Étude de l effet de la dépendance dans le modèle collectif de risque

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1 René LeBlanc Étude de l effet de la dépendance dans le modèle collectif de risque Essai présenté à la Faculté des études supérieures de l Université Laval pour l obtention du grade de maître ès sciences (M. Sc.) Département de mathématiques et de statistique FACULTÉ DES SCIENCES ET DE GÉNIE UNIVERSITÉ LAVAL QUÉBEC AVRIL 2000

2 Résumé L une des principales préoccupations de l actuaire concerne la prévision du risque global encouru par un assureur lors de la prise en charge d un portefeuille de contrats. Le modèle collectif de risque à m 1 classes d affaires est fréquemment utilisé à cet effet. Après avoir rappelé ladéfinition de ce modèle, ses principales caractéristiques et les différentes lois qui entrent dans sa composition, on fait état de travaux récents visant à tenir compte d une éventuelle dépendance entre le nombre de réclamations générées par les différentes classes d affaires du portefeuille. Trois approches possibles sont décrites : le modèle de Poisson avec chocs communs, le modèle à composantes communes, et la modélisation de la structure de dépendance entre le nombre de réclamations à l aide de copules. Le degré de dépendance relatif introduit par ces différentes approches peut être qualifié au moyen d ordres stochastiques, que l on définit et dont on documente certaines conséquences, notamment sur l ordonnancement des primes stop-loss. Ces résultats sont illustrés au moyen de simulations. Christian Genest René LeBlanc Directeur de recherche Étudiant Étienne Marceau Co-directeur

3 Remerciements Je tiens tout d abord à remercier mes co-directeurs, MM. Christian Genest et Étienne Marceau, respectivement professeurs au Département de mathématiques et de statistique et àl École d actuariat de l Université Laval, pour m avoir aidé àréaliser un essai dans le domaine de l actuariat, pour leur disponibilité et leur encadrement, que j ai grandement appréciés. Je veux aussi remercier Madame Hélène Cossette, professeur àl École d actuariat, pour ses commentaires judicieux lors de l évaluation de l essai. Ensuite, je désire exprimer ma gratitude à tous les membres (professeurs, professionnels et collègues de travail) du Département de mathématiques et de statistique de l Université Laval qui ont fait de mon séjour dans cette université une expérience des plus agréables et des plus enrichissantes. Je veux aussi remercier Patrice Gaillardetz, étudiant à la maîtrise en actuariat à l Université Laval, pour m avoir aidé avec la programmation et pour avoir répondu à toutes mes questions. Enfin, je voudrais exprimer ma reconnaissance à toute ma famille, mes ami(e)s pour leur support continu. Sans eux, je n aurais pu terminer ma maîtrise. Ce travail a été financé par une bourse d études du Conseil de recherches en sciences naturelles et en génie du Canada et par des octrois individuels et collectifs accordés à Christian Genest par le même organisme, ainsi que par le Fonds pour la formation de chercheurs et l aide à la recherche du Gouvernement du Québec.

4 Table des matières Introduction 1 Chapitre 1. Le modèle collectif de risques Introduction Modèle collectif à une seule classe Modèles pour le nombre N de réclamations Loi de Poisson Loi binomiale Loi binomiale négative Loi Poisson inverse gaussienne La classe (a, b, 1) de distributions pour N Modèles pour le montant d une réclamation X Distribution de la somme S des réclamations...12 Chapitre 2. Le modèle collectif à m classes d affaires Modèle collectif à deux classes d affaires Modèle collectif à m classes d affaires Modèle de Poisson avec chocs communs Modèle avec composantes communes...27 Chapitre 3. Modèles avec copules Définition et propriétés des copules Bornes de Fréchet et mesures d association Exemples de familles de copules Applications des copules au modèle collectif à m classes d affaires.. 35 i

