ÉCOLE POLYTECHNIQUE Promotion 2014

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1 ÉCOLE POLYTECHNIQUE Promotion 4 CONTRÔLE DU COURS DE PHYSIQUE QUANTIQUE AVANCÉE (PHY43 Lundi novembre 5, durée : 3 heures Documents autorisés : livre de mécanique quantique de Jean-Louis Basdevant et Jean Dalibard, copies des diapositives, notes personnelles de cours et de PC. Les deux exercices sont indépendants L exercice sera rédigé sur une copie blanche et l exercice sur une copie jaune Rappel : oscillateur harmonique. Pour les deux exercices, on pourra utiliser sans les redémontrer les résultats rappelés ici. Les valeurs propres de l hamiltonien de l oscillateur harmonique à D, Ĥ ˆp x m + mωˆx, ( sont non dégénérées et ont pour valeurs E n (n + / ω, où n est un entier positif ou nul. On pose a /(mω et on introduit les opérateurs annihilation et création â ( ˆx + i a a ˆp x et â ( ˆx i a a ˆp x. ( L hamiltonien s écrit alors Ĥ ω(â â + / et ses états propres n obéissent aux relations â n n + n + et â n n n. La fonction d onde associée à l état fondamental s écrit φ (x π /4 a / exp ( x a. (3 Pour un oscillateur harmonique isotrope à trois dimensions, associé à l énergie potentielle mω r / (où r x + y + z, l état fondamental a pour énergie ( 3 / ω et est non dégénéré. Il est décrit par la fonction d onde ϕ ( r φ (xφ (yφ (z π 3 /4 a 3 / exp ( r a. (4 Exercice (sur points, copie blanche : Distorsion centrifuge On considère la rotation d une molécule diatomique comme le monoxyde de carbone, que l on étudiera dans un premier temps dans le cadre du modèle du rotateur rigide, puis dans un second temps en prenant en compte le degré de liberté supplémentaire associé à la longueur variable de la liaison chimique entre les deux atomes.. Modèle du rotateur rigide On rappelle que, dans le cadre du modèle du rotateur rigide, l état de la molécule est décrit par une fonction d onde Y (θ, ϕ, les angles θ et ϕ repérant l orientation de la molécule en coordonnées sphériques. Le moment d inertie de la molécule sera noté I µr, où µ est la masse réduite et r est la distance entre les deux atomes, supposée constante. On rappelle que pour un tel système l hamiltonien de rotation s écrit C O Ĥ R ˆL I (5 où ˆL ˆL x + ˆL y + ˆL z est le carré de l opérateur moment cinétique. TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAA

2 . Montrer que les harmoniques sphériques Y l,m (θ, ϕ (qui seront également notées sous la forme du ket l, m constituent une base propre possible de l hamiltonien Ĥ. Montrer que les valeurs propres correspondantes peuvent s écrire E l l(l + B, où l on donnera l expression de B. On indiquera également la dégénérescence des niveaux d énergie.. En raison des règles de sélection du système, les seules transitions autorisées lors d une interaction avec une onde électromagnétique sont celles intervenant entre deux niveaux consécutifs (l l+. On note ω l E l+ E l (6 la pulsation correspondant à cette transition. Exprimer ω l à l aide de B..3 La table ci-dessous représente les premières fréquences de transition mesurées expérimentalement dans le cas du monoxyde de carbone. Transition l l l l l l 3 l 3 l 4 Fréquence 57 MHz 3538 MHz MHz 464 MHz Comparez les résultats expérimentaux au modèle du rotateur rigide. Quelle est la valeur correspondante du paramètre B/(π?.4 On souhaite interpréter de manière qualitative le très léger écart entre les résultats expérimentaux et le modèle du rotateur rigide, en supposant que le moment d inertie est susceptible de dépendre du moment cinétique. D après les données expérimentales, quel est le sens de variation du moment d inertie avec le moment cinétique? Quel