DROITES REMARQUABLES DU TRIANGLE
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- Anaïs Nolet
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1 ours de M. Jules v 1.1 lasse de Quatrième ontrat 8 page 1 DROITES REMRQULES DU TRINGLE «Hélas trop souvent l on préfère la liberté d être stupide à l obligation d être intelligent» I. ctivité : 2 II. Médiatrices des côtés d un triangle. 3. Définition : 3. Propriétés des médiatrices : 3 1. Propriétés métriques de la médiatrice (rappel contrat 2) : 3 2. oncourance des 3 médiatrices d un triangle (rappel contrat 2) : 4 3. Exercice de base : 4 III. Médianes d un triangle. 5. Définition : 5. oncourance des 3 médianes d un triangle : 5. Exercice de base : 5 IV. Hauteurs d un triangle. 6. Définition : 6. oncourance des 3 hauteurs d un triangle : 7. Exercice de base : 7 V. issectrices d un triangle. 8. Définition : 8. oncourance des 3 bissectrices d un triangle : 8. Exercice de base : 9 VI. Droites remarquables et triangles particuliers. 9. as du triangle isocèle : 9. as du triangle équilatéral : 9 VII. Exercices. 10 Nom et prénom :.. 4 ème 1
2 ours de M. Jules v 1.1 lasse de Quatrième ontrat 8 page 2 Vous aurez besoin pour ce cours de votre matériel usuel de géométrie (compas, rapporteur, équerre ). I. TIVITE : O Soit OFU, un triangle quelconque : On a l énorme envie de tracer une droite (d) «traversant» le triangle comme sur la figure ci contre. (d) a-t-elle ici quelque chose de remarquable à noter?. F (d) U ontrairement à l exemple ci dessus, on voudrait tracer une droite (d) ayant une ou plusieurs propriétés remarquables. Parmi les propositions suivantes, 3 semblent nouvelles et intéressantes, les entourer. (d) coupe en 3 un côté. (d) passe par un sommet. (d) est de la même couleur que le triangle. (d) est confondue avec un côté. (d) passe par le milieu d un côté. (d) est perpendiculaire à un côté (d) bile. (d) est aussi épaisse que les côtés du triangle. (d) fait un angle de 60 avec un côté (d) est parallèle à un côté. Remarque : la situation correspondant à la dernière proposition a déjà été étudiée : c est le théorème de. insi donc, 3 propositions vont nous intéresser : (d) passe par un sommet. (d) passe par le milieu d un côté. (d) est perpendiculaire à un côté. En fait, chacune de ces 3 propositions prises séparément n est pas très intéressante en elle même! est la conjonction de 2 parmi ces 3 propositions, qui va aboutir à quelque chose de remarquable. Exemple : réunissons les propositions et : O (d) passe par le milieu d un côté ( [UF] par exemple ). (d) est perpendiculaire à ce même côté. Tracer (d) (n oubliez pas le codage!) omment s appelle (d)? (d) est la. de [UF]. F U u total, combien de couples de 2 propriétés choisies parmi les 3, pouvons nous former?. Ecrivez les et dessinez la droite (d) correspondante sans oublier le codage quand il y en a. O omment s appelle (d) dans ce cas? F U
3 ours de M. Jules v 1.1 lasse de Quatrième ontrat 8 page 3 O omment s appelle (d) dans ce cas? F U II. Maintenant, résumons tout cela dans un cours bien propre! MEDITRIES DES OTES D UN TRINGLE.. Définition : Dans un triangle, la médiatrice relative à un côté est.. droite : qui passe par le de ce côté. et qui est. à ce même côté. Puisqu un triangle a 3 côtés, alors il y a médiatrices dans un triangle. Par abus de langage, on entend parfois «médiatrice d un triangle» au lieu de «médiatrice relative à un côté du triangle». est imprécis!. Propriétés des médiatrices : 1. Propriétés métriques de la médiatrice (rappel contrat 2) : Propriété métrique de la médiatrice : (. condition ou hypothèse) (.. résultat ou conclusion) Quand M est sur la médiatrice d un segment [] alors M = M utrement dit : Lorsque un point est situé sur la médiatrice d'un segment, alors il est situé à la même distance des deux extrémités de ce segment. Utilité : cette propriété sert à prouver une égalité de.. La réciproque est vraie aussi : Réciproque de la propriété métrique de la médiatrice (.. condition ou hypothèse) Quand.. alors (.. résultat ou conclusion) M est sur la utrement dit : Lorsque. un point est équidistant des extrémités d'un segment, alors c est un point de la médiatrice de ce segment. Utilité : cette propriété sert à prouver qu un point est sur une..
