Géométrie analytique

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1 Mathématiques aux lycées Site Web : ème Sc et Inf Géométrie analytique Exercice 1 Démontrer que si les deux vecteurs u( x ; y) nul Exercice et v( x ' ; y') sont colinéaires alors leur déterminant est Soit A un triangle quelconque A le milieu de [], G le centre de gravité du triangle, D et E 1 1 les points tels que D A et E A On note I le milieu de [DE] 1 a Montrer que AI A A b Exprimer AA' en fonction de A et A c Démontrer que les points A, A et I sont alignés Démontrer que le point G est le milieu de [AI] Prouver que les droites () et (ED) sont parallèles Exercice Soit un triangle A 1 onstruire les points D et E vérifiant : AD A et AE A Montrer que D A Que peut-on en déduire géométriquement? Montrer que E A Déduire de cette égalité et de la précédente que E, et D sont alignés Soit I le milieu de [A] Justifier que A I Qu en déduire pour les droites (AE) et (I)? Exercice 1 En utilisant les informations données sur le dessin, déterminer une équation de chacune des droites ci-dessous (on donnera des valeurs exactes, pas de justification) (d1) : (d) : (d) : Les droites (d) et (d) sont elles parallèles? Pourquoi? Géométrie analytique Page 1

2 (d1 ) 6 5 y (d ) 1 (d ) x Exercice 5 Le but de l exercice est de construire un triangle A à l intérieur d un triangle A de sorte que - A est le milieu de [ ], - est le milieu de [A ], - est le milieu de [A ] A Géométrie analytique Page

3 On choisit le repère A ; A, A : les coordonnées de A sont donc (0 ; 0), celles de (1 ; 0) et celles de (0 ; 1) On pose les coordonnées de A : ( a; a '), celles de ( b; b ') et celles de : ( c; c ') c1a a b b c 1 a Montrez que puisque et c' a' a' 1 b' b' c' c1a b Résoudre le système d inconnues a, b et c : a b b c c Résoudre un système similaire d inconnues a, b et c A l aide des résultats précédents montrez les relations suivantes : 1 AA ' A A A' A A 1 A ' A A Utilisez ces relations pour construire les points A, et sur la figure jointe (les vecteurs de construction doivent apparaître) Vérifiez que A ' ' ' à l aide des relations du Qu en concluez-vous? Ecrivez deux autres relations que vous pourriez obtenir de la même manière 5 urieusement les triangles A et A ont l air semblables sur la figure Qu en pensez-vous? Exercice 6 Dans le repère orthonormé ( O ; i, j) on donne les points A( ; ) et ( ; ) a Tracez la droite (A) et expliquez comment obtenir une équation de cette droite par simple lecture graphique b Déterminez par le calcul une équation de la droite (A) c Déterminez une équation de la droite (D) parallèle à (A) et passant par le point (0 ; ) d Déterminez une équation de la médiane issue de A dans le triangle A Géométrie analytique Page

4 Exercice 7 Dans le plan rapporté à un repère orthonormé ( O ; i, j), on considère les points A( ; ), ( ; 1), ( ;8) et H( ; ) 1 Faire une figure et montrer que les points, et H sont alignés a alculer les distances AH, H et A b Démontrer que le triangle AH est rectangle en H alculer l aire du triangle A Soit (D) la droite qui passe par A et qui est parallèle à () a Déterminer le coefficient directeur de () ou un vecteur directeur de () b Déterminer une équation de (D) c Le point 5 E 7; appartient-il à (D)? d Quelle est l aire du triangle E? Exercice 8 On définit trois droites de la manière suivante : * (D 1 ) passe par A( ; 1) et a pour coefficient directeur ; * (D ) passe par (0 ; ) et ( ; 0) ; * (D ) est parallèle à l axe (Oy) et passe par 1 Représenter ces trois droites Ecrire une équation de chacune de ces droites Déterminer leur(s) point(s) d intersection deux à deux Sont-elles concourantes? Exercice 9 (Tous les résultats devront être justifiés par calcul!) Placer dans un repère orthonormal les points A(0 ; 1), ( ; ) et ( ; 5) 1 A est-il sur la médiatrice de []? Quelle est la nature du triangle A? Quelles doivent être les coordonnées de D pour que AD soit un carré? Placer D Montrer que I, le milieu de [A], appartient au cercle de centre et de rayon 5 Placer I Géométrie analytique Page