effet physique pouvez-vous invoquer pour expliquer ce phénomène?. Prise en compte du degré de liberté vibrationnel On prend maintenant en compte le degré de liberté vibrationnel de la molécule, associé à la variation de la longueur r de la liaison chimique entre les deux atomes. Comme schématisé ci-dessous, on écrira r r + ζ, où r est la longueur d équilibre de la liaison et ζ r r représente l écart à cet équilibre. C O Ce problème à une dimension est gouverné par le potentiel moléculaire V (r représenté ci-contre en pointillé. En supposant que ζ r, on remplace le potentiel moléculaire par son développement au second ordre (représenté ci-contre en trait plein, ce qui permet de traiter la vibration à l aide de l hamiltonien d un oscillateur harmonique à une dimension ĤV ˆp ζ /(µ + ( /µω ˆζ + V, où V est le minimum du potentiel moléculaire et ˆp ζ i / ζ. La fréquence vibrationnelle, Ω/(π, est déterminée expérimentalement et a pour valeur 64 THz ( THz Hz. TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAA. Les états propres de ĤV seront notés n, où n est un entier positif ou nul. Donner les valeurs propres correspondantes.. En vous inspirant de l éq., donner l expression des opérateurs â et â en fonction de ˆζ, ˆp ζ et a /(µω, puis exprimer ˆζ en fonction de â et â..3 En déduire les valeurs de ˆζ, de ˆζ, puis de ζ, l écart quadratique moyen de la longueur de la liaison dans l état fondamental..4 Déterminer le rapport ζ/r, que l on exprimera en fonction des grandeurs Ω et B avant d en calculer la valeur numérique. Commenter le résultat obtenu..5 On considère maintenant la fonction d onde complète ψ(ζ, θ, ϕ, prenant en compte à la fois les degrés de liberté de vibration et de rotation. L hamiltonien associé s écrit Ĥ ĤV + ĤR, où ĤV et ĤR ont été définis plus haut. On considère la base tensorielle { n, l, m n l, m }. Donner les valeurs correspondantes E n,l de l énergie.

3 .6 Comparer les ordres de grandeur des énergies de rotation et de vibration, puis représenter schématiquement les niveaux d énergie de la molécule. 3. Couplage vibro-rotationnel Dans cette dernière partie, on prend en compte la variation du moment d inertie en fonction de ζ, ce qui induira un couplage entre les degrés de liberté de vibration et de rotation. On s intéresse à l effet de ce couplage sur les transitions rotationnelles, l, l Effectuer un développement limité, au premier ordre en ζ, de l énergie de rotation classique E R L /(µ(r + ζ, puis en déduire que l hamiltonien du système peut s écrire Ĥ Ĥ + Ŵ où ˆζ ˆL Ŵ (7 Ir 3. Montrer que l espace E m, défini comme le sous-espace propre de ˆL z associé à la valeur propre m, est stable sous l action de l hamiltonien Ĥ. Dans l espace E m, la valeur propre E n,l de Ĥ est-elle dégénérée? Dans toute la suite de l exercice, on se place dans l espace E m, pour une valeur donnée de m. On se limitera à la restriction à cet espace des opérateurs considérés, ce qui permettra d appliquer la méthode des perturbations dans le cas non dégénéré. 3.3 On traite l effet de Ŵ à l aide de la méthode des perturbations. Déterminer l expression de δe(,l, correction du niveau E,l au premier ordre en Ŵ. 3.4 Déterminer dans quel cas l élément de matrice n ˆζ prend une valeur non nulle. 