Notions de probabilités et de statistiques

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Valentine Poitras
il y a 6 ans
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1 Notions de probabilités et de statistiques. Généralités Événement. Notons Ω l ensemble des événements élémentaires pouvant résulter d un phénomène aléatoire. Un événement ω est un sous-ensemble de Ω constitué d un ou plusieurs événements élémentaires. On note P ω la probabilité que ω se réalise. On a 0 P ω et, en particulier, P Ω =. Négation. La probabilité que ω ne se réalise pas est P Ω \ ω = P ω. En particulier, P = 0. Et. On note P ω ω la probabilité que les événements ω et ω se réalisent tous deux. Si ω et ω sont des événements exclusifs c.-à-d. incompatibles, P ω ω = 0. Ou. On note P ω ω la probabilité que l événement ω ou l événement ω se réalise. On a P ω ω = P ω + P ω P ω ω. En particulier, si ω et ω sont exclusifs, P ω ω = P ω + P ω. Probabilité conditionnelle. réalisé, est La probabilité conditionnelle que ω se réalise, sachant que ω s est P ω ω = P ω ω P ω. Si ω et ω sont indépendants, P ω ω = P ω, donc P ω ω = P ω P ω.. Variable aléatoire, loi de probabilité Variable aléatoire discrète. On considère la variable aléatoire X qui prend des valeurs x i, où i N. La moyenne de la loi de probabilité P suivie par X est MX = i x i P X = x i et sa variance est V X = i [x i MX] P X = x i.. En l absence de précision, en mathématiques comme en français, le ou est inclusif, c.-à-d. que ω ω recouvre, entre autres, le cas où et ω et ω se réalisent.

2 Variable aléatoire continue. On considère la variable aléatoire X qui prend des valeurs x dans R. La probabilité que X soit dans [x, x + dx] est P X [x, x + dx] = Dx dx, où Dx est la densité de probabilité. On appelle fonction de répartition la probabilité P X x. On a P X x = x x = La moyenne de la loi de probabilité suivie par X est et sa variance est V X = MX = Dx dx. x Dx dx [x MX] Dx dx. Que la variable aléatoire soit discrète ou continue, on a On appelle écart-type de X la quantité V X = MX M X. SX = V X. On utilise aussi souvent la médiane mx définie par P [X mx] = / c.-à-d. qu il y a autant de chances d obtenir une valeur au-dessus de mx qu en dessous. 3. Loi binômiale On considère n événements ω i indépendants de probabilité p chacun. Soit X la variable aléatoire discrète égale au nombre k [0... n] d événements qui se sont réalisés parmi les n. En notant k! la factorielle de k définie par on a où En utilisant la formule du binôme, avec a = p et b = p, on obtient bien 0! = et k! = 3 k k, P X = k = C k np k p n k C k n = a + b n = n! k!n k!. n Cna k k b n k, k=0 n P X = k =. k=0 loi binômiale,

3 et On a également MX = n p V X = n p p. Convergence vers la loi normale. En utilisant la formule de Stirling, k! π k k+/ e k, on peut montrer que, pour n p p suffisamment grand, P X = k G µ,σ k, où et µ = MX, σ = V X G µ,σ x = exp [ π σ ] x µ σ est la loi normale ou gaussienne de paramètres µ et σ. Preuve sommaire. [ ] π exp n + ln n n P X = k [ ] [ ]p π exp k + ln k k k p n k π exp n k + ln n k n k = exp [ n + ln n k + ln k n k + π n p p = [ exp n + ln n k + ln k n k + πσ + ln n + k + ln p + n k + ] ln p = πσ exp [ k + ln k np n k + Posons k = µ + δ. Le terme entre crochets vaut k + k ln n k + n k ln np n p = µ + δ + ln + δ n µ δ + µ = µ + δ + δ δ µ + n µ d où P X = k G µ,σ k. µ + µ δ = δ σ, ln n k ] n p k+ p n k+ ln ln n k n k n p ln δ n µ δ + La probabilité que X prenne une valeur k comprise entre k et k est P X [k... k ] 3 k k=k G µ,σ k, n µ ]. δ n µ δ n µ +

