1. Schéma d Euler direct On donne l équation différentielle suivante :

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1 1 Feuille n o 1 : Schémas à un pas pour les équations différentielles 1. Schéma d Euler direct On donne l équation différentielle suivante : y (x) = x x 3, y() = On calcule la valeur approchée yj h de y(x j) avec x j = jh, j N par la méthode d Euler. Trouver une formule explicite pour y h j et e(x j, h) = y h j y(x j). Montrer que e(x, h), pour x fixé, tend vers quand h = x tend vers. n n On rappelle que j 3 n(n + 1) = [ ] On appelle méthode d Euler modifiée, la méthode pour laquelle : Φ(x, y, h) = f[x + h 2, y + h f(x, y)] 2 Montrer qu elle fournit la solution exacte de l équation différentielle : y = 2ax. Quel est l ordre de cette méthode? 3. Ecrire le schéma d Euler pour l équation : dx dt = xe x x() = x o R donné (1) Donner une estimation précise de l erreur de consistance. Donner une estimation précise de la constante de stabilité. 4. Schéma d Euler implicite On considère le schéma d Euler implicite (ou rétrograde) donné, avec les notations habituelles par x n+1 = x n + hf(t n+1, x n+1 ), x o donné, (2) avec t n = hn, T = hn, pour résoudre numériquement l équation différentielle dx dt = f(t, x(t)) sur [, T ], x() donné, (3)

2 2 dont on admet qu elle possède une solution unique. Pour cela on suppose qu il existe deux constantes K et M telles que t [, T ] x, y R d f(t, x) K et f(t, x) f(t, y) M x y. (a) On définit l erreur de consistance par ε n = x(t n+1 ) x(t n ) hf(t n+1, x(t n+1 )), où x(.) est une solution exacte de (3). Montrer que sous des hypothèses de régularité convenables, on a ε n C o h 2. (b) Montrer que le schéma d Euler implicite est consistant avec (3). (c) Montrer qu il est stable pour h petit. On prendra par exemple h 1 M 1 a avec a > et on estimera la constante de stabilité en fonction de M, T et a. Montrer qu il est convergent. (d) On considère maintenant le cas particulier où λ et g C 2 ([, T ]) sont donnés. f(t, x) = λ(x g(t)) + g (t), Calculer alors la solution de (34) en la cherchant sous la forme x(t) = y(t) + g(t). Tracer x(t) pour g(t) = t. (e) On pose e n = x(t n ) x n où x n est donné par la relation (33) avec x() = x o. Montrer que pour cette fonction f particulière on a (f) On pose e n+1 = e n 1 + λh + ε n 1 + λh. (4) 1 = 1 b, < b < 1. Déduire successivement de (4) que 1 + λh i. e (n+1)b e n+1 e nb e n + C o h 2 (1 b)e (n+1)b. ii. e n+1 C 1 1 e (n+1)b 1 e b et calculer C 1 en fonction de C o, h, b. 1 e bt/h iii. x(t ) x N C 1 1 e b (g) Montrer que, quelque soit le choix de h, cette erreur reste bornée.

3 3 5. On considère le système d E.D.O. : dx dt dy dt = y(t) 2, x o R donné = sin( 1 + x(t) 2 ), y o R donné (a) On admet l existence d une solution globale unique du système et on considère le schéma numérique : x n+1 = x n + h 2 y n sin( 1 + x 2 n) y n+1 = y n + h sin( 1 + x 2 n + h y2 n ) (b) Montrer qu il est consistant. (c) Avec les notations du cours calculer Φ (x, y; ) h (d) Calculer f (1) (e) Ce schéma est-il d ordre 2? 6. On considère un schéma numérique : associé à l équation différentielle : On suppose ce schéma stable et consistant. x n+1 = x n + h ϕ(x n, t n ; h) x o donné (5) dx dt = f(x, t) x() = x o (6) (a) On introduit les erreurs d arrondis : a et de calcul de ϕ : b. On calcule donc à la place de x n, x n donné par : x n+1 = x n + h ϕ(x n, t n ; h) + hb + a, x o = x o (7) (b) Montrer qu il existe une constante M telle que : x(t n ) x n M[ k<n ε k + hnb + an] et dire ce que représente ε n ; donner une estimation de ε n pour les schémas d ordre 1, (Euler par exemple ).

