Résolution d une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants

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1 UNIVERSITE DES SCIENCES ET TECHNOLOGIES DE LILLE U.F.R. de Mathématiques Pures et Appliquées Département de Mécanique Résolution d une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants M. Baudoin 1 Existence et unicité de la solution On considère l équation linéaire du second ordre à coefficients constants : ay + by + cy = d(t) où (a, b, c) R 3, a 0 et où y désigne une fonction C 2 (I K) avec K = R ou C et I un intervalle de R. Théorème de Cauchy-Lipschitz Soit (t 0, y 0, y 1 ) I K 2, le problème de Cauchy associé à l équation (E) : ay + by + cy = d(t) y(t 0 ) = y 0 y (t 0 ) = y 1 admet une solution unique. Attention les conditions sur y et sa dérivée doivent être données au même point, sinon la solution n est pas nécessairement unique. 2 Solution de l équation homogène 2.1 Cas général L équation homogène associée à l équation (E) est l équation sans second membre : a y h + b y h + c y h = 0 Pour déterminer l ensemble de ses solutions, on pose y h = Ke rt. En remplaçant dans l équation homogène, on obtient l équation du second ordre associée : ar 2 + br + c = 0 Il y a donc 3 cas possibles selon le signe du déterminant = b 2 4ac > 0. Dans ce cas les deux racines réelles sont : r 1 = b + r 2 = b y h = K 1 e r 1t + K 2 e r 2t 1 (E) (H) (S)

2 = 0. Dans ces cas la racine double de l équation est : r 3 = b y h = (K 3 + K 4 t) e r 3t < 0. Dans ce cas les deux racines complexes conjuguées sont : r 5 = b + i r 6 = b i y h = K 5e r 5t + K 6e r 6t Attention, dans cette expression K5 et K 6 sont des constantes complexes. Etant donné que les deux racines sont complexes conjuguées, on peut mettre la solution sous la forme : [ y h = e b t ] K 5 cos( t) + K 6 sin( t) Démonstration : K 5 = (K 5 + K 6) et K 6 = (K 5 K 6)i 2 constantes réelles. (1) [ ] y h = K5e r5t + K6e r6t = e b t K5e i / t + K6e i / t [ ( = e b t K5 cos( / t) + i sin( ) ( / t) + K6 cos( / t) i sin(i )] / t) [ = e b t (K5 + K6) cos( t) + (K5 K 6 )i sin( t) On préfèrera toujours cette seconde forme où les constantes sont réelles. La solution est donc harmonique (oscillation à une fréquence donnée) avec une amplitude qui croit ou décroit exponentiellement selon le signe de b/. 2.2 Cas particuliers Deux types d équations sont rencontrées régulièrement en physique : Equation de la forme y h ω2 o y h = 0. Cette forme d équation correspond au cas général avec a = 1, b = 0, c = ω 2 o et la solution est donc : y h = K 7 e ωot + K 8 e ωot Dans de nombreux cas physiques, l un de ces deux coefficients s annule car la solution ne peut tendre vers l infini lorsque t tend vers + ou l infini. ] (2) 2

