Équations de droites

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1 Équations de droites I/ lignement, colinéarité II/ Coefficient directeur III/ Équations de droites 1/ Définition / Comment dire si un point appartient à une droite dont on connaît l équation 3/ Propriétés 4/ Comment tracer une droite dont on connaît l équation 5/ Trouver l équation d une droite donnée 6/ Propriétés générales IV/ Intersection de deu droites sécantes I/ lignement, colinéarité Définition: deu vecteurs non nuls sont colinéaires s ils ont la même direction. Rappel: le vecteur nul ( noté 0 ) est le vecteur de longueur 0. On ne cherchera pas à savoir si 0 est colinéaire à un autre vecteur. Remarque: les vecteurs et C D sont colinéaires si et seulement si ( ) // ( CD ). Remarque: et C sont colinéaires si et seulement si les points, et C sont alignés. Propriété: deu vecteurs non nuls sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles. Eemple: soit u. Les vecteurs suivants sont colinéaires à u : 1 v 4 ; w 1 ; 4 1. Rappel: pour savoir si deu séries de deu nombres sont proportionnelles, on peut faire un produit en croi = = donc les séries ( 5 ; 0 ) et ( 3 ; 1 ) sont proportionnelles. Eemple: les points ( ; 5 ), ( 7 ; - 6 ) et C ( 1637 ; ) sont-ils alignés? Rappel:

2 7 6 5 = 5 11 ; C = ( ) = = donc et C ne sont pas colinéaires donc, et C ne sont pas alignés. II/ Coefficient directeur Le coefficient directeur d une droite est un nombre qui mesure son inclinaison. Dire que le coefficient directeur d une droite est 3 signifie: si l on part d un point d une droite si l on se déplace d un carreau vers la droite si l on se déplace de 3 carreau vers le haut alors on se retrouve sur cette droite. Le coefficient directeur est 3. Le coefficient directeur est. Le coefficient directeur est 1. Le coefficient directeur est 1. Propriétés: le coefficient directeur d une droite horizontale est 0 deu droites parallèles ont le même coefficient directeur. cette droite a un coefficient directeur positif cette droite a un coefficient directeur négatif

3 Le coefficient directeur est - 5. Remarque: une droite verticale n a pas de coefficient directeur. Le coefficient directeur est Remarque: quand on travaille dans un repère orthonormé, au lieu de «coefficient directeur», on peut dire «pente». pente supérieure à 1 pente 1 pente comprise entre 0 et 1 pente 0 pente -1 pente comprise entre -1 et 0 pente inférieure à -1

4 Tracer une droite de coefficient directeur donné Eercice: tracer la droite de coefficient directeur qui passe par ( - 3 ; - 1 ). On part de, on se déplace d un carreau vers la droite puis de deu carreau vers le haut. On arrive à un point qui appartient lui aussi à la droite qu on veut tracer. On connaît deu points de cette droite, on peut la tracer. Comment déterminer le coefficient directeur par le calcul Soient ( - 1 ; - 1 ) ; ( 1 ; 3 ) ; C ( ; 5 ) ; D ( - ; - 3 ).,, C et D sont alignés sur une droite. C D Calculons les cordonnées des vecteurs, C, D, C, D, C D. C 3 1 D C D C D On constate que ces coordonnées forment un tableau de proportionnalité: pour chacun de ces vecteurs, on passe de la première coordonnée à la deuième en multipliant par. est le coefficient directeur de la droite ( ). Un vecteur représente un déplacement.

5 Ce déplacement se décompose en un déplacement horizontal (première coordonnée) et un déplacement vertical (deuième coordonnée). Définition: le coefficient directeur d une droite est le coefficient qui permet de passer du déplacement horizontal au déplacement vertical. déplacement horizontal coefficient directeur déplacement vertical Problème inverse: donner le coefficient directeur d une droite Définition: si la droite et le vecteur u ont la même direction, on dit que u est un vecteur directeur de la droite. u Eercice: soient ( - 1 ; - 3 ) et ( ; 9 ). Donner le coefficient directeur de ( ). ( 1 ) 3 = 9 ( 3) 1. Pour passer de 3 à 1 on multiplie par 4 donc le coefficient directeur de ( ) est 4. De même si ( - ; 3 ) et ( 3 ; 1 ), 5 et le coefficient directeur de ( ) est - 5. De même si ( ; 3 ) et ( 5 ; 3 ), 3 0 et le coefficient directeur de ( ) est 0. De même si ( ; 3 ) et ( ; 1 ), 0 et ( ) n a pas de coefficient directeur. Propriété: si une droite admet u u 1 u alors son coefficient directeur est - u u1 comme vecteur directeur, (si u 1 0) Propriété: si une droite a pour coefficient directeur a, alors elle admet u 1 a comme vecteur directeur. Eercice: donner les coordonnées de trois vecteurs directeurs d une droite de coefficient directeur 5, d une droite de coefficient directeur

