Ch.1èVecteurs et droites du plan

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1 ChèVecteurs et droites du plan I Colinéarité de deux vecteurs ere S définition Deux vecteurs non nuls u et v sont colinéaires s'il existe un réel k tel que v = k u Autrement dit, dans un repère ( O, I, J ), leurs coordonnées sont proportionnelles s Les vecteurs u 5 et v 5 9 sont colinéaires En effet : v = u Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur u car 0 = 0 u Les vecteurs u = m n et v = n m sont-ils colinéaires? On observe que u = m + n = v donc u r et v r sont colinéaires Dans un repère du plan, les vecteurs u x y et v x y sont colinéaires si et seulement si xy yx = 0 Démonstration u et v colinéaires k / v = k u k / xy yx = x ky y kx = k xy xy = cqfd Les vecteurs u 5 et v ( ) 0 4 sont-ils colinéaires? 5 + ( )( ) ( )( ) ( ) xy yx = = 5 4= 5 4= 0 On en déduit que u et v sont colinéaires À quoi ça sert? s (rappels nde) Deux droites ( AB ) et ( CD ) sont parallèles si et seulement si les vecteurs AB et CD sont colinéaires Trois points ABC,, sont alignés si et seulement si les vecteurs AB colinéaires et AC sont

2 Application Dans un repère ( OIJ,, ), on donne : A( ; ), B ( ;5), C ( ; ) et D( x ;) ( AB ) et ( CD ) soient parallèles Déterminer x pour que les droites Application / Écrire un algorithme qui demande les coordonnées de trois points et dit en conclusion s'ils sont ou non alignés / Écrire le programme sur Algobox et sur calculatrice ; ;5 C ; / Le tester avec les points A( ), B ( ), ( ) Solution II Décomposition d'un vecteur : règle du parallélogramme Soit A, B, C trois points du plan Alors AB point tel que ABDC soit un parallélogramme + AC = AD où D est le et définition Soit A, B, C trois points non alignés du plan Pour tout point M du plan : il existe des réels x et y tels que AM = x AB ce couple de réels ( x; y ) est unique " On dit que A ; AB ; AC + y AC ( ) est un repère du plan et que ( ; ) x y est le couple de coordonnées de M dans ce repère

3 Ce couple ( x; y ) est aussi le couple de coordonnées dans le repère ( ; ; ) A B C Application Soit ABC un triangle Soient M le point tel que AM = BC Déterminer les coordonnées de M et de N dans le repère A ; AB Solution " " AM = BC = BA + AC et N le point tel que BN " ; AC ( ) ( ) = AB + AC ( " ; AC), le point M a pour coordonnées ( ;) on en déduit que dans le repère A ; AB " " De même : BN = AC BA + AN = AC AN = BA AC AN = AB AC " donc dans A ; AB ; AC ; ( ), le point N a pour coordonnées ( ) Solution " Dans le repère A ; AB ; AC Ainsi, en notant ( ; ) ( ), on a : ( ;0) B et ( 0;) C x On en déduit : BC C x B = 0 d'où BC y C y B = 0 " x y les coordonnées de M dans A ; AB ; AC AM = BC x y x = M A M ( ;) M y = A ( ) : = AC On raisonne de même pour le point N définition On appelle base du plan vectoriel, tout couple de deux vecteurs non colinéaires s Deux vecteurs u et v non colinéaires forment une base notée u ; v ( ) Les côtés d'un triangle quelconque non aplati permettent de former des bases : Lorsqu'une base u ; v w = x u + y v ( ) est définie, pour tout vecteur w r du plan, il existe un unique couple de réels ( ; ) x y tel que : Détermination des coordonnées de w et w dans la base w = u + v et w = u v u ; v ( ) : Ainsi, dans la base u ; v ( ), on a : w et w

4 4 Application 4 choisir une décomposition pertinente pour résoudre un problème A, B, C sont trois points non alignés Les points D, Eet F sont définis par : AD = AB, AE = AC et BF = BC Démontrer que les trois points D, Eet F sont alignés Solution Dans le repère ( " A ; AB ; AC) : D ( ;0), E 0; AF = AB + BF De plus : = AB + BC " = AB + BA = AB + AC + AC d'où : F ( ;) On en déduit immédiatement : DE et DF 4 Calculons xy yx = ( 4) = 6+ 6= 0 D'où DE et DF colinéaires et D, E, F alignés III Vecteur directeur - équation de droite définition Un vecteur est appelé vecteur directeur d'une droite lorsqu'il a la même direction que cette droite Les vecteurs u et AB sont colinéaires donc le vecteur u AB, d'où u est un a la même direction que la droite ( ) vecteur directeur de ( AB ) Une droite a une infinité de vecteurs directeurs Conséquence Tout vecteur non nul colinéaire à un vecteur AB est un vecteur directeur AB de la droite ( ) Les points,, A B C sont alignés La droite ( ) AB admet donc AB pour vecteur directeur, mais aussi n'importe quel vecteur non nul " colinéaire à AB Par exemple BC, AB, CA, etc Équation cartésienne d'une droite ( ) Dans la suite, on se place dans un repère O ; i ; j Rappel : une équation de droite est une égalité vérifiée par les coordonnées x et y de tous les points de cette droite

