Un objet mathématique fondamental est le groupe symétrique.

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1 CHAPITRE 14 Groupe symétrique Un objet mathématique fondamental est le groupe symétrique Définition Soit n 1. Le groupe symétrique de degré n est l ensemble des bijections de {1, 2, {1, 2,, n}. Une telle bijection s appelle une permutation., n} dans La notation pour le groupe symétrique est S n Théorème Le groupe symétrique S n est un groupe sous la composition des fonctions. Cette démonstration est laissée au lecteur. Regardons plutôt comment on représente une permutation. Prenons n 5; alors la permutation définie par (1) 2, (2) 4, (3) 5, (4) 1, (5) 3 est représentée par , ou plus simplement par L inverse de est ou L élément neutre est la fonction identité de {1, 2, 3, 4, 5}, Prenons Alors On a évidemment , c est-à-dire l identité Théorème Il y a n! permutations dans S n. Toute permutation dans S n se représente de manière unique par un mot i 1 i 2 i n, où {i 1,, i n } {1, 2,, n} ; les i j sont distincts et leur ensemble est exactement {1, 2,, n}. On a donc n choix pour i 1, puis n 1 choix pour i 2, etc. Donc le nombre de permutations est n(n 1) 2 1 n!. u Par exemple, S 3 {123,132,213,231,312,321} a 6 éléments. 129

2 14.4 Définition Une inversion d une permutation S n est un couple ( (i), ( j)) tel que i j et (i) ( j). Le nombre d inversions de est noté ( ). Par abus, on écrira simplement (i) ( j). Par exemple, les inversions de sont 21, 41, 43, 51, 53 : il y en a 5, donc ( ) Définition Une transposition adjacente est une permutation dans S n qui échange deux valeurs consécutives i et i 1 dans S n, i.e telle que (i) i 1, (i 1) i et ( j) j si j {1,, n}\{i, i 1} Théorème Soit une permutation dans S n et la transposition adjacente qui échange i et i 1. Soit. Alors a une inversion de plus ou de moins que, selon que (i) (i 1) ou (i) (i 1). Prenons par exemple 24513et qui échange 3 et 4. Alors (i.e on a échangé les 3ème et 4ème nombres dans, à savoir 5 et 1); comme (3) 5 1 (4), a une inversion de moins : en effet, les inversions de sont les mêmes que celles de, sauf 51. Écrivons a 1 a 2 a n. On a alors a 1 a 2 a i 1 a i a n, i.e s obtient à partir de en y échangeant le i-ème et le (i 1) -ème nombre. Si (i) (i 1), i.e a i a i 1,a i a i 1 n est pas une inversion de, et a i 1 a i est une inversion de. Si par contre a i a i 1, alors a i a i 1 est une inversion de, et a i 1 a i n est pas une inversion de. Comme toute autre inversion de se retrouve dans, et vice-versa, le théorème s en déduit. u 14.7 Corollaire Toute permutation est un produit de ( ) transpositions adjacentes. 130

3 Par récurrence sur ( ). Si ( ) 0, est l identité, qui correspond au produit vide. Supposons ( ) 0. Alors on ne peut pas avoir (1) (2) (n). Il existe donc i tel que (i) (i 1). Soit la transposition adjacente qui échange i et i 1 et. D après le th. 14.6, ( ) ( ) 1, donc est, par hypothèse de récurrence, égal à un produit de ( ) 1 transpositions adjacentes. Donc 1 (car 1 ) est un produit de transpositions adjacentes. La preuve ci-dessus est parfaitement algorithmique. Écrivons (i, i 1) pour la transposition adjacente qui échange i et i 1 et regardons On a (3,4) ; (2,3), (1,2); (4,5); (3,4) (3,4). D où , (2,3) (3,4) (3,4) (4,5) (1,2) (2,3) (3,4). ( ) u 14.8 Corollaire Soit : S n { 1,1}, ( ) ( 1) ( ). Alors est un homomorphisme de S n dans le groupe multiplicatif { 1,1} ; il est surjectif si n 2. On appelle ( ) la signature de. Pour montrer que est un homomorphisme, il suffit de montrer que ( ) ( ) ( ) mod.2 ; en effet, on aura alors ( ) ( 1) ( ) ( 1) ( ) ( ) ( 1) ( ) ( 1) ( ) ( ) ( ). 131