3 Equation de la forme y h + ω2 o y h = 0. Cette forme d équation correspond au cas général avec a = 1, b = 0, c = ω 2 o et la solution est donc : y h = K 9e iωot + K 10e iωot ou de manière équivalente : y h = K 9 cos(ω o t) + K 10 sin(ω o t) K 9 = (K 9 + K 10) et K 10 = (K 9 K 10)i 2 constantes réelles. (3) On préfèrera toujours cette seconde forme où les constantes sont réelles. Cette équation est donc l équation d un oscillateur libre à la fréquence ω o. 3 Solution particulière de l équation Une fois la solution de l équation homogène déterminée, il faut déterminer UNE solution particulière de l équation globale avec second membre (E). Pour ce faire, il existe différentes méthodes. Une des méthodes systématiques est la méthode de variation de la constante que nous décrirons dans la prochaine section. Dans certains cas simplifiés, on peut, en observant attentivement l équation, trouver directement la forme de la solution particulière. Nous donnerons quelques exemples dans la section suivante. 3.1 Méthode de variation de la constante La forme générale de la solution de l équation homogène est : y h = K A f A (t) + K B f B (t) f A (t) = e b+ t et f B (t) = e b t si > 0 f A (t) = e b t cos ( t ) f A (t) = e b t et f B (t) = t e b t si = 0 et f B (t) = e b t sin ( t ) si < 0 La méthode de variation de la constante consiste à supposer que la solution particulière est de la forme : y p = K(t)f A (t) ou y p = K(t)f B (t) c est à dire que l on prend une solution de l équation homogène et on suppose que la constante correspondante dépend de t. Dans la suite, nous noterons f(t) l une des solutions de l équation homogène (f(t) = f A (t) ou f B (t)). Il reste maintenant à déterminer l expression de K(t). Première étape : recherche de l équation satisfaite par la fonction K(t). y p (t) = K(t)f(t) y p(t) = K (t)f(t) + K(t)f (t) y p(t) = K (t)f(t) + 2K (t)f (t) + K(t)f (t) 3

4 En remplaçant ces expressions dans l équation (E), on obtient : ay p + by p + cy p = [af(t)] K (t) + [ f (t) + bf(t) ] K (t) = d(t) On remarque que les termes en K(t) s annulent. Deuxième étape : détermination de K (t). En posant C(t) = K (t), on obtient donc une équation différentielle du premier ordre vérifiée par C(t) : [af(t)] C (t) + [ f (t) + bf(t) ] C(t) = d(t) que l on peut résoudre avec les méthodes habituelles pour déterminer C(t). Troisième étape : détermination de K(t). Il suffit alors d intégrer l expression de C(t) = K (t) (sans introduire de constante d intégration car l on cherche UNE solution particulière) pour obtenir l expression de K(t). 3.2 Cas simples : détermination directe de la forme de la solution Dans certains cas simples, il est possible de déterminer directement la forme de la solution particulière sans utiliser la méthode de variation de la constante, en s inspirant de la forme de d(t). Exemple 1 ay + by + cy = d (4) où d est une constante. Dans ce cas la solution particulière est trivialement y p = K avec K constante. En remplaçant dans l équation, on trouve : c K = d et donc K = d c Exemple 2 où P(t) désigne un polynôme d ordre n. ay + by + cy = P (t) (5) Dans ce cas, on peut prendre la solution particulière sous forme d un polynôme de même ordre n : y p = Q(t). Exemple : polynôme d ordre 2 ay + by + cy = αt 2 + βt + γ avec α, β, γ, 3 constantes (6) On pose dans ce cas, y p = lx 2 + mx + p, où l, m, p sont trois constantes à déterminer en fonction de a, b, c et de α, β, γ. Si l on dérive cette expression, on obtient : y p = lx 2 + mx + p y p = 2lx + m y p = 2l 4

5 En remplaçant dans l équation (6), on obtient : [cl] x 2 + [cm + 2bl] x + [cp + bm + l] = αt 2 + βt + γ On a donc, en identifiant les coefficients du polynôme : cl = α cm + 2bl = β cp + bm + l = γ On a donc un système de 3 équations à 3 inconnues, que l on peut résoudre facilement : Exemple 3 l = α c m = β c 2bα c 2 p = γ c βb c 2 + 2b2 α c 3 α c 2 où P(t) désigne un polynôme d ordre n. ay + by + cy = P (t)e λt (7) Dans ce cas, on peut prendre la solution particulière sous forme du produit d un polynôme de même ordre n et de la fonction exponentielle : y p = Q(t)e λt. Il suffit alors d identifier les coefficients des polynômes, comme dans l exemple précédent. Faire le calcul pour un polynôme d ordre 2 à titre d exercice. 4 Solution globale du problème de Cauchy Une fois la solution homogène et la solution particulière déterminées, la solution générale de l équation est bien sûr la somme de ces deux solutions : y = y h + y p Bien sûr cette solution fait intervenir deux constantes inconnues qu il faut déterminer à l aide des conditions aux limites. Une fois ces deux coefficients déterminés, on obtient LA solution du problème de Cauchy 5