Solutions pour certains exercices du cours MATH-F-108

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1 Solutions pour certains exercices du cours MATH-F-8 Commentaires à envoyer à Fichier mis à jour disponible à http ://homepages.vub.ac.be/ gklein/ Travail Personnel Question page 6 révisée Feuille sur les limites 6. Le numérateur et le dénominateur ont la même valeur absolue. A x 7 de signe. Donc lim et lim x 7 x 7 + le dénominateur change 7. tan x fait un saut à à x π. Donc lim x π + tan x + 9. a lim x x + x + x b lim x x + x et lim x π x c lim x x lim x + x x x x 8 d lim x x lim x + x + x x x e lim h + h h u u f lim u u u u lim h + h + h h u + u u u lim u u u u + tan x lim x x + 6 lim x x + x + lim h + h lim u u u + u u g lim x x + x lim x x + x + + x x + + x + lim x x x + + lim x x + + h lim x x + x x + x + + lim x x x + + lim x x x x + + lim x x + + lim x x + 9 x x + +. a lim x + 5x6 + x 7x + 5 +, lim x 5x6 + x 7x La plus grande puissance de x domine.

2 b lim x + x5 + x 6x + x +, lim x x5 + x 6x + x La plus grande puissance de x domine. c x 7 lim x + x 9 lim x 7 x x 7 x + 9 +, lim x x x 9 lim x 7 x x 9 x x d lim x ± x 6x + 8 e lim x ± x + x x + x lim x ± x x + x + lim x ± x x + x lim x ± x + x f x + x lim x + x + lim x + x + x x + lim x + x + x x +, lim x + x x x + g La plus grande puissance au numérateur est x /, donc plus grande qu au dénominateur : 8x lim 8x +, lim n existe pas. x + x + x x + h La plus grande puissance au numérateur est x /, donc plus petite qu au dénominateur : x + x +, lim n existe pas. x x x i lim x x 5 x + x 5 lim x x + x + x 5 x + x 5 lim x + const x + + const x + lim x x + lim x + x + lim x x 5 x + x 5 lim x x x x 5 x + x 5 lim x + const x + + const x lim x + x lim x x lim x + j lim x x x + x en effet, on a

3 lim x x x x + x lim + x x + + x x + x + x + + x lim x x. Sachant que lim x sin x x a lim x tan x x sin x lim x x cos x, trouver lim x + xx + x x + + x b On utilise sinu ± v sin u cos v ± cos u sin v. Toujours, lim x cos kx pour un nombre fini k. sin 7x lim x x lim sin x cos x + sin x cos x x x sin x cos x + sin x cos x + sin x cos x + sin x cos x lim x x sin x + sin x lim x x sin x cos x + sin x cos x + sin x lim x x 7 sin x lim x x 7 c On utilise que la limite de la réciproque est la réciproque de la limite. lim x x sin x cos x lim x sin x + cos x x cos x lim x x sin x + cos x sin x x lim + cos x x sin x d On utilise que la limite de la réciproque est la réciproque de la limite et implicitement la décomposition comme dans b. x sin 7x lim x x x sin 7x lim x sin x lim x x sin 7x lim x x x lim x x + sin x x sin 7x lim x x sin 7x sin x x 7 5 lim x x sin 7x 5 sin x 7 5 lim x x x sin 7x + lim x e On utilise implicitement la décomposition comme dans b. sin x + sin x lim x x sin x x sin 7x 5 sin x x sin 7x 5 5 lim x sin x + sin x x sin x + + sin x lim x sin x x sin x + + sin x lim sin x x x f On utilise implicitement la décomposition comme dans b. sin x + + sin x sin x lim x x lim x sin x x

4 Chapitre I : Rappels sur les nombres et sur les opérateurs avec des nombres. Trouver les valeurs réelles x telles que f x < x. Y +. gx abs x X fx absx +. Il faut trouver les points d intersection : x + x x, x + + x x. Donc x ], [ ], + [. i x 5x + > x > 5x + Y gx abs5x+ +. fx absx X +. Il faut trouver les points d intersection : x+ 5x 6 x, x+ 5x+6 x 5 6. Donc x ], 5 6 [.

5 Chapitre II : Fonction réelles d une variable réelle. Déterminer le plus grand domaine de chacune des fonctions suivantes : b x x x 5x x +. x 5x + 6 x 5 5 ±, x [, [ ], [ ], [ x c x x. x, x, x, x [, [ ], [. Parmis les fonctions suivantes, déterminer celles qui sont injectives, surjectives, bijectives. f R + R + : x x. injective et surjective, donc bijective. Chapitre II : Fonctions élémentaires. Calculer les dérivées premières des fonctions y yx suivantes où a, b R : h y arcsin 5x. Soit x dx sin t, 5 dt dy cos t, y t, 5 dt, y dy dx 5 cos t 5 sin t 5 5x j y arctansin x. Soit sin x tan t u, du du cos x, dx dt cos t, y t, dy dt, y dy dx cos x cos x cos t + sin x.. Calculer les dérivées premières des fonctions x y suivantes : b y lnln x. Si x, alors y lnln x et y x ln x x ln x. Si x <, alors y lnln x et y x ln x x ln x. e y 5 tanx. y 5 tanx e ln 5 tanx, y ln 5 cos x 5tanx dt cos t dx cos x g y x ln x. Si x, alors y x ln x e ln x et y ln x x xln x. Pas défini pour x. Si x <, alors y x ln x e lnx ln x ce qui pose un problème car le logarithme d un nombre négatif n est pas défini. 5 Chapitre II : Utilisation des Dérivées. Prouver qu un rectangle de périmètre donné a toujours une aire inférieure ou égale à celle du carré de même périmètre. 5

6 Soit p le périmètre. A a p a p a a. A p a a p. Donc l extrémum est atteint quand un coté vaut le quart du périmètre. Il ne peut s agir que d un maximum. 6. Un carton publicitaire doit contenir 5 cm de texte imprimé. Si on laisse une marge de cm en haut et bas de page, et de, 5 cm de chaque côté, trouver les dimensions les plus économiques du carton. NB : Le prix du carton est directement proportionnel à sa superficie!. 5 x y, 5 y 5 5x +. A x y x x + x. 5x 5x A +. x x x + 8 x x x, ± +. On garde x 8, y. 7. La somme de deux nombres est. Trouver ces nombres si a la somme de leurs carrés est minimal ; S a + a a + a + a a a +. A a a Calculer les limites suivantes : d x + 9 lim x x Avec l Hospital : x + 9 x lim x x lim x x x x x lim x lim x x + 9 x lim x x+9. Calculer les limites suivantes : c lim x x lim e ln x. On trouve la limite de l exposant avec l Hospital : x x lim ln x x x lim ln x x x 6 lim x x Donc lim x x e x e x f lim x + x + lim eln x +x. On trouve la limite de l exposant avec l Hospital : x + Donc lim ln x + x + x x lim x + x + e lim x + ln x + x lim x + x x + x lim x + x x 6 Chapitre III : Primitives - Méthodes d intégration. Donner, par intégration immédiate, une primitive de la fonction envoyant la valeur réelle x sur b sinx ; sinx dx cosx + C d 6x + ; 6x + dx ln6x + + C 6 6

7 h e sin x cos x ; k ; x sin x p cos x ; e sin x cos x dx e sin x + C x dx arcsin x + C sin x cos x dx cos x + C. Calculer, par changement de variable : e x/ l ex dx ; Soit u ex/, du dx ex/, dx e x/ du e x/ ex dx u u du ln + u + C ln e x/ + e x + C arctan x o dx ; Soit u arctan x, du + x dx + x, dx + x du arctan x dx u du u + x + C arctan x + C 5. Intégrer par parties les fonctions b x ln x ; u x, u x, v ln x, v x x ln x dx x x ln x x dx x ln x 9 x + C e e x sin x ; u e x, u e x, v sin x, v cos x, g cos x, g sin x e x sin x dx e x sin x e x cos x dx e x sin x e x cos x + e x sin x dx e x sin x dx ex sin x cos x + C h x tan x ; u cos x, u tan x, v x, v x tan x dx x sin x cos x dx x cos x dx x cos x cos x dx x + x tan x tan x dx x + x tan + lncos x + C 6. Calculer les intégrales indéfinies de la forme de degrés ou respectivement. : dx a x x + ; Soit t x, dt dx. dx x x + dx x x + dx Q ou x dx L dx avec L et Q des plolynômes en x Q dx x }{{} x x

