COURS N 2 : POLYNÔMES. par ², est appelée polynôme du second degré (ou encore trinôme du second degré).

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1 II- POLYNÔME DU SECOND DEGRÉ 1) Introduction Exemple : 2) Définition Définition : pour tous réels a, b et c avec a différent de 0. La fonction P définie sur par ², est appelée polynôme du second degré (ou encore trinôme du second degré). Exemples : Soit le polynôme P défini sur par ²712, on identifie alors les coefficients : a = 1, b = -7 et c = 12. Soit le polynôme R défini sur par 4², on identifie alors les coefficients : a = 4, b = 0 et c = 0. Soit le polynôme S défini sur par 1 ². S n est pas un polynôme du second degré. En effet : ²21²21. 3) Forme canonique Introduction : soit le polynôme du second degré A défini sur par sa forme factorisée : 1 9. a) Développer l expression. On obtient ainsi la forme développée de A(x) : ²89. b) Montrer que l expression 4 25 équivaut à l expression de A(x). En effet : 4 25²89. Cette dernière forme est appelée forme canonique. 1

2 Théorème : pour tous réels a, b et c avec a différent de 0, tout trinôme P défini sur par P(x) = ² peut se mettre sous la forme : ù é Démonstration : L objectif est de démontrer l égalité suivante : ² = Soit et deux réels : ² ² Pour obtenir l égalité A = B ci-dessus pour tout réel x, il suffit que et vérifient le 2 système : ² La résolution (par substitution) donne : ² On peut vérifier que : 2 ² 4 ² Ce qui prouve le théorème. A B Définition : l écriture est appelée la forme canonique du trinôme ². Exemple : écrire sous forme canonique le polynôme P défini sur par ² ² Remarque : cette forme canonique va nous servir au moins à quatre choses : dire si le trinôme possède ou non des racines, et lesquelles s il en a ; factoriser le trinôme lorsque ce sera possible ; connaître le signe du trinôme suivant les valeurs de x ; étudier les variations de la fonction f définie par f(x) = ax² + bx + c et tracer sa représentation graphique avec précision (coordonnées de l extremum). Applications : exos 5 ; 6 et 7 page 51 2

3 4) Représentation graphique et variations Propriété (admise) : dans le plan muni d un repère (O ; ; ), on note la courbe représentative de la fonction P définie sur par ², où a, b et c sont trois réels avec a différent de 0. est une parabole, translatée de la parabole d équation ². Son sommet S a pour abscisse = et pour ordonnée P(). Suivant le signe de a, on obtient le tableau des variations de la fonction P : Remarque : soit le trinôme P défini sur par sa forme canonique, avec a, et des réels, a non nul et. A partir de cette forme canonique, nous pouvons identifier l abscisse du sommet S de la parabole : 2 ² 4 Exemple : soit le polynôme P défini sur par ²89. A l aide du théorème précédent, déterminons le tableau de variation en précisant les coordonnées de son extremum. a est positif donc, P(x) admet un minimum d abscisse 2 4 et d ordonnée D où le tableau de variation suivant : x P(x) -25 3

4 5) Résolution d une équation du second degré Définition : pour tous réels a, b et c avec a différent de 0, et P la fonction définie sur par ². Le discriminant de P est le nombre réel, défini par : ². «Discriminant» car il permet de faire une discrimination entre les équations selon le nombre de leurs solutions. Exemple : soit le polynôme P défini sur par ²89. Son discriminant est : 8² Théorème : soit (E) : ² une équation du second degré où a est un nombre réel non nul, b, c sont deux nombres réels, et son discriminant. o Si 0, alors l équation (E) n a pas de solution dans. o Si, alors l équation (E) a une unique solution x 0 dans (appelée racine double), définie par : o Si 0, alors l équation (E) a dans deux solutions distinctes x 1 et x 2 définies par : Graphiquement : 4

