f (x) = 1 x 2 Définie sur ] ; 0 [ Et sur ] 0 ; + [ La fonction racine carrée [ 0 ; + [ ] 0 ; + [

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1 1ES Automath Nombre dérivée et tangente Exercice 1 : savoir calculer un nombre dérivé à partir de la définition Soit g: x 1 3x 2 1) Calculer le taux d accroissement entre 2 et 2 + h 2) En déduire g (2) Par cœur : dérivée des fonctions usuelles Fonctions affines f(x) = a x + b Fonctions puissances f(x) = x n avec n entier, n 2 La fonction inverse Fonction Dérivée f Définie sur? Dérivable sur? f(x) = 1 x f (x) = a R R f (x) = n x n 1 R R f (x) = 1 x 2 Définie sur ] ; 0 [ Et sur ] 0 ; + [ Dérivable sur ] ; 0 [ Et sur ] 0 ; + [ La fonction racine carrée f(x) = x f (x) = 1 2 x [ 0 ; + [ ] 0 ; + [ Cas particuliers importants (à savoir retrouver très vite ou à savoir par cœur) Cas particuliers de fonctions affines Dérivée f Définie sur? Dérivable sur? Fonctions constantes f(x) = b On a f(x) = ax + b avec a = 0 La fonction identité f(x) = x On a f(x) = ax + b avec a = 1 et b = 0 Les fonctions affines f(x) = ax On a f(x) = ax + b avec b = 0 f (x) = 0 R R f (x) = 1 R R f (x) = a R R Cas particulier de fonctions puissances Dérivée f Définie sur? Dérivable sur? Fonctions constantes f(x) = p f (x) = 0 R R La fonction carré f(x) = x 2 f (x) = 2x R R La fonction cube f(x) = x 3 f (x) = 3x 2 R R

2 Par cœur : Une fonction polynôme est définie et dérivable sur R Exercice 2 En utilisant les formules du cours, savoir calculer un nombre dérivé Savoir calculer le coefficient directeur d une tangente à une courbe C f en un point Savoir donner une équation d une tangente à une courbe C f en un point 1) Soit la fonction q définie sur R par : q(x) = x. Calculer q (7) 2) Considérons la fonction f: x x 4 Calculer f ( 2) 3) Appelons g la fonction définie par : g(x) = 1 x Trouver le coefficient directeur de la tangente au point d abscisse 3 4) Soit h la fonction définie par h(x) = x. Trouver une équation de T, la tangente à C k au point d abscisse 9 5) Soit u la fonction définie par u(x) = x 3. Trouver une équation de T, la tangent à C u au point d abscisse 5 6) f: x 3x + 4. Calculer f (6) Exercice 3 Savoir lire graphiquement 1) Lire graphiquement f (0) et f (2) 2) Lire graphiquement des équations de : De T 1 la tangentes à C f en A De T 2 la tangentes à C f en B De T 3 la tangentes à C f en C De T 4 la tangentes à C f en D

3 Comprendre : le légo des fonctions Les fonctions de lycée peuvent être vu comme le jeu de Lego : il y a quelques fonctions de bases et avec on assemble des fonctions plus compliquées. Voici deux procédés de construction de fonctions : La multiplication par un réel Soit f une fonction et k un nombre réel x f(x) k f(x) f k On a «enchainé» la fonction f suivie de la fonction «multiplier par k» La nouvelle fonction x k f(x) est notée kf Ne pas confondre la nature des objets : kf désigne une fonction et k f(x) désigne un nombre La somme de deux fonctions Soit f et g deux fonctions définies sur un même intervalle I On considère la fonction x f(x) + g(x). On la note f + g. Ne pas confondre la nature des objets : f + g est un mot de trois «lettres» qui désigne une fonction et f(x) + g(x) désigne un nombre Exercice 4 : comprendre les notations Soit f: x 2x 2 + x et g: x 3x 1. 1) Calculer l image de 5 par la fonction f + g 2) Calculer l image de 5 par la fonction 4 f 3) Donner la définition de la fonction f + g 4) Donner la définition de la fonction 4g Par cœur : 1) Si u et v sont deux fonctions dérivables sur l intervalle I Alors la fonction u + v est aussi dérivable sur I et (u + v) = u + v 2) Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I et k un réel Alors la fonction ku est aussi dérivable sur I et (ku) = ku Exercice 5 Savoir calculer la dérivée d une fonction ku 1) Soit f la fonction définie par f(x) = 4 x. Calculer f (16) 2) Soit g la fonction définie par g(x) = 5. Calculer g (x) x 3) Soit h la fonction définie par h(x) = 4x 3. Calculer le coefficient directeur de la tangente à C h au point d abscisse 5 4) Soit w la fonction définie par f(x) = 4x 2. Trouver une équation de T, la tangente à C f au point d abscisse 1