5 Chapitre 4. Les ordres stochastiques Relations d ordres stochastiques (n =2)etgénéralisations Concordance Ordonnancement de sommes aléatoires Chapitre 5. Exemples numériques Exemple pour un portefeuille avec m =2 classes d affaires Exemple pour un portefeuille avec m =3 classes d affaires Exemple pour un portefeuille avec m =4 classes d affaires...65 Conclusion 76 Bibliographie 77 Annexe A 79 Distribution du nombre de réclamations Annexe B 83 Distribution du montant d une réclamation Annexe C 86 Programme ii

6 Liste des tableaux Tableau 1.1 : Liste de distributions usuelles pour la modélisation du montant des sinistres en actuariat...11 Tableau 5.1 :Fonctionderépartition de S = S 1 + S 2 pour différentes structures de dépendance...50 Tableau 5.2a :Fonctionderépartition de (N 1,N 2 )pourdifférentes structures de dépendance...51 Tableau 5.2b :Fonctionderépartition de (N 1,N 2 )pourdifférentes structures de dépendance...52 Tableau 5.3 : Primes stop-loss pour différentes structures de dépendance...53 Tableau 5.4a : Valeurs de la fonction de répartition F S (s) lorsque S = S 1 + S 2 + S Tableau 5.4b : Valeurs de la fonction de répartition F S (s) lorsque S = S 1 + S 2 + S Tableau 5.5a : Valeurs de la fonction de répartition conjointe F N1,N 2,N 3 (n 1,n 2,n 3 )...58 Tableau 5.5b : Valeurs de la fonction de répartition conjointe F N1,N 2,N 3 (n 1,n 2,n 3 )...59 Tableau 5.5c : Valeurs de la fonction de répartition conjointe F N1,N 2,N 3 (n 1,n 2,n 3 )...60 Tableau 5.5d : Valeurs de la fonction de répartition conjointe F N1,N 2,N 3 (n 1,n 2,n 3 )...61 Tableau 5.5e : Valeurs de la fonction de répartition conjointe F N1,N 2,N 3 (n 1,n 2,n 3 )...62 iii

7 Tableau 5.5f : Valeurs de la fonction de répartition conjointe F N1,N 2,N 3 (n 1,n 2,n 3 )...63 Tableau 5.6 : Primes stop-loss pour différentes structures de dépendance...64 Tableau 5.7 : Valeurs de la fonction de répartition F S (s) lorsque S = S 1 + +S Tableau 5.8a : Valeurs de la fonction de répartition conjointe F N1,N 2,N 3,N 4 (n 1,n 2,n 3,n 4 )...68 Tableau 5.8b : Valeurs de la fonction de répartition conjointe F N1,N 2,N 3,N 4 (n 1,n 2,n 3,n 4 )...69 Tableau 5.8c : Valeurs de la fonction de répartition conjointe F N1,N 2,N 3,N 4 (n 1,n 2,n 3,n 4 )...70 Tableau 5.8d : Valeurs de la fonction de répartition conjointe F N1,N 2,N 3,N 4 (n 1,n 2,n 3,n 4 )...71 Tableau 5.8e : Valeurs de la fonction de répartition conjointe F N1,N 2,N 3,N 4 (n 1,n 2,n 3,n 4 )...72 Tableau 5.8f : Valeurs de la fonction de répartition conjointe F N1,N 2,N 3,N 4 (n 1,n 2,n 3,n 4 )...73 Tableau 5.8g : Valeurs de la fonction de répartition conjointe F N1,N 2,N 3,N 4 (n 1,n 2,n 3,n 4 )...74 Tableau 5.9 : Primes stop-loss pour différentes structures de dépendance...75 Tableau A.1 : Les distributions membres de la classe (a, b, 0)...81 Tableau A.2 : Les distributions membres de la classe (a, b, 1)...82 iv

8 Liste des figures Fig. 1 : Primes stop-loss π S (t) enfonctiondumontantderétention t exigé pour différentes structures de dépendance...49 Fig. 2 : Primes stop-loss π S (t) enfonctiondumontantderétention t exigé pour différentes structures de dépendance...55 Fig. 3 : Primes stop-loss π S (t) enfonctiondumontantderétention t exigé pour différentes structures de dépendance...66 v