5 Conséquence : pour vérifier qu'un point appartient à une droite, on s'assure que ses coordonnées vérifient l'équation de la droite A ; appartient à la droite d'équation x 4y = 8+ 5= 0 : ( ) + + = car ( ) 5 Toute droite du plan admet une équation de la forme ax + by + c = 0, où a; betc sont des réels tels que a 0 où b 0 Toute relation de la forme ax + by + c = 0 ( où a; betc sont des réels tels que a 0 où b 0 ) est appelée équation cartésienne de droite Démonstration On sait qu'une droite admet une équation de la forme : cas : x= k si elle est parallèle à l'axe des ordonnées ; cas : y = mx+ p pour les autres cas (où k; met p sont des réels) Dans le cas : l'équation équivaut à x k = 0 On obtient donc l'équation voulue en posant a=, b= 0etc= k Dans le cas : l'équation équivaut à mx y + p = 0 On obtient donc l'équation voulue en posant a= m, b= etc= p Réciproquement, considérons la relation ax + by + c = 0 où a; betc sont des réels tels que a 0 où b 0 a c Si b 0, alors cette équation équivaut à y = x b b a c Ce résultat est l'équation réduite de la droite de coefficient directeur et d'ordonnée à l'origine b b c si b = 0 alors a 0 et l'équation ax + by + c = 0 s'écrit ax + c = 0 c'est-à-dire x = a Ce résultat est l'équation réduite d'une droite parallèle à l'axe des abscisses Application 5 démontrer l'appartenance d'un point à une droite Dans un repère O ; i ; j ( ), on considère les points ( 4; ) A, B ( ;), C( ;6) et D( ; ) / Donner une équation cartésienne de la droite ( AB ) Attention Méthode à retenir / Les points C et D appartiennent-ils à la droite ( AB )? / Déterminer l'abscisse du point E d'ordonnée qui appartient à la droite ( AB ) Lien entre vecteur directeur et équation Du vecteur directeur à l'équation de droite proposition La donnée des coordonnées d'un point et d'un vecteur directeur d'une droite permet de déterminer une équation cartésienne de cette droite démonstration Soit ( d ) une droite, Ax ( ; y ) un point de ( ) Cherchons une équation cartésienne de ( ) ( ; ) ( d) M x y A d : ssi AM et u colinéaires : A d et u α β un de ses vecteurs directeurs

6 ( x xa) β α ( y ya) = 0 βx αy+ ( αya βxa) = 0 Une équation de la droite ( ) d est donc : ax + by + c = 0 avec a = β, b = α et c= αya βxa 6 De l'équation de droite au vecteur directeur Soit m un nombre réel Le vecteur de coordonnées est un vecteur directeur m de toute droite d'équation y = mx+ p où p est un nombre réel 0 Tout vecteur de coordonnées où λ est un réel, est un vecteur λ directeur de la droite d'équation x= k où k est un réel conséquence b Le vecteur de coordonnées est un vecteur directeur de toute droite d'équation ax + by + c = 0 où où a; betc a sont des réels tels que a 0 ou b 0 Un vecteur directeur de la doite d'équation x y+ 4= 0 est le vecteur de coordonnées Tout vecteur non nul dont les coordonnées sont proportionnelles à est un vecteur directeur de cette droite Par exemple 5 La droite d'équation y = x a pour vecteur directeur En effet : y= x 0y= 4x 4x 0y = 0 dont un vecteur directeur est colinéaire au vecteur de coordonnées Application 6 trouver une équation cartésienne de droite Donner une équation cartésienne de la droite ( d ) passant par le point ( 5;) Méthode M ( x ; y) ( d) AM et u " colinéaires ( ) ( ) ( ) ( )( ) M x; y d 4 x 5 y = 0 4x 0 + y 6 = 0 4x+ y 6 = 0 conclusion : une équation cartésienne de ( ) " AM x 5 y d est : 4x+ y 6= 0 A de vecteur directeur u donc : 4

7 7 Méthode u 4 étant un vecteur directeur de ( d ), une équation cartésienne de ( ) d s'écrit : 4x y+ c = 0 D'autre part : A( 5;) ( d) signifie que les coordonnées de A vérifient l'équation de ( ) 45 ( ) ( ) + c = c = 0 c = 6 concl : une équation cartésienne de ( ) d est : 4x y+ 6 = 0 d, cad : Application 7 reconnaître des droites parallèles ) Dans un plan muni d un repère 0 ; i ; j d équation y = x ( ), tracer la droite d ) Comment semblent être ces droites l une par rapport à l autre? ) Le démontrer solution Les droites d Démonstration ( ) et ( d ) semblent être parallèles Un vecteur directeur de la droite d coordonnées : u 6 Une équation cartésienne de d vecteur directeur de d v ( ) est le vecteur u de ( ) est : x y = 0 et un ( ) est le vecteur v de coordonnées : On observé immédiatement que u = v Ainsi les vecteurs u et v sont colinéaires et les droites d d ( ) et ( ) sont parallèles ( ) d équation 6x y += 0 et la droite ( d ) Remarque : on pouvait justifier le parallélisme en prouvant que les deux droites ont des coefficients directeurs égaux