Corrigé du baccalauréat S Amérique du Nord 31 mai 2012

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1 Corrigé du baccalauréat S Amérique du Nord mai Eercice Notons p la probabilité que le membre choisi au hasard soit une femme. L arbre de probabilités correspondant à la situation est : p p. =. C est une réunion d événements incompatibles, donc : p=p + p =p p+ p p. Par conséquent : p=p + p = p+ = p+ On sait que p=,=. On en déduit : p+ = p = = d où p = = 5. La probabilité de l événement est : p= 5. p = p p = p = p = 5p 6 = = 6 = ; p =. a Soit N la variable aléatoire donnant le nombre de membres adhérant à la section tennis parmi les membres choisis. Nous avons répétition d une epérience aléatoire à deu issues, identique et indépendante. N suit donc la loi binomiale de paramètres n= nombre d épreuves et p = : N B ;. On sait alors que pn = k= k k = k k D où : pn = =,7 = 5,66. b Cette fois, N suit la loi binomiale B n ;. n p n = pn = pn = = k,7 k. 7 n 7 n 7 n = : p n =. c p n,99,,7 n ln, nln,7 en appliquant la fonction ln qui est croissante d où n ln, ln,7.9. Il faut que n soit supérieur ou égal à pour que p n soit supérieur à,99. Amérique du Nord correction Page /5 mai

2 . a Le nombre de tirages possibles de deu jetons est = 95. X peut prendre les valeurs 5 deu jetons gagnants, 5 un seul jeton gagnant et -5 deu jetons perdants. px = = = 5 95 =. 9 px = = = 5 95 = 89 px = = px = + px = ]= + 89 = 9 = =. La loi de probabilité de X est donc : Eercice i p X = i b L espérance est EX = i p X = i = 5 89 i = =. EX =. Cela signifie qu en moyenne, sur un grand nombre de partie, le joueur perd euro par partie. : Restitution organisée des connaissances On effectue un changement de variable, en possant X = ln ; alors = e X. Lorsque tend vers+, X tend aussi vers+. Par conséquent : lim + ln = lim X + X e X = lim X + e X X = d après le rappel.. Soit g la fonction définie sur ; = ] par g = +ln. g est dérivable sur ; + ] comme somme de fonctions dérivables. Pour tout ; +, g =+ > somme de nombres positifs. g est donc croissante sur ; +. g =. Le tableau de variation de g est donc : + g + g Le minimum de g est, donc g est positif pour tout ; +.. a f est dérivable sur ; + comme somme et quotient de fonctions dérivables sur ; +. ] Pour tout ; +, f ln = = ln = +ln = g donc f = g. b Comme > sur ; +, f est du signe de g, donc positif sur ; + avec f =. c Pour tout ; +, f = ln. ln D après la partie A, lim = donc lim f ]=. + + La droite D d équation y = est donc asymptote à C au voisinage de+. d Pour tout i n ; +, f = ln < car ln et >. La courbe C est donc en dessous de son asymptote D avec intersection en =.. a On a donc M k N k = y Nk y Mk = lnk k. Amérique du Nord correction Page /5 mai

3 b L algorithme est : VARIABLES k ES_DU_YPE NOMBRE DEBU_ALGORIHME k PREND_LA_VALEUR 5 AN_QUE logk/k>. AIRE 6 DEBU_AN_QUE 7 k PREND_LA_VALEUR k+ 8 IN_AN_QUE 9 AICHER k IN_ALGORIHME Eercice. Pour tout ; ], f = >, donc f est croissante sur ; ]. +. Soit g la fonction définie sur ; π ] par g = f tan. a g est dérivable sur ; π ] comme composée de fonctions dérivables. g =tan f tan= +tan +tan =. g = b Puisque g = sur ; π ], g = + k, k R. g = f tan= f = donc k =, d où g =. f = f tan π = g π = π car g =.. f est croissante sur ; ]. f = et f = π donc, pour tout ; ], f π Soit I n la suite définie par I =. I = f d= f ] d. ] f d et, pour tout entier naturel n non nul, I n = n f d. On pose u =. u et f sont continues, donc on peut effectuer une intégration par parties : f ] d= u f = uf ] uf d= f ] = f ln+ = π ln. + d. a Pour tout ; ], n f produit de fonctions positives, donc I n positivité de l intégrale. b Pour tout ; ], f π, donc I n = n π f d n d= π n d= π n+ ] n+ = π n+ = π n+. π Pour tout n, I n n+ c lim =, donc, d après le théorème des gendarmes, lim n + n+ I n = n + Amérique du Nord correction Page /5 mai

