f(x) = 2x 2 + 3x 2 2x 2 + 3x 2 = 4, 2x 2 + 3x 2 = 16, 2x 2 + 3x 18 = 0.

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1 DEUIP Service Scolarité Année universitaire 203/204 DST d automne Parcours/Étape : MN0 Code UE : MN0 Épreuve : Mathématiques Date : 3 janvier 204 Heure : 4h Durée : 3 heures Documents non autorisés Épreuve de Jean Roydor et Michael Leguèbe Exercice. a. Déterminer suivant les valeurs de x le signe du polynôme 2x 2 + 3x 2. b. Donner le domaine de définition D f de la fonction f(x) = 2x 2 + 3x 2 Résoudre l équation f(x) = 4. a. Le discriminant du polynôme 2x 2 + 3x 2 vaut = ( 2) = 25 > 0. Ce polynôme a deux racines x = 2 et x = /2. Son signe est celui de 2x 2 à l extérieur des racines, et l opposé entre. b. La racine est définie pour tous les x tels que 2x 2 + 3x 2 est positif ou nul, c està-dire sur ], 2] [/2, + [. Les racines de ce polynôme valent 2x 2 + 3x 2 = 4, 2x 2 + 3x 2 = 6, 2x 2 + 3x 8 = 0. x = 3 4 ( + 7) et x 2 = 3 4 ( + 7). Elles sont toutes les deux dans le domaine de définition de f(x), donc sont des solutions valables de l équation. Exercice 2. Les fonctions suivantes sont-elles paires? impaires? ni l un ni l autre? f (x) = cos(x), f 2 (x) = x 2 +, f 3(x) = 2x 2 3x Une fonction paire est telle que f( x) = x pour tout x de son domaine de définition. Les fonctions impaires sont telles que f( x) = f(x).

2 cos( x) = cos(x). f est paire (propriété du cours). f 2 ( x) = ( x) 2 + = x 2 + = f 2(x). f 2 est paire. f 3 ( x) = 2x 2 + 3x f 3 (x) et f 3 ( x) f 3 (x). f 3 n est ni paire, ni impaire. Attention, un exemple avec une seule valeur de x ne suffit pas pour déterminer la parité d une fonction! Exercice 3. Pour chacune des fonctions suivantes, a. Donner son domaine de dérivabilité. b. Donner sa fonction dérivée. f est dérivable sur R et f (x) = (x 4) 4, f 2 (x) = x2 + x + x 4 f (x) = 4(x 4) 3. C est une dérivée de la forme (u n ) = nu u n. f 2 est dérivable sur R \ {4} (le dénominateur s annule en x = 4) et f 2 (x) = (2x + )(x 4) (x2 + x + ) (x 4) 2, = 2x2 + x 8x 4 x 2 x (x 4) 2, = x2 8x 5 (x 4) 2. C est une dérivée de la forme ( ) u v = u v uv. v 2 Exercice 4. Étude de fonction. Soit f définie sur R par f(x) = x 2 + a. Calculer sa fonction dérivée f et donner le signe de f en fonction de x. b. Quelles sont les limites de f en + et en? Dresser le tableau des variations de f. d. Donner l équation de la tangente à la courbe de f en x = 0. Nous allons maintenant étudier le comportement de f en +. e. Déterminer la fonction g(x) telle que f(x) = x + g(x). f. Montrer alors que la droite d équation y = x est asymptote à la courbe de f en +. Donner la position de cette asymptote par rapport à la courbe. Page 2

3 a. f est dérivable sur R et f x (x) =. La dérivée est du signe de x et s annule x 2 + donc en x = 0. La dérivée est de la forme ( u) = u 2 u. Ne pas oublier u! b. lim f(x) = lim f(x) = +. x + x x f(x) d. La formule générale d une tangente en x 0 est y = f (x 0 )(x x 0 ) + f(x 0 ) (ici on demande la tangente au minimum de f, elle est donc horizontale). En appliquant la formule on obtient y =. Les questions suivantes rapportent des point BNUS. e. Pour x positif on a f(x) = x 2 +, ) = x ( 2 + x2, = x + x 2. (x > 0, sinon x + x 2 ) f. Pour vérifier que la droite d équation y = x est asymptote à la courbe on calcule lim f(x) x = x + lim x x + = lim x + x x, = 0. + x 2 x, De plus, pour tout x x x x 2 > 0, + x 2 >, + x 2 >, + x 2 > x, + x 2 x > 0. Donc pour tout x la courbe de f est au dessus de la droite d équation y = x. Page 3