4 4 (c) Si a et b sont fixés (petits ), x N converge-t il vers x(t ) (avec Nh = T )? (d) On suppose maintenant ε n = Ch 3 et b =. Quelle est l erreur x(t ) x N minimale possible pour h > et donner la valeur de h correspondante en fonction de a et de C. 7. Soit f une fonction continue sur R R dans R; on suppose qu il existe une constante positive L telle que t R (x 1, x 2 ) R R f(t, x 1 ) f(t, x 2 ) L x 1 x 2. (8) Soit T > ; on considère l équation différentielle suivante dx dt = f(t, x) sur ], T [, x() = x o donné dans R. (9) On admet l existence et l unicité d une solution globale de cette équation. Etant donnés les réels (a 1, a 2, b 1, b 2 ) et c ], 1] on définit la fonction Φ : [, T ] R R + R de la façon suivante Φ(t, x, h) = b 1 f(t, x) + b 2 f(t + c h, x ), avec x = x + h[a 1 f(t, x) + a 2 f(t + c h, x )]. (1) On se donne ensuite le schéma numérique suivant { x o (11) x n+1 = x n + hφ(t n, x n, h), où T = Nh et t n = nh. (a) Pour quelles valeurs des réels (a 1, a 2, b 1, b 2 ) le schéma est-il direct? (b) Pour quelles valeurs des réels (a 1, a 2, b 1, b 2, c) retrouve t on le schéma d Euler direct? le schéma d Euler implicite? (c) On suppose que a 2 = i. Ecrire le schéma obtenu.qu appelle t on l erreur de consistance? ii. Pour quelles valeurs de b 1 et b 2 le schéma est-il consistant? iii. Donner une condition sur a 1, b 1, b 2 et c pour que le schéma soit d ordre 2. En supposant ensuite que a 1 = c, écrire le schéma obtenu en fonction de c. iv. Le schéma obtenu à la question (c) est-il stable? Justifiez votre réponse.

5 5 Feuille n o 2 : Méthodes de Runge et Kutta On se donne q réels c 1,..., c q quadrature numérique (distincts ou non) et on leur associe des formules de ci q Ψ(t) dt a ij Ψ(c j ), j = 1,..., q. (12) j=1 On se donne aussi une formule de quadrature permettant de calculer 1 q Ψ(t) dt b i Ψ(c j ). (13) j=1 1. Donner un exemple de telles formules en prenant q = 2, et c i [, 1 ]. 2. On considère maintenant l équation différentielle dy dt = f(t, y(t)) sur ], 1 [, y() = y o (14) où f est une fonction continue de [, 1 ] R dans R globalement lipschitzienne par rapport à y uniformément par rapport à t, de constante L. On se donne une subdivision régulière de [, 1 ], t o = < t 1 <... < t N = 1. On note que t n = nh et Nh = 1. On raffine la subdivision précédente en posant t n,i = t n + c i h, i = 1,..., q, (ce qui suppose implicitement que les c i sont dans [, 1 ].) Montrer qu on a, pour tout i = 1,..., q et y(t n,i ) y(t n ) + h y(t n+1 ) y(t n ) + h q a ij f(t n,j, y(t n,j )), j=1 q b j f(t n,j, y(t n,j )). j=1 Les méthodes de Runge-Kutta consistent à remplacer les égalités approchées précédentes par des égalités; on obtient ainsi le schéma numérique : q y n,i = y n + h a ij f(t n + c j h, y n,j ), i = 1,..., q j=1 (15a)