3.5 En déduire que la correction du niveau E,l au second ordre de la méthode des perturbations peut s écrire δe (,l D (l(l + (8 où l on exprimera D à l aide de B et Ω Commenter la figure ci-contre, qui représente la valeur expérimentale de la fréquence de transition ω l /(π divisée par (l +, tracée en fonction de (l Mesurer la valeur de D/(π à partir des points expérimentaux et comparer le résultat obtenu à la valeur théorique. ωl/(π(l+ [MHz] (l+ 3.8 On développe maintenant l énergie de rotation classique jusqu au second ordre en ζ. Reprendre l ensemble du raisonnement ci-dessus en limitant le développement de la fréquence de transition à l ordre deux en a /r. Dans quelle mesure les résultats obtenus plus haut sont-ils modifiés? Exercice (sur points, copie jaune : Condensat de Bose-Eintein Un condensat de Bose-Einstein est un état de la matière dans lequel des bosons identiques occupent tous le même état quantique. Le phénomène de condensation dans un gaz parfait de bosons a été prédit dès 97, mais n a été observé expérimentalement qu en 995 par E. Cornell, C. Wiemann et W. Ketterle, ce qui leur a valu le prix Nobel de physique en. L objet de cet exercice est d étudier l effet des interactions entre atomes sur la taille du condensat. On donne les intégrales gaussiennes suivantes, pour σ R + : exp ( x σ dx π σ x exp ( x σ dx π σ 3. (9

4 Absorption [unité arbitraire] et on rappelle que la fonction exp( x /σ a pour largeur à mi-hauteur ln σ.67σ.. Gaz de bosons sans interactions On considère un ensemble de N bosons identiques de spin nul et de masse m, que l on suppose dans un premier temps sans interactions mutuelles. Ces bosons sont piégés dans un potentiel harmonique isotrope V ( r mω r /, où r x + y + z. L hamiltonien du système s écrit ainsi On posera a /(mω. Ĥ N i ( ˆp i m + V (ˆ r i. (. De manière générale, rappeler les propriétés de symétrie de l état décrivant un ensemble de bosons identiques.. Déterminer l énergie E du niveau fondamental du système de N bosons sans spin. Montrer que le niveau fondamental est non dégénéré et qu il est décrit par la fonction d onde où ϕ ( r est donnée par l éq. 4. ψ( r, r,..., r N ϕ ( r ϕ ( r ϕ ( r N N ϕ ( r i. (.3 On s intéresse au cas d un condensat constitué d atomes de Sodium 3 (numéro atomique Z, dont on ignorera par la suite le degré de liberté associé au spin. Montrer qu il s agit bien de bosons..4 Déterminer la valeur numérique de a, sachant que ω/(π.3 Hz, m kg et.5 34 Js..5 En enregistrant l absorption d un faisceau lumineux, il est possible de mesurer une projection de la densité atomique en fonction de la variable x. On admet que, pour une fonction d onde comme celle exprimée par l éq., cette mesure donne accès à la grandeur ρ(x ϕ (x, y, z dydz. i Position x [µm] La figure ci-dessus représente une telle mesure effectuée dans un condensat de sodium correspondant aux paramètres numériques introduits plus haut, pour N 8 4 et N (L. V. Hau et al., Phys. Rev. A 58, R5 (998. Dans le cas où N 3.5 5, le centre du condensat ne peut être mesuré en raison d une trop forte absorption, mais on pourra utiliser l extrapolation en trait plein des données expérimentales. Le résultat expérimental est-il en accord avec le modèle d un gaz de bosons sans interactions?. Prise en compte des interactions à l aide de la méthode des perturbations On souhaite à présent prendre en compte les interactions entre atomes à l aide d un potentiel interatomique U(r ne dépendant que de la distance entre les atomes du condensat. L hamiltonien total devient donc Ĥ Ĥ + Ŵ où Ŵ N N U( ˆ r i ˆ r j U( ˆ r i ˆ r j. ( i ji+ i<j N