9 Introduction L étude du risque global associé à un portefeuille de contrats d assurance s appuie fréquemment sur le modèle collectif de risque à m 1 classes d affaires, dans lequel le montant total des réclamations effectuées au cours d une période donnée est représenté par une variable aléatoire m N i S = X i,j, i=1 j=1 où N i représente le nombre de réclamations pour la i-ième classe d affaires et X i,j 0estlemontantdelaj-ième réclamation provenant de cette classe. Traditionnellement, on suppose que toutes les composantes de S sont mutuellement indépendantes. Voir par exemple la description de ce modèle donnée dans le chapitre 5 du livre de Panjer & Willmot (1992) ou dans le chapitre 4 de celui de Klugman et coll. (1998). Or, cette hypothèse d indépendance stochastique est souvent irréaliste dans la pratique. De fait, il existe presque toujours une certaine forme de dépendance entre les contrats d un portefeuille et donc entre les réclamations qui en émanent. Par exemple, considérons un portefeuille de contrats d assurance automobile et habitation. Typiquement, plusieurs assurés résident dans le même secteur, de sorte qu en cas de tornade, par exemple, le nombre et la taille des réclamations pour des dommages aux véhicules et aux domiciles des clients seront liés entre eux. Si le modèle ne tient pas compte de cette possibilité, il s ensuivra une sous-estimation du risque global encouru par l assureur pour ce portefeuille. C est depuis quelques années à peine que les chercheurs en actuariat ont commencé à considérer les effets de la dépendance entre les réclamations individuelles sur le risque global d un portefeuille de contrats d assurance. Dhaene & Goovaerts (1996, 1997) semblent avoir été les premiers à étudier le risque associé à un portefeuille dont les contrats accusent une certaine forme de dépendance. Müller (1997a et b) a poursuivi ces travaux. Dans ces articles, on introduit des relations d ordre entre les classes d affaires d un portefeuille qui permettent de comparer l effet sur le risque de différents degrés de dépendance. 1

10 Dans cet essai, nous approfondirons l étude de la dépendance entre les risques associés à des contrats d assurance et nous nous pencherons sur ses implications pour le risque global d un portefeuille et les primes stop-loss. Le chapitre 1 décrit le modèle collectif de risque à une seule classe d affaires. Le chapitre 2 propose une description du modèle collectif à m>1 classes d affaires. On y décrit aussi deux modèles qui permettent de prendre en compte une certaine forme de dépendance entre le nombre de réclamations de diverses classes d affaires : le modèle de Poisson avec chocs communs et le modèle à composantes communes. Une approche différente, basée sur la théorie des copules, est décrite au chapitre 3. Le chapitre 4 donne un bref survol des ordres stochastiques les plus utiles pour la comparaison des risques actuariels. Le chapitre 5, qui constitue la partie originale de cet essai, contient des résultats de simulations permettant entre autres de juger de l effet de l accroissement de la dépendance sur l ordonnancement des primes stop-loss. 2

11 Chapitre 1. Le modèle collectif de risque 1.1 Introduction Une des principales préoccupations actuarielles d une compagnie d assurance est d évaluer le risque global lié au portefeuille de contrats d assurance qu elle a souscrits. Un des outils utilisés à cette fin est le modèle collectif de risque, dont une des particularitésestdenepastenircomptedunombrede contrats, lequel est toutefois supposé grand. Un portefeuille représente ici un ensemble de contrats provenant d une classe d affaires telle que : (1) assurance automobile des particuliers ; (2) assurance habitation ; (3) assurance commerciale ; (4) assurance invalidité pour les accidentés du travail ; (5) assurance responsabilité (par exemple pour un médecin, un notaire, un avocat, etc.) ; (6) assurance véhicules commerciaux. Grâce àuntelmodèle, la compagnie d assurance peut fixer le niveau de la prime qu elle devra exiger pour un contrat et déterminer la solvabilité de l entreprise ou celle d une de ses classes d affaires (ex : assurance automobile des particuliers au Québec). Une compagnie d assurance doit assumer les risques d un trèsgrand nombre d individus et d entreprises. De là vient l importance de choisir un modèle approprié pourévaluer le risque global que représente cette prise en charge. Lorsque celui-ci est trop grand, la compagnie peut alors choisir d en transférer une partie à un tiers par l entremise de la réassurance. Les principaux réassureurs sont établis en Suisse, en Allemagne, aux États-Unis et en Grande-Bretagne. 1.2 Modèle collectif à une seule classe Considérons le cas où l on veut étudier le risque associé à un portefeuille de contrats homogènes. Dans le modèle collectif, on considère le portefeuille comme un tout, au lieu de considérer les contrats individuellement. Le risque global associé au portefeuille est caractérisé par le nombre de sinistres ainsi quelemontantdeleursréclamations. Soient N le nombre de sinistres et X i le montant aléatoiredelaréclamation 3