6 6 y n+1 = y n + h q b j f(t n + c j h, y n,j ). j=1 (15b) Autrement dit, y n étant donné, les y n,i sont déterminés par le système de q équations non linéaires à q inconnues (15a), puis y n+1 est déterminé de manière directe par (15b). On va d abord montrer que si h est assez petit, le système (15a) admet une solution unique. Soit n fixé: on ne le mentionne pas. On pose Y = y 1. y q, Y = y 1. y q, et Θ(Y ) = θ 1 (Y ). θ q (Y ), avec Montrer que q θ i (Y ) = y + h a ij f(t n + c j h, y j ). j=1 Θ(Y ) Θ(Z) hl A Y Z, où A est la matrice de coefficients (a ij ) et A la matrice de coefficients ( a ij ). On suppose que hlρ( A ) < 1 (où ρ( A ) est le rayon spectral de A ). Montrer que l aplication Y Θ(Y ) est contractante. En déduire l existence et l unicité de la solution de (15a). 3. Ecrire le schéma de Runge- Kutta sous la forme y n+1 = y n + h Φ(t n, y n, h) et préciser la définition de Φ. On a coutume de représenter la méthode de Runge-Kutta par le tableau ci-dessous c 1 a 11 a a 1q c 2 a 21 a a 2q.... c q a q1 a q2... a qq b 1 b 2... b q 4. A quelle condition sur la matrice A a-t on une méthode explicite?

7 7 5. Décrire ou reconnaître les méthodes de Runge-Kutta suivantes (a) q = 1 et 1 (b) q = 2 et α α α 2α où α. Ecrire la méthode pour α = 1/2 et α = 1. (c) Détailler la méthode donnée par Montrer que les méthodes de Runge-Kutta sont stables. 7. On s intéresse maintenant à l ordre de ces méthodes. On note a 11 a a 1q c 1... a A = 21 a a 2q..., C =. c.. b , b =. b q a q1 a q2... a qq... c q , e = Montrer qu une condition pour que la méthode de Runge-Kutta soit 1. 1 R q. (a) d ordre 1 est : b e = 1. (b) d ordre 2 est : la relation précédente et b Ce = b Ae = 1 2. (c) d ordre 3 est : les relations précédentes et b C 2 e = b Ae = b (Ae). 2 = 1 3,

8 8 b ACe = b A 2 e = 1 6. La notation. 2 signifie composante par composante (cf. syntaxe SCILAB). En pratique on impose en plus Ae = Ce ce qui simplifie les conditions.

9 9 Feuille n o 3 : Schémas aux différences finies pour les problème elliptiques aux limites 1D 1. On considère le problème non homogène suivant : u (x) = f(x), < x < 1, u() = a, u(1) = b. (16) Ecrire un schéma aux différences finies pour approcher la solution de cette équation. Comment se traduisent les conditions aux limites non homogènes? 2. Montrer que le schéma aux différences finies u j u j+1 3u j + 16u j 1 u j 2 12h 2 est précis à l ordre 4 pour l approximation de l opérateur d2 dx Traiter le cas de l équation de Laplace avec des conditions aux limites homogènes de Neuman : u (x) = f(x), < x < 1, u () = u (1) =. (17) On suppose que 1 f(s) ds =. (a) Montrer que le problème continu (17) a une solution déterminée à une constante près. 1 (b) On se donne un entier N et on pose x i = ih, i N + 1 où h = N + 1. Introduire un schéma aux différences finies consistant avec (17). Comment se traduisent les conditions aux limites? Mettre ce problème sous forme matricielle A U = F où U = (u 1,..., u N ) donne une approximation des valeurs de la solution u de (17) aux points x 1,..., x N respectivement. (c) Montrer que la matrice A est symétrique et trouver son noyau ker A. Sous quelle condition sur F le problème linéaire A U = F a-t il au moins une solution? Lorsque 1 f(s) ds =, comment choisir le vecteur discret F tel que F approche (dans un sens à préciser) la fonction f et de sorte que la condition sur F énoncée précédemment soit toujours vérifiée? 4. Traiter le cas de l équation de Laplace avec des conditions aux limites homogènes mixtes Neuman/ Dirichlet: u (x) = f(x), < x < 1, u () =, u(1) =, (18)