5 Dans cette partie, on décrit l effet de Ŵ au premier ordre de la méthode des perturbations.. Montrer que l énergie du niveau fondamental du système est alors décalée d une quantité N(N δe ϕ ( r ϕ ( r U( r r d 3 rd 3 r. (3. La portée des interactions interatomiques est typiquement de l ordre du rayon de Bohr. En comparant cette valeur à la taille du condensat, montrer que la correction de l énergie peut s écrire N(N δe g ϕ ( r 4 d 3 r où g U( r d 3 r. (4.3 Calculer explicitement δe..4 Dans la limite où le nombre d atomes N est très grand, en déduire que l on peut écrire δe E ηn a a, (5 où a est une grandeur appelée longueur de diffusion, définie par la relation g 4π a/m, et où η est un nombre sans dimension que l on déterminera et dont on donnera la valeur numérique..5 Pour le Sodium 3 la longueur de diffusion prend la valeur a.7 nm. Que vaut δe /E pour un condensat de 8 4 atomes? Commentez la validité du développement perturbatif. 3. Prise en compte des interactions à l aide de la méthode variationnelle Afin de parvenir à un résultat plus précis, on cherche une approximation de l état fondamental à l aide de la méthode variationnelle. On utilise des fonctions d essai normées de la forme ψ σ ( r, r,..., r N N ϕ σ ( r i avec ϕ σ ( r i où σ est un paramètre réel positif. 3. Montrer que ψ σ Ĥ ψ σ N m ( ( ϕσ + x ( ϕσ + y ( ϕσ d 3 r + N z π 3/4 exp ( r σ3/ σ, (6 V ( r ϕ σ ( r d 3 r. (7 3. En effectuant les mêmes hypothèses qu à la question., montrer que ψ σ Ŵ ψ N(N σ g ϕ σ ( r 4 d 3 r. (8 3.3 Calculer explicitement les intégrales obtenues ci-dessus et montrer que E(σ ψ σ Ĥ ψ σ N [A mσ + B ] mω σ (N + Cg σ 3, (9 où A, B et C sont trois nombres sans dimension dont on donnera l expression. 3.4 Rappeler la procédure permettant de trouver la meilleure approximation du niveau fondamental dans le cadre de la méthode variationnelle et établir une équation du cinquième degré portant sur la valeur optimale de σ. 3.5 Qu obtient-on dans le cas où g? Est-ce surprenant? 3.6 En supposant N et dans le régime de forte répulsion (g > et très grand, montrer que la valeur optimale de σ est donnée par ( Na /5 σ ξa, ( a où l on donnera l expression et la valeur numérique du nombre sans dimension ξ. 3.7 Comparer le résultat obtenu au résultat expérimental (voir figure à la question.5.

6 Corrigé Exercice : Distorsion centrifuge. Modèle du rotateur rigide. On sait que ˆL l, m l(l + l, m. Donc Ĥ l, m E l l, m avec où E l l(l + Bl(l + I B I Le nombre m pouvant prendre toutes les valeurs entières entre l et +l, chaque niveau d énergie est dégénéré l + fois.. On a la relation d où ω l E l+ E l B ((l + (l + l(l + B(l + ω l B(l +.3 D après notre modèle, ω l /((l + B devrait être indépendant de l. Le calcul donne 57635, 57634, 5763 et 5763 MHz pour la grandeur B/(π, valeur effectivement quasiment constante. En première approximation, le modèle du rotateur rigide est effectivement en bon accord avec l expérience. Dans la suite, on prendra B/(π 57.6 GHz..4 En étudiant les données expérimentales de manière plus précise, on observe que le quotient ω l /(l+ B diminue lorsque l augmente. Comme B /I, cela peut s interpréter en supposant que le moment d inertie augmente lorsque le moment cinétique augmente. L effet susceptible d expliquer ce phénomène est la force d inertie centrifuge, qui aura tendance à augmenter la valeur de r et donc la valeur du moment d inertie µr.. Prise en compte du degré de liberté vibrationnel. En prenant pour n les états propres de l oscillateur harmonique à une dimension, on a simplement ĤV n ((n + / Ω + V n.. En posant on obtient immédiatement ( â ˆζ + i a ˆp ζ a ( et â ˆζ i a ˆp ζ a ˆζ a â + â.3 On a ˆζ a ( â + â a On en déduit ˆζ (ce qui pouvait aussi se déduire de la parité de l état fondamental et ˆζ ˆζ a Enfin, sachant que ζ ζ ζ, on obtient ζ a /..4 On a ζ a r r µr Ω B IΩ Ω soit ζ/r 58/64.3. On vérifie que pour l état fondamental (et pour les premiers niveaux, on a ζ r, ce qui justifie le développement limité de V (r. De même le moment d inertie µ(r +ζ est très proche de I µr car ζ r, ce qui justifie la validité du modèle du rotateur rigide.

