THEOREME DES VALEURS INTERMEDIAIRES EXERCICES CORRIGES

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1 TVI - eercices corrigés THEOREME DES VALEURS INTERMEDIAIRES EXERCICES CORRIGES Ce document totalement gratuit (disponible parmi bien d'autres sur la page JGCUAZ.FR rubrique mathématiques) a été conçu pour aider tous ceu qui désirent travailler sur le théorème des valeurs intermédiaires. Il contient eercices corrigés intégralement, classés par thèmes et/ou par niveau. La page JGCUAZ.FR étant en constante évolution (ajout de nouveau eercices, améliorations), il est conseillé de régulièrement la visiter pour y télécharger la nouvelle version de ce fichier. Pour toute remarque, merci de vous rendre sur la page JGCUAZ.FR où vous trouverez mon adresse électronique (qui est JGCUAZ@HOTMAIL.COM à la date du 9//7) Egalement disponible une page facebook Montpellier, le 9//7 Jean-Guillaume CUAZ, professeur de mathématiques, Lycée Clemenceau, Montpellier depuis Lycée Militaire de Saint-Cyr, de à TVI - eercices corrigés Page /8 version du 9//7

2 TVI - eercices corrigés Eercice n (correction) THEOREME DES VALEURS INTERMEDIAIRES EXERCICES CORRIGES Soit f la fonction définie sur l'intervalle [ ; ] par : f ( ) = ) Etudier les variations de la fonction f sur [ ; ] ) a) Démontrer que l'équation f ( ) = admet une unique solution α dans l'intervalle [ ; ]. b) Vérifier que α appartient à l'intervalle [,;, 4 ] Eercice n (correction) Soit f la fonction définie sur l'intervalle [ ;+ [ par : ( ) ) Déterminer lim f ( ) + ) Etudier les variations de la fonction f sur [ ;+ [ f = + 5 ) a) Démontrer que l'équation f ( ) = admet dans [ ;+ [ une unique solution α b) Donner un encadrement d'amplitude, de α. Eercice n (correction) f = + La fonction f est définie sur [ ; ] par ( ) ) Etudier les variations de la fonction f sur [ ; ] ) Démontrer que l'équation f ( ) = admet une unique solution α [ ;] ) Afin de trouver une valeur approchée de α à, près, on met en oeuvre l'algorithme suivant : Initialisation a prend la valeur, b prend la valeur Traitement Tant que b a, faire a+ b m prend la valeur Si f ( m ) > Alors b prend la valeur m Sinon a prend la valeur m Fin Si Fin Tant que Sortie Afficher a et b Indiquer les valeurs successives de a, b et m lorsque l'on fait fonctionner l'algorithme : TVI - eercices corrigés Page /8 version du 9//7

3 TVI - eercices corrigés a b m Etape Etape Etc. Eercice n 4 (correction) u = 4 On considère la fonction u définie sur par ( ) 4 ) Etudier le sens de variation de u sur ainsi que les limites au bornes de son ensemble de définition et présenter les résultats sous la forme d'un tableau de variation ) Démontrer que l'équation u( ) = 7 admet une unique solution α sur [ ;+ [ et encadrer α entre deu entiers consécutifs. ) Démontrer que l'équation u( ) = admet une unique solution β sur [ ;] 4) Compléter les quatre pointillés dans l'algorithme de dichotomie suivant afin de déterminer un encadrement d'amplitude e de β Variables a,b,e et m sont des réels Initialisation a vaut -, b vaut, e vaut, Traitement Tant que b a >... faire m prend la valeur... Si u( a) u( m) Sortie Alors... prend la valeur m Sinon... prend la valeur m Fin Si Fin Tant que Afficher a et b TVI - eercices corrigés Page /8 version du 9//7