8 dx x + arctan t dt t + + C arctan x + C dx b x + x + ; Soit t x +, dt dx. dx x + x + dx dx x x + }{{} x +x+ 9 dt 5 t + 5 t ln 5 t 5 + C x + ln x C x ln 5 x C 7. Calculer les intégrales indéfinies de la forme x : a d dx x + x + ; Soit t x +, dt dx. dx x + x + dx x + + dx ; Soit t x + x x dx x x dx Q, où Q est un trinôme du second degré en dt t + ln t + t + + C ln x + + x C, dt dx. dx 7 x + dt 7 t arcsin t + C arcsin x + + C Décomposer en fractions simples les fonctions rationelles de x suivantes et calculer les intégrales indéfinies : a x x ; x x A x + B x + Ax + + Bx x A + Bx + A B x On compare les numérateurs et on trouve A + B et A B ce qui donne A et B. Donc x x dx x dx + x + dx ln x + ln x + + C 8

9 c x x + x + x + ; x x + x + x + A x + + B x + + Cx + D x + x + Ax + x + x + + Bx + x + + Cx + Dx + x + x + x + On développe et on compare les numérateurs et on trouve A + C, A + B + C + D, A + B + C + D, A + B + D ce qui donne A, B, C, D. Donc x dx x + x + x + dx x + dx x + + x + x + x + dx dx x + dx x + + x + x + x + + dx x + x + dx x + dx x + + x + x + x + + dx x + + ln x + + x + + ln x + x + + x + arctan + C x + + ln x + x + x + + x + arctan + C h x ; x A x + B x + + Cx + D x + Ax + x + + Bx x + + Cx + Dx x On développe et on compare les numérateurs et on trouve A + B + C, A B + D, A + B C, A B D ce qui donne A, B, C, D. Donc dx x dx x dx x + dx x + ln x ln x + arctan x + C x x + arctan x + C 7 Chapitre III : Intégrale de Riemann. Que vaut 9

10 b c e e x + x dx? e x + x dx [ ln + x ] e ln e ln ln + x dx? Soient u, u x, v ln + x, v + x e e ln + x dx [x ln + x] e x + x e [x ln + x] e + x dx [ x ln + x x + ] e ln + x + e ln + e e 5. Calculer l aire géométrique de la région bornée du plan coordonné délimité par les paraboles d équations respectives y 6x x et y x x. Il faut trouver les points d intersection : 6x x x x x 8x x,. A 6x x x x dx x + 8x dx [ ] x + x Calculer l aire de l intersection des deux régions du plan R définies par les inéquations x +y et x + y x. x + y est un cercle de rayon centré à l origine. x + y x implique y + x et donc est un cercle de rayon centré à,. Si on fait le graphique on constate que l aire comprise dans l intersection de ces deux cercles est fois l aire entre x, x, y, et y x. Soit x sin t, dx cos t, dx cos t dt. Alors dt A 6 6 π π 6 x dx π π 6 π π sin t cos t dt 6 sin t cos t dt π 6 + cos t cos t dt 6 dt π 6 ] π π 6 6 8π 8 [ t + sin t 9. Dans R, l hyperbole xy partage la région définie par { y 8 y x en deux parties. Calculer l aire de chacune de ces parties. π 6

11 Y X y 8 est tout ce qui se trouve entre les deux droites horizontales. y x est tout ce qui se trouve au dessus de la droite oblique. On constate que l hyperbole partage cette région en trois parties,et nous devons additionner l aire d un triangle et une intégrale définie. D abord il faut trouver les point d intersection : 8 y x x et 8 x 8 x 8 8. Donc A 8 x dx + 8 8, 5 8 [ ] 8x ln x + 8 8, 5 8. Calculer le volume du solide engendré par la rotation autour de l axe oy de la surface bornée que délimitent les courbes d équation y x et y x dans le plan oxy. Pour évaluer un volume de révolution autour de l axe oy, c est comme si on additionnait des disques circulaires de rayon x et d épaisseur dy. Ici x y et x y : V πx πx dy π [ ] y y y dy π y 6 π. a Déterminer l aire de la surface engendrée par la rotation de l arc de courbe y x, x du plan oxy autour de l axe ox. Il faut additionner des segments de longeur dl dy dx + dy + dx + f dx dx, et de surface ds πr dl πfx + f dx : S πfx + f dx π [ x x dx π ] x

12 8 Chapitre IV : Géométrie vectorielle et analytique. On donne les points a,, b, et c, du plan. Déterminer a les composantes des vecteurs ab, ba, ac, bc, cb ; ab,, ba,, ac,, bc,, cb, b les coordonnées des milieux de ab, bc, ca ;, +, 5,, +,,, 7, +,, c les coordonnées du centre de gravité du triangle abc., +, +,, 5, 5. On donne les points a, 7 et b 6,. a Déterminer les coordonnées du point c situé sur la droite ab et tel que ac cb. c a + ab, 7 + [6,, 7], 7 +,, 5 5 b Même question avec a, 8, b 8, et ac cb c a + ab, 8 + [8,, 8], 8 +,, Dans le plan, donner l équation des droites suivantes : a l axe ox ; x, y, + λ,, λ R b l axe oy ; x, y, + λ,, λ R c la droite qui passe par les points, et, ; x, y, + λ,, λ R d la droite qui passe par les points, et, ; x, y, + λ[,, ], + λ,, λ R e la droite qui passe par les points, et, ; x, y, + λ[,, ], + λ,, λ R f la droite parallèle à l axe x qui passe par, ; x, y, + λ,, λ R g la droite parrallèle à la droite d équation x + y qui passe par le point,. x, y, + λ,, λ R. Quelle est l équation de la droite du plan qui passe par, et qui est parallèle à la droite passant par, et,? x, y, + λ[,, ], + λ 6,, λ R 5. Quelle est l équation de la perpendiculaire à la droite d équation x y, qui passe par le point,?

13 La pente de la droite d équation x y est. Donc la pente de la droite qu on cherche est et x, y, + λ,, λ R 6. Déterminer la valeur du paramètre réel k pour que a la droite déquation kx + 5y + k passe par le point, ; k k k b la droite d équation x ky 7 ait une pente de ; k k c la droite d équation kx y k 6 coupe l axe des x au point d abscisse 5. k5 k 6 k 7. Déterminer le centre et le rayon du cercle d équation x + y x + 5y. x + y x + 5y x 9 + y x + Donc le centre est, 5 et le rayon est. 9. Dans R, calculer a,,,, Plus généralement on a a, b, c d, e, f ex ey ez a b c d e f ex ey ez 8, 5, 6 bf ec, dc af, ae db y Dans l espace euclidien, on donne les vecteurs v, v, v de composantes respectives,,,,, et,,. On demande a la longeur de v ; v b l angle entre v et v ; v v v v v v cos α α arccos v v arccos,,,, arccos + 6 π c le produit vectoriel v v ; Utiliser la formule dans 9.. Dans l espace euclidien, trouver l aire du triangle de sommets p,,, q,,, p,,. Etant donné deux vecteurs, la norme du produit vectoriel vaut l aire du parallélogramme construit