7 .5 L état produit tensoriel n, l, m est évidemment vecteur propre de Ĥ ĤV + ĤR, pour la valeur propre ( E n,l n + Ω + V + l(l + B Energie h x 5 GHz.6 L écart entre deux niveaux vibrationnel consécutif est Ω h 64 THz, soit près de trois ordres de grandeur plus grand que l écart entre les deux premiers niveaux rotationnels B 5 GHz. On obtient donc les niveaux d énergie schématisés ci-contre. h x 64 THz 3. Couplage vibro-rotationnel 3. On a L ( µ(r + ζ L + ζr ( L ζr + o(ζ I I Il faut donc ajouter le terme W ζl /(Ir, ce qui donne bien le résultat demandé à condition de remplacer les grandeurs classiques ζ et L par les observables correspondantes. Remarquons que ˆζ et ˆL commutent car, étant associés à deux degrés de liberté indépendants, ils agissent dans deux espaces différents dont le produit tensoriel constitue l espace de Hilbert du système : ˆL ˆζ (ÎV ˆL (ˆζ Î R ˆζ ˆL (ˆζ Î R (ÎV ˆL ˆζ ˆL Le produit classique ζl peut donc s écrire indiféremment ˆζ ˆL ou ˆL ˆζ. 3. Le système étant invariant par rotation, notamment par les rotations autour de l axe z, l hamiltonien total Ĥ doit nécessairement commuter avec ˆL z. On peut également le montrer directement en notant que ˆL z d une part, et ĤV et ˆζ d autre part, agissent dans des espaces de Hilbert différents, ce qui nous permet d affirmer qu ils commutent. Par ailleurs, on a évidemment [ˆL, ˆL z ], donc [Ĥ, ˆL z ]. On en déduit que E m est stable sous l action de Ĥ : en effet, pour ψ E m, ˆL z Ĥ ψ Ĥ ˆL z ψ m Ĥ ψ Ĥ ψ E m. Dans E m, la valeur propre E n,l n est pas dégénérée car l espace propre, engendré par n, l, m, est de dimension. 3.3 On applique donc la méthode des perturbations dans le cas non dégénéré. La correction d ordre pour le niveau E n,l s écrit δe (,l, l, m Ŵ, l, m Ir ˆζ l, m ˆL l, m 3.4 On a vu que ˆζ (a /. On en déduit que n ˆζ n a / a / si n et sinon. 3.5 La méthode des perturbations au second ordre nous donne δe (,l n, l, m Ŵ, l, m E n,l,l E n,l or ce qui nous donne Ŵ, l, m Ir ˆζ ˆL l, m a Ir l(l +, l, m δe (,l a (l(l + I r Ω D(l(l +

8 où 3.6 On a D a I r Ω 3 4B3 I µr Ω Ω δe (,l+ δe(,l D(l + ((l + l 4 D(l + 3 La nouvelle valeur de la fréquence de transition s écrit donc On obtient donc ω l B(l + 4D(l + 3 ω l B 4D(l + l + Notre modèle prévoit donc que ω l /(l + doit être une fonction affine de (l + avec une pente négative, ce qui est exactement ce que l on observe sur la figure. 3.7 La pente observée est égale à (57 535/5 74 khz, ce qui nous donne D/(π 85 khz. La valeur théorique s écrit D π 4(B/(π3 (Ω/π 4( (64 87 khz en excellent accord avec les données expérimentales. 3.8 En développant l énergie de rotation classique au second ordre en ζ, on obtient L ( µ(r + ζ L + ζr L I I ( ζr + 3 ζ r + o(ζ Il faut alors ajouter le terme Ŵ 3 /ˆζ ˆL /(Ir à la perturbation considérée plus haut. On obtient maintenant un terme non nul dès l ordre de la méthode des perturbations : δe (,l, l, m Ŵ, l, m 3 Ir ˆζ l, m ˆL l, m 3a E,l r où l on a utilisé ˆζ a /. Si on se limite à l ordre deux en a /r, il n est pas nécessaire de calculer la contribution de Ŵ à l ordre deux de la méthode des perturbations, car Ŵ est déjà d ordre deux en a /r. En ajoutant le terme δe (,l que nous venons de calculer, et le terme δe(,l que nous avions calculé plus haut, nous obtenons finalement à l ordre deux en a /r : ( E,l + 3a I r l(l + + δe (,l l(l + D (l(l + I Le résultat est donc inchangé à condition de remplacer le moment d inertie I µr par la nouvelle valeur I définie par ( I I + 3a r, qui diffère de I de.3 en valeur relative. Le moment d inertie à utiliser est différent de µr car /r /r en raison de la largeur finie de la distribution de probabilité dans l état vibrationnel fondamental. La suite du raisonnement est identique à condition de remplacer B par B, que l on peut toujours directement déterminer à l aide des données expérimentales. Exercice : Condensat de Bose-Einstein. Gaz de bosons sans interactions. D après le principe de Pauli (ou de symétrisation, l état d un système de bosons identiques est inchangé lorsqu on échange deux particules.

