A) La fonction carrée
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- Monique Bordeleau
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1 nde fonctions polynômes du second degré A) La fonction carrée. Définition La fonction carrée est la fonction f définie sur R par f(x) = x. Exemples : et ont la même image par f qui est... 9 a deux antécédents par f qui sont les nomres réels... et... Donner un nomre qui n a aucun antécédent par f :.... Taleau de valeurs En utilisant la calculatrice, remplir le taleau de valeurs de la fonction f qui, à chaque nomre réel x appartenant à l intervalle [ ; ] associe son carré, en prenant un pas égal à 0,5 : 3 x f(x) 0 3 On remarque que la coure représentative de la fonction carrée est située... de l axe des ascisses et f(0) =... conséquence : Pour tout nomre réel x on a... La fonction carrée admet un... égal à Sens de variation de la fonction carré D après le graphique, on peut étalir le taleau de variation de f. x f 0 f est strictement décroissante sur ]- ; 0] et.f est strictement croissante sur [0 ; + [ Démonstration à connaitre : Soient a et deux nomres réels tels que a <. On compare f(a) et f(). f(a) f() =... Si a et sont positifs ou nuls alors a + est la somme de deux... d où a +... et comme a..., on déduit que f(a) f()... Conclusion : pour tout nomres réels a et tels que a <, on a : f(a)... f(). Donc f est strictement... sur [0 ; + [. Si a et sont négatifs ou nuls alors a + est la somme de deux... d où a +... et comme a..., on déduit que f(a) f()... Conclusion : pour tout nomres réels a et tels que a <, on a : f(a)... f(). Donc f est strictement... sur ]- ; 0] nde - - Fonction polynôme de degré
2 4. Représentation graphique Définition : Soit un repère orthonormé du plan (O, i, j ) La coure représentative de la fonction carrée est une paraole de sommet O. Propriété : Dans un repère orthogonal, la coure représentative de la fonction carrée est symétrique par rapport à l axe des ordonnées. Autrement dit la représentation graphique de la fonction carrée admet l axe des ordonnées pour axe de symétrie. Démonstration : Pour tout réel a, on compare f( a) et f(a) :... On en déduit que les deux points d ascisses respectives a et a (qui sont des ascisses opposées) ont Les points sont donc symétriques par rapport à... On dit que la fonction carrée est... Remarques : la fonction carrée n est pas linéaire et n est pas affine. x f(x) La fonction carré n est pas linéaire. Pour le démontrer, on vérifie que le taleau de valeurs n est pas un taleau de proportionnalité : f() = et f() = 4 on constate que 4 Autre méthode : on peut aussi prouver que l une des propriétés de linéarité n est pas vérifiée f() + f() = + 4 = 5 et f(+)= f(3) = 9 on constate que f() + f() f(+) La fonction carré n est pas affine. f () f () 4 f (3) f () et 5 3 Le taux d accroissement n est pas constant 5. Utiliser les variations de la fonction carré Propriétés : Deux nomres positifs sont rangés... que leurs carrés. Deux nomres négatifs sont rangés... de leurs carrés. Applications : Comparer : a),8² et,² ) ( 0, 34)² et (,07)² Ojectif : Déduire de l encadrement de x, le meilleur encadrement possile de x² lorsque : a) x 3 ) x < 3 c) x [ 3 ; ] d) x ] 3 ; [ nde - - Fonction polynôme de degré
3 Méthode intuitive : Pour trouver les valeurs possiles de x² on peut utiliser le graphique ou le taleau «partiel» des variations de f a) ) c) d) Taleau de variations sur D Taleau de variations sur D Taleau de variations sur D Taleau de variations sur D l ensemle des solutions : l ensemle des solutions : l ensemle des solutions : l ensemle des solutions : Méthode algérique : à faire. Remarque : Equations du type Résoudre les équations suivantes : x = 0 x = 8 x = 5x + = 6 Théorème : (rappel) Soit a un nomre réel. - Si a = 0 alors l équation admet :... S =... - Si a > 0 alors l équation admet :... S =... - Si a < 0 alors l équation :... S = Inéquations du type x² a : Résoudre les inéquations suivantes : x x < 9 x < 4 x 4 Théorème : Soit a un nomre réel strictement positif. L inéquation x² a admet pour ensemle de solutions : S =... L inéquation x² < a admet pour ensemle de solutions : S =... nde Fonction polynôme de degré