6 III/ Équations de droites 1/ Définition Considérons cette droite: Elle contient les points de coordonnées ( - 3 ; - 3 ) ; ( - ; - ) ; ( - 1 ; - 1 ) ; ( 0 ; 0 ) ; ( 1 ; 1 ) ; ( ; ) ; ( 3 ; 3 ). Ces points ont tous quelque chose en commun: l abscisse et l ordonnée sont égales. C est la même chose pour tous les points de cette droite. Comme d habitude, on appelle l abscisse et l ordonnée et cela se traduit par =. = est une condition pour qu un point appartienne à cette droite: si l abscisse et l ordonnée d un point sont égales, alors ce point est sur la droite, sinon il n est pas. On dit que l équation de cette droite est =. Un autre eemple Cette droite contient les points de coordonnées ( - 3 ; 3 ) ; ( - ; ) ; ( - 1 ; 1 ) ; ( 0 ; 0 ) ; ( 1 ; - 1 ) ; ( ; - ) ; ( 3 ; - 3 ). Cette fois, l abscisse et l ordonnée sont opposées. L équation de cette droite est = -.

7 Un autre eemple Cette droite contient les points de coordonnées ( - 3 ; - ) ; ( - ; - 1 ) ; ( - 1 ; 0 ) ; ( 0 ; 1 ) ; ( 1 ; ) ; ( ; 3 ) ; ( 3 ; 4 ). Pour toutes ces coordonnées, on passe de l abscisse à l ordonnée en ajoutant 1. L équation de cette droite est = + 1. Deu autres eemples Voici une droite parallèle à l ae des abscisses et une droite parallèle à l ae des ordonnées. = - 1 = La droite horizontale contient les points de coordonnées ( - 3 ; ) ; ( - ; ) ; ( - 1 ; ) ; ( 0 ; ) ; ( 1 ; ) ; ( ; ) ; ( 3 ; ) etc. Cette droite est l ensemble des points d ordonnée donc l équation de cette droite horizontale est =. La droite verticale contient les points de coordonnées ( - 1 ; - 3 ) ; ( - 1 ; - ) ; ( - 1 ; - 1 ) ; ( - 1 ; 0 ) ; ( - 1 ; 1 ) ; ( - 1 ; ) ; ( - 1 ; 3 ) etc. Cette droite est l ensemble des points d abscisse - 1 donc l équation de cette droite verticale est = - 1.

8 Remarques: l ae des abscisses (l ae horizontal) contient tous les points dont l ordonnée est 0 donc l ae ( O ) a pour équation = 0. L ae des ordonnées (l ae vertical) contient tous les points dont l abscisse est 0 donc l ae ( O ) a pour équation = 0. Un autre eemple Tracer la droite d équation = - 1. On fait un tableau de valeurs et on trace Remarque: la droite d équation = - 1 est la représentation de la fonction - 1. / Comment dire si un point appartient à une droite dont on connaît l équation L équation de cette droite est = - 1. Cela signifie qu un point appartient à cette droite si et seulement si les coordonnées du point vérifient l équation de la droite. Par eemple 5 = 3-1 est une égalité vraie donc le point de coordonnées ( 3 ; 5 ) appartient à cette droite. De même 8 = 1-1 est une égalité fausse donc le point de coordonnées ( 1 ; 8 ) n appartient pas à cette droite. 3/ Propriétés L équation de cette droite est = - 1. Les nombres et - 1 ont une signification graphique. Si l on remplace par 0, on trouve = - 1. La droite passe donc par le point de coordonnées ( 0 ; - 1 ).

9 On dit que - 1 est l ordonnée à l origine de la droite (c est l ordonnée du point d intersection entre la droite et l ae des ordonnées). est le coefficient directeur. La droite d équation = a + b a pour coefficient directeur a et pour ordonnée à l origine b. Démonstration Pour l ordonnée à l origine: en remplaçant par 0, on trouve = b donc le point de coordonnées ( 0 ; b ) appartient à la droite donc l ordonnée à l origine est b. Pour le coefficient directeur: la droite d équation = a + b contient ( 0 ; b ) et 1 ( 1 ; a + b ) donc donc le coefficient directeur de ( ) est a. a 4/ Comment tracer une droite dont on connaît l équation On peut faire un tableau de valeurs mais il est beaucoup plus rapide d utiliser le coefficient directeur et l ordonnée à l origine. Tracer la droite d équation = - 1. L ordonnée à l origine est - 1 donc la droite passe par le point ( 0 ; - 1 ). Le coefficient directeur est. On pose le craon sur le point, on se déplace d un carreau vers la droite puis de deu carreau vers le haut, on arrive au point et on trace: Tracer la droite d équation = - 3. = - 3 peut aussi d écrire = donc le coefficient directeur est - 3 et l ordonnée à l origine est 0.

10 Tracer la droite d équation =. = peut aussi s écrire = 0 + donc le coefficient directeur est 0 et l ordonnée à l origine est. 5/ Trouver l équation d une droite donnée a/ Trouver l équation d une droite dont on connaît un point et le coefficient directeur Donner l équation de la droite passant par ( 3 ; 4 ) et de coefficient directeur. Soit M ( ; ), M 3 4. Le coefficient directeur est donc M ( ; ) - 4 = ( - 3 ) = L équation de est = -. b/ Trouver l équation d une droite dont on connaît deu points Soient ( 1 ; 3 ) et ( 3 ; 7 ). Donner l équation de ( ). 1 Soit M ( ; ) M 4 3 M ( ) et M sont colinéaires ( - 3 ) = 4 ( - 1 ) = 4-4 = L équation de ( ) est = + 1. On peut aussi donner l équation d une droite connue par un point et d une parallèle E: soient ( - 4 ; 1 ) ; ( ; - ) et C ( - 5 ; 3 ).

