Le second degré. , où a est différent de zéro, est un polynôme de degré 2, de

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1 Le second degré A) Polynôme du second degré et parabole Forme d un polynôme du second degré Déinition : ax Un polynôme qui s écrit la variable réelle x La onction déinie sur IR, par : degré bx c, où a est diérent de zéro, est un polynôme de degré, de ( x) ax bx c a 0 est une onction polynôme du second Remarque : Un polynôme du second degré est réquemment appelé trinôme du second degré ou plus simplement trinôme On dit que a est le coeicient de x, b celui de x et c est le terme constant Théorème : Un polynôme du second degré peut s écrire sous trois ormes : Développée : ( x) ax bx c Canonique : ( x) a x ( x) a x x x x Factorisée : Démonstration : Forme canonique b Pour tout réel x, on a : ( x) ax bx c a x x c a b b b Or pour tout réel x, on a aussi : x x x a a 4a b b b b 4ac Donc pour tout réel x : ( x) a x c a x a 4a a 4a b b 4ac D où et a 4a La ormule de et cette démonstration ne sont pas à apprendre! Remarque : Tous les polynômes du second degré peuvent s écrire sous orme canonique (et évidemment développée) mais pas nécessairement sous orme actorisée (nous démontrerons cela dans la suite de ce chapitre) Exemple : On considère le polynôme du second degré déinie sur IR par : ( x) x x 5 Cette orme est la orme développée avec a, b et c 5 Sa orme canonique est : ( x) x 6 ( x) x 3 x 5 Sa orme actorisée est : Année 06 07

2 Représentation graphique d un trinôme Propriétés : La courbe C représentative d une onction polynôme du second degré a 0 est une parabole Le sommet de la parabole a pour coordonnées ; S Les coordonnées et sont obtenues avec la orme canonique La droite d équation x est un axe de symétrie pour cette parabole : ax bx c Le tableau ci-dessous récapitule ce que nous avons trouvé jusqu à présent : Exercice n : Soit la onction déinie sur IR par : ( x) 0,5x x, 5 La courbe représentative, C, de est donnée sur la page suivante Partie A : Etude de la onction ) Quelle est la nature de cette courbe? ) Donner la orme canonique de 3) Justiier que admet un minimum et déterminer les coordonnées du sommet S de C 4) Déduire de la question ) la orme actorisée de 5) En utilisant la orme la plus adaptée, répondre aux questions suivantes : a) Dresser le tableau de variations de (on justiiera les variations) b) Résoudre l inéquation : ( x) 0 c) Résoudre l équation : ( x) d) Résoudre l équation : ( x), 5 6) Résoudre graphiquement l inéquation : ( x) 0,5x, 5 7) Retrouver algébriquement le résultat précédent Année 06 07

3 Partie B : algorithmique On considère l algorithme suivant rédigé à l aide du logiciel AlgoBox : ) Quel est le but de cet algorithme? ) Taper, sur votre calculatrice, un programme (qu on pourra nommer «CANONIQUE») correspondant à cet algorithme Année 06 07

4 B) Equation du second degré Discriminant et racine(s) d un trinôme a, b et c désignent des réels avec a 0 Déinition : Résoudre une équation du second degré, c est trouver l ensemble des réels x qui vériient l égalité : ax bx c 0 Les solutions de l équation ax bx c 0 sont les racines du polynôme ax bx c et les abscisses des points d intersection de la parabole avec l axe des abscisses Déinition : Le discriminant d un polynôme du second degré ax bx c est le nombre : Le discriminant permet la résolution d une équation du second degré b 4ac Théorème de résolution (admis) Théorème : Racine(s) de l équation du second degré : ax bx c 0 er cas : b 4ac 0 alors l équation admet deux racines réelles distinctes qui sont : b b x et x a a ème b cas : b 4ac 0 alors l équation admet une racine double qui vaut : x a 3 ème cas : b 4ac 0 alors l équation n admet aucune racine réelle Le tableau ci-dessous récapitule ces diérentes situations : Année 06 07

5 Exercice n : Résoudre dans IR les équations suivantes : ) x x 3 0 ) x 9x 4 0 3) 0,0x 0, x 0 4) x 6x 35 Exercice n 3 : Résoudre dans IR les équations suivantes : ) x 3 7 x 5 x 3x x x ) 0 3) x 3 x x Exercice n 4 : Soit h la onction polynôme du second degré déinie sur IR par : On donne son tableau de variations : h( x) ax bx c a 0 ) Quel est le signe de a? ) On sait, de plus, que la onction h s'annule en x a) Déterminer, sans calculs, la deuxième valeur x pour laquelle la onction h s'annule b) Déterminer l'expression h (x) en onction de x 3 Factorisation d un trinôme du second degré Théorème : Soit une onction polynôme du second degré déinie sur IR par : On note b 4ac son discriminant er cas : 4ac 0 ( x) ax bx c b alors pour tout réel x, on a ( x) a x x x x ème cas : 4ac 0 x b et a x avec b a b alors pour tout réel x, on a ( x) a x x 3 ème cas : b 4ac 0 alors n a pas de orme actorisée avec x b a Exercice n 5 : Donner les ormes actorisées (lorsqu elles existent) des polynômes du second degré suivants : ) Pour tout réel x : ( x) 7x 4x ) Pour tout réel x : g ( x) 3x x 4 3) Pour tout réel t : h ( t) 4t 4t 36 Exercice n 6 : Pour tout x IR/{ 3 ; 4} simpliier l expression suivante (on pensera à actoriser le numérateur x x 3 et le dénominateur) : ( x) x x 4 Année 06 07