4 II. Fonctions polynômes du nde degré. Définition On appelle fonction polynôme du nde degré toute fonction f définie sur IR par : f(x) = ax x c où a,, c (avec a 0) sont des réels donnés appelés coefficients de f. Remarque : l écriture f(x) = ax x c est l écriture développée de la fonction polynôme de degré. Exemples :. Expression canonique Propriété : Soit f : x ax x c une fonction polynôme de degré ( avec a 0). f peut s écrire sous la forme : ² 4ac f ( x) a( x )² avec et f ( ) a 4a Cette forme s appelle la forme canonique de f. Démonstration (sur cahier d exercices) : Pour tout réel x, montrer que : Exercices (à chercher) : A = x 4x 5 =... f ( x) a x a 4ac 4a B = x 8x 0 =... C = 5x 0 x =... x 4x = Sens de variation Soit f : x ax x c une fonction polynôme de degré ( avec a 0). Si a > 0, f est décroissante sur ] - ; ] et croissante sur [ ; + [. a a Si a < 0, f est croissante sur ] - ; ] et décroissante sur [ ; + [. a a Démonstration : on utilise la forme canonique f ( x) a( x )² Si a > 0 Pour tous réels x et x de [ ; + [ tels que x < x, on a : x... x (x )²... (x )² car la fonction carrée est... sur [0 ; + [ a (x )²... a (x )² car on multiplie par le nomre... a a (x )² +... a (x )²+ f(x )... f(x ) 3 ) Conclure :... Si a < 0 méthode : reprendre les questions précédentes. nde Fonction polynôme de degré
5 4. Représentation graphique Définition : Soit un repère orthonormé du plan (O, i, j ) La coure représentative de la fonction polynôme de degré f : x ax x c (avec a 0).est une ² 4ac paraole de sommet le point S ( ; ) avec et β = f (α) (rappel : ). a 4a Propriété : Dans un repère orthogonal, la paraole admet pour axe de symétrie la droite passant par S et parallèle à l axe des ordonnées. Retravailler le module : fonction carrée et fonctions associées. Propriété : La fonction f admet soit un minimum soit un maximum qui vaut β et qui est atteint en x = α. Démonstration : on utilise la forme canonique Si a > 0 ) Calculer f( ) ) Pour tout réel x montrer que : f(x) f( ) f ( x) a( x )² 3 ) Conclure Si a < 0 En vous aidant des questions précédentes, trouver une méthode équivalente. Conséquence : Le signe de a permet de connaître l allure de la paraole et le sens de variation de la fonction f : - Si a > 0, la paraole est tournée vers le haut. - Si a < 0, la paraole est tournée vers le as. Exemples : f : x 5x 0x f : x x 4x a =5 donc a > 0 a = donc a < 0 y 30 y x x =... et β =... donc le sommet de la paraole est le point S (... ;...) =... et β =... donc le sommet de la paraole est le point S (... ;...) nde Fonction polynôme de degré
6 5. Application : exercice modèle Exercice : Soit f : x x 8x 7 et soit C f sa paraole représentative dans un repère orthogonal.. Ecrire la forme canonique de f(x). a. Déterminer les coordonnées du sommet S de la paraole.. Montrer que la fonction f admet un minimum. Pour quelle valeur est-il atteint? c. En déduire le sens de variation de f. 3. En déduire l axe de symétrie de C f et le tracé de C f. y x 4. Ecrire la forme factorisée de f(x). 5. Choisir la forme d écriture la mieux adaptée de f(x) pour répondre aux questions suivantes : a. Déterminer l intersection de C f avec l axe des ordonnées.. Déterminer l intersection de C f avec l axe des ascisses. c. Quels sont les points de C f d ordonnée 7? Justifier par un calcul. (Vérifier graphiquement). nde Fonction polynôme de degré
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