4 TVI - eercices corrigés 5) Indiquer les valeurs successives de a, b et m lorsque l'on fait fonctionner l'algorithme : Etape Etape Etape Etape a - b m Eercice n 5 (correction) Soit g la fonction définie sur g ( ) = + ) Déterminer la limite de g en + ) Etudier les variations de g puis dresser son tableau de variations en précisant les etremums de g. On ne demande pas la limite en ) Calculer g( ) et en déduire le tableau de signes de g ( ) 4) Démontrer que l'équation ( ) g= admet une unique solution α [ ;] 5) Afin de trouver une valeur approchée de α à, près, on met en oeuvre l'algorithme de dichotomie suivant : Initialisation a prend la valeur -, b prend la valeur Traitement Tant que b a... faire a+ b m prend la valeur 4 Si g( m )... 5 Alors b prend la valeur m 6 Sinon a prend la valeur m 7 Fin Si 8 Fin Tant que 9 Sortie Afficher a et b a) Compléter sur la feuille le contenu des lignes et 4 b) Indiquer les valeurs successives de a, b et m lorsque l'on fait fonctionner l'algorithme sur 4 étapes. a - b m Etape Etape Etape Etape 4 TVI - eercices corrigés Page 4/8 version du 9//7

5 TVI - eercices corrigés 6) Soit f la fonction définie sur \{ } par On note + f( ) =. C f sa courbe représentative dans un repère orthonormal. g ( ) a) Montrer que, pour tout, f ( ) = b) En déduire le tableau de variations de f (on ne demande pas le calcul des etremums) c) Déterminer une équation de la tangente T à C f au point d abscisse -. Eercice n 6 (correction) On a modifié l'algorithme de dichotomie de la manière suivante (modifications en gras) Variables a,b,k,e,m,f et G sont des réels Entrée Saisir a,b,k et e Traitement Tant que b a e faire a+ b m prend la valeur F prend la valeur f ( a) k G prend la valeur f ( b) k Si F G Alors b prend la valeur m Sinon a prend la valeur m Fin Si Fin Tant que Sortie Afficher a et b ) Décrire l'amélioration apportée f = + + ) Soit f la fonction définie sur par : ( ) a) Démontrer que l'équation f ( ) = admet une unique solution α dans l'intervalle [ ; ]. b) Programmer l'algorithme donné ci-dessus, puis donner une valeur approchée de α à, près par défaut. Eercice n 7 (correction) ) Démontrer que l'équation 4 4 = admet eactement deu solutions sur ) Donner un encadrement d'amplitude de chacune de ces solutions. TVI - eercices corrigés Page 5/8 version du 9//7

6 TVI - eercices corrigés Eercice n 8 (correction) u = Soit u la fonction définie sur par : ( ) ) Calculer u ( ) puis dresser le tableau de variations de la fonction u. ) Démontrer que l'équation ( ) ) En déduire le signe de u( ) selon les valeurs de 4) Déterminer une valeur approchée de α à, près. u = admet une unique solution α dans et que < α < Eercice n 9 (correction) Soit f la fonction définie sur ] ;+ [ par : ( ) f = e. On note C f la courbe représentative de f ) Calculer les limites de f en et en +. Quelle conséquence graphique peut-on en déduire? ) Etudier le sens de variation de f sur ] ;+ [. ) Démontrer que l'équation f ( ) =, admet une unique solution α ] ; [ valeur approchée à l'unité + et donner une Eercice n (correction) f est la fonction définie sur [ ;5 ] par : ( ) f = + e ) Dresser le tableau de variations de f sur [ ;5 ]. ) Montrer que l'équation f ( ) = admet une unique solution [ ;5] ) Quel est le rôle de l'algorithme ci-dessous? α. Entrée Saisir p Initialisation a prend la valeur Traitement a Tant que + e < faire a prend la valeur a+ p Fin Tant que Sortie Afficher a et a+ p 4) Qu'aurait-il fallu modifier dans cet algorithme si la fonction f avait été décroissante? TVI - eercices corrigés Page 6/8 version du 9//7