14 sur ces deux vecteurs. p,,, q,,, r,, Donc : A pq pr,,,, ex ey ez 5,, Ecrire l équation des plans a parallèle au plan oxy et coupant l axe oz au point,, ; x, y, z,, + λ,, + µ,,, λ, µ R b parallèle au plan oyz et coupant l axe ox au point,, ; x, y, z,, + λ,, + µ,,, λ, µ R c contenant l axe oz et passant par le point,, ; x, y, z,, + λ,, + µ,,, λ, µ R d passant par les points,,,,, et,, ; x, y, z,, + λ[,,,, ] + µ[,,,, ],, + λ,, + µ,,, λ, µ R e passant par les points,,,, 6, et,, 5 ; x, y, z,, + λ[, 6,,, ] + µ[,, 5,, ],, + λ, 6, + µ,, 5, λ, µ R 5. Trouver l équation du plan a contenant l origine et parallèle au plan d équation x + 7y 6z + ; On a le vecteur normal n, 7, 6. On cherche un plan contenant l origine et ayant le même vecteur normal :, 7, 6 x, y, z x + 7y 6z. b contenant le point,, et parallèle au plan d équation x + 7y 6z + ; On a le vecteur normal n, 7, 6. On cherche un plan contenant,, et ayant le même vecteur normal :, 7, 6 x, y, z, 7, 6 x, y, z, 7, 6,, x + 7y 6z + 8. Quelle est l équation du plan qui passe par le point a,, et qui contient la droite D d équations paramétriques x t + y 5t + z t On a besoin d un deuxième vecteur directeur :,,,,,,. x, y, z,, + λ, 5, + µ,,, λ, µ R 9. Trouver des équations cartésiennes de la droite passant par le point, 5, et parallèle à la droite d équations { x y +z x +y z + La droite dans l énoncé est donnée sous forme d intersection de deux plans. Son vecteur directeur est orthogonal aux deux vecteurs normaux. Donc la droite qu on cherche est :

15 ex ey ez x, y, z, 5, + λ, 5, + λ, 5,, λ R Ceci est une équation paramétrique. Pour l équation cartésienne il faut prendre les vecteurs normaux des plans dans l énoncé et en faire deux noveaux plans contenanat le point, 5,. { x y +z,,, 5, 7 x +y z,,, 5,. Pour quelles valeurs de a les droites sont-elles sécantes? D x + y z et D x a y On peux reécrire les deux droites sous forme paramétrique : D x, y, z,, + λ,,, λ R D x, y, z,, 7 + µa,,, µ R Donc pour le point d intersection il faut résoudre le système d équations { λ + µ + λ 7 + µ Ensuite on détermine a on remplaçant λ et µ dans + λ + aµ. z 7. Trouver l équation du plan passant par la droite d équations { x +y z x y +z + et parallèle à la droite d équations { 5x +y z x +y + Il faut trouver un point situé sur la première droite :, y, y 5, on peut prendre,, 5. Pour les vecteurs directeurs, on prend le produit vectoriel des paires de vecteurs normaux : x, y, z,, 5 ex ey ez + λ + µ ex ey ez 5, λ, µ R Si on souhaite trouver une équation cartésienne de ce plan, on peut prendre le méme point et le vecteur normal qu on obtient on prenant le produit vectoriel des vecteurs directeurs.. Pour quelle valeur de λ la droite d équations x y + z λ est-elle parallèle au plan d équation 6x y + z 5? On peut écrire la droite sous forme paramétrique : x, y, z,, + µ,, λ. Pourque cette 5

16 droite soit parallèle au plan en question, son vecteur directeur doit être perpendiculaire au vecteur normal du plan :,, λ 6,, + λ. 6. Quelle est l équation du plan qui passe par les points a,, et b,, et qui est perpendiculaire au plan d équation x y + z 5? Un des vecteurs directeurs est le vecteur normal du plan :,,. On en obtient un deuxième en prenant ab [,,,, ],,. Alors l équation du plan est : x, y, z,, + λ,, + µ,,, λ, µ R Si on souhaite trouver une équation cartésienne de ce plan, on peut prendre le méme point et le vecteur normal qu on obtient on prenant le produit vectoriel des vecteurs directeurs. 9 Chapitre V : Fonctions vectorielles d une variable réelle. Parmi les applications suivantes, déterminer a celle qui est continue ; b cellle qui est dérivable. f : R R : t t e t, ch t + sin t g : R R : t arctan t, e t. f : R R : t t e t, ch t + sin t t e t, et + e t + sin t. Les deux composantes sont des sommes et produits de fonctions continues et dérivables, donc f est continue et dérivable sur R.. g : R R : t arctan t, e t. arctan est continue est dérivable. On constate que e t est pointue à t, donc elle n est pas dérivable. Donc g est continue mais pas dérivable sur R.. Un point px, y se meut dans le plan R suivant la loi { x t 5t + 6 y t + 5t où t désigne le temps. Calculer les composantes de la vitesse et de l accélération en t ; en t ; en t 5. Déterminer ensuite dy en ces mèmes instants. dx r t { x t 5t + 6 y t + 5t v t dx dt 6t 5 dy dt t + 5 a t d x dt 6 d y dt 6t Pour trouver les vecteurs vitesse et accélération on remplace t par la valeur en question. Même chose pour dy dx t + 5 6t 5.. Dans le plan R muni de la base orthonormée canonique e, e, le vecteur op cos ωt e + sin ωt e 6

17 donne la position du point p en fonction du temps t avec ω constante réelle non nulle. Montrer que a à chaque instant, le vecteur vitesse est perpendiculaire au vecteur position ; b le vecteur accélération est dirigé vers l origine de R, et est de norme constante Quel est le mouvement du point? a r t opt cos ωt, sin ωt, v t ω sin ωt, ω cos ωt cos ωt, sin ωt ω sin ωt, ω cos ωt opt v t b at ω cos ωt, ω sin ωt ω opt, donc dirigé vers l origine et norme constante ω. Il s agit d un mouvement circulaire.. Le mouvement d un point p x, y dans le plan euclidien R est donné en fonction du temps t par { x + cos 5t y + 6 sin 5t a Ce mouvement est-il périodique? Si oui, quelle est sa période? b En éliminant le paramètre t, trouver une équation satisfaite par les coordonnées de toutes les position prises par le point au cours du temps. Ces positions forment la trajectoire du point ; décrivez géométriquement cette trajectoire. c Quel est le vecteur vitesse pour t? pour t π? pour t π? pour t π 5? d Faites, dans le systèmes d axes, le schéma de la trajectoire. Dessinez quelques vecteurs vitesse. e Le point progresse-t-il constamment à la même allure sur sa trajectoire? f Quel est le vecteur accélération à l instant t? g Ce vecteur accélération est-il de norme constante? est-il toujours orthogonal à la trajectoire du point considéré? a Les deux composantes sont en mouvement périodique, avec période T ν π ω π 5. Le mouvement est donc périodique avec la même période. x y + b +. Il s agit d une ellipse centrée à, avec rayon-x égale à et 6 rayon-y égale à 6. c v t 5 sin 5t, cos 5t. Remplacer t. d, e Les vecteurs vitesse sont tangentes de l ellipse. v t 5 sin 5t + 9 cos 5t n est pas constante. 7

18 Y X f, g a t 75 cos 5t, 5 sin. a t 565 cos 5t + 5 cos 5t n est pas constante. a t v t, donc l acceleration n est pas toujours perpendiculaire à la trajectoire. 5. Un cycliste roule éternellement dans le plan R. Sa position à l instant t est donnée par { x t + t, y t. a Combien de fois passe-t-il à l origine? b Combien de fois, sans être à l origine se dirige-t-il vers l origine? a Une seule fois à t. b Il faut que le vecteur vitesse soit un multiple négatif du vecteur position : r t { x t + t v t y t dx dt t + dy dt t kt + t t + kt t Il faut que k < et la seule solution qu on trouve est t. Donc il ne se dirige jamais vers lorigine. 6. Un point mobile dans R est à l instant t au point x, y, z défini par x e t, y cos t, z sin t. a Déterminer son vecteur vitesse à l instant t. b Déterminer sa vitesse numérique à l instant t. 8

