MAT-18996: Analyse numérique pour l ingénieur Hiver 2009

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1 SOLUTIONNAIRE de l EXAMEN MAT-8996: Analyse numérique pour l ingénieur Hiver 009 Remarques:. Toutes les réponses doivent être adéquatement justifiées. En particulier, les détails des calculs doivent être donnés. Dans le cas contraire, une réponse sera considérée comme nulle.. Soignez la présentation, la qualité du français et la présentation de vos raisonnements. Voici un extrait d une table des valeurs des noeuds et des poids correspondants pour la formule de quadrature de Gauss-Legendre à n noeuds: n Noeuds Poids

2 Question. 5 points On considère l équation différentielle { y t = t yt + t y = 0 a [ pts Vérifier que sa solution est yt = e t t. D un côté, y t = t e t et de l autre côté, comme yt + t = e t, on a que t yt + t = t e t. Donc, avec yt proposée, on a bel et bien que y t = t yt + t. Il faut s assurer que la solution proposée vérifie la condition initiale. En effet, y = e = e 0 = = 0. Donc, yt = e t t est bel et bien la solution de l équation différentielle proposée. b [3 pt Expliciter la méthode d Euler modifiée Runge-Kutta lorsqu appliquée à cette équation différentielle. t 0 = y 0 = yt 0 = y = 0 ft, yt = t yt + t y 0 = 0 ft n, y n = t n yn + t n ŷ = y n + h ft n, y n = y n + h [ t n yn + t n y n+ = y n + h [ ftn, y n + ft n + h, ŷ = y n + h [ ŷ tn yn + t n + tn+ + tn+ = y n + h [ ŷ tn yn + t n + tn+ + tn+ = y n + h [ ŷ t n yn + t n + tn+ + tn+ c [5 pts Calculer les valeurs approchées de y. à l aide de la méthode d Euler modifiée avec h = 0. et h = Calcul approximatif de y. avec h = 0. : y. y : ŷ = y 0 + h ft 0, y 0 = y 0 + h [ t 0 y0 + t 0 ŷ = f, 0 = [ 0 +

3 ŷ = 0. [ ŷ = 0. y = y 0 + h [ t 0 y0 + t 0 + t ŷ + t y = [ ŷ +. y = 0. [ y = 0. [ +.. y = 0. [.. y = 0. [.3 y = 0.3. Calcul approximatif de y. avec h = 0.05 : y.05 y : ŷ = y 0 + h ft 0, y 0 = y 0 + h [ t 0 y0 + t 0 ŷ = f, 0 = [ 0 + = 0.05 [ ŷ = y = y 0 + h [ t 0 y0 + t 0 + t ŷ + t y = [ = 0.05 [ y = 0.05 [.05. = 0.05 [.55 y = y. y : ŷ = y + h ft, y = y + h [ t y + t ŷ = [ = [ ŷ = [.3675 ŷ = [.3675 = ŷ = y = y + h [ ft, y + ft, ŷ y = y + h [ ŷ t y + t + t + t y = [ y = [ y = [ y = y =

4 d [5 pts En vous servant de la solution exacte et des résultats obtenus en c, montrer que la méthode d Euler modifiée est d ordre. La valeur exacte de y. est donnée par y. = e.. = E h=0. = y. y = E h=0.05 = y. y = E h=0. ordre E h= D où on conclut que l ordre de la méthode d Euler modifiée est. Question. 0 points On considère l intégrale e x dx. a [5 pts Calculer la valeur approchée de I par la formule de Gauss-Legendre à 3 noeuds voir table en première page. Calculer la valeur exacte de l erreur commise. Changement de variable e x dx = 6 e 6 t dt = e t + 4 dt. ft dt [ w 0 ft 0 + w ft + w ft avec ft = e t + 4, w 0 = t 0 = , w = t = 0, w = t = [ pts Calculs I I approx = Calcul de l erreur exacte: e 6 e = Err = I I approx = 0.5. b [5 pts Si l intervalle d intégration [, 6 est divisé en deux sous-intervalles de longueurs égales, calculer la valeur approchée de I en utilisant la formule de Gauss-Legendre à noeud sur chacun des deux sous-intervalles. Calculer la valeur exacte de l erreur commise. 4