9 . La configuration d énergie minimale correspond à chaque boson dans l état fondamental de l oscillateur harmonique à trois dimensions, ce qui correspond à une énergie E N(3/ ω. L oscillateur harmonique à trois dimensions étant non dégénéré, il n y a qu une seule façon d écrire la fonction d onde correspondante du système de N particules : c est la fonction ψ( r,, r N proposée dans l énoncé. Cette fonction étant inchangée par permutation des r,, r N, elle convient pour un système de N bosons identiques..3 L atome de Sodium 3 comporte 3 nucléons et électrons, ce qui fait un total de 34 fermions. Comme ce nombre est pair, le Sodium 3 est bien un boson..4 L application numérique donne a /(mω 3.8 µm..5 D après notre modèle la fonction ρ(x s écrit ρ(x ϕ (x, y, z dydz φ (x φ (y φ (z dydz φ (x e x /a c est à dire une gaussienne de largeur à mi-hauteur ln a µm. On mesure sur la figure des largeurs à mi-hauteur de l ordre de 4 et 55 µm. Le résultat expérimental est donc en désaccord avec notre théorie, d une part parce que la taille du nuage semble dépendre du nombre d atomes, et d autre part parce que la largeur observée est plus grande que prévu pour un gaz de bosons sans interactions (d un facteur environ.. Prise en compte des interactions à l aide de la méthode des perturbations. On applique la méthode des perturbations dans le cas non dégénéré. On obtient δe ψ Ŵ ψ U( r i r j ϕ ( r ϕ ( r N d 3 r d 3 r N i<j N i<j N N(N U( r i r j ϕ ( r i ϕ ( r j d 3 r i d 3 r j U( r r ϕ ( r ϕ ( r d 3 rd 3 r où l on a utilisé le fait que les fonctions ϕ ( r étaient normées et que les N(N / termes de la somme étaient identiques.. La portée des interactions interatomiques est plusieurs ordres de grandeur plus petite que la dimension caractéristique a de la fonction ϕ ( r. La fonction U( r r ne prendra donc des valeurs non négligeables que pour des valeurs de r telles que r r est très petit devant a, ce qui nous permet de remplacer ϕ ( r par ϕ ( r dans l intégrale. On obtient alors ( N(N δe U( ˆ r ˆ r d 3 r ϕ ( r 4 d 3 r N(N U( ˆ r d 3 r ϕ ( r 4 d 3 N(N r g où l on a effectué le changement de variable r r r dans l intégrale sur r..3 On a ϕ ( r 4 d 3 r π 3 a 6 ( πa ( πa + ( exp ( x a + y + z dxdydz 3 exp ( x dx π a 3 a (π 3/ a 3 ϕ ( r 4 d 3 r On en déduit N(N δe g (π 3/ a 3

10 .4 Sachant que E (3/N ω, on en déduit δe N g E 3(π 3/ a 3 ω N 4π a 3(π 3/ a 3 m ω 4π 3(π 3/ (N a a On obtient donc le résultat demandé en supposant N N, ce qui est justifié pour N très grand, et avec η (4π/(3(π 3/ /(9π.7..5 On obtient δe /E /( , qui n est pas très petit devant. La méthode des perturbations n est donc clairement pas adaptée à ce problème. 3. Prise en compte des interactions à l aide de la méthode variationnelle 3. On a avec ĥ ˆp /(m + ˆV. Par ailleurs, Et On en déduit ψ σ Ĥ ψ σ N ϕ σ ĥi ϕ σ N ϕ σ ĥ ϕ σ i ϕ σ ˆp ϕ σ ϕ σ ˆp x ϕ σ + ϕ σ ˆp y ϕ σ + ϕ σ ˆp z ϕ σ ϕ σ ˆp x ϕ σ ˆp x ϕ σ ϕ σ ĥ ϕ σ m ( ( ϕσ + x ( i ϕ σ x ( ϕσ + y ( d 3 r ϕσ d 3 r x ( ϕσ d 3 r + z ce qui nous permet d obtenir le résultat demandé après multiplication par N. V ( r ϕ σ ( r d 3 r. 3. Il s agit exactement du même calcul qu à la question., où σ était alors égal à a. Tant que σ restera grand devant l échelle caractéristique des interactions interatomiques, on pourra effectuer la même approximation. 