Ensembles ordonnés, propriétés de R

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1 MPSI Lycée Rabelais Semaine du 4 janvier 008 Ensembles ordonnés, propriétés de R Ensembles ordonnés Exercice 1 : Soient (E, ), (F, ) deux ensembles ordonnés. Soit la relation binaire définie dans E F par : (x, y), (x, y ) (E F ), (x, y) (x, y ) si x < x ou x = x et y y. 1. Montrez que est une ordre sur E F, appelé ordre lexicographique.. Montrez que si les ordres, sur E et F respectivement sont totaux, alors est un ordre total. 3. On suppose que (E, ) = (F, ) = (R, ). (a) Soit (x, y) R. Quel est l ensemble des majorants de (x, y)? (b) R R admet-il des majorants? un plus grand élément? Exercice : Soit (E, ) un ensemble ordonné. Pour tout élément x de E, on définit la partie : ϕ(x) = {t E t x}. 1. Démontrez que : (x, y) E (x y) ϕ(x) ϕ(y).. Démontrez que ϕ est une injection de E dans P(E). Est-ce une surjection? 3. Réciproquement, soit φ une injection de E dans P(E). On définit la relation R par : (x, y) E, xry φ(x) φ(y). Démontrez que R ainsi définie est une relation d ordre sur E. 4. Concluez. Bornes supérieures et inférieures Exercice 3 : Déterminez les bornes supérieures et inférieures dans R des ensembles suivants, si elles existent : { } 1 1. A 1 = n ; n N ;. A = {( 1) n (1 1n } ); n N ; { 1 3. A 3 = n 1 } m ; (n, m) N N Exercice 4 : Soient A et B deux parties non vides et bornées de R. Montrer que : A B ( supa supb et infa infb ). Exercice 5 : Soit A une partie non vide bornée de R. 1. Montrez que l ensemble des distances entre deux éléments quelconques de A possède une borne supérieure. On appelle ce nombre le diamètre de A, on le note d(a).. Montrez que d(a) sup A inf A. 3. Montrez que : ε > 0, (x, y) A, x y > sup A inf A ε. 4. Déduisez-en que d(a) = sup A inf A. Exercice 6 : non existence de borne supérieure dans Q Dans cet exercice, on admet que : x Q, x. 1. Soient A = { x Z + x < } et B = { x Z + x > }. Déterminez sup Z (A) et inf Z (B).. Soient A = { x Q + x < } et B = { x Q + x > }. On veut démontrer que A n admet pas de borne supérieure dans Q, c est-à-dire que l ensemble des majorants de A dans Q n a pas de plus petit élément. Pour cela, on suppose au contraire que α = sup Q (A) existe (α Q), et on pose β = α. (a) Montrez que β = inf(b). (b) Montrez que : a A, b B, on a a b. Que pouvez-vous en déduire pour α et β? (c) En considérant γ = α + β, montrez que l on aboutit à une contradiction. Inégalités dans R 1

2 Exercice 7 : Soit (a, b, c) R + R + R + un triplet de nombres positifs. Montrez que l un au moins des réels est inférieur à 1 4. a(1 b), b(1 c), c(1 a) Exercice 1 : Sous-groupes additifs de R Soit H un sous-groupe additif de R, H {0}. On pose H + = H R +, et α = inf(h + ). 1. Si α H +, montrez que H = αz.. Si α / H +, montrez que α = 0 et en déduisez-en que H est dense dans R. Exercice 8 : Démontrez que pour tous réels x et y, on a : 1. x + y x + y + x y. 1 + xy 1 ( 1 + x 1 ) ( 1 + y 1 ) Exercice 9 : Soient n N, x 1,..., x n n réels strictement positifs. Montrez que ( ) ( x1 + x + + x n x x x 1 ) n n Propriétés de R Exercice 10 : un Théorème de point fixe Soit f : [0, 1] [0, 1] une application. On suppose que f est croissante. Le but de l exercice est de démontrer que f possède un point fixe, c est-à-dire qu il existe x [0, 1] tel que f(x) = x. On considère la partie : E = {x [0, 1] f(x) x}. 1. Montrez que E possède une borne supérieure s.. Montrez que f(s) = s. Indication : on pourra raisonner par l absurde et chercher une contradiction dans chacun des cas : f(s) < s, et f(s) > s Exercice 11 : Soit f : R R une fonction non identiquement nulle telle que, pour tout (x, y) R : f(x + y) = f(x) + f(y) f(x.y) = f(x).f(y) 1. Calculez f(x) lorsque x = 0, x = 1, x N, x Z puis x Q.. Démontrez l implication (x 0 f(x) 0) et déduisez en que f est croissante. Indication : si x 0, cherchez à écrire f(x) sous la forme d un carré. 3. Finalement démontrez que f = Id R. Indication : raisonnez par l absurde et utilisez la densité des rationnels.

