1 Théorème de Dirichlet

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1 DÉVELOPPEMENT EN FRACTIONS CONTINUES Théorème de Dirichlet Notation. Soit x un réel. [x] désigne la partie entière de x, {x} la partie fractionnaire de x et x désigne la distance à l entier le plus proche. Théorème Soit θ un réel et Q un entier. Alors il existe un entier q tel que 0 < q < Q et qθ Q. Démonstration. Considérons les Q + nombres 0,, {θ}, {θ},..., {(Q )θ}. Il sont tous dans l intervalle [0, ]. Un des Q intervalles [ k, k+ ], k = 0,..., Q, Q Q contient deux de ces nombres. Donc il existe des entiers a, a, b et b tels que 0 a a Q et (a θ b ) (a θ b ) Q. Il suffit de prendre q = a a. Corollaire Soit θ un réel et Q un entier. Alors il existe un rationnel p/q tel que 0 < q < Q et θ p q qq. Définition du développement Définition Soit θ un réel. On dit qu une fraction p/q, p Z et q N, est une meilleure approximation de θ si qθ = qθ p et k {,..., q }, kθ > qθ. Exemples.. Si p est l entier le plus proche de θ alors la fraction p/ est une meilleure approximation de θ.. /7 est une meilleure approximation de π. Remarque. L ensemble des meilleures approximations d un réel θ est fini ssi θ est rationnel. Si p est l entier le plus proche de θ alors p/ est une meilleure approximation. Ainsi pour tout meilleure approximation p/q avec q > on a qθ < θ, on en déduit que p est unique. On ordonne l ensemble des dénominateurs des meilleures approximations par ordre croissant, on obtient une suite strictement croissante d entiers (q n ) n finie ou infinie avec q 0 =. Choisissons p 0 tel que θ = θ p 0 et pour chaque n appelons p n l unique entier tel que q n θ = q n θ p n. Par définition la suite q n θ est strictement décroissante et l intervalle {q n +,..., q n+ } ne contient aucun dénominateurs de meilleures approximation.. Notations : ε n = q n θ p n et r n = ε n = q n θ.

2 Proposition Soit θ R\Q.. Pour tout n 0, on a q n+ r n.. La suite (p n /q n ) n N tend vers θ. Démonstration.. Utilisons le théorème de Dirichlet avec Q = q n+. Il existe q {,..., q n+ } tel que qθ /q n+. Mais par définition des meilleures approximations q n θ = min kθ, k {,...,q n+ } d où q n θ q n+.. On a θ p n q n = q n θ p n = r n q n q n q n q n+ et q n quand n. Lemme q n θ p n et q n+ θ p n+ ont des signes opposés. Démonstration. Sinon ε n ε n+ < ε n et on aurait qθ p < r n avec q = q n+ q n < q n+ ce qui contredit la définition de q n+. Lemme Pour n 0, q n+ p n q n p n+ = ±. Démonstration. On a q n+ p n q n p n+ = q n+ p n q n q n+ θ + q n q n+ θ q n p n+ = q n+ (p n q n θ) + q n (q n+ θ p n+ ). Comme les signes de (p n q n θ) et (p n+ q n+ θ) sont opposés, on a q n+ p n q n p n+ = q n+ r n + q n r n+. Or q n r n+ < q n+ r n, donc q n+ p n q n p n+ <. Finalement si q n+ existe alors r n > 0, par conséquent l entier q n+ p n q n p n+ ne peut valoir que. Corollaires de la démonstration : Corollaire q n+ p n q n p n+ a le signe opposé de q n θ p n. Corollaire 3 q n+ p n q n p n+ = (q n p n q n p n ). Corollaire 4 q n+ r n + q n r n+ =. Notation. Pour n, on pose a n = [ qn q n ]. Lemme 3 Pour n on a. q n+ = a n+ q n + q n,. p n+ = a n+ p n + p n, 3. ε n+ = a n+ ε n + ε n, 4. r n = a n+ r n + r n+.