7 TVI - eercices corrigés Eercice n (correction) On considère la fonction f définie et dérivable sur [ ;+ [ par f ( ) = e, ) Déterminer la limite de f en + ) Etudier les variations de f sur [ ;+ [ et dresser le tableau de variations complet de f sur [ ;+ [ ) Démontrer que l'équation f ( ) = admet une unique solution notée α sur l'intervalle [;] et donner un encadrement de α d'amplitude, Eercice n (correction) On considère la fonction f définie sur ] ;+ [ par ( ) f = + ln ) Etudier les limites de f au bornes de son ensemble de définition ) Déterminer les variations de f sur ] ;+ [ ) a) Démontrer que l'équation f ( ) = admet une unique solution α ] ; + [ b) Déterminer un encadrement de α d'amplitude Eercice n (correction) Soit ϕ la fonction définie sur l'intervalle [ ; + [ par : ϕ ( ) = + ) a) Etudier le sens de variation de la fonction ϕ sur l'intervalle [ ; + [. ln b) Calculer ϕ ( e). Démontrer que l'équation ϕ ( ) = admet une unique solution [ ; e] Déterminer un encadrement de α d'amplitude,. c) Déterminer le signe de ϕ ( ) suivant les valeurs de. ln =. + ) Soit f la fonction définie sur l'intervalle [ ; + [ par : f ( ) a) Calculer f ( ) et montrer que pour tout =, on a f ( ) ϕ ( ) ( + ) b) Déduire de la question ) le sens de variation de la fonction f sur l'intervalle [ ; + [ c) Démontrer que pour tout appartenant à l'intervalle [ ; + [, f ( ) d) En déduire lim f ( ) + ln α. TVI - eercices corrigés Page 7/8 version du 9//7

8 TVI - eercices corrigés THEOREME DES VALEURS INTERMEDIAIRES - CORRECTION Correction de l'eercice n (retour à l'énoncé) ) La fonction f est dérivable sur [ ; ] et pour tout [ ; ], f ( ) strictement croissante sur [ ; ] ) a) La fonction f est continue et strictement croissante sur [ ; ]. De plus f ( ) = = < et ( ) Puisque f ( ; ) f ( ) une unique valeur α [ ; ] telle que f ( α ) = b) Puisque f (,) < et (, 4) affiner l'encadrement de α : α [,;, 4] f = = > = + > donc f est, le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires affirme qu'il eiste f > (voir ci-dessous), on peut même Correction de l'eercice n (retour à l'énoncé) ) lim + = + et lim + = + donc par produit et somme on aura lim f ( ) + = + ) La fonction f est dérivable sur ] ;+ [ et pour tout ] ; + [, f ( ) strictement croissante sur [ ;+ [ ) a) La fonction f est continue et strictement croissante sur [ ;+ [. De plus f ( ) = + 5= 5 et lim f ( ) Puisque f ( ); lim f ( ) + + = + = + > donc f est, l'etension du corollaire du théorème des valeurs intermédiaires nous permet d'affirmer l'eistence d'un unique réel α [ ; + [ solution de l'équation f ( ) = b) Puisque f (,9) < et ( ) affiner l'encadrement de α : α [,9;, ] f, > (voir ci-dessous), on peut même TVI - eercices corrigés Page 8/8 version du 9//7

9 TVI - eercices corrigés Correction de l'eercice n (retour à l'énoncé) ) La fonction f est dérivable sur [ ; ] et pour tout [ ;], f ( ) strictement croissante sur [ ; ] ) La fonction f est continue et strictement croissante sur [ ; ]. De plus f ( ) = + = < et ( ) Puisque f ( ; ) f ( ) une unique valeur α [ ;] telle que f ( α ) = ) f = + = > = + > donc f est, le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires affirme qu'il eiste Etape Etape Etape Etape 4 Etape 5 a b 4 m Correction de l'eercice n 4 (énoncé) ) Pour tout réel, u ( ) = = ( ). Le tableau de signes de u ( ) est donc :. La fonction u est donc strictement décroissante sur ] ;] et strictement croissante sur [ ; + [ Puisque lim 4 = + et lim 4 =, on en conclut par différence que lim u( ) = + u De plus, puisque pour tout réel non nul, on a ( ) 4 4 = lim 4, et puisque 4 + = + 4 et lim + 4 = = 4 Enfin u ( ) = 4 =., on en conclut par produit que lim u( ) + = +. TVI - eercices corrigés Page 9/8 version du 9//7

