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1 Intégral des leçons Cours de cinquième Ce document regroupe les versions imprimables des leçons de cinquième. c

2 Chapitre 1 Statistiques

3 I. Les classes

4 Lorsqu'un problème comporte beaucoup de données, il peut être utile de regrouper les valeurs : on obtient alors des classes de valeurs. Exemple - On considère la série des notes sur 10 suivante : On peut regrouper ces valeurs dans un tableau : Notes Entre 1 et 5 Entre 6 et 10 Eectifs 15 12

5 II. Les fréquences

6 1. Dénition - La fréquence d'une valeur ou d'une classe est le quotient de son eectif et de l'eectif total de la série. Exemple - On lance une pièce 20 fois et on obtient Pile 14 fois. 14 Sa fréquence est = 0, Remarque - Pour obtenir une fréquence en pourcentage, il sut de multiplier la fréquence par 100. Dans l'exemple précédent, Pile a pour fréquence 0, = 70%.

7 2. Propriété - La fréquence d'une valeur (ou d'une classe) est toujours comprise entre 0 et 1. - La somme des fréquences des valeurs (ou des classes) est toujours 1. Exemple - Reprenons le problème des notes, et calculons les fréquences. Notes Entre 1 et 5 Entre 6 et 10 Eectifs Fréquences On remarque que = = 1.

8 III. Diérentes représentations

9 1. Graphique cartésien - On étudie l'évolution des ventes de crayons dans un hypermarché

10 On utilise le graphique pour compléter le tableau suivant : Nombre de crayons

11 2. Diagramme en bâtons - On étudie les saisons de naissance des élèves d'une classe de cinquième Printemps Été Automne Hiver

12 On peut utiliser le diagramme pour compléter le tableau : Printemps Été Automne Hiver Eectifs Fréquences Pourcentages = 20% = 40% = 10% = 30%

13 3. Diagramme semi-circulaire - On étudie les ventes de cahiers d'une papeterie. Grand format Petit format Format standard 34% 16% 25% 25% Autres formats

14 Pour calculer la mesure des angles, on utilise la proportionnalité. Format standard Grand format Petit format Autres formats Pourcentages 34% 16% 25% 25% Angles = 61, 2 = 28, 8 = 45 = 45

15 Chapitre 2 Cylindres et prismes

16 I. Les cylindres

17 1. Vocabulaire Hauteur Face latérale Base circulaire Centre de la base La face latérale est un rectangle, ayant pour dimensions la périmètre de la base et la hauteur.

18 2. Propriétés Un cylindre compte 3 faces, 2 arêtes et aucun sommet. Les deux bases sont des disques superposables. L'aire de la surface latérale est A = π d h où : d est le diamètre du disque de base du cylindre. h est la hauteur du cylindre.

19 3. Un patron

20 4. Calcul du volume Le volume d'un cylindre est : V = π r 2 h où : r est le rayon du disque de base du cylindre. h est la hauteur du cylindre. Exemple - Imaginons une boîte de conserve de rayon 5 cm et de hauteur 4 cm. Son volume est : V = π cm 3

21 5. Calcul de la surface La surface d'un cylindre est la somme des aires de ses trois faces. Exemple - Imaginons une boîte de conserve de rayon 5 cm et de hauteur 20 cm. Calculons l'aire des faces : En rouge : π , 5 cm 2 En bleu : π , 3 cm 2 La surface de la boîte est donc environ : S = 78, , , 3 = 785, 3 cm 2

22 II. Les prismes

23 1. Vocabulaire Hauteur Face latérale Base Centre de la base Les faces latérales sont des rectangles : on dit que le prisme est droit.

24 2. Propriétés On note n le nombre de côtés de la base. Un prisme compte n + 2 faces, 3n arêtes et 2n sommets. Les deux bases sont superposables. Lorsque la base est un rectangle, le prisme est un parallélépipède.

25 3. Un patron

26 4. Calculer le volume Le volume d'un prisme est : V = A h où : A est l'aire de la base d'un prisme. h est la hauteur du prisme. Exemple - Imaginons une prisme de hauteur 10 cm ayant pour base un carré de 5 cm de côté. Son volume est : V = = 250 cm 3

27 5. Calcul de la surface La surface d'un prisme est la somme des aires de ses faces. Exemple - Imaginons un prisme de hauteur 7 cm ayant pour base un rectangle de longueur 4 cm et de largeur 2 cm. Calculons l'aire des faces : En rouge, la base : 2 4 = 8 cm 2 En bleu : 2 7 = 14 cm 2 En vert : 4 7 = 28 cm 2 La surface de la boîte est donc : S = = 100 cm 2

28 III. Diérentes bases

29 1. Le carré Aire du carré : A = c c = c 2

30 2. Le rectangle Aire du rectangle : A = b h

31 3. Le losange Aire du losange : A = b d 2

32 4. Le triangle Aire du triangle : A = b h 2 Lorsque le triangle est rectangle, il n'est pas utile de tracer une hauteur.