19 c Déterminer son vecteur accélération à l instant t. r t x e t y cos t z sin t v v t dx dt e t dy a t 6 sin t dt dz 6 cos t dt e t + 6 sin t + 6 cos t e t + 6 d x dt e t d y 8 cos t dt d z 8 sin t dt 7. Trouver le vecteur tangent, les équations de la tangente et l équation du plan normal au point, 9, 7 de la courbe paramétrée de R donnée par où e, e, e est la base canonique. op t e + t e + t e On constate que, 9, 7 est égale à la fonction évaluée à t. v t, t, t et v, 6, 7. Donc l équation de la tangente est x, y, z, 9, 7 + λ, 6, 7, λ R et l équation du plan normal est, 6, 7 x, y, z, 6, 7, 9, Considérons le point mobile de R donné en fonction du temps t par x arctan t, y lnt +, z t arctan t. A quels instants la vitesse de ce point mesure-t-elle? r t v + t + x arctan t y lnt + z t arctan t t t + v t dx dt t + dy dt t t + dz dt t + +. Il faut poser v et résoudre pour t. t + Commencer par élever au carré, ensuite multiplier par t + et poser u t.. Par intégration, calculer la longeur des arcs de courbes paramétrés suivants : a [6, 7] R : t t, t, 7t + ; b [, ] R : t cos 6t, + sin 6t. Vérifiez vos résultats en déterminant la nature géométrique de ces arcs de courbe. a Lγ 7 6 [t ] + [t ] + [ 7t + ] dt 9

20 b Lγ dt 6 [t] [ cos 6t ] + [ + sin 6t ] 6 sin 6t + 6 cos 6t dt 6 dt 6 Il s agit d une part d un segment de droite et d autre part d un arc de cercle. Chapitre VI : Fonctions de plusieurs variables. Dessinner le graphique des fonctions suivantes dans R. Représenter les traces dans les plans x k, y k, z k pour k,,. a fx, y 6 x y b fx, y x + y c fx, y x y e fx, y sin x. a z fx, y 6 x y. Il s agit d un plan. Pour les traces, on remplace tout simplement la variable par k et on obtient l équation d une droite. b z fx, y x + y. Il s agit d un paraboloïde. Si on remplace x ou y par une constante, on obtient des paraboles. Si on remplace z par une constante positive on obtient des cercles. c z fx, y x y. Il s agit d une hémisphère. Si on remplace z par une constante entre et on obtient des cercles, et si on remplace x ou y par une constante on obtient des demi-cercles. e fx, y sin x. Il s agit d une tôle ondulée. Si on remplace z par k, on obtient des droites. Si on remplace y par k on obtient la fonction sin x. Si on remplace x par k on obtient une fonction constante.. Donner le plus grand domaine de la fonction et calculer les dérivées partielles premières : f : x, y e x sin y ; g : x, y x + y e xy h : x, y e cosx/y. f : x, y e x sin y x R, y R f x f ex sin y y ex cos y g : x, y x + y e xy x R, y R g x xe xy yx + y e xy g y ye xy xx + y e xy h : x, y e cosx/y x R, y R \ h x ecosx/y sinx/y h y y ecosx/y sinx/y x y 7. Calculer toutes les dérivées partielles du second ordre des fonctions appliquant x sur a x y x + y ; b yx ;

21 7. a fx x y x + y f x f y f x y f x + y y yx + y x y + y x + y y x + y x x + y x yx + x + y x x + y x f x + y x y f y x x + y yx + y x + y b fx y x e lny x f x lnyyx f x ln yy x f y xyx f xx yx y f x y f y x x y x + y + x lnyyx 8. Calculer les dérivées premières, la différentielle totale et les dérivées partielles secondes des fonctions : f : R R : x, y x + x y g : R R : x, y x xy + y h : R + \ {} R \ {} R : x, y lnxy 8. f : R R : x, y x + x y f x 6x + 6x dz 6x + 6x dx y dy f y g : R R : x, y x xy + y g x x y g dz x y dx + x + y dy g y h : R + \ {} R \ {} R : x, y lnxy f y y f x x + 6 f x y f y x x + y y g x g x y f y x h x y xy h x y xy xy y dz x dx + y dy h x x h y h y x y f y x π. Pour p, et le vecteur v de R lié en p de composantes, 5, calculer la dérivée selon v de la fonction f : R R : x, y cosx y

22 D v f f f y cosxy sinxy x f f x cosxy sinxy y π, π x, cos π sin π π y, π cos π sin π π f π x,, f π v y,, v π. Calculer la dérivée de la fonction f : R R : x, y x xy y, π au point p, dans la direction orientée formant avec l axe ox un angle orienté mesurant 6. f : x, y x xy y, u cos π, sin π,, u + f x x y f, x f f x y, 9 y y f f D u f,,,, u, 9 x y, 9 Pour trouver la dérivée dans une direction orientée, on prend un vecteur de norme dans cette direction.. Décrivez le gradient, en un point quelconque de R, de la fonction f f : R R : x, y 5, f x, f, y g g : R R : x, y x, g x, g, y h h : R R : x, y x + y, h x, h, y j : R R : x, y j x + y, j x, j x, y y 5. Le gradient pointe toujours dans la direction dans laquelle la pente ascendante est la plus raide. x 6. Soit la fonction f appliquant x, y sur + y. Après avoir déterminé le domaine de f et la 9 nature du graphe de f, faites un schéma dans un système d axes oxyz. - du graphe de f ; - de quelques lignes de niveau de f dans le plan oxy ; - des lignes correspondantes sur le graphe de f ; - de quelques gradients de f.

23 Il s agit d un cône elliptique de sommet,, et d axe Oz. Les courbes de niveau sont des ellipses. On constate que le gradient f fx, y x, f x y, y x + y x 9 + y 9 9 pointe toujours dans la direction dans laquelle la courbe de niveau suivante plus élevée est la plus proche. Pour voir ça, dessiner des ellipses pour quelques valeurs de z et quelques gradients. f,,, f,, +. Y X Donner l équation du plan tangent et les équations de la normale au graphe de la fonction au point,,. f : R R : x, y x xy y f : R R : x, y x xy y, on cherche le plan tangent π et la droite normale D au point,,, f,. π z f, f f, x +, y x y f f x y, x x f f y x, y y π z x y π x y z plan tangent

24 Ainsi on connait un vecteur normal n,, et donc la droite normale D x, y, z,, + λ,,, λ R 8. Au point indiqué, dans quelle direction orientée la fonction augmente-t-elle le plus? a f : R : x, y cosx y au point π, π. Il faut calculer le gradient et l évaluer au point π, π. f f x, f y sinxy, x sinxy, f π, π,. On constate que cos π π y, et la fonction croît de manière égale dans toute les directions.. Soit S la surface de R d équation z x + xy x + y a Calculer l équation du plan tangent à S au point,,. b En quels points de S le plan tangent est-il parallèle au plan z? c Déterminer les extrémums et points de col de la fonction R R : x, y x + xy x + y a On cherche le plan tangent π au point,,,, f,. π z f, }{{} f x f x x + y f, x f f xy + y, y y π z x + y π x + y z 6 f, x +, y y plan tangent b Il faut que les deux dérivées partielles de premier ordre soient égales à. On a donc un système d équations en deux variables f x x + y f xy + y y qu on peut résoudre pour trouver x ±, y, et les points qu on cherche sont / / p,,, q,, +. c R R : x, y x + xy x + y. On a déjà trouvé les points critiques p et q dans b. f x 6x f y x + f x p 6 f y p f q 6 x + f q y +