10 1 avec 1 f(s) ds =. (a) Montrer que le problème continu (18) a une solution unique. (b) On reprend les notations de l exercice précédent. Introduire un schéma aux différences finies consistant avec (17). Comment se traduisent les conditions aux limites? Mettre ce problème sous forme matricielle A U = F où U = (u 1,..., u N ). Faire l étude de ce schéma en suivant les indications de l exercice précédent. 5. Traiter le cas de l équation suivante avec des conditions aux limites de Neuman non homogènes u (x) + λ u = f(x), < x < 1, u () = a, u (1) = b. (19)

11 11 Feuille n o 4 : Problèmes aux limites hyperboliques 1.Un peu d elliptique 2D Comment traiter les conditions aux limites non homogènes de Dirichlet qui apparaissent dans le problème suivant? u(x, y) = f(x, y), (x, y) Ω =], 1[ ], 1[, u(x, y) = g(x, y) (x, y) Ω. 2. EDP hyperboliques 1. On cherche les solutions de l E.D.P. suivante : x u (E) t t u x = u(x, ) = u o (x) où (t,x) R + R + et u o est une fonction de C 1 (R + ). (a) Montrer que les caractéristiques sont des cercles (b) Résoudre (E) 2. On considère l équation des ondes dans R. Plus précisément on cherche les solutions de : 2 ϕ t 2 c2 2 ϕ x 2 = (2) (a) Montrer que (2) est équivalente au système : ψ t + c ψ x = (21) ϕ t c ϕ x = ψ(x, t) (b) Résoudre (21) : en déduire que toute solution de l équation des ondes (2) est de la forme u(x, t) = F (x ct) + G(x + ct) dans le domaine où elle est définie (F et G sont de classe C 2 ). 3.Schémas Dans tout ce qui suit on considère l équation hyperbolique modèle v t + a v x =, v(x, ) = vo (x), x R, t. (22)

12 12 1. On cherche à stabiliser le schéma centré v n+1 i = v n i a t 2 x (vn i+1 vn i 1 ), i Z, (23) par un terme de diffusion et, pour d > fixé, on considère le schéma explicite décentré suivant : v n+1 i = vi n a t 2 x (vn i+1 vn i 1 ) + d (vn i+1 2vn i + vn i 1 ), i Z. (24) On suppose de plus que le pas de temps t et le pas d espace x sont choisis de sorte que la condition CFL a t x 1 (25) soit vérifiée. Comment choisir le nombre d de sorte que le schéma numérique cidessus soit stable au sens de la norme L 2? Sous quelle condition est-il stable au sens l? Il s agit de montrer que pour chaque donnée initiale, il existe une constante C, indépendante de n telle que v n i C, n N, i Z. 2. On suppose que a >. Montrer que sous la condition CFL (25) le schéma numérique décentré suivant vi n+1 = vi n a t x (vn i vn i 1 ), i Z, (26) satisfait le principe du maximum discret suivant inf j Z vo j v n i Montrer de plus que la quantité V T n définie par V T n = j Z sup vj o. j Z v n j vn j 1 est décroissante : V T n+1 V T n. La quantité V T n est la variation totale de la solution numérique. Sa décroissance assure qu il n apparaît pas d oscillations parasites dans la solution. 3. Schéma de Lax-Friedrichs On considère le schéma centré explicite suivant : vi n+1 = vn i 1 + vn i+1 a t 2 2 x (vn i+1 vi 1) n, i Z. (27) (a) Montrer que ce schéma numérique est consistant avec l équation (22). Quel est l ordre de l approximation?