3 Démonstration. Comme q n+ p n q n p n+ = (q n p n q n p n ), on a p n (q n+ q n ) = q n (p n+ p n ). Comme q n+ p n q n p n+ = ±, p n et q n sont premiers entre eux, donc q n+ q n est un multiple de q n : q n+ q n = aq n avec a N. D où p n (aq n ) = q n (p n+ p n ) et p n+ p n = ap n. Comme q n > q n on a a = [ q n+ q n ]. Multiplions la relation par θ et ôtons lui, on obtient ε n+ = a n+ ε n + ε n. Finalement, la relation 4 découle 3 et des signes. Corollaire 5 a n+ = [ r n r n ]. Démonstration. On utilise 4 et l inégalité r n > r n+. Notations Pour n, on pose θ n = r n r n. Lemme 4 Pour n on a a n+ = [ θ n ] et θ n+ = { θ n }. Démonstration. On a θ n+ = r n+ r n = r n a n+ r n r n = θ n a n+, et comme θ n+ [0, [, on obtient { θ n } = θ n+ et [ θ n ] = a n+. D après ce qui précède la connaissance pour n de θ n, q n, p n, q n, et p n permet de déterminer θ n+, q n+ et p n+. Isolons des relations qui permettent de passer de l étape n à la suivante : θ n+ = { θ n }, a n+ = [ θ n ], q n+ = a n+ q n + q n, p n+ = a n+ p n + p n. Examinons le cas n = 0. Cas : θ ]a, a + ] où a Z. On a q 0 =, p 0 = a, ε 0 = θ a > 0. On voit facilement que q = [ ] et θ a p = aq +. On obtient alors a = [ q ] = q = [ q 0 θ ], ε = q (θ a) < 0 et θ = r = [ ](θ a) θ a r 0 θ a = { θ a }. Posons q = 0, p = on a ε =, r = et θ 0 = r 0 relations précédentes sont encore vraies pour n = 0. Cas : θ ]a +, a + [ où a Z. r = θ a = {θ} et les 3

4 q 0 =, p 0 = a +, ε 0 = θ (a + ) < 0. On voit facilement que q = [ a+ θ ] et p = (a + )q. On obtient alors a = [ q ] = q = [ q 0 a + θ ], ε = q (θ a ) + = q ε 0 + > 0 et θ = r = [ ]r a+ θ 0 = { r 0 r 0 a + θ }. Partons des mêmes conditions initiales que dans les cas précédent : q = 0, p =, q 0 = et p 0 = a. On obtient successivement ε =, ε 0 = θ a, θ 0 = r 0 θ a = {θ}, a 0 = [ r θ a ] =, puis puis q =, p = a +, ε = θ (a + ), θ = { θ 0 } = θ 0 = r r 0, θ = { { θ 0 } } = { + { θ 0 } } = { + { θ 0 } { θ 0 } } = { { } θ 0 = { +{ } θ 0 +{ } θ 0 car θ 0 ], [ θ 0 =, de même +{ } θ 0 +{ θ 0 } } = { } = { } = { θ +{ } 0 a + θ } θ 0 a = [ { θ 0 } ] = [ ], θ 0 } et q = ([ ] )q + q 0 = [ ] θ 0 θ 0 p = ([ ] )p + p 0 = [ ](a + ). θ 0 θ 0 Finalement, on obtient les mêmes suites (θ n, p n, q n ) décalées d un indice. On peut donc pour tous les θ R\Z partir du système de conditions initiales Finalement on obtient Théorème Soit θ R\Z. Posons q = 0, p =, q 0 =, p 0 = 0 et θ 0 = {θ}. q = 0, p =, q 0 =, p 0 = [θ] et θ 0 = {θ}. 4