25 f x y y f x y p f x y q f f [ ] Dx, y x x y f f f x x, y f y x f, y x y x, y y x y D, 6 + >, est un minimum local car D > et f x > D, 6 + <, est un point de selle car D < En Résumé : i Si D > et f >, alors on a un minimum local. x ii Si D > et f <, alors on a un maximum local. x iii Si D < alors on a un point de selle.. Rechercher les extrémums locaux, en indiquant leurs natures, des fonctions appliquant le point x, y de R sur a x y 5x y 6x + y + ; c x + y x y + ; a fx, y x y 5x y 6x + y + f x xy x 6 y x + f y x y + x + x x + En substituant y x + dans xy x 6 on trouve directement la solution x, ainsi on a factorisé. Points critiques : p,, q, 7, r, 6 f y x f q < x f y f p 6 < x f x r > f x y x 5

26 f f p q x y x y f r 6 x y Dp 8 > Dq < Dr < Donc p est un maximum local et q et r sont des points de selle. c fx, y x + y x y + f x x x ± f y y y ± Points critiques : p,, q,, r,, s, f x 6x f x p 6 > f f q 6 < x x r 6 > f f s 6 < x y 6y f f p q y y f f r s y y f Dp 6 > x y Dq 6 < Dr 6 < Ds 6 > Donc p est un minimum local, q et r sont des points de selle, et s est un maximum local.. Déterminer les points de la surface de R d équation xyz qui sont les plus proches de l origine. On établit une fonction distance de l origine d x + y + z x + y +. On constate x y que cette distance est minimum quand sont carré fx, y d x + y + x y l est. f x x x y f y y x y x y y x x y x y y x y ± x x 6 x 8

27 x 6 x ± y ± Points critiques p,, q,, r,, s,. f x + 6 f x y x p f x q f f x r x s 8 > f y + 6 f y x y p f y q f f y r y s 8 f x y f x y x y p f x y s f x y q f x y r Dp Dq Dr Ds 8 8 > Donc p, q, r, s sont des minimas de la fonction distance de l origine. 7. On veut construire une citerne rectangulaire ouverte d une contenance de m. Quelles doivent être les dimensions pour que le coût du revètement intérieur soit minimum le coût par unité de surface sera supposé constant? Soient x la profondeur, y la largeur, et z la hauteur. Alors le volume V xyz et la surface S xz + yz + xy. Le volume est donné, donc z et Sx, y + xy y x + xy. S x x + y S y y + x x y y y x x x x x x x y z Donc on a le point critique p,,. Etant donnée la nature physique du problème, il ne peut s agir que d un minimum. Chapitre VII : Intégrales multiples. En recourant à l interprétation intuitive de l intégrale double donner la valeur de a dx dy, si D {x, y R x, et 5 y } ; b c D D D dx dy, si D [, ] [, ] ; dx dy, si D {x, y R x + y 9} ; 7

28 d x dx dy, si D [, ] [, ] ; e D D x + y dx dy, si D {x, y R x + y 6} ;. a Une fonction qui vaut constamment et une aire qui vaut 6. Donc l intégrale vaut 6 7. b Une fonction qui vaut constamment et une aire qui vaut. Donc l intégrale vaut 6. c Une fonction qui vaut constamment et une aire qui vaut πr 9π. Donc l intégrale vaut 9π 9π. d A cause de l intervalle x [, ] et à cause du fait que la fonction x est impaire, l intégrale vaut zéro. e La fonction x+y correspond à un plan l intersection duquel avec le plan Oxy est la droite y x. Ce plan coupe le cercle en question en deux. Donc la moitié se trouve au dessus et l autre moitié en dessous, de manière symétrique. Donc l intégrale vaut zéro.. Calculer a x + y dx dy, où D [, ] [, ] ; b c D D x sin y dx dy, où D [, ] [, π] ; x + y dx dy, où D est la région bornée du plan délimitée par les trois droites D d équations x, y et x + y ; d y dx dy, où D est la couronne circulaire délimitée par les cercles de centre, D et de rayons et. e x + y dx dy, où D {x, y R r x + y r} avec r, r des nombres D réels tels que < r < r ; f y dx dy, où D {x, y R x y et y } ; g D D x dx dy, où D est le triangle plein de sommets,,, et,.. a D x + y dx dy x + y dx dy [ x + yx ] x dy x [ ] y + y dy + y 8

29 b c D x sin y dx dy D π x + y dx dy x sin y dx dy x π [ x sin y x + y dy dx x dx ] x dy x [ x + y ] [x x [ cos y ] π ] y x y dx d Il faut changer de coordonnées : x r cos θ, y r sin θ, dd dx dy r dr dθ D y dx dy e En garde les coordonnées de d D x + y dx dy π r π 5 π r r r dr dθ r sin θ r dr dθ cosπ π [ r π dθ 5 π ] r r dθ [ r π ] sin θ dθ r r dθ π r r f Pour se faire une idée de à quoi ressemble D, on peut dire qu elle est bornée par x ± y +, y ± Y X.. D y dx dy + y + y + y dx dy y y + dy y + y dy + [yx] + [ ] y + 9

30 g On constate que la région est bornée par l axe y et les droites y et y x. D x dx dy y yx x dy dx [xy] y yx dx x x 6. Soit S la surface de R d équation z x y. Faites un schéma de cette surface en dessinant aussi le système d axes. Calculez ensuite le volume de la région située entre le plan d équation z et la surface S, au-dessus du plan z. Il s agit d un paraboloïde. Pour trouver le volume, le plus simple c est d utiliser des coordonnées polaires : x r cos θ, y r sin θ D x y dx dy π r r dr dθ π ] [r r π dθ π 5. Calculer, à l aide d une intégrale double, l aire géométrique de la région bornée de R a délimitée par les paraboles d équations respectives y x + 5 et y 6x + 9 ; b délimitée par les courbes d équations en coordonnées polaires ρ a + cos θ et ρ a cos θ, où a R + \ {} ; c ne contenant pas l origine et délimitée par les courbes d équations x + y et x respectivement ; d délimitée par les droites d équations θ et θ π en coordonnées polaires, ainsi que par l arc de cercle de rayon centré à l origine et intercepté par ces deux droites. Pour calculer l aire à l aide d une intégrale double, il faut utiliser la fonction. Il faut voire ça comme un volume de hauteur, qui vaut le même que la surface de base. a x y 5 x 9 y 6 6y 5 9 y 6y y ± 5

31 A y+ 5 y y 5 x 9 y y dx dy x y [ y + dx dy ] y y 8 5 dx dy Y X b Pour voir à quoi ressemble la courbe C : ρ a + cos θ, il faut considérer quelques valeurs particulières de θ et faire un dessin. θ ρ a + cos θ x ρ cos θ y ρ sin θ a a π/ a a π π/ a a π a a La courbe C : ρ a cos θ exprimée en coordonnées cartésiennes est : x ρ cos θ y ρ sin θ ρ a cos θ cos θ x ρ et x + y ρ ρ a x ρ et ρ a x x + y ax a a x ax + + y x a a + y

32 Donc C est un cercle de rayon a centré à a,. Voici le graphique pour a Y X. π A C π a a+cos θ π ρ dρ dθ + cos θ + + cosθ A A C A C πa πa 5 πa π a + cos θ dθ a + cos θ + cos θ dθ [ dθ a θ + sin θ + ] π sinθ πa c La courbe x + y est un cercle de rayon centré à l origine. Soit x sin t, alors dx cos t dt. A 8 x tπ t π 6 x dy dx cos t dt 8 t π t π 6 t π x dx + cost dt t π 6 sin t cos t dt [ t + sint ] t π t π 6 π π On peut faire ça en coordonnées polaires également : Soit x r cos θ et y r sin θ. En coordonnées polaires, dx dy r dr dθ. La droite x correspont à r. Au point d intersection dans le cos θ premier quadrant, on a cosθ, donc θ π. π A r dr dθ cos θ [θ tan θ] π π π cos θ dθ

