Angles orientés ; 313 ; 241. dans chaque cas
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- Marc Jean-Pierre Benoît
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1 Angles orientés eme Mathématiques Dans tous les exercices on suppose que le plan est orienté Exercice 1 Donner la mesure principale des angles suivants : 11 ; 1 Exercice ; 15 ; 7 5 ; 5 8 ; 1 ; 1 Donner la mesure principale de, dans chaque cas, = + ; Z, = + ; Z, = + ; Z 5, = + ; Z, = + ; Z, = + ; Z, = + ; Z, = + ; Z Exercice Soient A, B, C et D des points du plan tel que :, = + ; Z, = + ; Z 5,! "= + ; Z! 119 = + ; Z 1 et 85,' "= + ; Z 1) Déterminer la mesure principale de chacun des angles orientés précédents,! ",! et,' " ) Montrer que les points, # et ' sont alignés Exercice Pour chacune des questions suivantes une seule des trois réponses proposées est exacte. () 15, +, alors la mesure prinsipale de, est a) b) c)
2 ) Soit, 0 +, alors et sont : a) colinéaires et de sens contraires b) c) colinéaires et de même sens =) Soit! un triangle isocèle de sommet principale tel que,! " 5 Alors la mesure principale de!,! " est : a) 5 b) 5 c) 5 Exercice 5 Soient A= 5,! " et! BC D= 9 deux mesures respectives de deux angles orientés 1) Déterminer la mesure principale A de,! " et la mesure principale D de! ) Dans la suite de l exercice on prendra : A= ; D= 5 ; =!= HI BC #=HI faire une Kigure ) Déterminer une mesure de l angle orienté, que peut-on dire des vecteurs et # ) a) Construire le point ' tel que,' "= + ; Z et '=HI b) Montrer que les points,! et ' sont alignés. Exercice 1) Soit! un triangle tel que :,! "= + ; Z et!,! "= + ; Z a) Calculer,! " et!,! " L) Les réels 101 BC 19 ) a) Construire le triangle! sont ils des mesures de,! " b) Construire le point # tel que!# soit un triangle équilatéral et!,!# "= + ; Z
3 c) Calculer!,!# " et! d) Montrer que #! est un trapèze rectangle Exercice 7 Soit C un cercle de centre et passant par. Soient,! et # trois points du cercle C tel que :,! "= + ; Z, "= + ; Z = + ; Z 1) Construire les points,! et # ) Calculer,! ", ) a) Calculer,! ", " et b) ue peut-on déduire des vecteurs et! ) Montrer que les points! et # sont diamétralement opposés Exercice 8 On considère les points,,! et # tel que :,! "= + ; Z ;!,!# "= + ; Z!# 1,! "= + ; Z 1) Déterminer la mesure principale!#,! " ) Montrer que les points,! et # sont alignés ) Déterminer une mesure de chacun des angles orientés :!, ",!, " Exercice 9 Dans le plan orienté on donne :, "= + ; Z et 5,! "= + ; Z Avec = HI ; = HI et!=hi 1) a) Faire une figure b) Déterminer la mesure principale de l angle orienté,! "
4 c) On donne A= OP R ; A ) Soit +# ) la bissectrice du secteur saillant +,, on marque le point # tel que #= HI. Donner la mesuree principale de l angle orienté,# #" ) Montrer que les points, # et! sont alignés Exercice 10 On représenté ci-contre un cercle de centre et de rayon 1, les triangles! et #' sont équilatéraux et le triangle!# est rectangle en. 1) Déterminer la mesure principale de chacun des angles :,' ",,' "et #',! " ) Montrer que #! et ' sont colinéaires. ) Montrer que ' et! sont S) Montrer que!,'# " Exercice 11 On considère un cercle C de diamètre +, et soient #^ et # O deux droites parallèles distinctes de la droite U ) et passant respectivement par et. Soit V un point de C distinct de et, soient W, Y, et X les projetés orthogonaux de V respectivement sur U ) (AB) 1) a) Montrer que les points, V, W et Y sont sur un même cercle que l on précisera. b) Montrer que : ( JK, JI) = ( A ) a) Montrer que les points W,,, V et X sont sur un même cercle que l on précisera. b) Montrer que : XW,XY ", V "; ) En déduire que le triangle WYX est rectangle en W. Exercice 1 Soit un triangle! et soit C son cercle circonscrit, soit V un point de C tel que : V [,!\ 1) On désigne par,, et! les projetés orthogonales respectifs du point V sur les droites U!), U!) et U ). Faire une figure. Kooli Mohamed est-elle une mesure de,! " orthogonaux., #^ et # O. AM, AB) + kπ ; k Z. d Hechmi
5 ) a) Montrer que les quatre points,,! et V appartiennent à un même cercle que l on précisera. b) En déduire que : V, "=!V,! "++^ ; ^ Z ) a) Montrer que les quatre points,,! et V appartiennent à un même cercle que l on précisera. b) En déduire que :!, V "=!, "+ V O ; O Z ) a) En écrivant :!, "=!, V "+ ; Z et en se rappelant que les points,,! et V sont sur le même cercle C Montrer que :!, "=+ ; Z b) En déduire que les points,, et! sont alignés. Exercice 1 Une seule des réponses est exacte. trouver cette réponse. () Soit '=_V `/V,V +,b R a) ' est l arc privé des points et du cercle C passant par et et tangent à Uc) en tel que : c, " +,. R b) ' est l arc privé des points et du cercle C passant par et et tangent à U c) en tel que :, c " +,. R c) ' est l arc privé des points et du cercle C passant par et et tangent à U c) en Exercice 1 tel que :, c " +,. R Soient deux points distincts du plan tel que!= ; on se propose de compléter la construction du triangle! tel que:,! " +, et!, " +, 1) Déterminer l ensemble des points V tel que,! V " +, f ) Déterminer l ensemble C des points V tel que V!,V " +, P ) En déduire la construction du triangle!.
6 Exercice 15 Soient, et W trois points du plan tel que = et W W =0 On se propose de construire un triangle! tel que :!,! " 1) Calculer W et W. f +, et! =! ) Déterminer l ensemble C 1 des points V tel que : V, V " ) Déterminer l ensemble C des points V tel que : V O V O =0 ) Construire alors le tringle!. Exercice 1 Soit!# un losange de centre W et tel que = BC, 1 # " +, 1) Donner la mesure principale des angles suivants :, # " ; #W,# " ;,! " et,!# ". ) Calculer gbc, # ; gbc#!,! ; gbcw#, W ; gbcw,! ; gbc, W!. f
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