12 du i-ème sinistre. On suppose que X i 0etondénote par { 0 si N =0 S = Ni=1 X i si N>0 le montant total des réclamations générées par un portefeuille pendant une période donnée. Dans la suite, on fera les hypothèses suivantes : (1) N est une variable aléatoire discrète, à valeurs entières ; (2) X 1,...,X N sont des variables aléatoires positives, indépendantes et identiquement distribuées (i.i.d.) avec fonction de répartition F X ; (3) la variable N est supposée indépendante de la suite X 1,X 2,... En conséquence, S est une somme aléatoire de variables aléatoires dont la loi dépend de celles de N et des X i. Cette représentation du risque aléatoire encouru par l assureur est avantageuse, d une part parce qu elle permet de départager l impact du comportement aléatoire de N et des X i sur le montant total des réclamations, mais aussi parce qu il est plus simple de modéliser séparément ces deux composantes. Les prochaines sections répertorient les modèles stochastiques classiques associés aux distributions de N et des X i. Une description plus détaillée du modèle collectif est présentée dans Klugman et coll. (1998), Panjer & Willmot (1992) et Bowers et coll. (1997). 1.3 Modèles pour le nombre N de réclamations Cette section présente différentes distributions utilisées pour la modélisation du nombre total de réclamations faites à l intérieur d un portefeuille. Les lois les plus usitées seront décrites, ainsi que leurs propriétés. En pratique, le choix d un modèle approprié se fait àlalumière des valeurs observées de N sur plusieurs périodes. Même si la loi empirique de N fournit une information utile aux actuaires, l emploi d un modèle s avère nécessaire, en particulier si l on veut aussi assigner des probabilités à des valeurs de N en dehors de l étendue observée. Dans la suite, la fonction de probabilité de Nsera notée par p n = P (N = n), n =0,1,..., et P (z) =P N (z)=e ( z N) = p n z n n=0 4

13 représentera la fonction génératrice de probabilité correspondante. Les lois les plus utilisées pour modéliser la distribution empirique de N sont les lois de Poisson, binomiale, binomiale négative et Poisson inverse gaussienne, ainsi que les classes de distributions (a, b, 0) et (a, b, 1). Un exposé plus complet des modèles pour N se trouve notamment dans Klugman et coll. (1998) Loi de Poisson La fonction de probabilité de la loi de Poisson est de la forme p n = P (N = n) =e λ λ n /n!, n =0,1,... où λ>0 est l espérance de N. Lorsqu on utilise la loi de Poisson avec paramètre λ pour modéliser la distribution de N, on suppose implicitement que l espérance du nombre de réclamations est égal à sa variance. Cette distribution possède en outre deux propriétés importantes énoncées ci-dessous (voir Klugman et coll. (1998) pour de plus amples détails). Théorème 1.1 Soient N 1,...,N m des variables aléatoires de Poisson indépendantes de paramètres λ 1,...,λ m.alorsn=n 1 + +N m a une distribution de Poisson de paramètre λ = λ 1 + +λ m. En d autres mots, la loi de Poisson est fermée par convolution. Le second théorème a pour conséquence que cette loi de probabilité est aussi infiniment divisible. Théorème 1.2 Supposons que le nombre M d événements obéisse àuneloi de Poisson de moyenne λ et que chacun de ces événements appartienne à l un ou l autre de m groupes possibles avec probabilités p 1,...,p m. Le nombre d événements N 1,...,N m appartenant à chacun des groupes suit alors une loi de Poisson de moyenne λp 1,...,λp m respectivement. De plus, les variables N 1,...,N m sont mutuellement indépendantes. 5