33 d En coordonnées polaires, dx dy r dr dθ A π r dr dθ π dθ π 8 6. Calculer par intégrale double le volume de la région bornée de R délimitée par les deux cylindres d équations respectives x + y et x + z. On peut voir ça comme une fonction z fx x au dessus du disque circulaire x +y : V y x x dy dx y x ] x dx [x x 6 [y x ] y x 7. Déterminer, sans calculer, a x + y + z dx dy dz, si D [, ] [, ] [, ] ; y x dx b c D D 5 dx dy dz, si D {x, y, z R x + y + z } ; dx dy dz, si D {x, y, z R x, y, z D et x + y + z }. a Un cube centré à l origine et une fonction qui est symétrique par rapport à l origine l intégrale vaut zéro. b Une sphère de rayon et une fonction qui vaut constamment 5 l intégrale vaut 5V 5 πr π c On a une sphère de rayon centrée à l origine et un cube dans le premier octant. On cherche fois le volume qui est à l intérieur du cube et en dehors de la sphère. Donc l intégrale vaut 8 πr π Calculer, par réduction à des intégrales simples, a xyz dx dy dz, où D [, ] [, ] [, ] ; b D y dx dy dz, où D est la région bornée du premier octant de R limitée par le plan D d équation x + y + z. a D [, ] [, ] [, ] xyz dx dy dz D xyz dx dy dz yz dy dz z dz 8

34 b Au départ, on a un plan d équation x + y + z. On intègre successivement par rapport aux variables x, y, z, l ordre n ayant pas d importance. Il faut se faire une idée de à quoi ressemble le plan, et quelles sont les intersections avec les plans Oxy, Oxz, Oyz et les axes Ox, Oy, Oz. Par rapport à la première variable d intégration, les bornes sont des plans, en suite des droites, ensuite des points. Par exemple : D y dx dy dz x 7 x y x y x z x y z y dz dy dx y xy y dy dx x 8 [ ] x x x 8 x 88 dx 7 [ y x z x y [yz] z dy dx x y x dx ] y x y dx Exercice supplémentaire : Trouver le volume du solide qui se trouve au dessus du cône ϕ π et en dessous de la sphère ρ cos ϕ. En coordonnées sphériques on a x ρ sin ϕ cos θ, y ρ sin ϕ sin θ, et z ρ cos ϕ. Il faut d abord se convaincre que ρ cos ϕ est en effet l équation d une sphère : ρ cos ϕ ρ ρ cos ϕ z x + y + z ρ z, z z z + x + y + z On a donc l équation d une sphère de rayon centrée à,,. Pour trouver le volume on utilise la fontion et une intégrale triple, tenant compte du fait que en coordonnées sphériques on a dv dx dy dz ρ sin ϕ dρ dθ dϕ. V ϕ π ϕ ϕ π ϕ θπ ρ cos ϕ θ 8π ρ sin ϕ cos ϕ dϕ π ρ sin ϕ dρ dθ dϕ ϕ π ϕ θπ θ [ cos ϕ ] ϕ π ϕ π [ ρ ] ρ cos ϕ ρ 6 π sin ϕ dθ dϕ Chapitre VIII : Analyse vectorielle. Dans R, calculer l intégrale curviligne a x dy + y dx, où C + est l arc de cubique défini par y x + x + x + et x ; C + b x xy e x + xy + y e y ds, où C + est l arc de la parabole d équation y x, C + joignant le point, au point, ; c a y dx + x dy, où a est une constante réelle strictement positive et C + est l arc de C + la cycloïde de paramétrisation

35 { x at sin t t π ; y a cos t d x + y dx + x + y dy, où C + est le carré de sommets,,,,,,, C + parcouru une fois dans le sens anti-trigonométrique. Quel serait le résultat si ce même carré était parcouru deux fois dans les sens trigonométrique? a y x + x + x +, C + x dy + y dx dy dx x + x +, dy x + x + dx. xx + x + dx + x + x + x + dx x + x + x + dx [ x + x + x + x ] b ds dx e x + dy e y. Donc e x ds dx, et e y ds dy. y x, C + x xy dx + xy + y dy Y c Voici a quoi ressemble la cycloïde pour + a. dy dx x, dy x dx x x x dx + x x + x x dx x x + x + x 5 dx +[ x x + 5 x x ] X dx La cycloïde touche l axe x à des multiples de πa. x at sin t, a cos t, dt 6 dy dx a cos t dt, y a cos t, a sin t, dy a sin t dt. dt π 8 a y dx + x dy a a cos ta cos t dt + at sin ta sin t dt C + π π a cos t + t sin t sin t dt a t sin t dt a [ t cos t] π a π cos dt πa d Il faut paramétriser le parcours : C, t, t [, ], dx, dy dt ; C t,, t [, ], dx dt, dy ; C, t, t [, ], dx, dy dt ; C t,, t [, ], dx dt, 5

36 dy. C + x + y dx + x + y dy + t dt + t + dt t + dt + t + 5 dt [t] + [5t] + t dt + t + dt Si le même carré était parcourru deux fois dans le sens trigonométrique, le résultat serait +.. Dans le plan R, soit T le triangle de sommets,,, et,, et C + son bord orienté dans le sens trigonométrique. Soit le champ de vecteurs v sur R, défini par v x, y xy ex x e y. a Calculer l intégrale circulaire v ds. C + b Ramener cette intégrale circulaire à une intégrale double et calculer cette intégrale double. a Il faut paramétriser C + : C t,, t [, ], dx dt, dy, C t, t, t [, ], dx dt, dy dt, C, t, t [, ], dx, dy dt. xy dx x dy dt + tt dt t dt + dt C + [ ] t dt t t b P xy, dp dq x, Q x,. D après la fromule de Green, dy dx x dq xy dx x dy C + dx dp x dy dy dx x dy dx [ y xy] x dx + x [ x + ] x + x x x dx. Soit D le disque de rayon centré à l origine de R et C + son bord orienté dans le sens trigonométrique. Soit le champ de vecteur v sur R, défini par v x, y x y e x e y e y. a Calculer l intégrale circulaire v ds. C + b Ramener cette intégrale circulaire à une intégrale double. Calculer cette intégrale double pour vérifier qu elle a bien la même valeur que l intégrale circulaire. a Il faut paramétriser C + : C + cos t, sin t, t [, π], dx sin t dt, dy cos t dt. π x y dx e y dy 9 cos t sint sin t dt e sin t cost dt C+ 6

37 π π π cos t sin t dt π sint dt [ e sin t] π dt }{{} e sin t cost dt e e cost dt 8 [ sint 8 ] π 8π Pour ce genre de calcul, il peut être utile de se servir des formules suivantes, on posant u v : sinu ± v sin u cos v ± cos u sin v cosu ± v cos u cos v sin u sin v b P x y, dp dy x, Q e y, dq. En coordonnées polaires, x r cos θ, y r sin θ, dx θ [, π], r [, ] D après la fromule de Green, x y dx e y dq dy dx dp dx dy x dx dy dy C+ D π 8 r cos θ r dr dθ π + cosθ D dθ 8 π ] [ r [ θ + sinθ cos θdθ ] π 8π. Dans R, calculer l intégrale circulaire d abord directement, puis indirectement en la ramenant à une intégrale double : a x + y dx + x + y dy, où C + est le parcours simple du triangle de sommets C + a,, b,, c, dans ce sens ; b xy dx x y dy, où C + est la circonférence d équation x + y 6 parcourue trois fois C + dans le sens trigonométrique ; a Il faut paramétriser C + : C + t, + t, t [, ], dx dt, dy dt, C t, t, t [, ], dx dt, dy dt, C, t, t [, ], dx, dy dt, x + y dx + x + y dy + t + + t dt + + t + + t dt C+ + + t + t dt + t + t dt + t dt + + t dt 8 + t + t t + t + 8t + t 6 t + 9t + + t + t dt t 7

