 x 4x + y 6y = (x ) 4 + (y ) 9 (x ) 4 + (y ) 9 = 0 (x ) + (y ) = 5 Le centre du cercle est Ω ( ; ) et son rayon r = 5..9 Formules de trigonométrie 4

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10 On retiendra ensuite le tableau suivant sachant qu il est préférable de photographier les schémas cidessus pour retenir les valeurs. x R cos x 0 sin x 0 III. Démonstration de la formule de Cardan ax + bx + cx + d = 0 a 0 Si a = 0 alors ax + bx + cx + d = bx + cx + d Posons : x = u + v pour x + px + q = 0 (u + v) + p(u + v) + q = 0 (u + u v + uv + v ) + p(u + v) + q = 0 u + v + (u v + uv ) + p(u + v) + q = 0 u + v + u (uv + v ) + p(u + v) + q = 0 u + v + uv (u + v) + p (u + v) + q = 0 u + v + (uv + p) (u + v) + q = 0 u + v + q + (uv + p) (u + v) = 0 On pose ensuite : uv + p = 0 et u + v + q = 0

11 uv + p = 0 uv = p uv = p (uv) = ቀ p ቁ u v = p 7 u + v + q = 0 u + v = q Nous trouvons ainsi : u v = p 7 u + v = q On pose u = U et v = V afin de faciliter la lecture. UV = p 7 et U + V = q Réduisons l équation d un degré : (x U) (x V) = 0 x (U + V) x + UV = 0 x ( q)x + ( p 7 ) = 0 x + qx p 7 = 0 Ensuite on résout l équation comme on le fait avec un polynôme de degré : = b 4ac = q 4 () ( p 7 ) = q + 4 p 7 Ainsi : Finalement : = q + 4 p 7

12 U = q q + 4 p 7 V = q + q + 4 p 7 Nous savons que x = u + v U + V. Par conséquent, x = q q + 4 p 7 + q q p 7 q q + 4 p 7 x = + q + q + 4 p 7 x = q 7q + 4 p q 7q p + 7 x = q 7q + 4 p q 7q p Enfin, nous avons notre théorème : x = q + 7q 4p 08 + q 7q 4p 08

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