4 Démontrons donc cette congruence par récurrence sur ( ). Si ( ) 0, il n y a rien à montrer. Si ( ) 0, nous pouvons écrire où (i, i 1) et ( ) ( ) 1 (th. 14.6). Alors par hypothèse de récurrence ( ) ( ) ( ) mod.2. Par ailleurs, le th montre que ( ) a une inversion de plus ou de moins que. Donc ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( )mod.2, ce qui démontre la congruence. Si n 2, on a ( ) 1, pour (1, 2), et est surjective. u 14.9 Corollaire Si n 2, le noyau de est un sous-groupe normal de S n, qui a n!/2 éléments. Ce groupe s appelle le groupe alterné, noté A n ; les permutations de signature 1 sont appelées paires, les autres impaires. A n est un sous-groupe normal d après le th Si n 2, S n est la réunion disjointe des deux sous-ensembles A n et S n \ A n, qui ont autant d éléments l un que l autre ( (1, 2) est une bijection de A n dans S n \ A n ). Donc A n n!/2, d après le th u Définition Un cycle de longueur k 2 est une permutation dans S n telle qu il existe k entiers distincts j 1,, j k dans {1,, n} vérifiant : ( j 1 ) j 2, ( j 2 ) j 3,, ( j k 1 ) j k, ( j k ) j 1, et i {1,,n} \{ j 1,, j k }, (i) i. On appelle { j 1,, j k } l orbite du cycle. Deux cycles sont dits disjoints si leurs orbites sont disjointes. Une transposition est un cycle de longueur 2. Une permutation circulaire dans S n est un cycle de longueur n. Par exemple, est un cycle de longueur 4, d orbite {1, 2, 4, 5}, puisque (1) 2, (2) 4, (4) 5, (5) 1 et que (3) 3. On représente le cycle par ( j 1, j 2,, j k ), avec les notations de la définition Ainsi, le cycle ci-dessus se représente par (1, 2, 4, 5) ; mais aussi par (2, 4,5,1), (4,5,1, 2) ou (5, 1, 2, 4). La 132

5 permutation est une transposition, puisque c est le cycle (2,4), et est la permutation circulaire (1, 3,5, 4, 2) Théorème Toute permutation s écrit de manière unique comme un produit de cycles deux à deux disjoints. Nous n allons pas démontrer ce théorème, mais l illustrer par la décomposition d une permutation particulière. Prenons dans S 9. Nous partons de 1 et écrivons les images sous, 2, etc. jusqu à ce qu on retrouve 1 : (1) 7, (7) 4, (4) 1. Ceci nous donne le cycle (1, 7, 4). Continuant avec 2, le plus petit entier qui n est pas apparu jusqu ici, nous voyons que (2) 2, i.e 2 est point fixe de. Nous continuons avec 3 : (3) 9, (9) 6, (6) 8, (8) 3, ce qui nous donne le cycle (3, 9, 6, 8). Le seul nombre qui reste est 5, qui est point fixe. D où la décomposition (1, 7, 4) (3, 9, 6, 8). On remarque que deux cycles disjoints commutent. On peut donc écrire (3, 9, 6, 8) (1, 7, 4), et c est à cette commutation près qu il y a unicité de la décomposition en cycles. Remarquons que pour n 3,S n n'est pas commutatif; en effet, les transpositions 1,2 et 2,3 ne commutent pas. Exercices résolus 1. Décomposer en cycles disjoints les permutations suivantes : , , Montrer que l inverse d un cycle de longueur k est un cycle de longueur k; comment obtienton sa représentation? 3. Combien y a-t-il de permutations circulaires dans S n? 4. Combien y a-t-il de transpositions dans S n? 133