4 ours de M. Jules v 1.1 lasse de Quatrième ontrat 8 page 4 2. oncourance des 3 médiatrices d un triangle (rappel contrat 2) : Les 3 médiatrices d un triangle se.. (sont concourantes) en un point O. e point O est le centre du.. à ce triangle. e centre O est donc des 3 sommets, et c-à-d. =. =. Preuve : voir contrat 2 p.2. Remarque : 2 médiatrices suffisent pour construire le cercle Figure : onstruire à la règle et au compas les cercles circonscrits des 2 triangles suivants (codages!) : as particulier du triangle rectangle (rappel) : Le centre du cercle circonscrit à un triangle rectangle est le.. de 3. Exercice de base : as d un triangle ayant un angle obtus : le centre du cercle circonscrit se trouve à... du triangle. R Dans le triangle IR suivant, tracez : la perpendiculaire à (RI) passant par. la perpendiculaire à (I) passant par R. es 2 droites se coupent en P. I' R' ' I 1) Montrer que P est équidistant de,r, et I. 2) Tracez (PI ). Montrer que (R) (PI ). La question 1) est parfois posée autrement : «Montrer que P est équidistant de R et.» ou bien «Montrer que le triangle RP est isocèle.». Elle est souvent supprimée mais sous entendue. et exercice de base exploite la situation suivante : on part plus ou moins directement de 2 médiatrices, puis on exploite la troisième (question 2).
5 ours de M. Jules v 1.1 lasse de Quatrième ontrat 8 page 5 III. MÉDINES D UN TRINGLE.. Définition : Dans un triangle, la médiane relative à un sommet est.. droite : qui passe par ce.. et qui passe par le du côté opposé à ce sommet. Puisqu un triangle a 3 côtés, alors il y a médianes dans un triangle. On dit parfois médiane relative à un côté : elle passe par le milieu de ce côté. Figure : Tracer les 3 médianes du triangle ci contre. R Que remarquez vous? ppelez G le point de concours. Mesurez RG puis RR, puis calculer à la calculette RG RR. De même, calculer à la calculette G. et IG I I. Que constatez vous?. I' R' ' I. oncourance des 3 médianes d un triangle : Dans un triangle RI, on note comme d habitude I le milieu de [R], R le milieu de [I] et le milieu de [IR]. Les 3 médianes d un triangle RI se.. (sont concourantes) en un point G. e point G s appelle le centre de gravité (ou «point d équilibre») du triangle RI. Le centre de gravité G est situé au 2 de chaque médiane en partant du sommet relatif à chaque médiane. 3 utrement dit : IG = 2 3 I I et RG = et.. =.. Remarque : 2 médianes suffisent pour construire le centre de gravité.. Exercice de base : Dans le triangle IR suivant, tracez (RR ) et ( ). es 2 droites se coupent en M. R ' 1) Montrer que RM = 2 3 RR. I R'
6 ours de M. Jules v 1.1 lasse de Quatrième ontrat 8 page 6 2) Tracez (MI). Montrer que (MI) coupe [R] en son. La question 1) est parfois posée autrement : «Montrer que M est situé au 2 de.» ou bien «Montrer que M est le point d équilibre de RI.» ou bien 3 «Montrer que R M = 1 RR.». 3 et exercice de base exploite la situation suivante : on part plus ou moins directement de 2 médianes, puis on exploite la troisième (question 2). IV. HUTEURS D UN TRINGLE.. Définition : Dans un triangle, la hauteur relative à un sommet est.. droite : qui passe par ce.. et qui est. à ce même côté. 3 remarques : Puisqu un triangle a 3 côtés, alors il y a hauteurs dans un triangle. On dit parfois hauteur relative à un côté : elle est. ce côté. Pourquoi parle-t-on de hauteur? En fait cette hauteur relative à un sommet indique la distance de ce sommet au côté opposé. Figure : Tracer les 3 hauteurs pour le triangle ci contre (codage!). Que remarquez vous? ppelez H le point de concours.