4 Exercice 6 Savoir calculer la dérivée d une fonction polynôme 1) Soit f telle que f(x) = 3x 2 + 4x 7. Calculer f (x) 2) Soit A: x 2t 4 + 3t 3 2t + 5. Quelle est sa fonction dérivée? 3) Soit g telle que g(x) = x 3 + 4x 2. Calculer g ( 2 ) 4) Soit h telle que h(x) = (3x 2) 2. Trouver le coefficient directeur de la tangente à C h au point d abscisse 6 5) Soit p telle que p(x) = 2x 3 7x Trouver une équation de T, la tangente à C p au point d abscisse 2 Exercice 7 Utiliser les outils TICE 1) On considère la fonction f: x x 5 3x a) Aller sur le site et taper dans le cadre derivative(x^5-3x^2+1). Que vaut f (x)? b) Calculer à la main f (x) 2) On considère la fonction g: x x 2 + 4x 1 a) Aller à l adresse taper dans la fenêtre g(x) = x 2 + 4x 1 b) Sur la courbe, créer le point A d abscisse 0 c) Créer la tangente à la courbe au point A pour accéder à l outil, commencer par cliquer sur l icône d) Quelle équation de cette tangente donne GeoGebra? e) A la main, donner une équation de T, la tangente à C g au point d abscisse 0 3) On considère la fonction h: x 3x 4 2x a) Aller à l adresse et, tout de suite, cliquer sur Calcul formel dans le cadre à droite. La barre de boutons suivantes va apparaitre au-dessus de la fenêtre de saisie b) Saisir h(x) = 3x 4 2x puis cliquer sur l icône c) D après GeoGebra, quelle est la fonction dérivée de h? d) A la main, déterminer la dérivée de h 4) On considère la fonction m: x 4 x 7 x a) Pour les TI, lire Pour les CASIO, regarder b) Utiliser votre calculatrice pour déterminer m (4) c) A la main, calculer m (4) 5) On considère la fonction g: x (3x 1) a) Pour les CASIO, regarder Pour les TI, regarder Utiliser votre calculatrice pour déterminer une équation de la tangente à C g au point d abscisse 3 b) A la main, déterminer une équation de T, la tangente à C g au point d abscisse 3