5 La suite des fractions (p n /q n ) définie par les relations de récurrence pour n 0 θ n+ = { θ n }, a n+ = [ θ n ], q n+ = a n+ q n + q n, p n+ = a n+ p n + p n contient toutes les meilleures approximations de θ et p n /q n est meilleure approximation pour tous les n. En posant a 0 = [θ], on obtient le processus suivant θ = a 0 + θ 0 = a 0 + a + θ = a 0 + a + a +θ = a 0 + a + a + a 3 +θ 3 etc... qui continue tant que θ n n est pas nul. Vocabulaire : les fractions p n /q n s appellent les réduites et les entiers a n les coefficients ou les quotients partiels. Définition Soit x 0 R et x,..., x n des réels strictement positifs. On définit [x 0 ] = x 0, [x 0 ; x ] = x 0 + x, et par récurrence sur k {,..., n} on définit [x 0 ; x,..., x k ] = [x 0 ; x,..., x k + x k ] = [x 0 ; x,..., [x k, x k ]]. Proposition Soit θ un réel. Avec les notations du théorème précédent et a 0 = [θ], supposons que θ 0,..., θ n soient définis alors, θ = [a 0 ; a,..., a n, a n + θ n ] = p n θ n + p n q n θ n + q n Démonstration. On procède par récurrence. On a bien θ = [a 0 + θ 0 ] et pour tout n, θ n = a n +θ n et p n q n = [a 0 ; a,..., a n ]. donc θ = [a 0 ; a,..., a n, a n +θ n ] = [a 0 ; a,..., a n + a n + θ n ] = [a 0 ; a,..., a n, a n +θ n ]. De même θ = p n θ n + p n = p n a n+θ n + p n = p n + p n (a n + θ n ) q n θ n + q n q n a n +θ n + q n q n + q n (a n + θ n ) = p n θ n + p n. q n θ n + q n Proposition 3 Soit θ R\Q. On a θ = lim n [a 0 ; a,..., a n ] où a 0 = [θ] et les a n, n, sont définis dans le théorème précédent. On écrit θ = [a 0 ; a,..., a n,...] et la suite des fractions [a 0 ; a,..., a n ] s appelle le développement en fraction continue de x. 5

6 Démonstration. [a 0 ; a,...a n ] = p n q n θ. Théorème 3 Soit (a n ) n N une suite d entiers telle que a n pour tout n. Alors la suite (x n ) définie par x n = [a 0 ; a,..., a n ] converge vers un irrationnel θ dont la suite des quotients partiels est la suite (a n ). De plus, si (b n ) est une autre suite d entiers telle que b n pour tout n et telle que θ = lim n [b 0 ; b,..., b n ] alors a n = b n pour tout n N. Démonstration : cf. Hardy and Wright. 3 Cylindres Considérons l application T :]0, [ [0, [ définie par T (x) = { } et la suite d intervalles x I =], [, I =], ],..., I 3 n =], ],... La suite d intervalles (I n+ n n) n forme une partition ]0, [ et pour tout θ ]0, [ le n-ième quotient partiel a n si il existe, est déterminer par la relation T n (x) I an (T 0 = Id). Posons B =]0, [\Q. Comme pour x ]0, [ on a x Q T (x) Q, T est une surjection de B sur B. Définition 3 Soit a,..., a n des entiers. On appelle B(a,..., a n ) l ensemble des θ appartenant à B tels que T k (x) I ak pour k =,..., n. B(a,..., a n ) s appelle un cylindre de longueur n. Proposition 4. B(a,..., a n ) B(b,..., b n ) a k = b k, k =,..., n.. B(a,..., a n ) = a N B(a,..., a n, a). 3. Pour tout n, et tout a,..., a n N, B = T n (B(a,..., a n )). 4. Pour tout n, et tout a,..., a n N, considérons l application définie sur [0, ] par V (a,..., a n )(x) = p n x+p n q n x+q n où les suites p k et q k sont définies par les relations de récurrences. On a B(a,..., a n ) = V (a,..., a n )([0, ])\Q. 5. Pour tout a,..., a n, a N on a 4 B(a) B(a, a,..., a n, a) B(a, a,..., a n ) 4 B(a). Démonstration.. Soit x B(a,..., a n ) B(b,..., b n ) on a T k (x) I ak I bk. Comme les I q sont disjoints on a a k = b k.. Evident. 3. Récurrence sur n. Pour n = évident.. Supposons B = T n (B(a,..., a n+ )) et montrons que T n+ (B(a,..., a n+ )) = B. Par définition B(a,..., a n+ ) = B(a ) T (B(a,..., a n+ )), donc T (B(a,..., a n+ )) = T (B(a )) B(a,..., a n+ ) = B B(a,..., a n+ ) = B(a,..., a n+ ) d où T n+ B(a,..., a n+ ) = T n (T (B(a,..., a n+ ))) = T n (B(a,..., a n )) = B par hypothèse de récurrence. 4. Soit θ B(a,..., a n ) on a θ = p n θ n+p n q n θ n +q n où θ n [0, ], donc θ V (a,..., a n )([0, ])\Q. 6

