EQUATIONS ET INEQUATIONS CHOISIR LA FORME LA MIEUX ADAPTEE

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1 Exercice n 1. On pose, pour tout réel x, EQUATIONS ET INEQUATIONS CHOISIR LA FORME LA MIEUX ADAPTEE f x x x = ) Montrer que pour tout réel x, f x ( x ) = 1 ) Déduisez-en une factorisation de f ( x ) ) En utilisant la forme la plus adaptée, résoudre dans R : Les équations f ( x ), f ( x ) = 1, f ( x ) = 8 L inéquation f ( x ) < 0 Exercice n. (concours ETAA 009) f x = x + 4x 5 Soit f la fonction définie pour tout réel x par : f x = x ) a) vérifier que, pour tout réel x : b) En déduire une forme factorisée de f ( x ) ) Calculer la valeur exacte de chacun des nombres suivants, en utilisant pour chaque nombre la forme la plus appropriée 1 de f ( x ) : f f ; f ( 5) ; f ( 1+ 5) et f ; ) Déterminer le ou les antécédents par f des nombres suivants : 0 ; -5 et 11. Résoudre l inéquation f ( x ) < 16 Exercice n. On pose A( x) = 9 49x (4x + 1)(1 8x) ( x) 1) Développer et réduire A (x) ) Factoriser A (x). ) En choisissant la forme de A (x) la plus appropriée, résoudre les quatre équations : a) A ( x) b) A ( x) + 1 c) Exercice n 4. On pose f ( x) = x 9 ( x + ) A( x) 9 49x = d) A x x x = ) Déterminez la forme développée de f ( x ) ) Déterminez la forme factorisée de f ( x ) ) Parmi les trois écritures de f ( x ) : la forme initiale, la forme développée et la forme factorisée, précisez celle qui permet d effectuer le plus rapidement le calcul de f (0) On veut résoudre l équation f ( x ). Parmi les trois écritures de f ( x ) : la forme initiale, la forme développée et la forme factorisée, précisez celle qui permet de résoudre le plus rapidement l équation f ( x ). 5) Déterminez les solutions de l équation f ( x ) Exercice n 5. Soit A ( 6x 5) ( x 1)( 6x 5) =. On appelle «expression n 1» cette écriture de A. 1) Développer, réduire et ordonner A. On appelle «écriture n» cette deuxième écriture de A. ) Factoriser A. On appelle «écriture n» cette troisième écriture de A. ) a) Calculer A pour x = b) Est-ce l expression n 1, ou n qui permet d effectuer ce calcul le plus rapidement possible? a) Calculer A pour x = b) Est-ce l expression n 1, ou n qui permet d effectuer ce calcul le plus rapidement possible? 5) Résoudre l équation A=0 et indiquer l expression choisie parmi les expressions n 1, ou n Page 1/6

2 Exercice n 6. A = x x 5 x Soit 1) Développer, réduire et ordonner A ) Reprendre l expression initiale et factoriser A ) a) Calculer A pour x=0 b) Calculer A pour x = c) Calculer A pour x = (On donnera le résultat sous la forme a + b où a et b sont des entiers) Résoudre l équation A=0 Page /6