13 13 (b) Montrer que sous la condition CFL (25), ce schéma est stable au sens L 2. (c) Montrer que sous la condition CFL (25), ce schéma vérifie le principe du maximum discret: inf j Z vo j vi n sup vj o. j Z (d) La variation totale de la solution numérique donnée par ce schéma est-elle décroissante? 4. Schéma de Lax-Wendroff Soit le schéma numérique : v n+1 i = vi n a t 2 x (vn i+1 vn t2 i 1 ) + a2 2 x 2 (vn i+1 2vn i + vn i 1 ), i Z. (28) (a) Montrer que ce schéma numérique est consistant avec l équation (22). (b) Montrer que sous la condition CFL (25), ce schéma est stable au sens L 2. Remarque: La variation totale de la solution numérique donnée par ce schéma n est pas décroissante.

14 14 Feuille n o 5 : Formulation variationnelle Ecrire la formulation variationnelle des problèmes ci-dessous : Trouver u V telle que a(u, v) = L(v), v V, où V est un espace de Hilbert ( à préciser), a : V V R est une forme bilinéaire, symétrique et V -elliptique, L est une forme linéaire, continue, définie sur V. (Noter que les fonctions u et v appartiennent au même espace). 1. Problème de Dirichlet non homogène: u (x) = f(x), x ], 1[, u() = a, u(1) = b. 2. Conditions aux limites de Neumann: u (x) = f(x), x ], 1[, u () = u (1) =. u (x) + u(x) = f(x), x ], 1[, u () = u (1) =. 3. Conditions mixtes Dirichlet-Neumann: u (x) = f(x), x ], 1[, u() =, u (1) =. 4. Conduction de la chaleur non constante : (α u ) (x) = f(x), x ], 1[, u() = u(1) =, où la fonction α est C et positive avec α(x) α o >, x Conditions de transmission u (x) = f(x), x ], 1[, u() β u () =, u(1) =, avec β >.

15 15 Feuille n o 6 : Eléments finis 1. Soit P l espace des polynômes de degré sur R (il s agit donc des fonctions constantes). Pour une subdivision (x = < x 1,..., x N+1 = 1) donnée de Ω =], 1[, nous considérons l espace d approximation suivant V o h = { v L2 (Ω) v ]xi,x i+1 [ P, i N }, où h = max x i+1 x i. i N Montrer que l espace Vh o est un espace vectoriel de dimension N + 1. En donner une base. Exprimer l opérateur de projection Π o h. Montrer que cet élément fini est de classe L 2 (Ω) mais pas de classe C o (Ω). 2. Montrer que si la fonction v appartient à l espace H 1 (Ω) alors, v Π o h (v) L 2 (Ω) h v L 2 (Ω). 3. Considérons une subdivision régulière de Ω =], 1[ : soit N fixé, h = 1/(N + 1) et x j = jh, j N + 1. Montrer que la matrice de rigidité A est alors la suivante A = Dans le cas où la fonction f dans l équation u = f dans ], 1[, u() = u(1) = est constante, montrer que le problème obtenu avec la méthode des éléments finis sur un maillage régulier est équivalent à la formulation obtenue avec les différences finies. Quelles sont les différences entre les deux méthodes lorsque la fonction f n est plus constante? 4. Même question que dans l exercice précédent avec le problème u + u = f dans ], 1[, u () = u (1) =. Calculer la matrice de masse et la matrice de rigidité.