33 5. Le disque Aire du disque : A = π r r = π r 2

34 Chapitre 3 Calculs numériques

35 I. Priorités opératoires

36 1. Additions et soustractions Dans une expression ayant uniquement des additions et des soustractions, on eectue les calculs de gauche à droite. On peut déplacer les additions au début de l'expression pour faciliter le calcul. Exemples : A = A = A = 11 B = B = B = 9 7 B = 2

37 2. Multiplications et des divisions Dans une expression ayant uniquement des multiplications et des divisions, on eectue les calculs de gauche à droite. On peut déplacer les multiplications au début de l'expression pour faciliter le calcul. Exemples : C = C = 28 7 C = 4 D = D = D = 30 3 D = 10

38 3. Règle de priorités Dans une expression contenant les quatres opérations, on eectue les multiplications et les divisions avant les additions et les soustractions. On dit que les multiplications et les divisions sont prioritaires. Exemples : E = E = E = 22 F = F = 80 2 F = 78

39 G = G = G = 43 H = H = H = 17 I = I = I = 11 J = J = 12 4 J = 8

40 II. Parenthèses

41 1. Régle des parenthèses Les parenthèses sont prioritaires sur toutes les opérations. Exemples : A = (4 + 5) 3 A = 9 3 A = 27 B = (10 (4 + 2)) 3 B = (10 6) 3 B = 4 3 B = 12

42 2. Conventions Souvent, les très grandes parenthèses sont remplacées par des crochets. Il n'est pas nécessaire de noter les multiplications devant les parenthèses. Exemples : C = 4(3 + 2) C = 4 (3 + 2) C = 4 5 C = 20 D = (3 + 7)(4 3) D = (3 + 7) (4 3) D = 10 1 D = 10

43 III. Distributivité

44 1. Règle de la distributivité On considère trois nombres k, a et b. Alors k (a + b) = k a + k b On dit que k est un facteur commun.

45 2. Développer Lorsqu'on développe un calcul, on cherche à les opérations plus simplement. décomposer un nombre pour faire Exemples A = A = 32 ( ) A = A = A = 3232 B = B = ( ) 43 B = B = B = 43043

46 3. Factoriser Lorsqu'on factorise un calcul, on cherche un opérations plus simplement. facteur commun pour faire les Exemples C = C = 8 (91 + 9) C = C = 800 D = D = ( ) 7 D = D = 7000

47 Chapitre 4 Les symétries

48 I. Deux symétries

49 1. La symétrie axiale Deux points A et A sont symétriques par rapport à une droite (d) si (d) est la médiatrice du segment [AA ]. On dit aussi que A est l'image de A par la symétrie d'axe (d).

50 2. La symétrie centrale Deux points B et B sont symétriques par rapport à un point O si O est le milieu du segment [BB ]. On dit aussi que B est l'image de B par la symétrie de centre O.

51 3. Propriété Lorsqu'on enchaine deux symétries d'axes perpendiculaires, on obtient une symétrie centrale. Le centre de cette symétrie est le point d'intersection des deux droites.

52 II. Invariance par symétrie

53 1. Les quadrilatères Parallélogramme Losange Axes de symétrie : 0 Centre de symétrie : 1 Axes de symétrie : 2 Centre de symétrie : 1

54 Rectangle Carré Axes de symétrie : 2 Centre de symétrie : 1 Axes de symétrie : 4 Centre de symétrie : 1 Un carré étant à la fois un losange et un rectangle, il dispose du centre et de tous leurs axes de symétrie.

55 2. Les triangles Triangle équilatéral Triangle isocèle Axes de symétrie : 3 Centre de symétrie : 0 Axes de symétrie : 1 Centre de symétrie : 0 Le triangle équilatéral possède de nombreux axes, mais aucun centre de symétrie car les axes ne sont pas perpendiculaires.

56 Triangle rectangle Axes de symétrie : 0 Centre de symétrie : 0

57 3. Le cercle Axes de symétrie : une innité Centre de symétrie : 1

58 4. Conclusion Une gure peut avoir plusieurs axes de symétrie. Par exemple : le cercle. Une gure ne peut pas avoir plusieurs centres de symétrie. Une gure peut avoir un centre de symétrie sans aucun axe de symétrie. Par exemple : le parallélogramme. Une gure peut avoir un axe de symétrie sans aucun centre de symétrie. Par exemple : le triangle isocèle.

59 III. Image par symétrie

60 1. Une droite Symétrie axiale Symétrie centrale L'image d'une droite par une symétrie est une droite. Dans le cas d'une symétrie centrale, les droites sont parallèles.

61 2. Un segment Symétrie axiale Symétrie centrale L'image d'un segment par une symétrie est un segment de même longueur.

62 3. Un cercle Symétrie axiale Symétrie centrale L'image d'un cercle par une symétrie est un cercle de même rayon, de même circonférence et de même aire. Les centres des cercles sont symétriques.

63 4. Conclusion L'image d'une gure par une symétrie axiale ou centrale conserve : La longueur des côtés. Le parallèlisme des côtés. La mesure des angles. La mesure du périmètre et de l'aire.

64 FIN.