6 C) Signe du trinôme Théorème : Lorsque 0, l équation ( x) 0 admet deux racines réelles x et x Alors (x) et a sont de signes contraires entre x et x et de même signe à l extérieur b Lorsque 0, (x) est toujours du signe de a, sau en a où il vaut 0 Lorsque 0, (x) est toujours du signe de a Le tableau ci-dessous récapitule ces diérentes situations : Année 06 07

7 Bilan de la leçon Année 06 07

8 Exercice n 7 : ) Etudier le signe des trinômes suivants : A ( x) 4x 3x 4 ; B ( x) x 4x 36 et C ( x) x 4x ) Donner, si possible, la orme actorisée de ces trinômes Exercice n 8 : Résoudre dans IR les inéquations suivantes : ) x 8x 0 ) 9x 6x 0 Exercice n 9 : Résoudre dans IR les inéquations suivantes : ) x x x ) x x 3) x 4x x 6 4) x x x 3 0 x 3 3) x x Exercice n 0 : Soit la onction déinie sur IR par : ( x) x 3x 9 On note C la parabole représentant et D la droite d équation : y 3x ) Visualiser à la calculatrice les courbes C et D ) Préciser les abscisses des points où la courbe C traverse l'axe des abscisses 3) Donner la orme canonique de et déterminer les variations de sur IR 4) Résoudre l'inéquation : ( x) 0 5) Interpréter graphiquement ce résultat 6) Résoudre l'inéquation : ( x) 3x 7) Interpréter graphiquement ce résultat Exercice n : Dans cet exercice vous ne pouvez utiliser le discriminant qu une seule et unique ois! Soit P la onction déinie sur IR par : P ( x) x 8x 65 ) Donner la orme canonique de P ) En déduire la orme actorisée de P 3) En utilisant la orme la plus adaptée, répondre aux questions suivantes : a) Dresser le tableau de variations de P b) Résoudre l inéquation : P ( x) 0 c) Résoudre l équation : P ( x) 65 d) Résoudre l équation : P ( x) x 5 e) Résoudre l inéquation : P ( x) 9 Exercice n : Soit la onction déinie sur IR par : x x x m ) Pour quelle(s) valeur(s) de m la parabole P passe-t-elle par le point E ; 7? ) Pour quelle(s) valeur(s) de m le minimum de la onction est-il égal à 9? 3) Pour quelle(s) valeur(s) de m la parabole représentative P de la onction coupe-t elle l axe des abscisses en un seul point? Année 06 07

9 Exercice n 3 : Animaux sauteurs Les bonds des animaux sauteurs sont typiquement des trajectoires paraboliques La igure cidessous illustre le bond d'une grenouille superposé à un système de coordonnées La longueur du saut est de,7 m et la hauteur maximale au-dessus du sol est de 0,9 m Sur quelle distance la grenouille a-t-elle été à plus de 0,5 m de hauteur? On donnera tous les résultats sous orme de ractions irréductibles Exercice n 4 : Déterminer les couples solutions des systèmes suivants : x y 6 xy 3569 Exercice n 5 : Dans un carré de 0cm de côté, on a colorié une bande de largeur x cm et un carré de côté x cm centré comme sur la igure ci-dessous On note A la onction qui donne, en onction de x, l'aire du domaine coloré ) Quel est le domaine de déinition de A? ) Montrer que l aire A (x) de l enclos est déinie par : A( x) 3x 40x 3) Donner la orme canonique de A 4) Dresser le tableau de variations de A en justiiant ses variations 5) Déterminer pour quelle(s) valeur(s) de x, l aire coloriée est supérieure ou égale à l aire de la partie blanche Exercice n 6 : Pour ce rendre d une ville A à une ville B distantes de 95km, deux cyclistes partent en même temps L un d eux, dont la vitesse moyenne sur ce parcours est supérieure de 4km/h à celle de l autre, arrive heure plus tôt Quelles sont les vitesses des deux cyclistes? Année 06 07

10 Exercice n 7 : Vrai Faux avec justiications Soit la onction déinie par : x ax bx c avec a 0 On note P sa courbe représentative et son discriminant Pour chacune des airmations suivantes, dire si elle est vraie ou ausse, en justiiant rapidement votre réponse avec une propriété, un graphique, un contre-exemple ) Si a 0 alors admet un minimum ) Si a 0, b 0 et c 0 alors pour tout réel x on a : x 0 3) Si pour tout réel x, x 0, alors 0 4) Si est solution de l équation x 0 alors a b c 0 5) Si 0 et a 0 alors l inéquation x 0 admet des solutions 6) Si a et c sont de même signe alors est actorisable Exercice n 8 : On considère l algorithme suivant rédigé à l aide du logiciel AlgoBox : ) Quelle est le but de cet algorithme? ) Taper un programme nommé «ND DEGRE» correspondant à cet algorithme sur votre calculatrice Année 06 07

11 Exercice n 9 : Dans un triangle ABC rectangle en A, on place les points D et E respectivement sur [AC] et [AB] tels que AD = BE = x On sait que : AB = 8m et AC = 8m Déterminer les valeurs de x pour lesquelles l aire de ADE est inérieure à la moitié de l aire du triangle ABC Année 06 07