Test de Statique

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1 Test de Statique Aucun document autorisé. Calculatrice autorisée. Téléphone et autres appareils électroniques interdits. La clarté des explications sera prise en compte. Les expressions seront données de manière littérale avant application numérique. Chaque exercice est indépendant. Durée 2h EXERCICE 1 (45 min 7 points) : Un étudiant du Marathon Shell souhaite charger une caisse dans la remorque. Pour cela il pose une planche entre le sol et la remorque. Hypothèses : L étudiant est capable de fournir un effort de poussée F P de 500 N parallèle à la planche et à mi hauteur de la caisse. Caractéristiques de la caisse : Hauteur h = 1 m, Longueur L = 1,5 m, Largeur k = 80 cm, Poids P (1000 N) au centre de la caisse. Le contact plan/plan entre la caisse et la planche est géométriquement «parfait», physiquement avec frottement. La route est horizontale. On considère le frottement entre la caisse et la planche uniforme sur toute la surface de contact. f = 0,2. Q 1. Sur le schéma ci-dessous représentez (qualitativement, c'est-à-dire pas à l échelle) les forces en présence lorsqu on isole la caisse. (Sens des forces 0,5 points - R passe par G 0,5 points) Mathieu Rossat Jérôme Bachmann 1A /8

2 Q 2. Faites le Bilan des Actions Mécaniques Extérieures à la caisse sous la forme de torseur. Pour la suite on notera R s/c = R, P g/c = P et F e/c = F Système matériel isolé : SMI={La caisse} F 0 {I F/SMI } = { } (0,5 points) A ou G P. sinα 0 {I P/SMI } = { P. cosα 0} (1 point) 0 R. sinφ 0 G 0 {I R/SMI } = { R. cosφ 0} (1 point) B ou G C est un système soumis à 3 forces coplanaires et non parallèle. Les droites supports des forces sont concourantes. Puisque la droite support de F passe par G et que la droite support de P passe par G, alors la droite support de R passe aussi par G. Q 3. Si l angle α vaut 10, l étudiant arrive t il à faire glisser la caisse sur la planche pour la charger dans la remorque? Pour étudier si le mouvement est possible, on se place à la limite de l équilibre. Plusieurs stratégies sont possibles : Chercher la valeur limite de F à partir de laquelle la caisse se déplace. Chercher la valeur limite de φ (ou f) en dessous de laquelle la caisse se déplace. On va présenter ici la démarche pour les deux stratégies. Dans tous les cas, il faut commencer par appliquer le principe fondamental de la statique à la caisse isolée. On applique le Principe Fondamental de la Statique (P.F.S.) (1 point) F = 0 sur x : F + P. sinα + R. sinφ = 0 sur y : P. cosα + R. cosφ = 0 On ne connaît pas la réaction du sol sur la caisse. Comment éliminer ce paramètre? R. sinφ = F P. sinα (1) R. cosφ = P. cosα (2) (1) (2) tanφ = F P.sinα P.cosα f = F P.sinα P.cosα stratégie 1 (1 point) F = P. (f. cosα + sinα) stratégie 2 Application numérique : (0,5 points) stratégie 1 f lim = 0,33 > f imposé = 0,2 La caisse bouge. stratégie 2 F lim = 370 N < F imposé = 500 N La caisse bouge. Mathieu Rossat Jérôme Bachmann 1A /8

3 Q 4. Si l angle α vaut 20, l étudiant arrive t il à faire glisser la caisse sur la planche pour la charger dans la remorque? Les relations sont les mêmes que pour la question 3 : f = F P.sinα P.cosα stratégie 1 F = P. (f. cosα + sinα) stratégie 2 Application numérique : (0,5 points) stratégie 1 f lim = 0,17 < f imposé = 0,2 La caisse ne bouge pas. stratégie 2 F lim = 530 N > F imposé = 500 N La caisse ne bouge pas. Q 5. Si l angle α vaut 10, y a-t-il un risque de basculement en poussant la caisse? Là aussi il peut y avoir deux stratégies : (0,5 points) Calculer la longueur BH et la comparer à la demi-longueur de la caisse tanφ = f = 2.e h e = h.f 2 e = 0,1 m < L = 0,75 m Pas de Basculement 2 Calculer la valeur limite de φ (ou f) à partir de laquelle il y a basculement tanφ = f = L h f lim = 1,5 > f imposé = 0,2 Pas de Basculement Mathieu Rossat Jérôme Bachmann 1A /8