3.3 On a ( ϕσ d 3 r x De même On en déduit x ϕ σ ( r d 3 r x π 3/ σ 3 σ 4 exp π 3/ σ 3 ( x + y + z σ dxdydz σ x exp ( x + y + z σ dxdydz σ ( ψ σ Ĥ ψ σ 3N m σ + σ mω Par ailleurs, on a déjà vu dans la partie précédente le calcul de ψ σ Ŵ ψ N(N σ g (π 3/ σ 3 obtenu ici en remplaçant simplement a par σ. On obtient donc ( 3 E(σ N mσ + 3 mω σ g(n + (π 3/ σ 3 ce qui est bien le résultat souhaité, avec A B 3/ et C (π 3/. 3.4 La méthode variationnelle consiste à rechercher le minimum de la fonction E(σ, obtenu ici en annulant la dérivée. On obtient l équation mσ 3 + g(n mω σ (π 3/ σ 4

11 ou encore que l on peut encore écrire mω σ 5 m σ g(n (π 3/ σ 5 a 4 σ g(n (π 3/ mω 3.5 En l absence d interactions (g, on obtient σ 4 a 4, soit σ a et E(σ 3N ω/. Il n est pas étonnant que la méthode variationnelle redonne le résultat exact pour un gaz de bosons sans interactions puisque l ensemble des fonctions d essai contient la solution exacte. 3.6 N étant très supérieur à, remplaçons N par N. L équation s écrit σ 5 a 4 σ + gn (π 3/ mω gn (π 3/ mω On en conclut que dans la limite où g prend de grandes valeurs positives, le terme en σ 5 doit lui aussi prendre de grandes valeurs. On pourra donc considérer qu il devient prépondérant par rapport au terme en σ (auquel il est égal lorsque g et négliger ce dernier. A l extrême, si gn tend vers l infini, σ doit aussi tendre vers l infini, ce qui nous permet de négliger le terme en σ devant le terme en σ 5. En termes plus physiques, l interaction répulsive a pour effet d augmenter la valeur de σ par rapport à la valeur a attendue en l absence d interaction, et donc d augmenter la contribution de l énergie potentielle (en σ au détriment de l énergie cinétique (en /σ. En négligeant la contribution de l énergie cinétique, on obtient σ 5 gn (π 3/ mω π Na4 a soit ce qui est le résultat demandé avec σ ( / ( Na a π ξ a ( /.96 π 3.7 On obtient donc σ ξ(na 4 a/5, ce qui nous donne 3. et 3.9 µm, ou 38 et 5 µm pour les largeurs à mi-hauteur. On est maintenant beaucoup plus proche des valeurs expérimentales (4 et 55 µm, et on fournit une explication satisfaisante à l augmentation de la taille du condensat lorsque le nombre d atomes augmente. On peut vérifier la validité de l approximation effectuée en calculant le rapport entre le terme que l on a négligé devant celui que l on a conservé. Bien que le rapport σ/a soit modeste, le rapport entre énergie cinétique et énergie potentielle s écrit (σ/a 4, qui prend les valeurs 7.7 et 5. pour les deux valeurs de N considérées ici. Il était donc légitime de négliger le terme en σ devant le terme en σ 5 pour obtenir une valeur approchée du paramètre σ optimal. En réalité, l expérience discutée dans cet exercice a été effectuée avec un piège anisotrope V ( r / mω x(x + y + / mω zz, ce qui rend le calcul un peu fastidieux. On montre toutefois que le résultat est similaire à celui du piège isotrope traité ici, à condition d utiliser la valeur ω ω z/ω x, ce qui correspond à la valeur numérique proposée dans l exercice. /5