5 5 Soit les points E(000 ; 1000) et F(000 ; 1001) Lequel de ces deux points appartient à la droite (A)? 6 Soit G(996 ; 00) et H(996 ; 005) Laquelle des droites (G) ou (H) est parallèle à la droite (A)? Exercice 10 Soit un repère orthonormé ( O ; i, j) (0 ; ), ( ; ) et ( ; 0) dans lequel on place le carré OA où A a pour coordonnées 1 E le milieu de [] et F le point tel que ( ; ) et celles de F ; 0 F O ; montrer que les coordonnées de E sont alculer les longueurs AE, AF et FE ; montrer que le triangle AFE est rectangle isocèle Soit (d) la droite passant par O et parallèle à (AE) et (d ) la droite (F) Déterminer une équation de (d) et une équation de (d ) ; calculer les coordonnées de leur point d intersection I Tracer (d) et (d ) et contrôler graphiquement votre résultat On admet que I a pour coordonnées 8 ; Soit G le point d ordonnée négative tel que le triangle OFG soit rectangle isocèle de sommet F Placer G sur la figure ; déterminer les coordonnées de G et prouver que les points A, I et G sont alignés Exercice 11 Soit un repère orthonormal ( O ; i, j) du plan et trois points A, et définis ci-dessous 1 La droite (A) a pour équation y = x + ; la droite (A) a pour équation x + y + 6 = 0 ; les points et ont respectivement pour ordonnées 5 et est le milieu de [A] Déterminez les coordonnées des points A,, et Donnez les équations réduites de (A) et () Représentez les droites (A), () et (A) alculez les coordonnées du point D de sorte que AD soit un parallélogramme Déterminez une équation de la droite (d) parallèle à (A) passant par et les coordonnées des points d intersection de (d) avec les axes 5 Quel est le centre de gravité du triangle A? 6 (d) et (AD) se coupent en E (d) et () se coupent en F Donnez les coordonnées de E et F Quelle est la nature du quadrilatère AFE? 7 alculez les coordonnées de G, centre de gravité du triangle AD, et déterminez le réel k tel que le point G appartienne à la droite (d ) d équation : x y + k = 0 Géométrie analytique Page 5

6 8 Représenter graphiquement, en précisant bien les bords, l ensemble des points M dont les x y 0 coordonnées sont solutions du système : x y 6 0 x 0 Exercice 1:orrection Prenons deux vecteurs u( x ; y) nombre réel k tel que v ku et v( x ' ; y') colinéaires Par définition de la colinéarité, il existe un On a donc : x = kx et y = ky alculons, le déterminant des vecteurs u et v : x x' det u ; v xy ' x ' y xky kxy kxy kxy 0 y y' Exercice : orrection D G A' I E A 1 a Prenons le repère A ; A, A données de construction on tire que où A a pour coordonnées (0 ; 0), (1 ; 0) et (0 ; 1) Des 1 E 1; et 1 D ;1, soit I ; ou encore AI A A b Les coordonnées de A sont 1 1 A ' ; d où 1 1 AA' A A c Faisons le déterminant des vecteurs : remarquer que AA' A A AI AI AA' 1 / / det AA ', AI 0 1 / / ; on pouvait également Les coordonnées de G sont 1 1 G ; d où AI AG et G est le milieu de [AI] det, 0 donc les droites () et (ED) sont parallèles ED Géométrie analytique Page 6

7 Exercice : orrection 1 facile! D A AD A A A A A A On en déduit que AD est un parallélogramme E A AE A A A A A A A On en déduit que E A A D : E et D sont donc colinéaires, les points E, et D sont alignés omme I est le milieu de [A], on a : IA I 0 D où A I IA I I I IA I I On en déduit que, comme AE A = A, alors AE I Si bien que AE et I sont colinéaires Les droites (AE) et (I) sont parallèles Exercice :orrection 1 (d1) : passe par ( 5 ; ) et ( 1 ; 1), équation : x 5 y x 15 y 16 0 y x 1 0 (d) : passe par ( ; ) et (0 ; 1), coeff directeur, ordonnée à l origine : 1, équation : y x 1 (d) : passe par ( 5 ; 5) et ( ; 0), coeff directeur 5 7, p p, équation : 5 10 y x Les droites (d) et (d) ne sont pas parallèles : elles n ont pas le même coefficient directeur Exercice 5 :orrection ' ' A A' Géométrie analytique Page 7

