Chapitre 2 - Les matrices carrées

Transcription

1 Chapitre - Les matrices carrées I) Produit et puissance des matrices carrées ) Propriétés Nous avons défini le produit de deux matrices dans le chapitre précédent Dans ce paragraphe nous allons nous intéresser au produit de deux matrices carrées d ordre n Il est clair que le produit de deux matrices d ordre n sera une matrice d ordre n :onditquela multiplication matricielle est une loi interne dans l ensemble M n (R) Proposition Nous avons les propriétés suivantes : M,N,P M n (R) on a : M(NP) =(MN)P (associativité de la multiplication matricielle) ; M,N,P M n (R) on a : M(N + P )=(MN)+(MP) (la multiplication est distributive par rapport à l addition) ; M M n (R) on a : MI n = I n M = M (la matrice unité I n est élément neutre pour la multiplication matricielle) Preuve Ces résultats ont été vus dans le chapitre précédent Remarque Il faut bien noter que la multiplication matricielle n est pas commutative : cela signifie quesim etµ N sont deux éléments µ de M n (R) alorsonn apastoujours:mn = NM Par exemple, si : M = et N =,ona: µ 0 µ 0 3 MN = et NM = et on a bien : MN 6= NM 0 ) Puissances d une matrice carrée a) Définition Définition Considérons une matrice M d ordre n Soit p un nombre entier naturel; la puissance pème de la matrice M, quel onnoteram p sera définie par ½ récurrence M par : 0 = I n M p+ = MM p pour tout entier naturel p Exemple Considérons la matrice : M = 4 0 M 3 (R) On a : M 0 = I 3 = ; M = M = 4 0 ; M = MM = ; M 3 = MM = b) Puissance de la transposée Théorème M M n (R), p N on a : (M t ) p =(M p ) t Preuve Nous allons démontrer ce résultat à l aide d un raisonnement par récurrence sur p Initilalisation :ona:(m t ) 0 = I n = In t = M 0 t, la propriété est donc bien vraie au rang 0 Hérédité :onsupposeque:(m t ) p =(M p ) t pour p fixé quelconque et on va montrer que : (M t ) p+ = M p+ t (M t ) p+ =(M t )(M t ) p =(M t ) (M p ) t =(M p M) t = M p+ t Par conséquent la propriété est héréditaire Conclusion : M M n (R), p N on a : (M t ) p =(M p ) t

2 c) Propriété Proposition M M n (R), λ R, p N on a : (λm) p = λ p M p Preuve Nous allons démontrer ce résultat à l aide d un raisonnement par récurrence sur p Initilalisation :ona:(λm) 0 = I n =I n = λ 0 M 0, la propriété est donc bien vraie au rang 0 Hérédité : on suppose que : (λm) p = λ p M p pour p fixé quelconque et on va montrer que : (λm) p+ = λ p+ M p+ (λm) p+ =(λm)(λm) p =(λm) (λ p M p )=(λλ p )(MM p )=λ p+ M p+ Par conséquent la propriété est héréditaire Conclusion : M M n (R), λ R, p N on a : (λm) p = λ p M p 3)LaformuledubinômedeNewton Théorème Considérons deux matrices M et N d ordre n qui commutent, c est à dire qu elles vérifient : MN = NM Alors : p N on a : (M + N) p = Cp k M k N p k Preuve Nous allons démontrer ce résultat à l aide d un raisonnement par récurrence sur p (M + N) 0 = I n Initilalisation :ona: 0X C0 km k N 0 k = C0 0M 0 N 0 =I n I n = I n On a donc bien : (M + N) 0 = 0X C0 km k N 0 k, la propriété est donc bien vraie au rang 0 Hérédité :onsupposeque:(m + N) p = Cp k M k N p k pour p fixé quelconque Xp+ On va montrer que : (M + N) p+ = Cp+M k k N p+ k (M + N) p+ =(M + N)(M + N) p =(M + N) Cp k M k N p k à à soit : (M + N) p+ = M Cp k M k N p k + N Cp k M k N p k ce qui donne, puisque à M et N commutent : à (M + N) p+ = Cp k M k+ N p k + Cp k M k N p+ k à à Xp soit : (M + N) p+ = CpM p p+ + Cp k M k+ N p k + CpN 0 p+ + On a donc : à (M + N) p+ = M p+ + soit : (M + N) p+ = M p+ + à k 0 =k+= k= C k0 Cp k M k N p+ k k= à p M k0 N p (k0 ) + Cp k M k N p+ k + N p+ (C k k= p + C k p )M k N p+ k + N p+ Puisque : Cp k + Cp k = Cp+ k et que : Cp+ 0 = C p+ p+ =on en déduit que : à (M + N) p+ = C p+ p+ M Xp+ p+ + Cp+M k k N p+ k + Cp+N 0 p+ = Cp+M k k N p+ k k= La propriété est donc bien héréditaire Conclusion : p N on a : (M + N) p = Cp k M k N p k Remarque Il faut noter qu il est obligatoire que les matrices M et N commutentpourpouvoir utiliser la formule du binôme de Newton