4 Exercice 5. Les suites ci-dessous sont-elles convergentes? Si oui, donner leur limite. u n = 2 n, v n = n2 + n + n, w n = n 4 n 2. converge et la limite vaut 0. Les deux autres suites ne convergent pas. 2n Exercice 6. Soit (u n ) n N la suite définie par : u n = cos(n) n. a. La fonction cos est-elle bornée? b. En encadrant u n par deux suites convergentes, calculer la limite de (u n ) n N. a. La fonction cosinus est bornée : ses valeurs oscillent entre et. b. Pour tout n N, n u n n. En appliquant le théorème des gendarmes, on en conclut que la limite de la suite vaut 0. Exercice 7. n donne les points A(4, 3), B( 7, ) et C( 2, ). a. Écrire une équation cartésienne de la droite (AB). b. Le point C est-il sur la droite (AB)? Justifiez par le calcul. a. Si un point M est sur la droite (AB), alors les vecteurs AM = ( ) sont colinéaires. Donc 4 4(x 4) (y 3) = 0, 4x 6 y + 33 = 0, ( ) x 4 et AB = y 3 Une équation de (AB) est alors 4x y + 7 = 0. b. 4 ( 2) Donc C n est pas sur (AB). Exercice 8. Soit m un nombre réel, on considère les droites D et D m d équations respectives 2x 3y + 4 = 0 et mx 2y + 2 = 0. a. Donner un vecteur directeur de D et de D m. Page 4

5 b. Déterminer le nombre m pour que les droites D et D m soient parallèles. a. ( ) 3 et 2 ( ) 2 sont des vecteurs directeurs respectivement de D et D m. b. Pour que les droites soient parallèles, ces vecteurs directeurs doivent être colinéaires. C est-à-dire 3m ( 2) ( 2) = 0, m = 4/3. Exercice 9. n considère la droite D d équation cartésienne : 4x + y + 7 = 0 a. Déterminer n un vecteur normal à D, puis calculer sa norme n. b. Notons (0, 0) l origine du plan et B le point de coordonnées B(0, 7). Le point B est-il sur la droite D? Calculer le produit scalaire B. n. En déduire la distance de à la droite D. n rappelle qu un vecteur est dit normal à une droite si il est orthogonal à un vecteur directeur de cette droite. a. n = ( ) 4 et n = = 7. b. B D car = 0. d(0, D) = B. n n = 7 7 = 7. Exercice 0. Une expérience aléatoire consiste à lancer deux dés à quatre faces, un vert et un rouge, parfaitement équilibrés, portant les numéros de à 4. a. Décrire Ω, l univers des issues possibles. Combien y a-t-il d issues possibles? b. n note S la variable aléatoire qui donne le résultat de la somme du nombre vert et du nombre rouge. Donner toutes les valeurs que peut prendre la variable S. Déterminer la loi de probabilité de S (on pourra l écrire sous forme de tableau). Calculez l espérance de S. a. Ω = {(, ), (, 2), (, 3), (, 4), (2, ), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, ), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (4, ), (4, 2), (4, 3), (4, 4)}. Cela fait donc 6 issues possibles. Page 5

6 b. S {2,..., 8}. x P (S = x) Pour vérifier, la somme des probabilités fait bien. E(S) = , = 80 6, = 5. Exercice. Une urne contient six boules : trois vertes, deux oranges et une rouge. Un joueur tire successivement, sans remise, deux boules de l urne. Une boule verte rapporte deux euros, une boule orange un euro et une boule rouge fait perdre deux euros. a. Dessiner l arbre pondéré de cette expérience aléatoire (en indiquant bien les probabilités). a2. En déduire la probabilité de chaque issue. b. n note G la variable aléatoire qui indique le gain (positif ou négatif) du joueur. Quelles valeurs peut prendre la variable G. Déterminer la loi de probabilité de G (on pourra l écrire sous forme de tableau). Calculer l espérance et la variance de G. a. Page 6

7 /2 /3 /6 R 2/5 2/5 /5 3/5 /5 /5 3/5 2/5 R R /5 /5 /0 /5 /5 /5 /0 /5 b. x P (G = x) /5 2/5 /5 /5 2/5 E(G) = , = 2. (G) = E((G E(G)) 2 ), = (4 2) (3 2) (2 2) (0 2)2 5 + ( 2)2 2 5, = , = 6 5 = 3, 2. Page 7