4 EXERCICE 2 (55 min 9 points) : Le pèse lettre ci dessous est constitué de 4 ensembles : Le châssis lié au sol (0), le plateau support de lettre (1), la biellette (2) et le balancier (3). Toutes les liaisons sont des liaisons pivots parfaites. Le contre poids en bout de balancier (3) a une masse m g/3 de 30 grammes au point G 2. La lettre a une masse inconnue m L/1 au point G 1. La masse des autres pièces est négligeable. Le problème peut être considéré comme plan. En posant la lettre sur le plateau (1), le système prend la configuration d équilibre repérée par l angle α. L angle θ correspond à la cassure (géométrique) du balancier (3). Cet angle est constant quelle que soit la position d équilibre. On note O 1 A = O 2 B = a, O 2 G 2 = b et O 1 O 2 = AB = e. Les autres paramètres sont définis sur la figure. Valeurs numériques : a = 30 mm b = 50 mm d = 5 mm e = 40 mm θ = 30 g = 9,81 m/s² α maxi = 90 α mini = 20 Objectif : On cherche à déterminer la position des graduations de masse sur le châssis, c'està-dire le rapport entre la masse de la lettre et l angle α. Mathieu Rossat Jérôme Bachmann 1A /8

5 Q 1. Faites le graphe de liaison en indiquant les forces extérieures, le nom, les caractéristiques (Point, Axe) et le nombre d inconnue (Problème plan) de chaque liaison. (2 points) Q 2. Déterminez l ordre dans lequel il faut isoler. Justifiez votre réponse (0,75 points) Isolement 1 : 2 Justifications : Système soumis à 2 forces : Biellette 2 Isolement 2 : 1 Système avec 3 inconnues maxi : -Itération 1 : 1, 1+2, Isolement 3 : 3 -Itération 2 : 1+2+3, 3 Pour limiter la propagation d erreur pour la dernière itération, on pourrait isoler l ensemble 1+2+3, mais il y a un torseur supplémentaire. On choisit ici d isoler 3 Q 3. Réalisez les isolements successifs. Déterminez les actions en chaque liaison et démontrez que la relation entre l angle α et la masse de la lettre m L/1 est : a. m L/1. sin(θ) tan(α) = b. m g/3 a. m L/1. cos(θ) Rappels : sin(α + θ) = sin(α). cos(θ) + cos(α). sin(θ) et tan(α) = sin (α) cos (α) Conseils : L angle complémentaire β = π (α + θ) complique les calculs. Méthode non recommandée! (5 points) Mathieu Rossat Jérôme Bachmann 1A /8

6 Système matériel isolé : SMI={2} C est un système matériel isolé soumis à 2 forces. Les forces ont la même direction, la même intensité et un sens contraire. La seule inconnue est l intensité qu on se propose de noter F 120. Je choisis arbitrairement un sens pour les forces (Soit l une vers l autre, soit l une à l opposé de l autre) Bilan des Actions Mécaniques Extérieures : ou O1 F 120. sin (α + θ) 0 F 120. sin (α + θ) 0 {I 1/2 } = { F 120. cos (α + θ) 0 {I 0/2 } = { F 120. cos (α + θ) 0} }A O 1 ou A Système matériel isolé : SMI={1} Bilan des Actions Mécaniques Extérieures : F 120. sin (α + θ) 0 F 120. sin (α + θ) 0 {I 2/1 } = { F 120. cos (α + θ) 0} = { F 120. cos (α + θ) 0 } 0 e. F 120. sin (α + θ) A {I 3/1 } = { X 3/1 0 Y 3/1 0 B {I L/1 } = { P L/1 0 = { P L/1 0 } 0 d. P }G1 L/1 On applique le Principe Fondamental de la Statique : Somme des moments en B autour de z : e. F 120. si n(α + θ) + d. P L/1 = 0 F 120 = d e.si n(α+θ). P L/1 Somme des forces sur x : Somme des forces sur y : X 3/1 F 120. sin (α + θ) = 0 Y 3/1 + F 120. cos (α + θ) P L/1 = 0 d X 3/1 = F 120. sin (α + θ) Y 3/1 = P L/1 e.ta n(α+θ) L/1 X 3/1 = d e. P L/1 } e.ta n(α+θ) d Y 3/1 = e.ta n(α+θ) Il faut noter qu il est impossible de faire les calculs puisque nous ne connaissons pas encore la valeur de α caractéristique de l équilibre du système.. P L/1 B B Mathieu Rossat Jérôme Bachmann 1A /8