7 ours de M. Jules v 1.1 lasse de Quatrième ontrat 8 page 7. oncourance des 3 hauteurs d un triangle : Les 3 hauteurs d un triangle se.. (sont concourantes) en un point H. e point H s appelle l orthocentre du triangle. Remarque : 2 hauteurs suffisent pour construire l.. Figure : onstruire les orthocentres des 2 triangles suivants (codages!) : as particulier du triangle rectangle : L orthocentre d un triangle rectangle est situé sur l.. as d un triangle ayant un angle obtus : L orthocentre d un triangle ayant un angle obtus est situé à l.. du triangle.. Exercice de base : 1) Montrer que H est. de. H 2) Tracez (H). Montrer que (H). (). La question 1) est souvent supprimée mais est sous entendue! et exercice de base exploite la situation suivante : on part plus ou moins directement de 2 hauteurs, puis on exploite la troisième (question 2).
8 ours de M. Jules v 1.1 lasse de Quatrième ontrat 8 page 8 Il ne reste plus qu à traiter le cas où les droites remarquables coupent les angles du triangle en 2. V. ISSETRIES D UN TRINGLE.. Définition : La bissectrice d un angle est.. droite qui partage cet angle en 2 angles de même.. Puisqu un triangle a 3 angles, alors il y a bissectrices dans un triangle. On dit parfois bissectrice relative à un sommet : elle passe par ce sommet. Figure : Tracer les 3 bissectrices pour le triangle ci contre (codage!). Que remarquez vous? ppelez I le point de concours. Projetez I perpendiculairement sur l un des côtés. ppelez M ce projeté. Tracez le cercle de centre I et de rayon IM. e cercle intérieur au triangle semble-t-il tangent aux 3 côtés du triangle?... oncourance des 3 bissectrices d un triangle : Les 3 bissectrices d un triangle se.. (sont concourantes) en un point I. e point I est le centre d un cercle intérieur au triangle appelé cercle inscrit au triangle. e cercle inscrit est tangent aux 3 côtés du triangle. utrement dit, son centre I est équidistant des 3 côtés du triangle. 2 bissectrices suffisent pour construire le cercle.. ttention : une bissectrice coupe-t-elle forcément le côté opposé en son milieu? Oh que..! Figure : onstruire à la règle et au compas le centre I du cercle inscrit au triangle suivant (codages!) : Projetez I perpendiculairement sur l un des côtés. Puis tracez le cercle inscrit à.
9 ours de M. Jules v 1.1 lasse de Quatrième ontrat 8 page 9. Exercice de base : Tracez (I). oupe-t-elle [] en son milieu?.. Montrez que I = 2. I La question peut être posée d une autre manière : «Montrez que = 2 I.» ou bien «Montrez que I est équidistant des côtés [] et [].» ou bien «Montrez que I est à égale distance des 3 côtés du triangle.» et exercice de base exploite la situation suivante : on part plus ou moins directement de 2 bissectrices, puis on exploite la troisième. VI. DROITES REMRQULES ET TRINGLES PRTIULIERS.. as du triangle isocèle : Puisque un triangle isocèle possède (au moins) un axe de symétrie, alors, la médiatrice relative au sommet principal, est en même temps médiane, hauteur, et bissectrice. Voici un triangle isocèle. Tracez la médiatrice qui est en même temps hauteur N oubliez pas le codage.. as du triangle équilatéral : Puisque un triangle équilatéral possède.. axes de symétrie (il est isocèle partout!), alors, les 3 médiatrices sont en même temps...,.., et. Voici un triangle équilatéral. Tracer la hauteur relative à. Montrer qu elle coupe [] en son milieu I et que I = 1 2
10 ours de M. Jules v 1.1 lasse de Quatrième ontrat 8 page 10 VII. EXERIES. Exercice : Dans un parallélogramme D, les diagonales se coupent en I. Soit E le symétrique de par rapport à D. Le segment [EI] coupe [D] en K. 1. Que représente K pour le triangle E? Justifiez! 2. En déduire que (K) coupe [E] en son milieu. Exercice : Soit un parallélogramme D. Tracez la perpendiculaire à () passant par. Tracez la perpendiculaire à () passant par. On note K leur point d intersection. 1. Montrer que KD est rectangle en. Exercice : 1. Que représente J pour? Justifiez. M 2. Quel est l orthocentre de J?.. P N 3. Quel est l orthocentre de J?.. 4. Quel est l orthocentre de J?.. J 5. Quel est l orthocentre de N?.
Si deux droites sont parallèles à une même troisième. alors les deux droites sont parallèles entre elles. alors
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