4 Eercice pour les candidats n ayant pas suivi l enseignement de spécialité Le plan complee est rapporté à un repère orthonormal direct O ; u ; v. On considère l application f du plan dans lui même qui, à tout point M d affie z, associe le point M d affie z telle que : z = z. On note Ω le point d affie.. f M= M z = z z z = zz = z { ; }. Γ = {O ; Ω}. Soit A le point d affie a= i. a a= i donc a = i = =. On en déduit a= i = e i π. b On cherche les antécédents de A, c est à dire les points d affie z tels que z = a. Posons z = r e iθ. Alors z = r e iθ. On doit avoir r = donc r = car r >. θ= π + kπ, k Z donc θ= π 8 + kπ. On prend θ= π 8 et θ= 7π 8. On trouve z = e i π 8 et z = e i 7π 8 = e i π 8 = z. Les deu points ont pour affie z = e i π 8 et z = z.. On cherche z tel que z ir z ir. On pose z= + iy ; alors z = y + i y. z ir y = +y y= y = ou y =. Γ est la réunion des deu droites d équation y = et y =.. Dans cette question, on souhaite déterminer l ensemble Γ des points M distincts de Ω pour lesquels le triangle ΩM M est rectangle isocèle direct en Ω. a L écriture complee de la rotation de centre Ω et d angle π est : z z Ω = e i π z zω z = iz z = iz +. avec z, car M Ω Or z = z donc z = iz + d où z iz +i=. b Pour tout z C, z z+ i=z + iz z +i=z iz +i donc : z iz +i=z z+ i c z iz +i= z z+ i= z z+ i=. Dans C, un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l un des facteurs est nul. Les solutions sont z= et z = +i. Or z donc Γ est constitué de l unique point d affie +i. 5. Soit M un point d affie z différente de et de. a Pour z et z, OM, OM z z = arg = arg z z b Les points O, M et M sont alignés si, et seulement si, = argz. On en déduit que Γ est l ae des réels, privé des points de O et de Ω. OM, OM = +kπ, k Z donc argz=kπ. Amérique du Nord correction Page /5 mai

5 Eercice pour les candidats ayant suivi l enseignement de spécialité. z = 5iz+ 6i+; l écriture complee est de la forme z = az+ b, donc il s agit d une similitude directe de rapport a =5, d angle arg5i= π. Le point fie Ω a pour affie ω= b a = 6i+ 5i = +i.. Avec les notations de l énoncé, on a : z = + iy = 5i+ iy+6i+ d où { = 5y+ y = a Soit l équation a + b = 5 ; Le couple 5 ; -5 est un couple solution. On en déduit a 5= b 5. et - sont premiers entre eu. D après le théorème de Gauss, divise a 5 d où a 5=k, k Z. Alors b 5=k. L ensemble des solutions est S = {5+k ; 5 k, k Z}. b + y = 7 5y ++ = 7 y+ = 5 ; voir alors solutions précédentes. On veut que M E. On doit avoir 5+k 5 et 5 k 5. On en déduit k = ou k =. Il y a donc deu couples solutions ; - et - ;.. a + y = 5y = 5y+ 5+ 5] donc + y est un multiple de 5. b y + y = y ]. y = y + y. Si y ], alors divise y + y. Il est facile de montrer que divise l un des facteurs sinon, les deu facteurs sont congrus à modulo, donc leur produit aussi. On en déduit que y ] et + y ]. c Si y =, alors + y et y sont des multiples de d après ce qui précède. y = d et + y = d donc y + y =dd = donc dd = 5. 5 est premier. On regarde alors toutes les possibilités : On a alors : d = ou d = 5 d = 5 ou d = d = ou d = 5 d = 5 ou d = On obtient alors respectivement : y = et + y = d où = 6 et y =. y = et + y = d où = 6 et y =. y = et + y = d où = 6 et y =. y = et + y = d où = 6 et y =. Si = 6 et y =, alors 6= 5y+ et =5+ 5 d où y = 5 et = 5. M E Si = 6 et y =, alors 6= 5y+ et =5+ 5 d où y = et =. M E 5 Si = 6 et y =, alors 6= 5y+ et =5+ 5 d où y = et =. M E Si = 6 et y =, alors 6 = 5y + et = 5+ 5 d où y = et = M E. Il n a donc qu une seule 5 solution : ; Amérique du Nord correction Page 5/5 mai