7 Système matériel isolé : SMI={3} Bilan des Actions Mécaniques Extérieures : d e. P L/1 0 {I 0/3 } = { Correction X 0/3 0 Y 0/3 0} O 2 d e. P L/1 0 {I 1/3 } = d e. ta n(α + θ) = d e. ta n(α + θ). P e. ta n(α + θ) L/1 0. P e. ta n(α + θ) L/1 0 { } B { 0 a. sin(α + θ). P L/1} O2 a. sin (α + θ) avec O 2 B = a. cos (α + θ) 0 {I g/3 } = { F g/3 0 = { F g/3 0 } 0 b. sinα. F }G1 g/3 On applique le Principe Fondamental de la Statique : Somme des moments en O 2 autour de z : a. sin(α + θ). P L/1 b. sinα. F g/3 = 0 a. (sinα. cosθ + sinθ. cosα). P L/1 b. sinα. F g/3 = 0 tanα = a.sinθ.p L/1 b.f g/3 a.cosθ.p L/1 O 2 tanα = a.sinθ.m L/1 b.m g/3 a.cosθ.m L/1 CQFD Somme des forces sur x : Somme des forces sur y : X 0/3 d. P e L/1 = 0 X 0/3 = d. P e L/1 d e.ta n(α+θ) Y 0/3 + e.ta n(α+θ) d e.ta n(α+θ) Y 0/3 = F g/3 Y 3/1 = F g/3 +. P L/1 F g/3 = 0 e.ta n(α+θ) e.ta n(α+θ) d e.ta n(α+θ). P L/1. P L/1 Q 4. La position d suivant l axe x de la lettre sur le plateau support est il important dans la mesure de l angle? Est-ce vérifiée? (0,5 points) La relation tanα = sur la mesure de l angle! a.sinθ.m L/1 b.m g/3 a.cosθ.m L/1 est indépendante de d. La position de la lettre n influe pas Q 5. Calculer la valeur de l angle α pour une lettre de masse 30 g, puis 45 g. (0,75 points) α 30g = 31,98 α 45g =63.89 Mathieu Rossat Jérôme Bachmann 1A /8

8 EXERCICE 3 (20 min 4 points) : Pour la poutre ci-dessous, le poids propre est négligé et le problème est assimilable à un problème plan. Valeurs numériques : L = 2 m p = 2250 N/m F = 1250 N Q 1. Exprimez puis calculez les actions aux appuis. Système matériel isolé : SMI={la poutre} Bilan des Actions Mécaniques Extérieures + Changement de point en A : {I A/P } = { Y A/P 0} (0,5 points) A,x,y,z 2.L {I p/p } = { p. dλ 0 L } = { p. L 0 } (1 point) 2.L 0 p. λ. dλ 0 3. p. 2 L2 {I C/P } = { Y C/P 0} {I D/P } = { F 0} C,x,y,z D,x,y,z L A,x,y,z = { Y C/P 0 } 0 2. L. Y C/P = { F 0 } 0 3. L. F A,x,y,z A,x,y,z A,x,y,z On applique le Principe Fondamental de la Statique Somme des moments en A autour de z : Somme des forces sur y : 3. p. 2 L L. Y C/P 3. L. F = 0 Y A/P F + Y C/P p. L = 0 (0,5 points) (0,5 points) Y C/P = 3. p. L + 3. F (0,5 points) Y 4 2 Y C/P = 5250 N (0,25 points) A/P = 1. p. L 1. F (0,5 points) 4 2 Y A/P = 500 N (0,25 points) Mathieu Rossat Jérôme Bachmann 1A /8