5 6) Idée d après des sujets de bac ES Soit f définie par f(x) = 3x 4 4x 3 60x 2 96x + 1. Un logiciel de calcul formel donne le résultat cidessous : 1 deriver(3x^4-4x^3-60x^2-96x+1) 3*4x 3 4*3x 2 60*2x 96 2 factoriser(3*4x 3 4*3x 2 60*2x 96) 12(x 4)(x + 1)(x + 2) a) En vous appuyant sur ces résultats, en quels points C f admet-elle une tangente horizontale? b) Aller à l adresse puis cliquer sur Taper (ou copier/coller) l instruction : deriver(3x^4-4x^3-60x^2-96x+1) puis appuyer sur entrée c) Puis exécuter l instruction factoriser(3*4x 3 4*3x 2 60*2x 96) Exercice 8 : prises d initiatives 1) Soit r telle que r(x) = 8x3 6x. En quels points, C 3 r admet-elle des tangentes horizontales? 2) Soit q telle que q(x) = 2x3 5. C 3 q admet-elle des tangentes parallèles à la droite d: y = 32x 1? 3) Soit g la fonction définie par g(x) = x 3 2x 2 5x + 3. Etudier les positions relatives de C g et de sa tangente au point d abscisse 0 4) Soit B la fonction telle que (x) = x3 3 x La droite T : y = 3x est-elle être une tangente à C B? En quels points? 5) Soit f la fonction définie par f(x) = 2x 2 5x + 7. Montrer que C f n est jamais en-dessous de sa tangente au point d abscisse 2. 6) Soit f une fonction dérivable en 2 telle que : f(2) = 3 et f (2) = 1. Estimer une valeur approchée de f(2,01) Exercice 1 Question 1 Le taux d accroissement de la fonction g entre a et a + h est donné par: Pour se corriger g(a+h) g(a) g(2 + h) = 1 3(2 + h) 2 = 1 3(4 + 4h + h 2 ) = h 3h 2 = 11 12h 3h 2 g(2) = = 11 h g(2+h) g(2) h = 11 12h 3h2 ( 11) h = h( 12 3h) h = 12 3h Question 2 On cherche la limite de 12 3h quand on fait tendre h vers 0. Par définition : g g(2 + h) g(2) (2) = lim = lim( 12 3h) = 12 h 0 h h 0 Remarque : il y a plus simple comme méthode. On utilise celle-ci uniquement sur demande ou pour démontrer les formules de cours.

6 Exercice 2 Question 1 q est la fonction identité donc q (x) = 1 Donc q (7) = 1 Question 2 f(x) = x n avec n = 4 donc f (x) = n x n 1 = 4 x 4 1 = 4x 3 f ( 2) = 4 ( 2) 3 = 32 Question 3 g(x) = 1 donc g (x) = 1 x x2 pour x 0 g ( 3) = 1 = 1 ( 3) 2 9 Le coefficient directeur de la tangente au point d abscisse 3 est : 1 9 Question 4 h(x) = x pour x 0 donc h (x) = 1 pour x > 0 2 x Comme h (9) = 1 = 1 = Le coefficient directeur de la tangente au point d abscisse 9 est : 1 6 Première rédaction D après le cours, T: y = h (a)(x a) + h(a) Ici : a = 9 h (9) = 1 6 Donc T: y = 1 6 (x 9) + 3 = 1 6 x = 1 6 x h(9) = 9 = 3 Une équation de T est : y = 1 6 x Seconde rédaction : Une équation de T est de la forme : y = 1 x + b 6 Comme h(9) = 9 = 3 Donc 1 le point A(9 ; 3) est à la fois sur C f et la tangente T b = 3 donc b = 3 donc b = = 3 2 Une équation de T est : y = 1 6 x Question 5 : D après le cours, T: y = h (a)(x a) + h(a) Ici : a = 5 Comme : u(x) = x 3 donc u( 5) = ( 5) 3 = 125 et u (x) = 3x 2 donc u ( 5) = 3 ( 5) 2 = 75 Donc T: y = 75(x ( 5)) + ( 125) = 75x = 75x Une équation de T est : y = 75x Question 6 f(x) est de la forme ax + b avec a = 3 et b = 4 or le cours donne f (x) = a donc f (x) = 3

7 Exercice 3 : Savoir lire graphiquement 1) Lire graphiquement des nombres dérivées On trace la tangente au point d abscisse 0. On lit le coefficient directeur : f (0) = 4 1 = 4 On trace la tangente au point d abscisse 2 On lit le coefficient directeur: f (2) = 0 3) Lecture graphique d équations de tangentes Coefficient directeur de la tangente : Variation des ordonnées m = = 6 = 6 Variation des abscisses 1 Lecture de p : La tangente coupe l axe des ordonnées au point de coordonnées (0 ; 1) donc p = 1 T 1 : y = 6x + 1 et on a : f ( 1) = 6 Coefficient directeur de la tangente : Variation des ordonnées m = = 2 = 2 Variation des abscisses 1 Lecture de p : La tangente coupe l axe des ordonnées au point de coordonnées (0 ; 1) donc p = 1 T 2 : y = 2x + 1 et on a : f (1) = 2 Coefficient directeur de la tangente : Variation des ordonnées m = = 2 = 2 Variation des abscisses 1 La lecture de p n est pas immédiate, calculons le! Une équation est de la forme y = 2x + p La tangente passe par le point C(3 ; 3) donc p = 3 donc p = 9 T 3 : y = 2x + 9 donc f (3) = 2 Coefficient directeur de la tangente : Variation des ordonnées m = = 12 = 6 Variation des abscisses 2 Une équation est de la forme y = 6x + p La tangente passe par le point C(5 ; 5) donc p = 5 donc p = 25 T 4 : y = 6x + 25 donc f (5) = 6