3 Exemple On considère la matrice M = 0 M 3 (R) On va calculer M p pour tout p N Remarquons tout d abord que : M = N + I 3 en posant : N = 0 Calculons ensuite les puissances successives de la matrice N On a : N o = I 3, N = N, N = et N 3 = O 3 Par suite on aura : N k = O 3 pour tout entier k > 3 Puisque : I 3 N = NI 3 = N on peut donc dire que les matrices N et I 3 commutentetnouspourrons donc utiliser la formule du binôme de Newton pour calculer : M p =(N + I 3 ) p On a donc, compte tenu des résultats obtenus sur les puissances successives de la matrice N : M p = Cp k N k I p k 3 = CpN CpN + CpN = CpI CpN + CpN, n > C p 0 = De plus, comme : Cp = p,onendéduitque:m p p(p ) = I 3 + pn + N, Cp p(p ) = soit : M p = n > on a : M p = De plus, on a : M = M = + p 0 p p+ p(p ) 0 p 0 p(p ) + p = précédemment reste valable pour n =et puique : M 0 = I 3 = p(p +), cequidonne: 0 p ( + ) = on peut affirmer que la formule est encore valable pour n =0 p(p +) p En conclusion : n > 0 on a :M p = 0 p, la formule trouvée 0 = 0(0 + ) 0, II) Les matrices carrées inversibles ) Définitions Définition Considérons une matrice carrée M d ordre n On appelle matrice inverse à gauche de la matrice M, toute matrice carrée G d ordre n telle que GM = I n On appelle matrice inverse à droite de la matrice M, toute matrice carrée D d ordre n telle que MD = I n Proposition 3 Si la matrice M M n (R) admet à la fois une matrice inverse à gauche G et une matrice inverse à droite D, alors ces deux matrices sont égales et uniques Preuve On a donc : GM = MD = I n par définition des matrices inverses à gauche et à droite De plus on a : G = GI n = G(MD) =(GM)D = I n D = D, par conséquent, les matrices G et D sont égales 3

4 Montrons maintenant l unicité Pour cela nous utiliserons un raisonnement par l absurde Supposons donc qu il existe deux matrices inverses à gauche distinctes G et G 0 pour la matrice M On a donc : GM = G 0 M = I n De plus, on aura : G 0 = G 0 I n = G 0 (MD) =(G 0 M)D = I n D = D = G, ce qui aboutit à une contradiction puisque les deux matrices G et G 0 ont été supposées distinctes Par conséquent, l hypothèse faite est fausse, d où l unicité de la matrice G et donc celle de D Proposition 4 Considérons une matrice carrée M d ordre n Si la matrice M admet une matrice inverse à gauche alors elle admettra une matrice inverse à droite De même, si la matrice M admet une matrice inverse à droite alors elle admettra une matrice inverse à gauche Preuve Ce résultat est admis Définition 3 Considérons une matrice carrée M d ordre n On dira que la matrice M est inversible si elle possède une matrice inverse à gauche ou une matrice inverse à droite Notation Dans ce cas, la matrice inverse à gauche (ou encore la matrice inverse à droite) sera appelée la matrice inverse de la matrice M et on la notera : M ) Exemples Exemple 3 La matrice identité d ordre n est inversible et sa matrice inverse est In = I n ;eneffet, nous avons : I n I n = I n µ µ Exemple 4 Considérons les matrices d ordre : M = et N = On a : MN = I et par conséquent, on en déduit que la matrice M est inversible et que sa matrice inverse est M = N 3)Recherchepratiquedelamatriceinverse a) Méthode Considérons une matrice M d ordre n Pour déterminer si la matrice M est inversible, nouschercherons à résoudre le système Y = MX x y dans lequel les vecteurs X = x et Y = y joueront respectivement les rôles d inconnue x n y n et de paramètre : si nous trouvons un seul vecteur solution X à ce système nous pourrons en déduire que la matrice M est inversible et que la matrice inverse M est définie par la relation : X = M Y puisque : Y = MX M Y = M (MX) =(M M)X = I n X = X si nous ne trouvons pas de solution ou encore une infinité de solutions au système, nous en déduirons que la matrice M n est pas inversible b) Exemple Considérons la matrice : M = M 3 (R) 0 Etudions l inversiblité de M Posons : X = x x et Y = y y x 3 y 3 4