38 t 9 + 9t 9t [ 9t + 5t 9 ] t P x + y, dp dy y, Q x + y, dq x + y. D après la fromule de Green, dx x + y dx + x + y dq dy C+ dx dp dx dy x + y y dx dy dy D D x [ x y dy dx ] xy y x x x x + x + x dx x + x x + x 8x + dx [ x x + dx 8 + x x + x ] x dx b Il faut paramétriser C + : C + cos t, sin t, t [, 6π], dx sin t dt, dy cos t dt. 6π xy dx x y dy cost6 sin t sin t dt 6 cos t sint cos t dt C π sin t cos t + cos t sin t [ sin t cos t P xy, dp dy xy, Q x y, dq xy. En coordonnées polaires, x r cos θ, y r sin θ dx, θ [, π], r [, ] D après la fromule de Green, xy dx x dq y dy dx dp dx dy xy dx dy dy C+ D π π 768 En coordonnés cartésiennes, xy dx x y dy C+ ] 6π D r cos θ sin θ r dr 65 cos θ sin θ dθ 768 [ cosθ ] π D dq dx dp dy dx dy 8 D π dθ π sinθ [ r dθ xy dx dy ] cos θ sin θ dθ

39 6 x 6 x xy dy x6 x 6 + x dx [ dx xy ] 6 x dx 6 x 5. Dans R, montrer que la valeur I de l intégrale curviligne 6x + y dx + 6y + x dy C + est indépendante de la courbe orientée joignant le point, au point,. Trouver deux fois cette valeur I en prenant d abord C + rectiligne, puis C + situé sur la parabole d équation y x. Déterminer une fonction f : R R dont le gradient au point x, y est le vecteur de composantes 6x + y, 6y + x. Combien existe-t-il de telles fonctions f? Expliquer comment elles permettent toutes d obtenir très simplement la valeur I. a C + rectiligne. C + t, t, t [, ], dx dy dt. C + 6x + y dx + 6y + x dy 6t + t dt + 6t + t dt b C + parabolique. C + t, t, t [, ], dx dt, dy t dt C + 6x + y dx + 6y + x dy c Déterminer une fontion fx, y telle que fx, y fx, y fx, y 6t + t dt + 6t + tt dt 6t dt 8 6t + 6t + t dt 8 f x, f 6x + y, 6y + x. y 6x + y dx x + yx + gy + C 6y + x dy y + xy + hx + C f x + xy + y + C Il existe évidemment une infinité de telles fontions. Théorème fondamental des intégrales curvilignes : C + 6x + y dx + 6y + x dy f, f, 8 6. L intégrale curviligne suivante est-elle dépendante de la courbe orientée C + choisie pour se rendre dans R d un point p à un point q? Dans l affirmative, déterminez deux points p et q et deux courbes orientées joignant p à q sur lesquelles l intégrale diffère. Dans la négative, trouvez un champ scalaire f sur R tel que la valeur de l intégrale soit fp fq. a x ex + y e y ds ; b y ex + x e y ds ; C + C + a On voit assez facilement qu on peut trouver une fontion fx, y telle que fx, y x, y. En effet, si on choisi fx, y x + y f alors x x et f y y. Donc l intégrale est indépendante du chemin choisi et égale à fp fq. b Ici on ne trouve pas une telle fonction fx, y. Il faut donc montrer que l intégrale lelong de deux 9

40 chemins différents diffère. On va de, à,, d abord en ligne droite : C + t, t, t [, ], dx dy dt, y dx + x dy t + t dt 5 C + 6 Lelong d une parabole : C + t, t, t [, ], dx dt, dy t dt C + y dx + x dy t + t t dt t + t dt Dans R, calculer le flux au travers du morceau orientém + de surface : a x ex + y e y + x e z n ds, ou M + est donné par la paramétrisation directe M + [, ] [, ] R : u, v u, v, u v ; c x, xy, z ds, M + où S est la partie du plan d équation z x située au-dessus du carré de sommets,,,,,,,,,,, et orientée vers le bas ; d x ex + y e y n ds, où M + est la partie du plan d équation x + y + z située dans M + le premier octant, orientée vers l origine ; a n ds ds r u r v du dv ex ey ez x y z u u u du dv x y z v v v ex ey ez u v u v u u u du dv u v u v v v v ex ey ez du dv e x + e y + e z du dv,, du dv x e x + y e y + z e z n ds x e x + y e y + z e z e x + e y + e z du dv M + M + u, v, u v,, du dv u + v + u v du dv 5 6 dv 5 6 [ u + u u ] dv

41 c Il faut paramétriser le plan z x situé au dessus du carré en question : P u, v, u, u [, ], v [, ]. n ds r u r v du dv ex ey ez ex ey ez x y z u v u u u u du dv u u u du dv x y z u v u v v v v v v ex ey ez du dv e x + e z du dv,, du dv x e x + y e y + z e z prendre n ds à cause de l orientation vers le bas ds x e x + xy e y + z e z e x e z du dv M + M + u, xv, u,, du dv u u du dv d Le premier octant est celui avec x, y, z positifs. Alors la paramétrisation du plan x + y + z est u, v, u v, la même que dans a. Toutefois ds,, du dv à cause de l orientation vers l origine, et u [, ] et v [, u]. C est parce que l intersection du plan avec le plan Oxy est la droite y x. M + x e x + y e z ds u u u,, v,, dv du u u u v dv u du du ] u [ u v v du u + u u + u u du + u 6u + u du 6. Dans R, calculer le flux au travers de la surface orientée : a x ex + y e y + z e z ds, où S + est la surface latérale de la boîte cylindrique définie S + par x + y et 6 z 8 ; b x, y, z n ds, où S + est la sphère de rayon centrée à l origine, orientée vers l intérieur ; S + a Il faut paramétriser la surface en question, en coordonnées cylindriques : x cos θ vecteur de position : r θ, z y sin θ θ π z z 6 z 8 F r θ, z cos θ, sin θ, z

42 r n ds θ r z dθ dz ex ey ez x y z θ θ θ dθ dz x y z z z z ex ey ez cos θ sin θ z θ θ θ dθ dz cos θ sin θ z z z z ex ey ez sin θ cos θ dθ dz cos θ e x + sin θ e y dθ dz x e x + y e y + z e z cos θ, sin θ, dθ dz ds cos θ e x + sin θ e y + z e z cos θ e x + sin θ e y dθ dz S + S + 8 π 6 8 π 6 8 π 6 8 π cos θ, sin θ, z cos θ, sin θ, dθ dz cos θ + 8 sin θ dθ dz + cosθ + 8 sin θ cos θ dθ dz + cosθ + 8sin θ sin θ cos θ dθ dz [ θ + sinθ + 8 π dz 8π b Il faut paramétriser le sphère. En coordonnés sphériques : cos θ + ] π cos θ dz x r sin ϕ cos θ y r sin ϕ sin θ z r cos ϕ x sin ϕ cos θ y sin ϕ sin θ z cos ϕ ϕ π φ π r ϕ, θ sin ϕ cos θ, sin ϕ sin θ, cos ϕ. ex ey ez r n ds ϕ r x y z dϕ dθ θ ϕ ϕ ϕ x y z θ θ θ dϕ dθ

43 ex ey ez sin ϕ cos θ sin ϕ sin θ cos ϕ ϕ ϕ ϕ dϕ dθ sin ϕ cos θ sin ϕ sin θ cos ϕ θ θ θ ex ey ez cos ϕ cos θ cos ϕ sin θ sin ϕ dϕ dθ sin ϕ sin θ sin ϕ cos θ sin ϕ cos θ e x + sin ϕ sin θ e y + sin ϕ cos ϕ cos θ + sin ϕ cos ϕ sin θ e z dϕ dθ sin ϕ cos θ e x + sin ϕ sin θ e y + sin ϕ cos ϕ e z dϕ dθ sin ϕ cos θ, sin ϕ sin θ, sin ϕ cos ϕ dϕ dθ n θ, ϕ π,, prendre n ds à cause de l orientation vers l intérieur x e x + y e y + z e z ds sin ϕ cos θ e x + sin ϕ sin θ e y + cos ϕ e z S + S + sin ϕ cos θ e x + sin ϕ sin θ e y + sin ϕ cos ϕ e z dϕ dθ sin ϕ cos θ, sin ϕ sin θ, cos ϕ S + sin ϕ cos θ, sin ϕ sin θ, sin ϕ cos ϕ dϕ dθ π π π π π π π π sin ϕ cos θ sin ϕ sin θ sin ϕ cos ϕ dϕ dθ sin ϕ sin ϕ cos ϕ dϕ dθ sin ϕsin ϕ + cos ϕ dϕ dθ sin ϕ dϕ d θ π [cos ϕ] π π Remarque : Si F est un champ de vitesse décrivant l écoulement d un fluide de densité, la réponse π représente le rythme d écoulement à travers la sphère de rayon en unités de masse par unités de temps. 5. Vérifier la formule d Ostogradsky pour le champ de vecteurs donné sur R par v x, y, z x ex y e y + z { x e z et la région de R + y définie par z. a D après la formule d Ostogradsky, on peut ramener le flux à une intégrale de volume. En coordonées cylindriques, x r cos θ r y r sin θ θ π z z z div F F x + F y + F z y + z