10 TVI - eercices corrigés On résume cette étude dans le tableau de variation suivant : Même si ce n'était pas demandé, un rapide coup d'oeil sur l'écran de la calculatrice confirme cette étude ) Sur l'intervalle [ ; ], u est continue et strictement croissante. Puisque ( ) u ( ) = 5 > 7, on a 7 u( ; ) u( ) qu'il eiste une unique valeur α [ ; ] telle que ( ) 7 u = < 7 et et le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires affirme u α =. On a donc α ) Sur l'intervalle [ ;], u est continue et strictement décroissante. Puisque ( ) u ( ) = <, on a u( ; ) u( ) affirme qu'il eiste une unique valeur β [ ;] telle que u ( β ) = 4) Voir ci-dessous : Variables a,b,e et m sont des réels Initialisation a vaut -, b vaut, e vaut, Traitement Tant que b a > e faire a+ b m prend la valeur Si u( a) u( m) Fin Si Alors b prend la valeur m Sinon a prend la valeur m u = 79 > et et le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires Fin Tant que Sortie Afficher a et b 5) Indiquer les valeurs successives de a, b et m lorsque l'on fait fonctionner l'algorithme : Etape Etape Etape Etape a ,75 b -,5 -,5 m - -,5 -,75 -,65 TVI - eercices corrigés Page /8 version du 9//7

11 TVI - eercices corrigés Correction de l'eercice n 5 (retour à l'énoncé) ) Pour tout non nul, g lim ( ) = +. Puisque + = + et lim + + = + =, on en conclut par produit que lim g( ) = = +. ) Pour tout, g ( ) ( )( ) + Le tableau de signes de g ( ) donc celui des variations g, agrémenté des calculs de g( ) = ( ) ( ) + = + + = 4 et g () = + = est : = + ) On a g( ) = ( ) ( ) + =. D'après l'étude ci-dessus et puisque g( ) =, on en déduit que le tableau de signes de g est 4) Sur l'intervalle [ ;], g est continue et strictement décroissante. Puisque g( ; ) g( ), le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires nous permet d'affirmer que l'équation g= ( ) admet une unique solution α [ ;] 5) a) Ligne Tant que b a, faire Ligne 4 Si g( m) 7 b) Etape Etape Etape Etape 4 a - - -,5 car g (,5) -,5 b car g ( ) -,5 car ( ) m -,5 -,5 -,75 6) a) Pour tout, ( ) ( ) f( ) v = v = 4. On a ainsi : Pour tout, ( ) ( ) ( ) ( ) v( ) u v u v f ( ) = = ( ) g,5 u( ) = avec ( ) ( ) v( ) u u = + = + et ( ) ( ) ( ) g = = = = b) Grâce au tableau de signes de la question, on dresse le tableau de signes de f ( ) et on en déduit le tableau des variations de f TVI - eercices corrigés Page /8 version du 9//7 ( )

12 TVI - eercices corrigés c) Une équation de T est de la forme y = m + p avec m= f ( ) = d'où y = + p. ( ) + ( ) 5 5 Puisque f ( ) = =, le point A ; ( ) permet d'écrire ( ) appartient à T donc y = + p 5 = + p p = 5 = 9. Une équation de T est donc A A 9 y = Correction de l'eercice n 6 (retour à l'énoncé) ) Avec cette amélioration, on peut chercher la solution d'une équation de la forme f ( ) = k en la ramenant à l'équation f ( ) k = f = + + ) Soit f la fonction définie sur par : ( ) f = + 4+ a) La fonction f est dérivable sur et pour tout, ( ) Etudions le signe du trinôme ( ) calculant son discriminant : Puisque < et puisque strictement croissante sur. f = = a + b + c avec a =, b = 4 et c =, en = 4 4 = 6 = 4 < a >, on en déduit que pour tout, ( ) De plus, f ( ) = + + = et ( ) Puisque f ( ); f ( ) une unique valeur α [ ;] telle que f ( α ) =. b) Grâce à l'algorithme, on affine : α [,6;,7] f = + + = 6 f > donc que f est, le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires affirme qu'il eiste TVI - eercices corrigés Page /8 version du 9//7