4 puisque les événements k = k, k = k +,..., k = k et k = k sont incompatibles. k k= {}}{ P X [k... k ] G µ,σ k [k + / k /] k=k 4. Loi normale k +/ x=k / G µ,σ x dx = k +/ G µ,σ x dx k / G µ,σ x dx. La loi normale est une approximation de la loi binômiale valable quand n p p est grand. Elle est aussi très souvent suivie par des variables aléatoires continues c.-à-d. que leur densité de probabilité est de la forme Dx = G µ,σ x. Ceci est dû notamment au théorème suivant en version simplifiée : Théorème de la limite centrale. Si les variables aléatoires Y i, i [... n], sont indépendantes et suivent la même loi, de moyenne MY i = M Y et de variance V Y i = V Y communes, la moyenne MZ de la variable Z = n i= Y i tend à suivre la loi normale de paramètres µ = M Y et σ = V Y /n quand n tend vers l infini. Plus généralement, la somme de nombreuses variables aléatoires, même si celles-ci ne suivent pas la même loi, sera très souvent distribuée selon une loi à peu près gaussienne. Propriétés de la loi normale. On considère une variable aléatoire continue X distribuée selon la loi normale de paramètres µ et σ. On peut vérifier que l on a bien et P X ], + [ = MX = V X = G µ,σ x dx =, x G µ,σ x dx = µ x µ G µ,σ x dx = σ. La loi normale est symétrique autour de sa moyenne qui est également son pic et sa médiane. La largeur à mi-hauteur du pic est l mh = ln σ. En faisant le changement de variable y = x µ/σ, on remarque aussi que la fonction de répartition vaut P X x = x x = G µ,σ x dx = y y = G 0, y dy = F y G 0, est la loi normale centrée réduite. F y n est pas calculable analytiquement, mais on peut prendre sa valeur dans une table. F y a les propriétés suivantes : F = 0 ; P X µ = F 0 = / ; F + = ; F y = F y.. La convergence de la loi binômiale vers la loi normale peut d ailleurs se déduire de ce théorème en prenant pour Y i la variable aléatoire qui vaut si ω i est réalisé et 0 sinon. On a MY i = p + p 0 = p et V Y i = p p + p p = p p. En posant X = nz = P n i= Yi, c.-à-d. le nombre d événements qui se réalisent, on obtient bien que X tend vers G n p,n p p. 4

5 Les intervalles de confiance suivants sont particulièrement utilisés : P X [µ σ, µ + σ] = P X [µ σ, µ + σ] = P X [µ 3σ, µ + 3σ] = µ+σ x=µ σ µ+σ x=µ σ µ+3σ x=µ 3σ G µ,σ x dx = F F = 68,3 % ; G µ,σ x dx = F F = 95,4 % ; G µ,σ x dx = F 3 F 3 = 99,7 % la probabilité d obtenir une valeur à plus de trois écarts-types de la moyenne, dans les ailes de la gaussienne, est donc très faible. 5. Statistiques La loi suivie par une variable aléatoire est généralement inconnue. Même si sa forme est connue p. ex. normale, ses paramètres p. ex. µ et σ le sont rarement. On doit les estimer à partir d un échantillon de mesures ξ i, i [... n]. Un cas fréquent est celui où l on effectue n mesures indépendantes d une même quantité de la même façon il faut notamment que l état de l appareil n ait pas évolué au cours de l expérience et qu aucune mesure ne soit influencée par les précédentes. Les mesures ξ i suivent donc la même loi de probabilité. Ces mesures sont souvent regroupées dans des intervalles distincts [ζ j, ζ+ j ] de centre ζ j j [... k]. On note n j le nombre de mesures d un intervalle j quelconque. Une estimation P j de la probabilité P j que X soit dans l intervalle [ζj, ζ+ j ] est alors fournie par la fréquence observée P j = n j /n. Il est préférable que l intervalle ne soit ni trop petit car il contiendrait peu de mesures et une variation de n j de quelques unités se traduirait par une variation importante de P j ni trop grand car la loi de probabilité risquerait de changer significativement entre ses deux extrémités. La moyenne M de l échantillon, M = i= ξ i n k ζ j Pj, j= est une estimation de la moyenne M de la loi suivie par X. La variance V de l échantillon, V = i= ξ i M n k ζ j M Pj, j= est une estimation de la variance V de la loi, mais, comme V utilise M au lieu de M, V sous-estime légèrement V. Une meilleure estimation de V est V = i= ξ i M n. Pour calculer la médiane m de l échantillon, il faut ordonner les ξ i. Notons ξi rangés par ordre croissant. les éléments ξ i m = { ξ n +ξ n + si n est pair, avec n = n et ξn + si n est impair, avec n = n +. 5

6 La médiane m de l échantillon est une estimation de la médiane m de la loi. L intérêt de la médiane par rapport à la moyenne est qu elle est moins sensible aux mesures aberrantes, mais elle est plus difficile à calculer et à manipuler. Lorsque le nombre n de mesures augmente, les quantités P j, M, V ou V et m convergent respectivement vers P j, M, V et m loi empirique des grands nombres. En particulier, d après le théorème de la limite centrale, quand n est grand, la distribution des valeurs de M tend vers une loi normale de paramètres µ = M et σ = V/n V /n, et ce quelle que soit la loi suivie par X il suffit que les mesures suivent la même loi et qu elles soient indépendantes. L écart entre la valeur mesurée, M, et la valeur recherchée, M c.-à-d. l erreur sur M décroît donc comme / n. En définissant l incertitude statistique M sur M par P M [ M M, M + M ] = 95,4 %, on a M V /n. 6

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