16 16 5. Donner une méthode numérique de résolution de l équation parabolique suivante u t 2 u = f dans ], T [ ], 1[, x2 u(t, ) = u(t, 1) = dans ], 1 [, u(, x) = u o (x) dans ], T [ 6. On suppose que a, b, f sont des éléments de C([, 1]). (a) Montrer que si u C 2 ([, 1]), alors (N) { x ], 1[, u (x) + a(x) u (x) + b(x) u(x) = f(x), u () = u (1) =. équivaut à (NV ) 1 u H 1 (], 1[) et, v H 1 (], 1[), [ u (x) v (x) + a(x) u (x) v(x) + b(x) u(x) v(x) ] 1 dx = f(x) v(x) dx. On admettra que C 1 ([, 1]) est dense dans H 1 (], 1[) pour la norme H 1 (],1[). (b) Enoncer le théorème de Lax-Milgram en détaillant toutes ses hypothèses. (c) Le problème (NV) admet-il toujours une solution unique dans les cas suivants: i. ii. a(x) = x, b(x) = 1 + x 2, f(x) = x 2? a(x) = x 2, b(x) =, f(x) =? (d) On note V = {u H 1 (], 1[), i =,.., n 1, u ] i n, i+1 n [ P 1 (] i n, i+1 n [)}, où P 1 (I) est l ensemble des fonctions affines sur l intervalle I. Donner une base de V formée de fonctions qui s annulent en tous les { i n /i = 1,.., n 1} sauf un. (e) Que dire de la matrice associée au problème (NV D) 7. (a) Montrer que 1 u V et, v V, [ u (x) v (x) + a(x) u (x) v(x) + b(x) u(x) v(x) ] 1 dx = f(x) v(x) dx? 1 u H 1 (], 1[), u(x) 2 dx u (x) 2 dx.

17 17 (b) En distinguant les cas x > 1/2 et x 1/2, montrer que u H 1 (], 1[), 1 u(x) 2 dx u (x) 2 dx. (c) Montrer que si λ C([, 1]) et si pour tout x dans [, 1], λ(x) > 4, alors pour tout f L 2 ([, 1]), il existe un unique u H 1 (], 1[) tel que v H 1 (], 1[), 1 [ u (x) v (x) + λ(x) u(x) v(x) ] 1 dx = f(x) v(x) dx. (d) Pour λ(x) = π 2, la propriété précédente est-elle toujours vérifiée? (e) On discrétise le problème (D) grâce à des éléments finis d ordre 1. Quelle est la matrice qui apparaît naturellement dans le cas où λ(x) = 1 8? Donner le résultat sous forme d une matrice dont les coefficients sont des fonctions explicites de n. 8. Examen MI2, 98-99, 1ère session Problème 1 Soit α un réel non nul et f L 2 (, 1). On considère le problème aux limites d2 u (P) dx 2 + αdu = f dans ], 1 [ dx u() =, u(1) = 1. (a) Comment s écrirait l équation ci-dessus en dimension 2? Quel serait son type? De quelle conditions aux limites s agit-il? Soit ũ définie par ũ(x) = x. Pour quelle valeur de f, ũ est-elle solution de (P)? (b) On suppose dans tout ce qui suit que f. Ramener l étude du problème à un problème variationnel. Vérifier l existence et l unicité de la solution par les arguments habituels.( En particulier, on énoncera le théorème de Lax-Milgram, qu on admettra pour une forme bilinéaire non symétrique). (c) Construire explicitement le système linéaire obtenu en appliquant la méthode d approximation par éléments finis P 1. (d) Résoudre complètement le problème (P) par une méthode de différences finies de votre choix. Vous détaillerez toutes les étapes et vous préciserez les raisons de votre choix. (D)