8 1 c a c1a 1 a A est le milieu de [ ] donc ; est le milieu de [A ] donc 0 c' c' a' a' 0 a b a b, enfin est le milieu de [A ] donc a' 1 a' 1 b' b' 0 b c b c 0 b' b' c' c' c1 a c1 b 8c 1 7c c 1 / 7 b a b a b a b a / 7 b c b c b c b / 7 c' a' c' a' c' / 7 c a' 1 b' a' 1 c' 8 a' a' 1 / 7 b' c' b' c' b' / 7 1 Les coordonnées de A dans le repère A ; A, A sont donc ;, soit écrit sous forme vectorielle : 1 AA' A A De même les coordonnées de sont ; donc A' A A, enfin celles de 1 sont ; d où 1 A ' A A ' ' A A' 1 1 ' ' ' A A' A' A ' A A A A A A A ' eci montre bien que est le milieu de [A ] On a de même A ' A' ' et ' ' A' 5 En fait ces triangles ne sont pas du tout semblables sur la figure du début on voit bien que les angles sont différents! Géométrie analytique Page 8

9 ' ' A A' Exercice 6 : orrection a L ordonnée à l origine est 10, le coefficient directeur est indiqué par les traits gras : différence des y 6 différence des x b x 6( x ) ( y ) 6x y 0 0 x y 10 0 y ( ) c Même coefficient directeur : y x b y x 0 b d On cherche le milieu de [], soit x x y y 5 I ; ( ; ) Equation de la médiane (AI) : x 1 1 ( x ) 0( y ) x 1 0 x y 5 / ( ) Exercice 7 : orrection y H E j O i x A Géométrie analytique Page 9

10 Dans le plan rapporté à un repère orthonormé ( O ; i, j), on considère les points A( ; ), ( ; 1), ( ;8) et H( ; ) 1, et H sont alignés : H 6 det, a AH ( ) ( ) , H ( ) ( 1) 9 1, A ( ) ( 1 ) b Pythagore dans AH : AH H A Le triangle A a pour base et pour hauteur AH Il suffit donc de calculer : ( ) (8 1) d où l aire du triangle A : 1 AH a Le coefficient directeur de () est 6 9 y x y x 9 6 ; un vecteur directeur de () est b (D) passe par A et est parallèle à () donc elle a même coefficient directeur ou même vecteur directeur : * m / m / y mx p y x 8 p 8 p ou bien x 6 det AM, 9( x ) 6( y ) 0 9x 6 6y 1 0 x y 16 0 y 9 * c 5 E 7; appartient à (D) : d L aire du triangle E est la même que celle du triangle A (même base et même hauteur AH) Exercice 8 : orrection 1 1 O 1 A Géométrie analytique Page 10

11 (D 1 ) : y x b et 1 ( ) b b 1 ; on a donc y x (D ) : x 0 0 y 0 x ( y ) 0 x y 6 0 ; (D ) : x = (D ) et (D ) se coupent en évidemment (D 1 ) et (D ) se coupent en un point U : x = et 17 y () (D 1 ) et (D ) se coupent en : est évidemment sur (D ), il est également sur (D 1 ) car lorsque x = 0, y 0 es trois droites ne sont évidemment pas concourantes Exercice 9 :orrection Pour le dessin, c est facile! On rappelle la formule de la distance entre deux points : A x x y y ² ² A A 1 La médiatrice de [] est l ensemble des points équidistants des points et Il suffit donc de vérifier si A = A A 0 ² 1 ² 0 5 et A 0 ² 5 1 ² 0 5 Ainsi, A = A et donc le point A est bien sur la médiatrice de [] D après la question précédente, A est, au moins, un triangle isocèle Serait-il, de plus, rectangle en A? alculons ² ² 5 ² 6 0 De même A² + A² = 0 +0 = 0 D après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle A est rectangle en A Par conséquent, A est un triangle isocèle rectangle en A Etant donné que A est un triangle isocèle et rectangle, il suffit de chercher les coordonnées de D pour que AD soit un parallélogramme Or, AD est un parallélogramme si et seulement xd x x xa xd 0 xd si A D c est-à-dire et donc, ce qui donne : yd y y ya yd 5 1 yd 7 Les coordonnées de D doivent être ; 7 I est le milieu de [A] ; ses coordonnées sont x I 0 et y I 1 La distance I mesure I ² 5 ² 5 I appartient bien au cercle de centre et de rayon 5 Géométrie analytique Page 11