5 e x dx = 4 e x dx + [ pts Changements de variable = 4 e x dx + e t+3 dt e x dx = 4 e t+5 dt e x dx. e 4 t dt e t dt Calculs avec w 0 = et t 0 = 0 I w 0 e t w 0 e t 0+5 = e 3 + e Calcul de l erreur exacte: Err c [5 pts Si on utilise la formule de Simpson /3 composée pour calculer la valeur approchée de I, déterminer combien de points d évaluation il faudrait prendre pour que l erreur en valeur absolue soit inférieure à 0 5? Terme d erreur de Simpson /3 composée: b a 80 f 4 ξ h 4 b a avec ξ [a, b et h = nbintervalles b a 80 f 4 b a 4 ξ nbintervalles avec a =, b = 6, f 4 ξ = e ξ ξ [, 6 d où e ξ e 6 Ainsi b a5 e ξ 80 nbintervalles e6 nbintervalles d où e6 0 5 nbintervalles 4 i.e nbintervalles 4 d où nbintervalles 3.08 i.e. nbintervalles 4 ainsi il faut prendre au moins 5 points d évaluation. d [5 pts Si on utilise la formule du trapèze composée pour calculer la valeur approchée de I, déterminer combien de points d évaluation il faudrait prendre pour que l erreur en valeur absolue soit inférieure à 0 5? Terme d erreur du trapèze composée: b a f ξ h avec ξ [a, b et h = b a b a nbintervalles f b a ξ nbintervalles 0 5 avec a =, b = 6, f ξ = e ξ ξ [, 6 d où e ξ e 6 5

6 Ainsi b a3 e ξ nbintervalles 43 e6 nbintervalles 0 5 d où e nbintervalles i.e. e6 0 5 nbintervalles d où nbintervalles i.e. nbintervalles 4669 ainsi il faut prendre au moins 4670 points d évaluation. Question 3. 5 points Soit une fonction fx connue aux points x i, i = 0,,..., 5, x i fx i a [0 pts En utilisant la méthode de polynômes de Lagrange, construire le polynôme qui interpole la fonction fx aux 3 noeuds suivants:, 3, 0,,, 0, et calculer une approximation de f. En supposant que f ξ M, donner une approximation raisonnable de l erreur commise. b [0 pts En utilisant la méthode de Newton, construire un polynôme d interpolation de degré 3 et calculer l approximation de f4. Donner une bonne approximation de l erreur commise. Suggestion: f n ξ n! f[x i,..., x i+n. Table des différences divisées x i fx i Premières Deuxièmes Troisièmes Quatrièmes Cinquièmes / 3/ 3 / / /0 / /3 /3 /8 /80 7/340 c [5 pts Sans faire de calcul, estimer la valeur de f 4 avec la formule centrée d ordre. Comparer ce résultat avec l approximation de f 4 obtenue en utilisant le meilleur polynôme d interpolation de degré. 6

7 Question 4. 0 points a [5 pts On considère l équation différentielle y t y t y t + yt = 0 y0 = 5 y 0 = 0. Transformer cette équation différentielle en un système équivalent d équations différentielles d ordre. On pose y t = yt, y t = y t [3 pt L équation différentielle devient y t = y t et les conditions initiales : b [ pts On considère l intégrale y t = y t y t y t y 0 = 5, y 0 = 0. 7x 6 + 3x 5 dx. Quel est le nombre minimal de noeuds pour lequel on est assuré que le calcul de I avec la méthode de Gauss-Legendre est exacte? La formule de Gauss à n noeuds est exacte pour les polynômes de degré n. Il faut donc au moins n = 4 noeuds. c [5 pts Le terme d erreur d une certaine méthode d intégration numérique est donné par l expression suivante: Errξ = 4 3 f 5 ξ h 7. Déterminer l ordre de la méthode en question. Déterminer le degré de précision d exactitude de la méthode en question. Expliquer en quelques mots ces notions. L ordre de la méthode est le plus grand réel p pour lequel l erreur en valeur absolue vérifie E Ch p ou qui vérifie E Ch p. Donc ici l ordre est 7. Le degré de précision est le plus grand entier n pour lequel l erreur est nulle ou la formule d approximation est exacte pour tous les polynômes de 7

8 degré n. [ pt L erreur est nulle pour les fonctions f pour lesquelles f 5 = 0, donc pour tous les polynômes de degré 4 et pas plus, en général. Le degré de précision est donc 4. d [8 pts Rappeler la formule de différence centrée d ordre pour f x et démontrer que son ordre de convergence est bien en général Indication: utiliser des développements de Taylor d ordre 4. La formule est f fx + h fx + fx h x h [ pt fx+h = fx+f xh+f xh /+f xh 3 /3!+f xh 4 /4!+Oh 5 [ pt fx h = fx f xh+f xh / f xh 3 /3!+f xh 4 /4!+Oh 5 [ pt fx + h fx + fx h = f xh + f xh 4 / + Oh 5 [ pt D où Question 5. 0 points fx + h fx + fx h h = f x + f xh / + Oh 3 Calculer la spline cubique naturelle qui interpole les 3 points, 4, 0, 0,,. 8