18 18 Problème 2 On considère le système d équations différentielles suivant : d2 θ dω + (θ ) = dans ], 1 [ dt2 dt d (θ ddt ) dt ω = G dans ], 1 [ θ() = θ(1) = ω() = ω(1) =, (29) où G est une fonction de L 2 (, 1). On pose V = Ho 1(, 1) H1 o (, 1) et on le munit de la norme (ϕ, ψ V = ( ) 1 ϕ 2 L 2 (Ω) + ψ 2 2 L 2 (Ω) Nous définissons la forme bilinéaire b : V V R par b [(θ, ω), (ϕ, ψ)] = ( θ, ϕ ) L 2 (Ω) + ( θ ω, ϕ ψ ) L 2 (Ω), où (, ) L 2 (Ω) désigne le produit scalaire dans L2 (Ω). (a) Montrer que b est un produit scalaire sur V et que la norme associée est équivalente à la norme de V. (ϕ, ψ) b = {b [(ϕ, ψ), (ϕ, ψ)]} 1 2, (b) Montrer que si les fonctions (θ, ω) C 2 (, 1) C o ([, 1]) sont solutions du problème (29) alors (ϕ, ψ) V b [(θ, ω), (ϕ, ψ)] = (G, ψ) L 2 (Ω). (3) (c) Montrer que le problème (3) possède une solution unique (θ, ω) V et qu il existe une constante C telle que θ H 1 (,1) + ω H 1 (,1) + θ ω L 2 (Ω) C G L 2 (Ω)...

19 19 Partiel du 2 mars 2-2H Les documents ne sont pas autorisés Les deux exercices sont indépendants. Toute affirmation doit être soigneusement justifiée. Exercice 1 On considère les équations de la mécanique relativiste : dx (1) dt (t) = cv(t) x() R donné (c 2 + v(t) 2 ) 1 2 dv (t) = E(x(t)) v() R donné dt où E(x) = (1 + x 2 ) 1 2 et c est la vitesse de la lumière. On admettra que ces équations admettent une solution unique. Soit le schéma numérique : x n+1 = x n cv n + h (c 2 + (v n ) 2 ) 1 2 ( v n+1 = v n + h 1 + x n 2 chx n v n + (c 2 + (v n ) 2 ) 1 2 h est un pas de temps donné dans un intervalle ], h o ]. + h E(xn ), x o donné 2 ) 1 2, v o donné 1. Montrer que ce schéma est alors consistant, stable, convergent 2. Calculer Φ h ( avec les notations du cours ) 3. Calculer f (1) ( avec les notations du cours ). Le schéma est-il d ordre 2? Exercice 2 Dans tout ce qui suit on considère le problème parabolique suivant: où α est réel strictement positif. u t u α 2 = f(x, t) dans ], 1 [ ], + [, x2 u(, t) = u(1, t) =, u(x, ) = u o (x), x ], 1 [. 1. On se donne un pas de temps t et un pas d espace x et on considère le schéma numérique suivant: u n o = u n J+1 = pour tout n N, et = u n j + α t ( u n 2 x 2 j+1 2u n j + ) α t ( un j 1 + u n+1 2 x 2 j+1 2un+1 j + u n+1 ) j 1 + t f(j x, n t), pour 1 j J et n N. Ce schéma est-il implicite ou explicite? u n+1 j (31)

20 2 2. Ecrire le schéma numérique ci-dessus sous la forme condensée suivante : avec U n = AU n+1 = BU n + tf u n 1. u n J, F n = pour des matrices A et B que l on précisera. Pour ce qui suit on supposera f. 3. Montrer que le schéma numérique ci-dessus s écrit U n+1 = CU n. f(x 1 ). f(x J ) Montrer qu il est inconditionnellement stable (on pourra calculer les valeurs propres de la matrice C). 4. Quel est l ordre de ce schéma?

