DROITES ET SYSTÈMES. Table des matières. Équations de droites. I.1 Caractérisation analytique d une droite

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1 DROITES ET SYSTÈMES Table des matières I Équations de droites 1 I.1 Caractérisation analytique d une droite I.2 Coefficient directeur I.3 Droites parallèles, droites sécantes I.4 Représentation graphique II Système de deux équations à deux inconnues 4 II.1 Définition II.2 Interprétation graphique II.3 Méthodes de résolution par le calcul I Équations de droites I.1 Caractérisation analytique d une droite Théorème 1 Soitcun réel. Tout droite parallèle à l axe des ordonnées a pour équationx =c, L ensemble des pointsm(x;y) tels quex =c est une droite parallèle à l axe des ordonnées. Théorème 2 Soientmetpdes réels. Tout droite non parallèle à l axe des ordonnées est de la formey=mx +p, L ensemble des pointsm(x;y)tels quey=mx +p est une droite non parallèle à l axe des ordonnées. Remarque 1 Le réel m s appelle le coefficient directeur, Le réelpest l ordonnée à l origine. -1-

2 Exemple 1 Pour chacune des équations suivantes, déterminer s il existe le coefficient directeur et l ordonnée à l origine de la droite : 5x +y = 2 y = 5x 2 m = 5 p = 2 2x 3y = 1 y = 2 3 x 1 3 m = 2 3 p = 1 3 2x + 3y = 7 5x + 3y x = 1 Droite parallèle à l axe des ordonnées Remarque 2 Une équation de droite peut toujours s écrire sous la formeax +by +c = 0, avec (a;b) (0; 0) : c est ce qu on appelle l équation cartésienne de la droite. I.2 Coefficient directeur Définition 1 SoientA(x A ;y A ) etb(x B ;y B ) deux points d une droited, le coefficient directeur se calcule grâce à la formule : m = y B y A x B x A Comment déterminer l équation de la droited passant par deux pointsaetb? On considère la droitedpassant para 2 etb Méthode 1 : à partir demetp La droite D n est pas parallèle à l axe des ordonnées, elle a donc pour équation y =mx +p. a = y B y A x B x A = = 2 D passe par le pointa(2; 1) d où : y A =mx A +p y A = 2x A +p 1 = 2 2+p p=3 la droitedapour équation réduite : y = 2x + 3 ou Méthode 2 : avec des vecteurs SoitM(x;y) un point de la droited, alors les vecteurs AM et AB sont colinéaires : AB x B x A = 3 y B y A 6 AM x M x A = x 2 y M y A y + 1 AM et AB colinéaires ( 3) (y + 1) 6 (x 2) = 0 3y 3 6x + 12 = 0 6x 3y + 9 = 0 la droiteda pour équation cartésienne : 2x +y 3 = 0-2-

3 I.3 Droites parallèles, droites sécantes Propriété 1 Deux droitesdetd d équations respectivesy=mx +p ety=m x +p sont : parallèles si et seulement sim =m, sécantes si et seulement sim m. Exemple 2 Déterminer une équation de la droited parallèle à la droited d équationy= 2x 3 passant pas le pointa(1; 5). La droited n est pas parallèle à l axe des ordonnées, elle a donc pour équationy=mx +p. m =m = 2 D passe par le pointa(1; 5) d où : y A =mx A +p 5 = 2 1+p p = 3 la droited a pour équation y = 2x + 3 I.4 Représentation graphique Comment tracer la représentation graphique d une droite? Méthode par calcul de coordonnées de points appartenant à la droite Choisir deux valeurs dex:x 1 etx 2, calculery 1 ety 2, placer les pointsa(x 1 ;y 1 ) etb(x 2 ;y 2 ) dans le plan muni dun repère (O;I;J) tracer la droite (AB) ou Méthode par utilisation du coefficient directeur et de l ordonnée à l origine Dans une repère (O;I;J), placer le pointp de coordonnées P(0; p), à partir de ce point, tracer le vecteur v (1;m) ce qui nous donne un second pointm, tracer la droite (MP). Exemple 3 Représenter graphiquement les droites déquation : d 4 d 2 d 1 :y =x d 2 :y = 2 d 3 :y = 3x 2 d 4 :x= 1 d 5 :y = 3 4 x 3 d d 3 d 5-3-

4 2 nde ISI Géométrie chapitre II Système de deux équations à deux inconnues II.1 Définition Définition 2 ax + by = c Résoudre le système linéaire (S) : c est trouver tous les couples de réels a x + b y = c (x;y) appelés solutions du système qui vérifient à la fois les deux équations. Exemple 4 Soit (S) le système 2x + y = 5 x + 4y = 6 Le couple (2; 1) est une solution de (S) car : = = 6 II.2 Interprétation graphique Théorème 3 Les équationsax +by =c eta x +b y =c définissent, dans un repère, deux droitesdetd. Résoudre le systèmes (S) revient à trouver les coordonnées des points d intersection ded etd. Siab a b 0, les droites ne sont pas parallèles et le système admet une solution unique, Siab a b = 0 les droites sont parallèles (strictement ou non) et le système admet aucune solution ou une infinité de solutions. Exemple 5 On considère le systèmes 1 : 2x + y = 1 2x + y = 3 d 1 d ab a b = 2 1 ( 2) 1 = 4 0 les droites sont donc sécantes on traced 1 :y = 2x + 1 etd 2 :y = 2x 3, 2 on lit le point d intersection :S={(1; 1)}. 3-4-

5 II.3 Méthodes de résolution par le calcul 4x + y = 7 Résoudre le système (S) : par substitution. 3x 2y = 8 Il s agit d exprimer une inconnue en fonction de l autre à l aide d une des deux équations et de la remplacer par l expression obtenue dans l autre équation : 3x 2( 4x + 7) = 8 3x + 8x = y = y = 1 11x = 22 x = 2 x = 2 D où : S ={(2; 1)} 2x 3y = 8 (L1) Résoudre le système (S) : 5x + 4y = 3 (L2) par combinaison linéaire. On multiplie la première équation par 5 et la deuxième par ( 2) de manière à éliminer la variablex et on additionne les deux équations membres à membres : 10x 15y = 40 (5L1) 10x 8y = 6 ( 2L2) 23y = 46 On obtienty= 2 et on remplace dans l une des deux équations : 2x 3 ( 2) = 8 2x = 8 6 x = 1 D où S ={(1; 2)} On peut enfin utiliser la méthode par combinaison linéaire afin de trouver directement les 2 variables : 10x 15y = 40 (5L1) 8x 12y = 32 (4L1) 10x 8y = 6 ( 2L2) 15x 12y = 9 (3L2) D où S ={(1; 2)} 23y = 46 y = 2 23x = 23 x = 1 Remarque 3 La méthode par substitution n est à utiliser (et encore...) que lorsqu une inconnue s exprime très facilement en fonction de l autre. -5-