1S A-C DS 5 jeudi 19 janvier Nom : Prénom : classe :

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1 1S A-C DS jeudi 19 janvier 2017 Nom : Prénom : classe : Exercice 1 : (2, points) On donne ci-dessous la courbe représentative d une fonction f définie et dérivable sur [ 3 ; 3], ainsi que quelques tangentes à la courbe. A partir du graphique répondre aux questions : 1. Compléter 2. a. h étant un réel non nul quelconque, que représente b. Donner sa valeur. lorsqu on fait tendre h vers 0? 3. On définit sur [ 3 ; 3 ] la fonction g par : g(x ) = f (x) (1 + 2x). Donner ( en expliquant) le signe de g(x ) sur [ 3 ; 3]. Exercice 2 : (3, points) 1. Pour chacune des fonctions suivantes, calculer l expression de la fonction dérivée.( on ne s occupera pas des ensembles de définition ni de dérivabilité). Exercice 3 : (4, points) Soit f la fonction définie sur R \ { 3} par x² x 2 f( x) et soit (C) sa courbe représentative dans un repère. x 3 1. Montrer que x² 6x f '( x). Déterminer les abscisses des points en lesquels (C) admet une tangente ( x 3)² horizontale. 2. a. Déterminer une équation réduite de la tangente D à (C) au point A d abscisse 2. b. On admet que la droite D a pour équation y = 3x + 6. Montrer qu il existe une autre tangente à (C) parallèle à D. Exercice 4 : (1, points) Déterminer la position relative des courbes représentatives des fonctions sur l intervalle

2 Exercice : (3 points) Dans un plan muni d un repère (O,I,J), on considère les points A(-6 ;6) ; B(-1 ; -4) ; C(- ; -1) et les points R et T définis par 1. Déterminer si les points A, B et R sont alignés ou non. 2. Déterminer si les droites (AT) et (CB) sont parallèles ou non. Exercice 6 : (3 points) Résoudre dans R les équations suivantes : Exercice 7 : (2 points) Soit f la fonction définie par ( ) Calculer f (x) en fonction des réels a, b, et c 3 2 f x ax bx cx et (C) sa représentation graphique dans un repère. Déterminer a, b et c sachant que f (0) = 3 et que (C) passe par le point tangente horizontale A 1; et admet en ce point une 3

3 Corrigé Exercice 1 : On donne ci-dessous la courbe représentative d une fonction f définie et dérivable sur [ 3 ; 3], ainsi que quelques tangentes à la courbe. 2, pts A partir du graphique répondre aux questions : 1. Compléter 4 0,2 pt 2. a. h étant un réel non nul quelconque, que représente lorsqu on fait tendre h vers 0? f (2) 0,2 pt b. Donner sa valeur. Graphiquement, on lit f (2)=-1 0,2 pt 3. On définit sur [ 3 ; 3 ] la fonction g par : g(x ) = f (x) (1 + 2x). Donner ( en expliquant) le signe de g(x ) sur [ 3 ; 3]. On remarque que y=1+2x est l équation de la tangente à la courbe au point d abscisse 0. En s aidant du graphique, on en déduit que la courbe est en dessous de la tangente sur ]0 ;3] et qu elle est audessus sur [-3 ;0[. D où le tableau de signes : x Signe de g(x) Exercice 2 : 3, pts 1. Pour chacune des fonctions suivantes, calculer l expression de la fonction dérivée.( on ne s occupera pas des ensembles de définition ni de dérivabilité). +

4 Remarque : L ensemble de définition de h est mais son ensemble de dérivabilité est Exercice 3 : Soit f la fonction définie sur R \ { 3} par dans un repère. x² x 2 f( x) et soit (C) sa courbe représentative x 3 4, pts 1. (C) admet des tangentes horizontales lorsque. La courbe admet donc deux tangentes horizontales aux points d abscisses -1 et a. Déterminer une équation réduite de la tangente D à (C) au point A d abscisse 2. L équation de la tangente au point d abscisse -2 est b. On admet que la droite D a pour équation y = 3x + 6. Montrer qu il existe une autre tangente à (C) parallèle à D. S il existe une autre tangente parallèle à D cela signifie que son coefficient directeur est le même (3). On doit donc vérifier que admet deux solutions Il y a donc deux solutions, il existe donc bien une tangente parallèle à D. Exercice 4 : Déterminer la position relative des courbes représentatives des fonctions sur l intervalle Voir cours

5 Exercice : Dans un plan muni d un repère (O,I,J), on considère les points A(-6 ;6) ; B(-1 ; -4) ; C(- ; -1) et les points R et T définis par 1. Déterminer si les points A, B et R sont alignés ou non. 3 pts On en déduit donc Donc Autre démonstration : Donc sont colinéaires donc A, B et R sont alignés. 2. Déterminer si les droites (AT) et (CB) sont parallèles ou non. On en déduit Autre démonstration : Donc sont colinéaires donc (AT) et (BC) sont parallèles. Exercice 6 : Résoudre dans R les équations suivantes : 3 pts

6 On a donc 2 pts Or Exercice 7 : 3 2 f ( x) ax bx cx Soit f la fonction définie par repère. Calculer f (x) en fonction des réels a, b, et c et (C) sa représentation graphique dans un Déterminer a, b et c sachant que f (0) = 3 et que (C) passe par le point A 1; et admet en 3 ce point une tangente horizontale 2 pts 0, pt Donc (C) passe par le point A 1; 3 que (C) admet en ce point (-1) une tangente horizontale On obtient donc le système En additionnant membre à membre on obtient En remplaçant b par 1 dans la 2 ème équation on obtient La fonction cherchée est donc