5 Démonstration : Soit f la fonction définie sur par ², où a, b et c désignent des réels avec a 0. On a vu dans la démonstration précédente que : 2 ² 4 2 ² ² 4 4 Remarque : on rappelle que le calcul de est inutile pour des trinômes «incomplets» tel que x² - 2x = 0 ; x² - 5 = 0 On utilise alors des méthodes de résolutions nous donnant les solutions immédiatement. Exemples : Soit le polynôme P défini sur par ²89. Nous allons résoudre l équation P(x) = 0. Nous savons déjà que 100. Donc cette équation a deux solutions distinctes x 1 et x Donc : S = {-9 ; 1}. 5

6 Réponse à l exercice d introduction : soit le trinôme P défini sur par ²712. Nous avons alors : Soit le trinôme R défini sur par ²44. Nous pouvons mettre R sous la forme : 2², donc inutile de calculer le discriminant. Nous avons 2. Soit le trinôme T défini sur par 5²62. Nous avons 4, donc il n y a pas de racines réelles. 6) Factorisation d un trinôme du second degré a) Cas particuliers Polynôme du type a x² + bx : Soit le polynôme P défini sur par ², avec a et b des réels et a 0. Ce polynôme se factorise de façon évidente sous la forme :. Polynôme du type a x² + c : Soit le polynôme P défini sur par ², avec a et b des réels et a 0. dans. dans. 6

7 b) Cas général Théorème (admis) : pour tout polynôme P défini sur par P(x) = ², où a, b et c désignent des réels avec a 0, son discriminant et (E) l équation ax² + bx + c = 0. o Si 0, le polynôme P ne peut pas être factorisée dans. o Si, et si j appelle la racine double, pour tout réel x : ². o Si 0, et si j appelle et les deux solutions de (E), pour tout réel x : Remarque : attention de ne pas oublier le facteur a devant l expression! Exemples : Soit P le polynôme défini pour tout x de par ²89. L ensemble des solutions de l équation P(x) = 0 est {-9, 1} et, pour tout x de, P(x) = (x + 9)(x - 1). Soit T le polynôme défini pour tout x de par T(x) = 5x² +20x +20. L ensemble des solutions de l équation T(x) = 0 est {-2} et, pour tout x de, T(x) = 5(x + 2)². 7) Signe d un trinôme du second degré Théorème : pour tout polynôme P défini sur par P(x) = ², où a, b et c désignent des réels avec a 0, son discriminant et (E) l équation ax² + bx + c = 0. o Si 0, alors a le même signe pour toute valeur de x : il est du signe de a. o Si, alors, pour tout réel x différent de, est du signe de a. o Si 0, si j appelle et les deux solutions de (E), et si on suppose, alors : pour tout réel x tel que,,, P(x) a le signe de a ; pour tout réel x tel que,, P(x) a le signe de a ; 7

8 Démonstration : Exemple : soit le polynôme P défini sur par ²89. D après la forme factorisée de P(x) et du théorème précédent nous en déduisons le tableau de signe de P. Forme factorisée : P(x) = (x + 9)(x - 1). Tableau de signe : x (x + 9) (x 1) P(x) ) Résumé Soit P la fonction polynôme du second degré défini sur par P(x) = ², où a, b et c désignent des réels avec a 0 et son discriminant. 8

9 Ensemble de solutions Factorisation Pas de solution dans. Pas de factorisation. Une solution double : 2 Si x 0 désigne la racine double : ² Deux solutions distinctes : ; 2 2 Si x 1 et x 2 désignent les eux racines : On suppose x 1 < x 2. 0 Signe de P(x) x - + P(x) + x - x 0 + P(x) x - x 1 x 2 + P(x) On suppose x 1 < x 2. Signe de P(x) x - + P(x) - x - x 0 + P(x) x - x 1 x 2 + P(x) Exemple : soit le trinôme T défini sur par 2² Calcul du discriminant : Calcul des racines du trinôme : 0, le trinôme a deux racines distinctes : Représentation graphique : o a > 0 donc c est une parabole tournée vers le haut. o Les coordonnées de son sommet sont : S(x S ; y S ) tel que 9

10 , ,1 o Enfin on peut déterminer le signe de T(x) : ; 3 7 ; ;

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