14 1.3.2 Loi binomiale La loi binomiale possède une fonction de probabilité définie par p n = P (N = n) = ( ) m p n (1 p) m n, n 0 n m où m estentieret0 p 1. La distribution binomiale est particulièrement utile pour modéliser le nombre de réclamations lorsque la variance de N est inférieure à son espérance. Dans ce modèle, m représente le nombre de risques potentiels et N le nombre aléatoire de réclamations avérées. On peut notamment appliquer ce modèle dans un contexte d assurance vie où tous les assurés appartiennent à la même classe de mortalité, disons par exemple des femmes fumeuses âgées de 50 ans. Dans cette situation, le modèle binomial permet d évaluer le risque que N contrats de ce groupe génèrent des réclamations Loi binomiale négative La fonction de probabilité delaloibinomialenégative est donnée par ( ) n+r 1 p n = P (N = n) = p r (1 p) n, n =0,1,... r 1 où r estunentieret0 p 1. La distribution binomiale négative est fréquemment utilisée comme solution de rechange à la Poisson. Comme sa loi dépend de deux paramètres, ce modèle est en effet plus flexible que celui de Poisson. La loi binomiale négative est utilisée dans des situations où la variance du nombre de réclamations est supérieure à sa moyenne. La distribution géométrique est un cas particulier de la binomiale négative dans lequel r =1.Cetteloiestsansmémoire, ce qui signifie que si m réclamations ont déjà été reçues, alors la distribution de probabilité du nombre de réclamations supplémentaires ne dépend pas de m. Cette caractéristique est l analogue de la propriété d absence de mémoire de la distribution exponentielle pour le cas continu. On peut aussi considérer la binomiale négative comme une généralisation de la loi de Poisson, car elle peut être obtenue comme le mélange d une 6

15 Poisson de paramètre Λ inconnu obéissant à une loi Gamma de paramètres α = r et β =(1 p)/p. En effet, si Λ Gamma (α, β) etn Λ=λ Poisson (λ), on a alors P (N = n) = = = = 0 P(N = n Λ=λ)g(λ)dλ (1) e λ λ n 0 n! 1 β α Γ(α)n! 1 β α Γ(α) λα 1 e λ/β dλ 0 e λ(β+1)/β λ α+n 1 dλ Γ(n + α) β α Γ(α)n! ( ) β+1 α+n 0 β λ ( ) α+n 1 β+1 α+n β e λ(β+1)/β dλ. Γ(n + α) En intégrant la fonction de densité d une loi Gamma avec paramètres α + n et β/(β + 1), on obtient alors Γ(n + α) P (N = n) = ( ) β α β+1 α+n β Γ(α)n! ( ) α ( ) α ( (n + α 1)! 1 β β = (α 1)!n! β β +1 β+1 = (n+α 1)! ( ) α ( ) n 1 β, (α 1)!n! β +1 β+1 ) n qui n est autre que la fonction de probabilité d une loi binomiale négative avec paramètres r = α et p =1/(1 + β). En pratique, il existe plusieurs situations où le paramètre λ de la Poisson varie d un assuré à l autre au sein d une même classe ; dans de telles circonstances, il est donc naturel de le considérer comme aléatoire. Supposons par exemple que les conducteurs qui parcourent moins de 100 kilomètres par semaine fassent partie d une même classe d assurés. Ils ne sont pas identiques pour autant et il est plausible que le paramêtre λ varie d un individu à l autre au sein de cette classe. Dans cette situation, il serait avantageux de considérer λ comme variable plutôt que fixe. 7

