Chapitre 1 : Fonctions (généralités) Troisième partie : La dérivation

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1 Chapitre : Fonctions (généralités) Troisième partie : La dérivation Nombre dérivé Définition : Soit f une fonction définie sur un intervalle I contenant le réel a. On dit que f est dérivable en a lorsque l une ou l autre des deux conditions suivantes est réalisée : ) Il existe un réel l tel que l accroissement moyen ait pour limite l : f (a+ h) f (a) lim = l h 0 h 2) Il existe un réel l et une fonction φ tels que f (a+ h)= f (a)+lh+ hφ(h) où lim h 0 φ(h)=0. Le nombre réel l est appelé nombre dérivé de f en a et est noté f f (a+ h) f (a) (a) : lim = f (a). h 0 h Remarques : En posant x= a+ h, le nombre dérivé de f en a s écrit : f f (x) f (a) (a)= lim. x a x a Si la limite est infinie ou si elle n existe pas, f n est pas dérivable en a. Exercices. Montrer que la fonction f : x x 2 est dérivable en a = 2 et déterminer f (2). 2. Montrer que la fonction f : x x+ est dérivable en a= 0 et déterminer f (0). 3. Montrer que les fonctions f : x x et g : x x ne sont pas dérivables en a= 0. Théorème : Toute fonction dérivable en a est continue en a. (la réciproque est fausse) Démonstration :

2 2 Interprétation graphique ( ) f (a+ h) f (a) Graphiquement, l accroissement moyen de f en a représente le coefficient directeur de la sécante à la h courbe C f de f entre les points d abscisses a et a+ h. Lorsque h tend vers 0, l accroissement moyen de f en a tend vers f (a) et la sécante (AB) est alors tangente à C f en A et son coefficient directeur est f (a). Une équation de la tangente T à C f au point d abscisse a est : y = f (a)(x a)+ f (a) 2. Approximations affines La tangente T n est autre que la représentation graphique de l approximation affine de f en a. La fonction x f (a)+ f (a)(x a) est appelée «approximation affine de f en a». C est une fonction affine. Exercice Soit f la fonction définie pour tout x R par f (x)= x 2. On note C sa représentation graphique.. a. Calculer f () à l aide d un taux d accroissement. b. Quelle st l équation de la tangente à C au point d abscisse? c. Montrer que l approximation affine de f en est x 2x. 2. Déduire de la question précédente que,0 2,02 Exercice Evaluer 4,08 à l aide d une approximation affine. 3 Fonctions dérivées Définition : Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On dit que f est dérivable sur I si f admet un nombre dérivé en tout réel x de I. La fonction dérivée de f, notée f, est la fonction définie sur I qui, à tout réel x de I, associe le nombre dérivé de f en x, noté f (x). Remarques : Les fonctions polynômes sont dérivables sur R, les fonctions rationnelles sur tout intervalle où elles sont définies. 2

3 3. Dérivées de fonctions usuelles f (x)= f (x)= I a x 2 x 3 x x n (n Z ) x cos x sin x tan x cos 2 x D t an 3.2 Opérations sur les dérivées Opération Fonction Dérivée Somme Multiplication Produit Inverse quotient u+ v k u u v u, u 0 u v Exercice : Déterminer la fonction dérivée de chacune des fonctions suivantes : f est la fonction définie sur [0;+ [ par : f (x)=(x ) x ; g est la fonction définie sur R { ;0} par : g (x)= 4x2 + x+ 2 x 2. + x 3.3 Dérivation de fonctions composées Théorème 2 : Soit u une fonction définie et dérivable sur un intervalle I tel que, pour tout x de I, u(x) J et v une fonction définie et dérivable sur J. Alors autrement dit, f = (v u) u f = v u est dérivable sur I et pour tout x I, f (x)=(v u) (x)= v [u(x)] u (x), 3

4 Fonctions composées Dérivées u 2 2uu u n (n Z ) et u 0 si n< 0 nu n u u u (u> 0) 2 u sin u u cosu cosu u sinu Exercice : Déterminer les dérivées des fonctions suivantes : f est la fonction définie sur R {0} par : f (x)=sin x. g est la fonction définie sur R par : g (x)=cos(x 2 ). 4 Applications de la dérivation à l étude de fonctions 4. Dérivées et sens de variations Théorème 3 (Lien entre le signe de la dérivée et les variations de la fonction) : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.. f est constante sur I si et seulement si f = 0 sur I. 2. f est croissante (resp. décroissante) sur I si et seulement si f 0 (resp. f 0) sur I. Remarque : Si f est strictement positive (resp. négative) sur I sauf éventuellement en des points isolés où elle s annule alors f est strictement croissante (resp. décroissante) sur I. 4.2 Dérivées et extremums Théorème 9 : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I et x 0 un réel de I distinct des extrémités de I. Si f admet un extremum local en un point x 0, alors f (x 0 )=0 Remarque : Un extremum local est soit un maximum local, soit un minimum local. Une fonction f admet un maximum local en x 0 s il existe un intervalle ouvert J du type ]x 0 ε ; x 0 +ε[ (avec ε>0) tel que pour tout x de J on ait f (x) f (x 0 ). (On définit de façon analogue un minimum local). Une fonction peut avoir plusieurs maxima sur un même intervalle I. Le plus grand d entre eux est appelé maximum global de f sur I. 4

5 f(x 0) f(x 0 ) a x 0 x 0 b Théorème 4 : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I et x 0 un réel de I distinct des extrémités de I. Si f s annule en x 0 en changeant de signe alors f a un extremum local en x 0. 5 Exercices Exercice f est la fonction définie sur [ ;] par f (x)= x 2. La fonction f est-elle dérivable en? en 0? Exercice 2 On considère la fonction f définie sur R par f (x)= x3 4 x 2 et on note C sa courbe représentative dans un repère orthonormé + d unité cm.. On pose g (x)= x 3 + 3x+ 8. a. Étudiez le sens de variation de g et montrez que l équation g (x) = 0 admet sur R une unique solution α dont vous donnerez un encadrement d amplitude 0 2. b. Précisez le signe de g (x) suivant les valeurs de x. 2. a. Étudiez les limites de f en et +. b. Calculez f (x) et dressez le tableau de variation de f. 3. a. Montrez qu il existe quatre réels a, b, c, et d tels que f (x)= ax+ b+ cx+ d x 2 + b. Déduisez en que C admet une asymptote oblique et étudiez la position de C par rapport à. Vérifiez en particulier que C rencontre en un unique point. 4. Déterminez les abscisses des point B et B de C admettant une tangente parallèle à. 5. a. Vérifiez que f (α) = 3α/2. Déduisez en une valeur approchée de f (α). b. Tracez, C ainsi que les points A, B, B et M, N, P d abscisses respectives, 2 et, sans oublier les six tangentes en ces points. 5

6 Exercice 3 (Problème d optimisation : les dents de la mer XXXII) Albert est un fervent adepte de la plongée sous-marine. Alors qu il se trouve en A et s émerveille devant la beauté du paysage aquatique, il aperçoit au loin un requin d une taille qui le dissuade de poursuivre plus avant son exploration des fonds marins et décide de rejoindre son bateau situé en B. À quel endroit doit-il rejoindre la surface pour que le temps de parcours soit minimal? H M(x) 30 m B 8 m A Grâce à l adrénaline secrétée par la portion médullaire de ses glandes surrénales, Albert se déplace à la vitesse de 7,2km.h sous l eau et à la vitesse de 9km.h en surface. On supposera que la surface de l eau est rectiligne, que la dérive due au courant est nulle et que la trajectoire d Albert est une ligne brisée. 6