3 Exercice n 1 On pose, pour tout réel x, EQUATIONS ET INEQUATIONS CHOISIR LA FORME LA MIEUX ADAPTEE CORRECTION f ( x) = x 6x + 8 (forme initiale) 1) Pour tout réel x, ( x ) 1 = x 6x = x 6x + 8 = f ( x). Ainsi, pour tout x R, f ( x) ( x ) (deuxième forme) ) On en déduit que pour tout x R, f ( x) ( x ) 1 ( x 1)( x 1) ( x ( x ) = 1 = = + = (forme factorisée) ) Pour résoudre l équation f ( x ), on utilise la forme factorisée f ( x) = ( x ( x ). Ainsi f ( x) ( x ( x ). D après la propriété du produit nul, l équation ( x )( x ) x 4 x = 4 OU x x =. Ainsi S = { } Pour résoudre l équation 1 1 ;4 f x =, on utilise la deuxième forme f ( x) ( x ) = 1. Ainsi f ( x) = 1 ( x ) 1 = 1 ( x ) x x =. Ainsi S = { } Pour résoudre l équation f ( x ) = 8, on utilise la forme initiale Ainsi f ( x) x x x x x( x ) f ( x) = x 6x équivaut = = D après la règle du produit nul, l équation f x = 8 x x 6 équivaut à x OU x 6 0 x 6 = =. Ainsi S = { } 0;6 Pour résoudre l inéquation f ( x ) < 0, on utilise la forme factorisée ( f x = x x, et on dresse le tableau de signes. On lit sur le tableau que f ( x) < 0 x ] ;4[. Ainsi S = ] [ 4 ;4 Exercice n. (concours ETAA 009) 1) a) Pour tout réel x, ( x + ) 9 = x + 4x = x + 4x 5 = f ( x) f x = x + 9 est donc bien montré pour tout réel x. L égalité b) On utilise la question précédente : Pour tout réel x, f ( x) = ( x + ) 9 = ( x + ) = ( x + )( x + + ) = ( x 1)( x + 5) Une forme factorisée de f ( x ) est donc : f ( x) = ( x 1)( x + 5) ) Pour calculer 1 f, on peut utiliser la forme initiale : f = + 4 5= + 5= + = Pour calculer f ( ), on peut utiliser la formule de la question 1 a : Pour calculer ( 5) f, on peut utiliser la forme factorisée : Pour calculer f ( 1+ 5), on peut utiliser la forme initiale : f = = 9 f 5 = = 6 0 f ( 1+ 5) = ( 1+ 5) + 4 ( 1+ 5) 5 = ( 5) = = Pour calculer f, on peut utiliser la forme initiale : f = = = + 4 ) Déterminer le ou les antécédents par f de 0 revient à résoudre l équation f ( x ). On utilise la forme factorisée : f ( x) ( x 1)( x + 5) x 1 ou x + 5 x = 1 ou x = 5 Page /6

4 Les antécédents par f de 0 sont donc 5 et 1. Déterminer le ou les antécédents par f de -5 revient à résoudre l équation f ( x ) = 5. On utilise la forme initiale : f ( x) = 5 x + 4x 5 = 5 x + 4x x( x + x ou x = 4 Les antécédents par f de -5 sont donc -4 et 0. Déterminer le ou les antécédents par f de -11 revient à résoudre l équation f ( x ) = 11. On utilise la formule de la question 1 a : f ( x) = 11 ( x + ) 9 = 11 ( x + ) =. Or pour tout réel x, ( x + ) = n admet pas de solution, et il s en suit que 11 n admet pas d antécédent par f. Pour résoudre l inéquation f ( x ) < 16, on utilise la formule de la question 1 a : f ( x) ( x ) ( x ) ( x ) ( x + 5)( x + + 5) < 0 ( x )( x + ) < 0 On dresse le tableau de signes de l expression ( x )( x + ) : On en conclut que ( x )( x + ) < 0 si et seulement si x ] ;[ < < < < 0 L inéquation f ( x ) < 16 admet donc pour ensemble de solution S = ] ;[ x + 0, donc l équation Exercice n On pose A( x) = 9 49x (4x + 1)(1 8x) ( x) (Forme initiale) 1) Pour tout x R, A x x x x x = 9 49 (4 + 1)(1 8 ) = 9 49x 48x 11x + 1 8x 9 4x + 49x = x x x x + x + x = x + x (Forme développée) ) Pour tout x R, A( x) = 9 49 x (4x + 1)(1 8 x) x ( x)( x) 4(4x 1)( x) ( x) ( x) x 4(4x 1) ( x) ( x)[ x 16x 4 x] = + + = + + = + + ( x)( x = Forme factorisée ) a) Pour résoudre l équation ( x) A, on utilise la forme factorisée A( x) = ( x)( x Ainsi A( x) 0 ( x)( x 0 = =. D après la règle du produit nul, l équation est équivalente à x x = OU x 4 x =. Ainsi S1 = ; b) Pour résoudre l équation A ( x) + 1, on utilise la forme développée A x x x Ainsi A( x) x x x x x( x ) = D après la règle du produit nul, l équation est équivalente à x x OU x + 11 x =. Ainsi S = 0; c) Pour résoudre l équation A( x) x = 9 49, on utilise la forme initiale : Page 4/6