44 Ω div F dx dy dz π π π π r sin θ + zr dr dθ dz [ ] r r sin θ + rz dr dθ dz [ r r sin θ + r z 8 ] sin θ + z dθ dz 6π + [cos θ]π + 8πz dz 8π + π [ z ] 8π + 6π 8π dθ dz Maintenant il faut calculer le flux à travers la surface : haut, bas, et latérale. Paramétrisation de la surface du haut en coordonnées cylindriques : x r cos θ r H : y r sin θ θ π z z z r n dsh r r dr dθ θ ex ey ez ex ey ez x y z r cos θ r sin θ z r r r dr dθ r r r dr dθ x y z r cos θ r sin θ z θ θ θ θ θ θ ex ey ez cos θ sin θ r sin θ r cos θ dr dθ r e z dr dθ,, r dr dθ n r,, n ds est orientée vers l extérieur comme il faut F ds r cos θ e x r sin θ e y + e z ds H H r cos θ e x r sin θ e y + 9 e z r e z dr dθ H π π r cos θ, r sin θ, 9,, r dr dθ 9r dr dθ π ] [9 r dθ 6π Paramétrisation de la surface du bas en coordonnées cylindriques : x r cos θ r B : y r sin θ θ π z z z

45 r n dsb r r dr dθ θ ex ey ez ex ey ez x y z r cos θ r sin θ z r r r dr dθ r r r x y z r cos θ r sin θ z θ θ θ θ θ θ ex ey ez cos θ sin θ r sin θ r cos θ dr dθ r e z dr dθ,, r dr dθ n r,, n ds est orientée vers l intérieur, prendre n ds F ds r cos θ e x r sin θ e y + e z ds dr dθ B B r cos θ e x r sin θ e y + e z r e z dr dθ B π π r cos θ, r sin θ,,, r dr dθ dr dθ Paramétrisation de la surface latérale en coordonnées cylindriques : x r cos θ r L : y r sin θ θ π z z z r n dsl θ r dθ dz z ex ey ez ex ey ez x y z cos θ sin θ z θ θ θ dθ dz θ θ θ dθ dz x y z cos θ sin θ z z z z z z z ex ey ez sin θ cos θ dθ dz cos θ e x + sin θ e y dθ dz cos θ, sin θ, dθ dz n θ,, n ds est orientée vers l extérieur comme il faut F ds r cos θ e x r sin θ e y + z e z ds L L 8 cos θ e x sin θ e y + z e z cos θ e x + sin θ e y dθ dz L π 8 cos θ, sin θ, z cos θ, sin θ, dθ dz 5

46 π π π 6 cos θ 6 sin θ dθ dz + cosθ + cosθ sin θ cos θ dθ dz sin θ + sin θ cos θ dθ dz [ θ + sinθ + cos θ cos θ π dz 8π 8π 6π + + 8π, donc la formule d Ostogradsky est vérifiée. 7. Dans R calculer directement, puis ramener à une intégrale triple : a x ex + y e y + z e z ds, où S + est la surface du cube défini par x 9, y 9, S + z 9 ; b x ex + y e y n ds, où S + est la sphère de rayon centrée à l origine et orientée vers S + l extérieur ; c x + y, y + z, z + x ds, où S + est la surface totale de la boîte cylindrique définie par S { + x + y d z S + y, x, z n ds où S + est le bord de la région définie par x + y z. a Il y a six surfaces qu il faut paramétriser et ensuite intégrer : ] π dz S S S : x u, y v, z, u [, ], v [, ] ex ey ez u v n ds u u u du dv,, du dv u v v v v F x, y, z ds u, v,,, du dv S : x u, y v, z, u [, ], v [, ] ex ey ez u v n ds u u u du dv,, du dv u v v v v F x, y, z ds u, v,,, du dv 6

47 S : x u, z v, y, u [, ], v [, ] F x, y, z ds F x, y, z ds S S S : x u, z v, y, u [, ], v [, ] F x, y, z ds F x, y, z ds S S S 5 : y u, z v, x, u [, ], v [, ] F x, y, z ds F x, y, z ds S 5 S S 6 : y u, z v, x, u [, ], v [, ] F x, y, z ds F x, y, z ds S 6 S On peut ramener à une intégrale triple : F ds divx, y, z dz dy dx S b Il faut paramétriser la surface et ensuite intégrer : x + y + z dz dy dx + + S S : x sin ϕ cos θ, y sin ϕ sin θ, z cos ϕ, ϕ [, π], θ [, π] ex ey ez sin ϕ cos θ sin ϕ sin θ cos ϕ n ds ϕ ϕ ϕ dϕ dθ sin ϕ cos θ sin ϕ sin θ cos ϕ θ θ θ ex ey ez cos ϕ cos θ cos ϕ sin θ sin ϕ dϕ dθ sin ϕ sin θ sin ϕ cos θ F x, y, z ds π sin ϕ cos θ, sin ϕ sin θ, cos ϕ sin ϕ cos θ + cos ϕ sin ϕ cos θdϕ dθ sin ϕ cos θ, sin ϕ sin θ, cos ϕ sin ϕdϕ dθ π π π π π π π π π sin ϕ cos θ, sin ϕ sin θ, sin ϕ cos θ, sin ϕ sin θ, cos ϕ sin ϕ dϕ dθ sin 5 ϕ cos θ + sin 5 ϕ sin θ dϕ dθ sin 5 ϕcos θ + sin θ dϕ dθ sin 5 ϕ cos θ dϕ dθ + cosθ sin ϕ cos ϕ dϕ dθ 7

48 π π π π π π sin ϕ cos ϕ + cos ϕ + cosθ + cos θ dϕ dθ sin ϕ cos ϕ + cos ϕ + cosθ + + cosθ dϕ dθ π sin ϕ sin ϕ cos ϕ + sin ϕ cos ϕ + cosθ + cosθ dϕ dθ [ cos ϕ + cos ϕ ] π 5 cos5 ϕ + cosθ + cosθ dθ + π 5 π π + 5 On peut ramener à une intégrale triple : F x, y, z ds div F x, y, z dv S V x + y dv V π π π π π π π π π 5 π 5 r sin ϕ cos θ + r sin ϕ sin θr sin ϕ dr dϕ dθ r sin ϕ dr dϕ dθ r sin ϕ cos ϕ dr dϕ dθ 5 sin ϕ sin ϕ cos ϕ dϕ dθ [ cos ϕ + ] π cos ϕ dθ 8 5 π c Il y a trois surfaces à paramétriser : le haut, le bas, et le latéral. S H : x r cos θ, y r sin θ, z, r [, ], θ [, π] ex ey ez r cos θ r sin θ n dsh r r r dr dθ r cos θ r sin θ θ θ θ ex ey ez cos θ sin θ dr dθ r sin θ r cos θ,, r cos θ + r sin θ dr dθ,, r dr dθ n est orientévers l exterieur comme il faut 8