11 Donner l équation de la droite parallèle à ( ) passant par C. 6 Soit M ( ; ) C M M et C M sont colinéaires 6 ( - 3 ) = - 3 ( + 5 ) ( - 3 ) = - ( + 5 ) - 6 = = = L équation de est = c/ Trouver l équation d une droite parallèle à un ae Eemples: ( - 3 ; ) ( 3 ; ) C ( - 1 ; 1 ) D ( - 1 ; - ) On s aperçoit que la droite ( ) est horizontale car et ont la même ordonnée:. On peut en déduire, sans justification, que l équation de ( ) est =. On s aperçoit que la droite ( CD ) est horizontale car C et D ont la même abscisse: - 1. On peut en déduire, sans justification, que l équation de ( CD ) est = - 1. Même s il est inutile, le calcul fonctionne: 0 C D Soit M ( ; ) C M M ( CD ) C D et C M sont colinéaires 0 ( - 1 ) = - 3 ( + 1 ) 0 = - 3 ( + 1 ) 0 = + 1 = - 1 L équation de ( CD ) est = - 1.

12 6/ Propriétés générales À chaque fois qu on a cherché une équation, on en a trouvé une. Est-ce que ça marche pour toutes les droites? Théorème: une droite non verticale admet une équation et une seule sous la forme = a + b. Démonstration 1/ Montrons qu une droite non verticale admet une équation sous la forme = a + b. Soient ( ; ) et ( ; ). ( ) n est pas verticale donc. Soit M ( ; ). Soit M ( ; ) M M ( ) et M sont colinéaires. ( - ) ( - ) = ( - ) ( - ) ( - ) - + = ( - ) - + ( - ) = ( - ) = +.. car C est une équation sous la forme = a + b. / Montrons que cette équation est unique. Supposons qu une droite admet deu équations: = a + b et = a + b. La droite admet comme équation = a + b donc la droite passe par ( 0 ; b ). La droite admet comme équation = a + b donc la droite passe par ( 0 ; b ). Comme la droite n est pas verticale, elle n admet qu un point d abscisse 0 donc et sont confondus donc b = b. La droite admet comme équation = a + b donc la droite passe par ( 1 ; a + b ). La droite admet comme équation = a + b donc la droite passe par ( 1 ; a + b ). Comme la droite n est pas verticale, elle n admet qu un point d abscisse 1 donc et sont confondus donc a + b = a + b donc a = a. Il n a donc qu une équation sous la forme = a + b. Définition: Une équation de droite sous la forme = a + b s appelle équation réduite. Théorème: une droite verticale admet une équation et une seule sous la forme = c. Dem: soient ( ; ) et ( ; ). Remarquons que = car ( ) est verticale donc - = 0. Remarquons aussi que sinon et auraient les mêmes coordonnées, et seraient confondus et la droite ( ) ne serait pas définie.

13 = 0 Soit M ( ; ) M M ( ) et M sont colinéaires. ( - ) ( - ) = ( - ) ( - ) ( - ) ( - ) = 0 car - = 0 - = 0 ou - = 0 - = 0 car - 0 = = c en posant c =. Remarque: une droite verticale n admet ni coefficient directeur ni ordonnée à l origine ni équation réduite. IV/ Intersection de deu droites sécantes Eemple On donne les points ( - 1 ; ) ; ( 3 ; - 1 ) ; C ( ; 3 ) et D ( - ; - ). Donner les coordonnées du point d intersection des droites ( ) et ( CD ). C D On commence par chercher les équations de ( ) et de ( CD ). La méthode vue précédemment donne l équation de ( ) est = l équation de ( CD ) est = Soit I le point d intersection de ( ) et de ( CD ). I appartient à ( ) donc ses coordonnées vérifient = I appartient à ( CD ) donc ses coordonnées vérifient =

14 Les coordonnées de I vérifient donc les équations des deu droites. Chercher le couple qui vérifient deu équations à deu inconnues s appelle résoudre un sstème d équations. 3 5 On va donc résoudre le sstème Ce sstème est sous une forme qui permet une résolution très facile : il suffit de constater que est égale à et aussi à donc = C est une équation à une seule inconnu, on peut la résoudre. Commençons par multiplier par 4 pour ne plus avoir de fraction : = 5 + donc = donc - 8 = - 3 donc = est un peu inférieur à 1, le graphique semble confirmer que l abscisse du point d intersection est bien 3 8. Pour trouver il suffit de remplacer par 3 8 dans une des deu équations : = donc = = On vérifie sur le graphique que l ordonnée du point d intersection est bien légèrement inférieure à 1. Finalement, ( ) coupe ( CD ) en I ( 3 8 ; 31 3 ).

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