7 Par récurrence, on voit que V (a ) V (a )... V (a n ) = V (a,..., a n ) car, si V (a ) V (a )... V (a n ) = V (a,..., a n ) alors V (a ) V (a )... V (a n )(x) = V (a,..., a n )(V (a n )(x)) = p n + p a n +x n q n + q = V (a,..., a n )(x). a n +x n Soit x 0 B et x [0, ] tels que x 0 = V (a )(x ). On a alors x B, T x 0 = x et x 0 B(a ). Soit θ V (a,..., a n )([0, ])\Q. Montrons par récurrence que θ B(a,..., a n ). On a θ = V (a,..., a n )(x) avec x [0, ]. Posons θ = V (a,..., a )(x). On a θ = V (a )(θ ) et θ [0, ] donc θ B, θ B(a ) et T θ = θ. D après l hypothèsehypothése de récurrence T θ B(a,..., a n ) d où θ B(a,..., a n ). 5. Soit a N. On a B(a,..., a n ) = 0 V (a,..., a n )(x) dx = 0 (q n x + q n ) dx [ (q n + q n ), ]. qn D après 4., B(a,..., a n, a) = V (a,..., a n )(V (a)([0, ]))\Q =V (a,..., a n )(V (a)([0, ])\Q)) donc B(a,..., a n, a) = V (a,..., a n )(x) dx = q n x + q n dx. Par conséquent et V (a)([0, ]) V (a)([0,]) V (a)([0,]) (q n + q n ) B(a,..., a n, a) V (a)([0, ]) q n B(a) (q n + q n ) B(a,..., a n, a) B(a), qn B(a) B(a,..., a n ) 4 B(a,..., a n, a) B(a) 4B(a,..., a n ). Théorème 4 de Borel-Bernstein. Soit α n une suite d entiers.. Si n α n < + alors pour presque tout θ B il existe un nombre fini de n tel que a n (θ) α n.. Si n n = + alors pour presque tout θ B il existe une infinité de n tel que a n (θ) α n. donc Démonstration.. Soit A n = {θ B : a n (θ) α n }. On a A n = B(a,..., a n, a), a α n A n a,...,a n a,...,a n a α n B(a,..., a n, a) 4 = 4 a α n B(a) 4 a α n a C α n, 7 a,...,a n a α n B(a,..., a n ) B(a)

8 On conclut avec le lemme de Borel-Cantelli.. Posons B n = {θ B : a n (θ) < α n }. Il suffit de montrer que pour tout p, n p B n est négligeable. Posons B p,q = q n=p B n. On a B p,q = B(a,..., a q ) = B(a,..., a q ) a,...a p N a i <α i, i=p,...,q a,...a p N a i <α i, i<q a q<α q = ( B(a,..., a q ) B(a,..., a q ) ) a,...a p N a i <α i, i<q a q α q ( B(a,..., a q ) 4 B(a,..., a q ) B(a q ) ) a,...a p N a i α i, i<q a q α q B(a,..., a q ) ( c ) B p,q ( c ). α q α q Or n α n a,...a p N a i α i, i<q = + n=p ( c α n ) = 0, donc B n = 0. 8