6 5. Quel est le nombre d inversions de la permutation n(n 1)(n 2) 21 de S n? Montrer que c est le nombre maximum d inversions d une permutation dans S n. 6. Quel est l ordre d un cycle de longueur k (cf. exercice 13.19)? Quel est l ordre de (123)(45)? de (12)(34)(5678)? 7. Vérifier que {id, (12) (34), (13) (24), (14) (23)} est un sous-groupe de S 4. *8. Vérifier que si l on note i (i,i 1), alors i j 2 i j j i, i j 1 i j i j i j, i j 0 i j id. 9. Deux éléments g, g d un groupe G sont dits conjugués s il existe x dans G tel que g xgx 1. Montrer que la conjugaison est une relation d équivalence. Les classes sont appelées classes de conjugaison. 10. Montrer qu un sous-groupe H de G est normal si et seulement s il est réunion de classes de conjugaison. *11. Soit S n et le cycle de longueur k : ( j 1,, j k ). Montrer que 1 est le cycle ( ( j 1 ),, ( j k )). Exercices non résolus 12. Montrer que deux cycles de longueur k sont conjugués dans S n (utiliser l ex. 11). *13. Généralisant l exercice 12, montrer que deux permutations, sont conjuguées dans S n si et seulement si : k, et ont le même nombre de cycles de longueur k dans leur écriture en cycles disjoints. *14. On définit la table d inversions T( ) de S n par T( ) (a 2,, a n ), où : a k nombres d inversions ( (i), ( j)) avec (i) k. Montrer que T( ) est injectif, d image E {( a 2,, a n ) N n 1 i, 0 a i i 1}. 15. On considère l alphabet A { a 1,, a n } à n lettres. Soit S n. On définit une action à gauche de S n sur A par (a i1 a i k ) a (i k ). Vérifier que c est bien une action. Pour 134

7 w A, soit Alph(w) {a A w contient la lettre a}. Montrer que le stabilisateur de w est { S n a i Alph(w), (i) i}. 16. Décomposer la permutation en produit de cycles disjoints et trouver l ordre de dans S Soit H {id, (1, 2)} et K { id, (1, 2, 3), (1, 3, 2)} des sous-groupes de S 3. a) Trouvez-en les classes à gauche et à droite. b) Sont-ils normaux? 18. Pour le groupe H de l exercice 7, écrire les six classes à droite (resp. à gauche) de H dans S 4. Ce sous-groupe est-il normal? 19. Soit H { S 8 (8) 8} S 8. a) Prouver que H est un sous-groupe de S 8. b) Trouver l indice de H dans S 8 (cf. ex ). c) Combien y a-t-il dans H d éléments d ordre 7? d) Est-ce que H est normal dans S 8? *20. Montrer que le groupe S n est engendré par les deux permutations (1, 2) et (1, 2,, n), c est-à-dire que toute permutation s écrit comme un produit ne comportant comme facteurs que ces permutations. Aide : Calculer (1, 2,..., n) i (1, 2)(1, 2,..., n) n i, et utiliser le cor Soit a et b (12345)(159)(249) dans S Calculer les ordres des éléments a, b, a b, b a, a 1974 et b Attention : les cycles ci-dessus ne sont pas disjoints. 22. Considérons les deux permutation suivantes dans S 9 : , a) Écrire et comme produits de cycles disjoints. b) Trouver l ordre de et de. c) Écrire et comme produit de transpositions. d) Dire si et sont paires ou impaires. 135

8 *23. Soit G l' ensemble des fonctions {x,1 x,1 x, 1 (1 x), (x 1) x, x (x 1)} avec la composition. Prouvez que G est isomorphe à S 3. Aide : S 3 est isomorphe à S A où A { 0, 1, }. 136