8 Exercice 4 : comprendre les notations Question 1 f(5) = = 55 g(5) = = 14 Comme = 79, l image de 5 par la fonction f + g est 79 On note (f + g)(5) = 69 Question 2 f(5) = 55 Comme 4 55 = 220, l image de 5 par la fonction 4f est 220 On note (4f)(5) = 220 Question 3 f(x) = 2x 2 + x et g(x) = 3x 1 f(x) + g(x) = 2x 2 + x + 3x 1 = 2x 2 + 4x 1 Donc f + g: x 2x 2 + 4x 1 dit autrement (f + g)(x) = 2x 2 + 4x + 1 Question 4 f(x) = 3x 1 donc 4 f(x) = 4(3x 1) = 12x 4 Donc 4f: x 12x 4 dit autrement (4f)(x) = 12x 4 Exercice 5 : Question 1 On pose u(x) = x et k = 4 donc f(x) = k u(x) or la fonction racine carrée, notée u ici, est dérivable sur ] 0 ; + [ et u (x) = 1 (ku) = k u Donc f est aussi dérivable sur ] 0 ; + [ et f (x) = x = 2 f (16) = 2 16 = 2 4 = 1 2 x 2 x Question 2 On pose u(x) = 1 x et k = 5 donc g(x) = k u(x) or la fonction inverse, notée u ici, est dérivable sur ] ; 0 [ et sur ] 0 ; + [ et u (x) = 1 x 2 (ku) = k u Donc g est aussi dérivable sur ] ; 0 [ et sur ] 0 ; + [ g (x) = 5 1 x 2 = 5 x 2 Question 3 On pose u(x) = x 3 et k = 4 donc h(x) = k u(x) or la fonction cube, notée u ici, est dérivable sur R et u (x) = 3x 2 (ku) = k u Donc h est aussi dérivable sur R et h (x) = 4 3x 2 = 12x 2 Donc h ( 5) = 12 ( 5) 2 = 300 Le coefficient directeur de la tangente à C h au point d abscisse 5 est h ( 5) Donc le coefficient directeur est 300 Question 4 On pose u(x) = x 2 et k = 4 donc f(x) = k u(x) or la fonction carrée, notée u ici, est dérivable sur R et u (x) = 2x (ku) = k u Donc f est aussi dérivable sur R et f (x) = 4 2x = 8x

9 D après le cours, T : y = f (a) (x a) + f(a) Ici a = 1 f(a) = f( 1) = 4( 1) 2 = 4 f (a) = f ( 1) = 8( 1) = 8 Donc T : y = 8(x ( 1)) + ( 4) = 8x = 8x + 4 Une équation de T est : y = 8x + 4 Exercice 6 : Par rapport à l exercice 5, on va alléger les rédactions. On va utiliser la formule (ku) = ku sans la citer. En contrepartie, vous veillerez scrupuleusement à bien écrire chaque terme sous la forme k formule de base, en faisant bien apparaitre le signe multiplié Pour l instant, je ne validerai pas votre rédaction si vous ne vous pliez pas à cette demande. Question 1 f est une fonction polynôme donc f est définie et dérivable sur R On pose u(x) = 3 x 2 donc u (x) = 3 2x = 6x v(x) = 4x 7 donc v est une fonction affine et v (x) = 4 Donc f (x) = 6x + 4 Question 2 A est une fonction polynôme donc A est définie et dérivable sur R On pose u(t) = 2 t 4 donc u (t) = 2 4t 3 = 8t 3 v(t) = 3 t 3 donc v (t) = 3 3t 2 = 9t 2 w(t) = 2t + 5 donc w est affine et w (t) = 2 Donc A (t) = 8t 3 + 9t 2 2 Une façon de donner la réponse : La dérivée de A est la fonction A telle que : A (t) = 8t 3 + 9t 2 2 Une autre façon de donner la réponse : La dérivée de A est la fonction, notée A, t 8t 3 + 9t 2 2 Question 3 g est une fonction polynôme donc g est définie et dérivable sur R On pose u(x) = 1 x 4 donc u (x) = 1 4x 3 = 4x 3 v(x) = 4 x 3 donc v (x) = 4 3x 2 = 12x 2 Donc g (x) = 4x x 2 Donc g ( 2) = 4( 2) ( 2) 2 = Brouillon : 4( 2) 3 = 4 ( 2) ( 2) ( 2) = = ( 2) 2 = 12 ( 2) ( 2) = 12 2 = 24