13 TVI - eercices corrigés Correction de l'eercice n 7 (retour à l'énoncé) f = 4 ) On définit sur la fonction f par : ( ) 4 = =, dont le La fonction f est dérivable sur et pour tout, f ( ) ( ) signe est donné par celui de Le tableau de signes de f ( ) donc celui de variations de f sur est donné ci-dessous : (on a calculé f ( ) = et établi que lim f ( ) ± = + Sur l'intervalle ] ;], f est continue et strictement décroissante. Puisque f ( ); lim f ( ), l'etension du corollaire du théorème des valeurs intermédiaires nous permet d'affirmer l'eistence f = d'un unique réel ] ;] solution de l'équation ( ) Sur l'intervalle [ ; + [, f est continue et strictement croissante. Puisque f ( ); lim f ( ), l'etension du corollaire du théorème des valeurs intermédiaires nous permet d'affirmer l'eistence f = d'un unique réel [ ; + [ solution de l'équation ( ) L'équation 4 4 = f ( ) = admet donc eactement deu solutions, ] ] [ ; + [ ) En utilisant la calculatrice, on établit : + ; et [,57;,56] [, 44;, 45] TVI - eercices corrigés Page /8 version du 9//7

14 TVI - eercices corrigés Correction de l'eercice n 8 (retour à l'énoncé) = =. ) Pour tout, u ( ) 6 6 6( ) Le tableau de signes de u ( ) donc celui de variations de u sur est donné ci-dessous : (on a calculé u ( ) =, u ( ) = et établi que lim u( ) ) Pour tout ] ;], u( ) <. = et lim u( ) + = + ) La fonction u est continue et strictement croissante sur l'intervalle [ ; + [. Puisque u ( ) lim u + ( ) = +, on a u( ); lim u( ) + = et. L'etension du corollaire du théorème des valeurs intermédiaires nous permet d'affirmer l'eistence d'un unique réel α [ ; [ u( ) =. u = = >, on peut même affirmer que < α < Puisque ( ) + solution de l'équation ) Puisque pour tout ] ;], u( ) <, puisque α est l'unique solution sur [ ; + [ de l'équation u( ) = avec u strictement croissante sur [ ; + [, le signe de u( ) sur est donné ci-dessous : 4) Grâce à la calculatrice, on établit que α, 67 à, près. TVI - eercices corrigés Page 4/8 version du 9//7

15 TVI - eercices corrigés Correction de l'eercice n 9 (retour à l'énoncé) ) On a lim > = + et puisque lim e X X + = +, on en déduit par composition que lim f ( ) > = + L'ae des ordonnées est donc asymptote verticale à la courbe X On a lim = et puisque lim e + X C f =, on en déduit par composition que f ( ) La droite d'équation y = est donc asymptote horizontale à la courbe ) Pour tout ] ; + [, ( ) f = e lim = + C f en + et puisque pour tout ] ; + [ e > et <, on aura : Pour tout ] ; + [, f ( ) <. La fonction f est donc strictement décroissante sur ] [ ) Puisque lim f ( ) = + et lim f ( ) =, on a, lim f ( ) ;lim f ( ) > + + > ;+. Puisque f est continue et strictement décroissante sur ] ;+ [, l'etension du corollaire du théorème des valeurs intermédiaires permet d'affirmer que l'équation f ( ) =, admet une unique solution α ] ; [ +. A l'aide de la calculatrice, on trouve qu'une valeur approchée de α à l'unité près est Correction de l'eercice n (retour à l'énoncé) = ) La fonction f est dérivable sur [ ;5 ] et pour tout [ ;5], f ( ) e + e Puisque [ ;5], on a : pour tout [ ;5], f ( ) > donc f est strictement croissante sur [ ;5 ] 5 Puisque f ( ) = + e = et f ( 5) e = +, le tableau de variation de f est : TVI - eercices corrigés Page 5/8 version du 9//7