5 On a : Y = MX y y = x x = x x x 3 y 3 0 x 3 x + x 3 y = x Cela nous donne donc le système linéaire : (S) : y = x x 3 y 3 = x + x 3 x = y x = y + y + y 3 On a : (S) x x 3 = y x = y x 3 = y + y 3 x 3 = y + y 3 Nous avons donc trouvé une seule solution au système, par conséquent, la matrice M est inversible Pour déterminer M il ne nous reste plus qu à écrire le dernier système sous forme matricielle Nousobtenons : X = x x = 0 0 y y, par conséquent, nous avons : x 3 0 y 3 M = ) Propriétés des matrices carrées inversibles a) Transposée d une matrice inversible Théorème 3 Considérons une matrice carrée M d ordre n Si la matrice M est inversible, alors sa matrice transposée M t est inversible et on a : (M t ) = M t Preuve Puisque : M M = I n on en déduit que : M M t = I t n = I n, soit encore : M t M t = In Par conséquent, la matrice M t sera inversible à droite, donc sera inversible et sa matrice inverse sera : (M t ) = M t b) Produit de deux matrices inversibles Théorème 4 Considérons deux matrice M et N d ordre n Si les matrices M et N sont inversibles, d inverses respectifs M et N alors leur matrice produit MN sera inversible et on aura : (MN) = N M Preuve On a : N M (MN) =N M M N = N I n N = N N = I n Par conséquent, la matrice produit MN est inversible à gauche, donc sera inversible et on aura : (MN) = N M c) Autres propriétés Proposition 5 Si M estunematricecarréed ordren inversible, alors : p N, lamatricem p est inversible et on a : (M p ) = M p Preuve Démontrons ce résultat par récurrence sur p Initialisation :Ona:M 0 = I n et par suite la matrice M 0 sera inversible d inverse : M 0 = I n = I n = M 0 La propriété est donc bien vérifiée au rand 0 Hérédité : On suppose que pour un entier naturel p fixé quelconque la matrice M p est inversible et quesoninverseest(m p ) = M p Nous allons montrer que la matrice M p+ est inversible et que son inverse est M p+ Puisque : M p+ = MM p et compte tenu que M et M p sont inversibles, on déduit du théorème du paragraphe précédent que la matrice M p+ sera inversible (produit de deux matrices inversibles) De plus, on aura : M p+ =(MM p ) =(M p ) M = M p M = M p+ La propriété est donc héréditaire Conclusion : p N, lamatricem p est inversible et on a : (M p ) = M p 5

6 Définition 4 Considérons une matrice M d ordre n inversible et un entier naturel p Nous définironslapuissancenégativedelamatricem par : M p =(M p ) Remarque 3 Compte tenu de la propriété précédente nous aurons : M p =(M p ) = M p Proposition 6 Si M estunematricecarréed ordren inversible alors : p, q Z on a : M p M q = M p+q Preuve Quatre cas sont à envisager : si p, q N : cette propriété provient de la définition de la puissance positive d une matrice si p N et q Z :onpose:q 0 = q N On a donc : M p M q = M p M q I n = M p M q (M q0 (M q0 ) )=M p ³M q0 q0 M M q0 µ ³ soit encore : M p M q = M p M q0 M q 0 M q0 = M p I n M q0 = M p M q0 ce qui donne : M p M q = M p+( q0) = M p+q Les deux cas restants : (p Z et q N) et (p Z et q Z ) se traiteront de la même façon que le cas précédent 6