21 21 Examen du 1 avril 2-3H Les documents ne sont pas autorisés Les deux exercices sont indépendants. Exercice 1 Soient Ω =], L [ ], 1 [ et ω >. On considère le problème suivant (P) 2 u t 2 c2 u = (x, y) Ω, t u(, y, t) = sin(ωt) sin(π y) y 1, t u(l, y, t) = y 1, t u(x,, t) = u(x, 1, t) =, x L, t 1. Préciser quelles sont les conditions aux limites et quelle est la nature de l équation aux dérivées partielles. 2. On cherche une solution u de (P) sous la forme u(x, y, t) = sin(ω t) ϕ(x, y). Quelle équation et conditions aux limites vérifie ϕ? 3. Soit le problème ψ = (x, y) Ω ψ(, y) = sin(π y) y 1 ψ(l, y, ) = y 1 ψ(x, ) = ψ(x, 1) =, x L On admettra que (32) admet une solution unique ψ H 1 (Ω). Quelle est l équation vérifiée par θ = ϕ ψ? 4. On pose ( ) j πx e jk = 2 sin sin(k πy). L Montrer que e jk est une valeur propre de. Quelle est la valeur propre associée? 5. Que dire de la famille (e jk ) j,k N dans l espace L 2 (Ω)? 6. On pose θ = j,k 1 θ jk e jk et ψ = j,k 1 ψ jk e jk. Exprimer les composantes de θ en fonction de celles de ψ. En déduire une expression de ϕ et de u. 7. Ecrire un schéma aux différences finies pour calculer ψ. Mettre le problème discret sous la forme AΨ = b, où on précisera la matrice A et les vecteurs Ψ et b. (32)

22 22 Exercice 2 Soit Ω ε =] 1, ε [ ] ε, 1 [ avec ε ], 1[. On considère le problème aux limites suivant : (P ε ) 2 u x 2 = f sur Ω ε u ( 1) = u (1) = u( ε) = u(ε) =. avec f = { f 1 sur ] 1, ε [ f 2 sur ] ε, 1 [ L 2 (] 1, 1 [). 1. Préciser la nature des conditions aux limites. 2. Mettre le problème (P ε ) sous forme variationnelle. On précisera en particulier l espace de référence V ε, la forme bilinéaire a ε et la forme linéaire L ε associés 3. Enoncer le théorème de Lax-Milgram et montrer que le problème (P ε ) a une solution unique notée u ε. 4. On prolonge u ε sur [ 1, 1] = Ω o en posant u ε sur [ ε, ε]. Montrer que la fonction prolongée notée ũ ε est dans H 1 (Ω o ) et que ũ ε H 1 (Ω o) est borné par une constante indépendante de ε. 5. Soit u o la solution de (P o ) 2 u x 2 = f sur Ω o u ( 1) = u (1) =. A-t-on lim ε u ε = u o? Justifier votre réponse, soit par la démonstration (en précisant de quelle convergence il s agit : presque partout, L 2... ), soit en exhibant un contreexemple.

23 23 Examen du 4 septembre 2-3H Les documents ne sont pas autorisés 1. Partie 1 Soit Ω =], 1 [. On s intéresse aux solutions du problème suivant u (x) + λ u(x) = f(x) sur Ω, u() =, u () = 1. (33) ainsi qu à leur approximation numérique. 1. Préciser la nature de ce problème et de l équation différentielle. 2. f est supposée continue sur Ω. Pour quelles valeurs de λ ce problème admet-il des solutions? la solution est-elle unique? 3. Expliciter la solution pour une valeur de λ où il y a existence. 4. Ecrire la méthode d Euler explicite pour résoudre ce problème. Donner le code SCILAB permettant de calculer la solution sur ordinateur. 5. Ecrire la méthode de Runge-Kutta ). 1. Partie 2 On s intéresse maintenant au problème suivant α α 1 1 2α 1 2α pour résoudre ce problème (α u (x) + λ u(x) = f(x) sur Ω, u() =, u(1) = 1. (34) 1. Préciser la nature de ce problème? 2. f est supposée continue sur Ω. Décrire soigneusement une méthode de différences finies pour calculer la solution de ce problème. On précisera en particulier l ordre de la méthode utilisée. 3. Donner le code SCILAB permettant de calculer la solution sur ordinateur. 4. On suppose maintenant que f L 2 (Ω). Ecrire la formulation variationnelle du problème (34). On précisera soigneusement les espaces utilisés. 5. Pour quelles valeurs de λ ce problème admet-il des solutions? la solution est-elle unique? (On justifiera soigneusement la réponse). 6. Expliciter la méthode des éléments finis permettant de calculer numériquement la solution. On donnera la forme matricielle finale, en précisant les différentes matrices.