10 Question 4 h(x) = (3x 2) 2 = (3x) 2 2 3x 2 + ( 2) 2 = 9x 2 12x + 4 h est une fonction polynôme donc h est définie et dérivable sur R On pose : u(x) = 9 x 2 donc u (x) = 9 2x = 18x v(x) = 12x + 4 donc v est affine et v (x) = 12 Donc h (x) = 18x 12 Donc h ( 6) = 18( 6) 12 = 120 Donc le coefficient directeur de la tangente à C h au point d abscisse 6 est 120 Question 5 p est une fonction polynôme donc p est définie et dérivable sur R Calculons la dérivée de p On pose u(x) = 2 x 3 donc u (x) = 2 3x 2 = 6x 2 v(x) = 7 x 2 donc v (x) = 7 2x = 14x w(x) = 3 donc w (x) = 0 Donc p (x) = 6x 2 14x + 0 = 6x 2 14x Equation de T T : y = p (a) (x a) + p(a) Ici : a = 2 p( 2) = 2( 2) 3 + 4( 2) = 41 p ( 2) = 6( 2) 2 14( 2) = 52 T : y = 52(x ( 2)) + ( 41) = 52x = 52x + 63 Une équation de T est : y = 52x + 63 Exercice 7 : Question 1b f est une fonction polynôme donc f est définie et dérivable sur R On pose u(x) = x 5 donc u (x) = 5x 4 v(x) = 3 x 2 donc v (x) = 3 2x = 6x w(x) = 1 donc w (x) = 0 Donc f (x) = 5x 4 6x Question 2e g est une fonction polynôme donc g est définie et dérivable sur R Calcul de g (x) On pose u(x) = 1 x 2 donc u (x) = 1 2x = 2x v(x) = 4x 1 donc v est une fonction affine et v (x) = 4 donc g (x) = 2x + 4 Equation de T T : y = g (a)(x a) + g(a) Ici : a = 0 g(0) = = 1 g (0) = = 4 T: y = 4(x 0) + ( 1) = 4x 1 T a pour équation y = 4x 1

11 Question 3d La fonction h est une fonction polynôme donc h est définie et dérivable sur R On pose : u(x) = 3 x 4 donc u (x) = 3 4x 3 = 12x 3 v(x) = 2 x 2 donc v (x) = 2 2x = 4x w(x) = 9 donc w (x) = 0 donc h (x) = 12x 3 4x h la dérivée de h est la fonction définie par h (x) = 12x 3 4x Question 4c x est définie pour x 0 et 7 x est définie pour x 0 donc m est définie sur ]0 ; + [ Sur ]0 ; + [ la fonction racine carrée et la fonction inverse sont dérivable, donc la fonction m, qui est construite à partir de ces fonctions en faisant des produit et une somme, est aussi dérivable sur ] 0 ; + [ On pose u(x) = 4 x donc u (x) = x = 2 v(x) = 7 1 x donc v (x) = 7 1 x 2 x 2 donc m (x) = 2 Donc m (4) = = = x + 7 x 2 x Question 5b g(x) = (3x 1) = (3x) 2 2 3x = 9x 2 6x + 5 g est une fonction polynôme donc g est définie et dérivable sur R Calcul de g (x) On pose u(x) = 9 x 2 donc u (x) = 9 2x = 18x v(x) = 6x + 5 donc v est affine et v (x) = 6 donc g (x) = 18x 6 Equation de T T : y = g (a) (x a) + g(a) Ici : a = 3 g(3) = (3 3 1) = 68 g (3) = = 48 T: y = 48(x 3) + 68 = 48x = 48x 76 T a pour équation y = 48x 76 Question 6a f est une fonction polynôme définie et dérivable sur R En reprenant les résultats du logiciel de calcul formel f (x) = 3 4x 3 4 3x x 96 f (x) = 12(x 4)(x + 1)(x + 2) Donc, en s appuyant sur ces résultats C f admet une tangente horizontale au point de C f d abscisse a Si et seulement si le coefficient directeur de la tangente à C f au point d abscisse a vaut 0 Si et seulement si f (a) = 0 Si et seulement si 12(a 4)(a + 1)(a + 2) = 0