3 Indications et corrections 3

4 Exercices supplémentaires Exercice 13 : Ordre sur les fonctions Soit X un ensemble et E = R X. On ordonne E par : f g x X, f(x) g(x). 1. Vérifier que c est une relation d ordre.. L ordre est-il total? 3. Comparer les énoncés : f est majorée, et {f} est majoré. Exercice 14 : Ordre lexicographique On note E = [ 1, 1], et on définit sur E la relation : ( ) (x, y) (x, y ) (x < x ) ou (x = x et y y ) 1. Montrez que est une relation d ordre. (ordre lexicographique).. Pour (a, b) E, représentez graphiquement l ensemble des majorants de (a, b). Exercice 15 : Distance entre un point et une partie Pour A R non vide et bornée, et x R, on note : d(x, A) = inf{ x a ; a A} (distance de x à A). 1. Montrez que pour tout x R, d(x, A) est bien défini.. Soit (x, y) R. Montrez que d(x, A) d(y, A) x y. Exercice 16 : Parties adjacentes Soient A, B R deux parties non vides de R, vérifiant : On dit que A et B sont adjacentes). a A, b B, a b ε > 0, a A, b B; b a ε 1. Justifez l existence d une borne sup pour A et d une borne inf pour B.. Montrez que sup(a) = inf(b). Exercice 17 : Ordre sur R On définit sur R : (x, y) (x, y ) x x y y. 1. Vérifiez que c est une relation d ordre.. Dessinez les ensembles des majorants et des minorants d un couple (a, b). 3. L ordre est-il total? Exercice 18 : Propriétés de sup et inf Un treillis est un ensemble ordonné E dans lequel pour tous x, y E, sup(x, y) et inf(x, y) existent. Soit E un treillis. 1. Montrez que sup et inf sont des opérations associatives.. A quelle condition ont-elles des éléments neutres? 3. Montrez que : x, y E, sup ( x, inf(x, y) ) = inf ( x, sup(x, y) ) = x, x, y, z E, x z@ = > sup ( x, inf(y, z) ) inf ( sup(x, y), z ), x, y, z E, inf ( x, sup(y, z) ) sup ( inf(x, y), inf(x, z) ). Exercice 19 : Ordre déduit d une loi idempotente Soit une opération commutative et associative sur E, telle que : x E, x x = x On définit la relation sur E par : x y x y = x 1. Identifiez lorsque est sur P(X) (resp ).. Montrez que est une relation d ordre. Exercice 0 : Prolongement d applications Soit E un ensemble et E = {(A, f) tq A E, A, et f E A }. On ordonne E par : (A, f) (B, g) A B et x A, f(x) = g(x) (c est-à-dire que la fonction g, définie sur B, prolonge la fonction f, définie seulement sur A). 1. Montrer que est une relation d ordre. L ordre est-il total?. Soient (A, f) et (B, g) deux éléments de E. Trouver une CNS pour que la partie {(A, f), (B, g)} soit majorée. Quelle est alors sa borne supérieure? 3. Même question avec minorée. Exercice 1 : Point fixe d une fonction croissante Soit f : [0, 1] [0, 1] une fonction croissante. On note A = {x [0, 1] f(x) x}. 1. Démontrez que A n est pas vide.. Démontrez que f(a) A. 3. Soit a = inf(a). Montrez que f(a) minore A. 4. En déduire que f(a) = a. 4

5 Exercice : Morphismes de R Soit f : R R un morphisme de corps. 1. Montrez que : x Q, f(x) = x.. Montrez que f est une application croissante. 3. En déduire que f = id R. Exercice 3 : Nombres irrationnels Soit a Q + tel que a / Q. Montrez qu il existe C > 0 tel que pour tout rationnel r = p q, on a : r a C q. Exercice 4 : Parties denses Soit A R vérifiant : ( x R), ( (a, b) A, (a < x < b) et ( a, b a + b A), A. Montrez que A est dense dans R. Exercice 5 : Parties denses Soir A un sous-anneau de R. Montrez que A est dense dans R si et seulement si A ]0, 1[. Exercice 6 : Sous-groupes de R. Soit H un sous-groupe additif de R, H {0}. On pose H + = H R +, et α = inf(h + ). 1. Si α H +, montrez que H = αz.. Si α / H +, montrez que α = 0 et en déduire que H est dense dans R. Exercice 7 : Partie entière 1. Soient a Z et b N. Montrez que : a + a a + b 1 = a.. Soient a R et b N. Montrez que : a + a a + b 1 = a. Exercice 8 : Nombres irrationnels Soit a Q + tel que a / Q. Montrez qu il existe C > 0 tel que pour tout rationnel r = p q, on a : r a C q. Exercice 9 : Nombres irrationnels Soient a, b Q + tels que b / Q +. Montrez que il existe x, y Q + tels que x + y = a + b si et seulement si a b est un carré dans Q. 5