12 000 det AE ; A : les vecteurs AE et A ne sont pas colinéaires Ainsi, les points A, E et ne sont pas alignés Par conséquent, E n appartient pas à la droite (A) 000 det AF ; A et sont alignés, F appartient à la droite (A) : les vecteurs AF et A sont colinéaires, les points A, F 998 det G ; A (G) et (A) sont parallèles : les vecteurs G et A sont colinéaires, les droites 998 det H ; A droites (H) et (A) ne sont pas parallèles Exercice 10 :orrection : les vecteurs H et A ne sont pas colinéaires, les 1 E le milieu de [] : 1 xe 1 ye 0 ; xf 0 xf F O yf yf 0 AE ( 0) ( ) 0 ; AE AF et AE AF FE AF ( 0) (0 ) 0 ; FE ( ) ( 0) 0 ; donc x0 0 x det OM, AE 0 x y 0 x y 0 y0 y ; x x 6 det M, F 0 ( x ) 6( y ) 0 x 6y 8 0 y 0 y ; x y 0 x y x 8 / 7 x y 0 y y 0 y / 7 G a évidemment pour coordonnées (, ) ; on a alors A, I, G alignés : 8 / / det AI, AG 0 0 / 7 / 7 6 Exercice 11 : orrection 1 A est à l intersection de (A) et (A) Ses coordonnées (x A ; y A ) sont solutions du système y x 0 c est-à-dire x y 6 0 x y x y 6 0 En additionnant les deux lignes, on trouve : y + = 0 et donc : y = 1 En reportant dans une équation, il vient x = a pour ordonnée 5 et appartient à (A) d équation y = x + Son abscisse vaut Géométrie analytique Page 1

13 a pour ordonnée et appartient à (A) d équation x + y + 6 = 0 On résout l équation x+( )+6 = 0 ce qui donne x = xa x ya yc est le milieu de [A] Ses coordonnées sont donc : ; = 5 1; Le vecteur A a pour coordonnées : x x ; y y, ce qui donne (6 ; ) A A M(x ; y) appartient à (A) équivaut à AM et A colinéaires ce qui équivaut encore à déterminant( x 6 AM ; A ) = 0, c est-à-dire 0 ou encore (x + ) 6(y + 1) = 0 y 1 Après simplification, l équation réduite de (A) est : 1 y x Les points et ont la même abscisse La droite () est donc parallèle à l axe des ordonnées, son équation réduite est x = Pour que AD soit un parallélogramme, il faut que A D Appelons xd et y D l abscisse et l ordonnée du point D Les coordonnées de A sont (6 ; 6) et celles de D sont ( xd ; x D ) Les vecteurs sont égaux lorsque leurs coordonnées sont égales : x D = et y D = 10 ; conclusion D( ; 10) La droite (A) a pour coefficient directeur 1 (d) est parallèle à (A) et a donc le même coefficient directeur Son équation réduite est donc de la forme y = x + k Or (d) passe par le point donc : yx 5 ' 1 ; ; on trouve, en remplaçant, k Une équation de (d) est Les point d intersection avec les axes ont, soit une abscisse nulle, soit une ordonnée nulle es points ont donc pour coordonnées : 0; et ;0 5 Sur la figure, il semble que le centre de gravité du triangle A soit le point O Pour le vérifier, montrons que O vérifie la relation vectorielle : OA O O 0, en utilisant les coordonnées OA OO a pour coordonnées : (xa + x + x ; y A + y + y ) Or x A + x + x = ++ = 0 et y A + y + y = 1+5 = 0 Donc la relation est vérifiée Le centre de gravité de A est O 6 omme AD est un parallélogramme, (AD) et () sont parallèles D après l équation réduite de (AD) est donc x = (droite parallèle à l axe des ordonnées) Les coordonnées de E vérifient donc le système x de F vérifient le système : F( ; 1/) y x / x, soit E( ; 11/) Les coordonnées y x / Le vecteur EF a pour coordonnées : ( ( ) ; (1/) (11/)) = (6 ; 6) Les vecteurs EF et A sont donc égaux, AFE est un parallélogramme Géométrie analytique Page 1

14 7 Soit G(x G ; y G ) le centre de gravité de AD Alors GA GD G 0 Avec les coordonnées, cela ( xg ) ( xg ) ( xg ) 0 se traduit par : ( 1 yg ) ( 10 yg ) ( yg ) 0 D où, après résolution des deux équations : G ( ; 5) omme G appartient à (d ), ses coordonnées vérifient l équation x y + k = 0, d où: ( ) ( 5) + k = 0 et finalement :k = 1 8 Voir le graphique (un des côtés est compris dans l ensemble cherché) 6 y x Géométrie analytique Page 1