12 Si et seulement si a 4 = 0 ou a + 1 = 0 ou a + 2 = 0 Si et seulement si a = 4 ou a = 1 ou a = 2 Comme f(4) = = 831 f( 1) = 3 ( 1) 4 4 ( 1) 3 60 ( 1) 2 96 ( 1) + 1 = 44 f( 2) = 3 ( 2) 4 4 ( 2) 3 60 ( 2) 2 96 ( 2) + 1 = 33 C f admet trois tangentes horizontales aux points de coordonnées (4 ; 831) ( 1 ; 44) ( 2 ; 33) Exercice 8 : Question 1 r(x) = 8x3 6x = x3 6 x = x3 2x r est une fonction polynôme donc r est définie et dérivable sur R On pose u(x) = 8 3 x3 donc u (x) = 8 3 3x2 = 8x 2 v(x) = 2 x Donc r (x) = 8x 2 2 donc v (x) = 2 Le coefficient directeur de la tangente à C r au point d abscisse a est r (a) Une droite est horizontale (plus exactement parallèle à l axe des abscisses) si et seulement si r (a) = 0 r (x) = 0 8x 2 2 = 0 2(4x 2 1) = 0 2((2x) ) = 0 2(2x + 1)(2x 1) = 0 2x + 1 = 0 ou 2x 1 = 0 x = 1 2 ou x = 1 2 Autre idée : 8x 2 2 est de la forme ax 2 + bx + c avec a = 8 b = 0 c = 2 On calcule Δ = b 2 4ac = 64 puis on applique les formules r ( 1 2 ) = 8 3 ( 1 2 )3 2 ( 1 2 ) = = 1 3 et r ( 1 2 ) = 8 3 (1 2 )3 2 ( 1 2 ) = = 1 3 C r admet des tangentes horizontales aux points de coordonnées ( 1 2 ; 1 3 ) et ( 1 2 ; 1 3 ) Question 2 q(x) = 2x3 5 = x3 5 3 q est une fonction polynôme donc q est définie et dérivable sur R On pose u(x) = 2 3 x3 donc u (x) = 2 3 3x2 = 2x 2 v(x) = 5 3 Donc q (x) = 2x 2 donc v (x) = 0 Le coefficient directeur de la tangente à C q au point d abscisse a est q (a) Le coefficient directeur de d est est 32. Une droite est parallèle à d si et seulement si son coefficient directeur est aussi 32 q (x) = 32 2x 2 = 32 x 2 = 32 x = 4 ou x = 4 2 x 2 = 16 C q admet deux tangentes parallèles à la droite d: y = 32x 1 aux points d abscisses 4 et 4