16 TVI - eercices corrigés ) f ( ; ) f ( 5) et puisque f est continue et strictement croissante sur [ ] ;5, le théorème des valeurs intermédiaires affirme l'eistence et l'unicité d'une valeur α [ ;5] solution de l'équation f ( ) =. ) L'algorithme détermine un encadrement d'amplitude p de α 4) Il aurait fallu écrire alors f ( a ) > a + e > à la place de a + < car pour tout a [ ; α[ e on aurait Correction de l'eercice n (énoncé) ) Pour tout [ ; + [, f ( ), que lim + e e = et puisque lim = + (cours) on en déduit par quotient e + = donc par différence que f ( ) lim =, + ) Pour tout [ ; + [, f ( ) = u( ) v( ), avec u( ) u ( ) ( ) ( ) = =. v e v e Ainsi, ( ) = ( ) ( ) + ( ) ( ) = + ( ) = ( ) f u v u v e e e Puisque pour tout [ ; + [, e >, le signe de f ( ) sera donné par celui de ( ). Puisque ( ), f ( ) e f = et =, =,, on obtient ainsi le tableau e de signes de f ( ) donc de variations de f ) Sur l'intervalle [;], f est continue car dérivable et strictement croissante. Puisque f ( ) =, et f ( ) =, >, on a f ( ; ) f ( ) e. D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, il eiste une unique valeur α [ ;] telle que f ( α ) = calculatrice, on a, < α <,. D'après le tableau de valeurs édité par la = = et TVI - eercices corrigés Page 6/8 version du 9//7

17 TVI - eercices corrigés Correction de l'eercice n (retour à l'énoncé) ) lim = et limln ( ) = donc par somme lim f ( ) > lim + > > = + et lim ln ( ) = + donc par somme lim f ( ) = = + ) Pour tout ] ; + [, f ( ) = + = > donc f est strictement croissante sur ] ;+ [ ) a) Puisque f est continue et strictement croissante sur ] ;+ [ et puisque lim f ( ) ; lim f ( ), l'etension du corollaire du théorème des valeurs intermédiaires affirme + > l'eistence et l'unicité d'une solution α ] ; + [ à l'équation f ( ) = b) Grâce à la fonction "tableau de valeurs de la calculatrice, on a déduit que,4 < α <,5 Correction de l'eercice n (retour à l'énoncé) ) a) Pour tout [ ; + [, ϕ ( ) = 4ln + = 4ln = 4ln Puisque pour tout [ ; + [, ln, on en déduit par produit que pour tout [ ; [ 4ln, c'est-à-dire ϕ ( ), donc que la fonction ϕ est strictement décroissante sur [ ; + [ b) On a ( ) ϕ e = + e e ln e= e < De plus, ϕ ( ) = + ln = > Puisque ϕ est continue et strictement décroissante sur [ ; + [, et que ϕ( e) ; ϕ( ) +,, le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires affirme l'eistence et l'unicité d'une solution α [ ; e] à l'équation ϕ ( ) = A l'aide de la calculatrice, on trouve :,8 < α <,9 TVI - eercices corrigés Page 7/8 version du 9//7

18 TVI - eercices corrigés c) Puisque ϕ est strictement décroissante sur [ ; + [ et puisque ϕα ( ) = de signes de ϕ ( ) sur [ ; + [ :, on en déduit le tableau ) a) Pour tout [ ; + [, on a : + ln f ( ) = = = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ln + ln + + ln ϕ b) Puisque [ ; [ +, on a ( ) Grâce à la question ) c), on établit ainsi que : ( ) ( ) + > donc le signe de f ( ) est identique à celui de ( ) ϕ. Pour tout [ ; α ], ϕ ( ) donc f ( ) et pour tout [ α; + [, ϕ ( ) donc f ( ) La fonction f est donc strictement croissante sur [ ;α ] et strictement décroissante sur [ α ; + [ c) Puisque pour tout [ ; + [, puis que + ln f ( ) d) Puisque pour tout [ ; + [, f ( ). + +, on en déduit par passage à l'inverse que ln ln puis par multiplication par ln, que + théorème d'encadrement dit "des gendarmes", que f ( ) c'est-à-dire ln ln et puisque lim =, on en conclut, grâce au + lim = + TVI - eercices corrigés Page 8/8 version du 9//7