Corrigé de l exercice 1

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1 Page 1/ Fonctions : sens de variation - Classe de 1 ère S Corrigé de l eercice 1 1. On considère la fonction f définie sur I = [ 1 ; 10] par f() = a) Justifier que f est Pour déterminer la valeur interdite, on doit résoudre + 4 = = 0 = 4 = 4 = Or n est pas dans l intervalle [ 1 ; 10] et comme f est un quotient de polynômes, alors f est b) Déterminer f () pour tout [ 1 ; 10]. f () = ( + 4) ( 4) ( + 4) = 1 ( + 4) c) En déduire le sens de variations de f sur I. Comme ( + 4) est un carré, il est toujours positif. De plus, 1 > 0 donc pour tout de I, f () > 0. f () f () 3 3. Étudier le sens de variations de h définie par h() = sur [ 10 ; 10]. h () = Je dois étudier le signe de h () qui est un polynôme du second degré. Je calcule = ( 9) 4 9 ( 378) = et = 117. Comme > 0, h () a deu racines : ( 9) = = = 108 ( 9) = = = 1 = = 7 Les racines de h sont 1 = et = 7. Comme > 0, h () est du signe de a entre les racines. Ainsi h () On obtient ainsi le tableau de variation de h. Année 01/017

2 Page / Fonctions : sens de variation - Classe de 1 ère S h () h () Corrigé de l eercice 1. On considère la fonction k définie sur I = [0 ; 10] par k() = 4 1. a) Justifier que k est Pour déterminer la valeur interdite, on doit résoudre 1 = 0. 1 = 0 = 1 = 1 1 = 1 Or 1 n est pas dans l intervalle [0 ; 10] et comme k est un quotient de polynômes, alors k est b) Déterminer k () pour tout [0 ; 10]. k () = 11 ( 1) ( 4) ( 11) ( 1) = ( 1) c) En déduire le sens de variations de k sur I. Comme ( 1) est un carré, il est toujours positif. De plus, < 0 donc pour tout de I, k () < 0. Ainsi, on obtient k () 0 10 k () Étudier le sens de variations de g définie par g() = sur [ 10 ; 10]. g () = Je dois étudier le signe de g () qui est un polynôme du second degré. Je calcule = ( 3) 4 3 ( 0) = 79 et 79 = 7. Comme > 0, g () a deu racines : ( 3) 79 3 = 3 79 = 3 7 = 4 ( 3) = 30 = 4 = = = Année 01/017

3 Page 3/ Fonctions : sens de variation - Classe de 1 ère S Les racines de g sont 1 = 4 et =. Comme > 0, g () est du signe de a entre les racines. Ainsi g () On obtient ainsi le tableau de variation de g. g () g () Corrigé de l eercice 3 1. On considère la fonction k définie sur I = [ 10 ; 0] par k() = + 1. a) Justifier que k est Pour déterminer la valeur interdite, on doit résoudre 1 = 0. 1 = 0 = 1 = 1 Or 1 n est pas dans l intervalle [ 10 ; 0] et comme k est un quotient de polynômes, alors k est b) Déterminer k () pour tout [ 10 ; 0]. k () = ( ) ( 1) ( + ) ( 1) = 8 ( 1) c) En déduire le sens de variations de k sur I. Comme ( 1) est un carré, il est toujours positif. De plus, 8 < 0 donc pour tout de I, k () < 0. Ainsi, on obtient k () 10 0 k () 1. Étudier le sens de variations de p définie par p() = sur [ 10 ; 10]. p () = Je dois étudier le signe de p () qui est un polynôme du second degré. Je calcule = = 144 et 144 = 1. Année 01/017

4 Page 4/ Fonctions : sens de variation - Classe de 1 ère S Comme > 0, p () a deu racines : = = = = = 4 = = 7 = 3 Les racines de p sont 1 = 7 et = 3. Comme > 0, p () est du signe de a entre les racines. Ainsi p () On obtient ainsi le tableau de variation de p. p () p () Corrigé de l eercice 4 1. On considère la fonction h définie sur I = [ 1 ; 10] par h() = a) Justifier que h est Pour déterminer la valeur interdite, on doit résoudre + = 0. + = 0 = = Or n est pas dans l intervalle [ 1 ; 10] et comme h est un quotient de polynômes, alors h est b) Déterminer h () pour tout [ 1 ; 10]. h () = ( 3) ( + ) ( 3 + 7) ( + ) = 3 ( + ) c) En déduire le sens de variations de h sur I. Comme ( + ) est un carré, il est toujours positif. De plus, 3 < 0 donc pour tout de I, h () < 0. Ainsi, on obtient h () 1 10 h () 10 3 Année 01/017

5 Page / Fonctions : sens de variation - Classe de 1 ère S. Étudier le sens de variations de h définie par h() = sur [ 10 ; 10]. h () = Je dois étudier le signe de h () qui est un polynôme du second degré. Je calcule = ( 4) = 79 et 79 = 7. Comme > 0, h () a deu racines : ( 4) 79 9 = 4 79 ( 4) + 79 = = = = = 7 = 1 = 4 Les racines de h sont 1 = 1 et = 4. Comme > 0, h () est du signe de a entre les racines. Ainsi h () On obtient ainsi le tableau de variation de h. h () h () Corrigé de l eercice 1. On considère la fonction f définie sur I = [ 10 ; 0] par f(t) = 3t 9 t. a) Justifier que f est Pour déterminer la valeur interdite, on doit résoudre t = 0. t = 0 t = t = Or n est pas dans l intervalle [ 10 ; 0] et comme f est un quotient de polynômes, alors f est b) Déterminer f (t) pour tout t [ 10 ; 0]. f (t) = ( 3) (t ) ( 3t 9) (t ) = 1 (t ) c) En déduire le sens de variations de f sur I. Comme (t ) est un carré, il est toujours positif. De plus, 1 > 0 donc pour tout t de I, f (t) > 0. Année 01/017

6 Page / Fonctions : sens de variation - Classe de 1 ère S t f () f () 1 9. Étudier le sens de variations de q définie par q() = sur [ 10 ; 10]. q () = Je dois étudier le signe de q () qui est un polynôme du second degré. Je calcule = ( 4) = 3 et 3 =. Comme > 0, q () a deu racines : ( 4) 3 3 = 4 3 = 4 = 3 ( 4) = 48 = = 8 = = 4 + Les racines de q sont 1 = et = 8. Comme > 0, q () est du signe de a entre les racines. Ainsi q () On obtient ainsi le tableau de variation de q. q () q () Année 01/017