13 Question 3 Calcul de g (x) g est une fonction polynôme donc g est définie et dérivable sur R On pose u(x) = x 3 donc u (x) = 3x 2 v(x) = 2 x 2 donc v (x) = 2 2x = 4x w(x) = 5x + 3 donc w est affine et w (x) = 5 Donc g (x) = 3x 2 4x 5 Une équation de T Soit T la tangente à C g au point d abscisse 0 D après le cours, On a : a = 0 T: y = 5(x 0) + 3 = 5x + 3 T: y = 5x + 3 Position relative entre C g et T T: y = g (a) (x a) + g(a) g (0) = = 5 g(0) = = 3 g(x) ( 5x + 3) = x 3 2x 2 5x x 3 = x 3 2x 2 = x x x 2 x x = x 2 (x 2) x 2 est toujours de signe + et s annule pour x = 0 Comme x 2 est de la forme ax + b avec a = 1 et b = 2, x 2 s annule pour x = 2 et est du signe de a (positif) à droite de 2 (signe contraire sinon) Valeurs de x Signe de x Signe de x Signe de x 2 (x 2) Pour x < 0 g(x) ( 5x + 3) < 0 donc g(x) < 5x + 3 donc C g en-dessous de T Pour 0 < x < 2 g(x) ( 5x + 3) < 0 donc g(x) < 5x + 3 donc C g en-dessous de T Pour x > 2 g(x) ( 5x + 3) > 0 donc g(x) > 5x + 3 donc C g au-dessus de T Pour x = 0 et x = 2 g(x) ( 5x + 3) = 0 donc g(x) = 5x + 3 donc C g et T se coupent Question 4 Calcul de la dérivée B est une fonction polynôme donc B est définie et dérivable sur R On pose u(x) = 1 3 x3 donc u (x) = 1 3 3x2 = x 2 Or Donc v(x) = 1 x 2 donc v (x) = 1 2x = 2x w(x) = 2 donc w (x) = 0 (u + v) = u + v B (x) = x 2 2x

14 Condition nécessaire Le coefficient directeur d une tangente est un nombre dérivé. Le coefficient directeur de T est : 3 B (x) = 3 x 2 2x = 3 x 2 2x 3 = 0 On reconnait la forme ax 2 + bx + c avec a = 1 b = 2 c = 3 Δ = b 2 4ac = ( 2) ( 3) = 16 Comme Δ > 0, l équation a deux racines x 1 = b Δ 2a = ( 2) = 1 et x 2 = b+ Δ 2a = ( 2) Seules deux tangentes à C B ont pour coefficient directeur 3 : les tangentes au point d abscisse 1 et au point d abscisse 3. = 3 Condition suffisante Au point d abscisse 1, la tangente a pour équation y = B ( 1) (x ( 1)) + B(1) = 3(x + 1) + 2 = 3x donc T n est pas la tangente en ce point. Au point d abscisse 3, la tangente a pour équation y = B (3) (x 3) + B(3) = 3(x 3) + 2 = 3x = 3x 7 donc T n est pas la tangente en ce point. = 3x Aucune des deux éventualités n est possible donc T n est pas une tangente à C B Question 5 Calcul de la dérivée f est une fonction polynôme donc f est définie et dérivable sur R On pose u(x) = 2 x 2 donc u (x) = 2 2x = 4x v(x) = 5x + 7 donc v est affine et v (x) = 5 Donc f (x) = 4x 5 Equation de la tangente Soit T la tangente à C g au point d abscisse 2 T: y = f (a) (x a) + f(a) = 3(x 2) + 5 = 3x = 3x 1 T: y = 3x 1 Position de T et C f f(x) (3x 1) = 2x 2 5x + 7 3x + 1 = 2x 2 8x + 8 On reconnait la forme ax 2 + bx + c avec a = 2 b = 8 c = 8 Δ = b 2 4ac = ( 8) = 0 Comme Δ > 0, f(x) a une seule racine α = b = 2 2a f(x) est toujours du signe de a (positif) Donc f(x) (3x 1) 0 donc f(x) 3x 1 Donc C f est au-dessus ou coupe T Donc C f n est jamais en-dessous de sa tangente au point d abscisse 2.

15 Question 6 Soit T la tangente à C f au point d abscisse 2 T: y = 1(x 2) + 3 = x + 5 Donc pour des valeurs de x très proche de 2, on a : f(x) x + 5 En conjecturant que 2,01 soit suffisamment proche de 2, ce n est pas certain, f(2,01) 2, ,99