5 A Ainsi ( ) ( x) = 9 49x (4x + 1)(1 8x) x A( x) = 9 49x 9 49 x (4x + 1)(1 8 x) x = 9 49x (4x + 1)(1 8 x) x On factorise : (4x + 1)(1 8 x) x x x ( x) ( x) ( x ) ( x) ( x)[ 9x ] 0 4(4 + 1)( ) = D après la règle du produit nul, l équation est équivalente à x x = OU 9x x =. Ainsi 9 S = ; 9 d) Pour résoudre l équation A( x) = 1x + 0x 1, on utilise la forme dévelopée A x = x + x Ainsi A( x) = 1x + 0x 1 14x + x 1 = 1x + 0x 1 x x x x x = 1 Ainsi S 4 = { 1} Exercice n 4 f ( x) = x 9 x + On pose ) Déterminez la forme f ( x) = x 9 x + = x 9 x + 6x + 9 = x 9 x 1x 18 = x 1x développée de f ( x ) ) Déterminez la forme f ( x) = x 9 ( x + ) = ( x )( x + ) ( x + ) = ( x + )[( x ) ( x + ) ] = ( x + )( x 9) factorisée de f ( x ) ) Parmi les trois écritures de f ( x ) : la forme initiale, la forme développée et la forme factorisée, précisez La forme celle qui permet d effectuer le plus rapidement le calcul de f (0) développée On veut résoudre l équation f ( x ). Parmi les trois écritures de f ( x ) : la forme initiale, la forme La forme développée et la forme factorisée, précisez celle qui permet de résoudre le plus rapidement l équation factorisée f ( x ). 5) Déterminez les solutions de f ( x ) lorsque ( x + )( x 9), donc, d après la règle du produit nul, lorsque l équation f ( x ) x + ou x 9. Les solutions sont donc et -9 Exercice n 5 Soit A ( 6x 5) ( x 1)( 6x 5) =. On appelle «expression n 1» cette écriture de A. 1) Développer, réduire et ordonner A. On appelle «écriture n» cette deuxième écriture de A. ) Factoriser A. On appelle «écriture n» cette troisième écriture de A. ) a) Calculer A pour x = ( 6 ) [ ] A = x x + x x x x + = = + A = 6x 5 6x 5 x 1 6x 5 6x 60x 5 18x 15x 6x 5 18x 9x 0 ( 6x 5) ( 6x 5) ( x 1) ( 6x 5)[ 6x 5 x 1] ( 6x 5)( x = = + = En utilisant l expression n (factorisée), on calcule : Page 5/6

6 b) Est-ce l expression n 1, ou n qui permet d effectuer ce calcul le plus rapidement possible? a) Calculer A pour x = b) Est-ce l expression n 1, ou n qui permet d effectuer ce calcul le plus rapidement possible? 5) Résoudre l équation A=0 et indiquer l expression choisie parmi les expressions n 1, ou n 1 6 A = = 5 4 = = 1 = En utilisant l expression n (développée), on calcule : A = = = On utilise l expression n (factorisée) A ( 6x 5)( x = et la règle du produit nul : Pour que A=0, il faut et il suffit que 6x 5 ou x 4, 5 4 c est à dire que x = ou x = 6 A = x x 5 x Exercice n 6 Soit 1) Développer, réduire et ordonner A A = ( x )( x 5) ( x ) ) Reprendre l expression initiale et factoriser A ( x) ( x) ( x) ( x) ( x) ( x) = = x x x + x + x = x + x 1 14 = ( )( 5) ( ) = ( ) ( 5) ( ) ( x )[ x 5 x ] ( x )( x ) A x x x x x x = + = + ) a) Calculer A pour x=0 On utilise l expression développée (question 1), pour calculer : A = = 14 On utilise l expression factorisée (question ), pour calculer : b) Calculer A pour x = A = + + c) Calculer A pour x = On utilise l expression développée (question 1), pour calculer : (On donnera le résultat sous la forme A = ( ) = = a + b où a et b sont des entiers) Résoudre l équation A=0 On utilise l expression factorisée (question ), pour résoudre l équation : A=0 si et seulement si x ou x +, c est-à-dire si et seulement si x = ou x = Page 6/6