16 1.3.4 Loi de Poisson inverse gaussienne La distribution de la loi de Poisson inverse gaussienne est définie par p 0 = P (N =0)=e µ( 1+2β 1)/β et p n = P (N = n) =p 0 µ n n! { n 1 m=0 (n 1+m)! ( β (n 1 m)!m! 2µ ) m } (1 + 2β) n+m 2, où µ>0, β>0etn=1,2,... La loi de Poisson inverse gausienne est obtenue en mélangeant la distribution de Poisson de paramètre Λ avec une loi inverse gaussienne de paramètres α et β. Sa fonction de probabilité a donc la même forme que (1), mais dans ce cas, g(λ) représente plutôt la densité inverse gaussienne. On peut ainsi considérer ce modèle comme une généralisation de la Poisson, au même titre que la loi binomiale négative. Il y a plusieurs situations oùcemodèle pourrait être utile. Considérons un portefeuille comportant un nombre aléatoire N de réclamations. À l intérieur de ce portefeuille, il peut y avoir différentes classes d assurés. Dans le cas de l assurance automobile des particuliers, par exemple, l assureur pourrait vouloir faire une distinction entre les différents types de conducteurs. Il pourrait considérer l âge de l assuré, son sexe, son état civil, son dossier, etc. Si on suppose que les réclamations proviennent d une population hétérogène de contrats et que chacun d entre eux peut produire des réclamations selon une distribution de Poisson de paramètre λ distinct. Il serait alors préférable de traiter ce paramètre comme aléatoire La classe (a, b, 1) de distributions pour N Touteslesloisquiontété mentionnées aux à font partie de la classe de distributions (a, b, 0), laquelle contient les modèles dont la fonction de probabilité p n satisfait àlapropriété suivante : des constantes a et b telles que p n p n 1 = a + b n, n =1,2,... 8

17 Les valeurs de a et b correspondant aux modèles de Poisson, binomiale, binomiale négative et Poisson inverse gaussienne sont précisées dans le Tableau A.1 de l Annexe A. Bien que cette classe de lois soit très vaste, il y a des échantillons de données pour lesquels elle est inadéquate. La classe de lois (a, b, 1) permet souvent de pallier ce problème, particulièrement lorsque la probabilité d observer un très petit nombre de réclamations est importante. La probabilité de ne recevoir aucune réclamation comporte un intérêt tout particulier pour un assureur. Il y a des applications dans le domaine de l assurance où la probabilité d avoir une réclamation est faible et où la probabilité qu il n y en ait aucune est donc grande. Il est important de bien modéliser cette probabilité. Considérons par exemple un portefeuille canadien de contrats d assurance habitation. Dans un tel cas, il est évident que le nombre de réclamations générées par des tremblements de terre sera très petit, étant donné la faible activité sysmique dans notre partie du monde. Les distributions de la classe (a, b, 1) seraient vraisemblablement plus appropriées que celles de la classe (a, b, 0) dans cette situation. On peut facilement généraliser la classe de distributions (a, b, 0) pour ajuster la probabilité d observer la valeur zéro. De façon plus spécifique, la classe (a, b, 1) englobe toutes les fonctions de probabilité p n satisfaisant àla condition suivante : p n des constantes a et b telles que = a + b p n 1 n, n =2,3,... La seule différence entre la classe (a, b, 1) et la classe (a, b, 0), c est que la formule de récurrence commence à p 1 au lieu de p 0. Ceci force chaque distribution de la classe (a, b, 1) à avoir la même forme qu une distribution correspondante dans la classe (a, b, 0) pour les valeurs de n = 1 jusqu à n =, en ce sens que les probabilités seront les mêmes à une constante multiplicative près. La classe (a, b, 1) est constituée de deux sous-classes importantes. La première, formée des distributions pour lesquelles p 0 = 0, inclut la Poisson, la binomiale, la binomiale négative et la géométrique zéro-tronquées. La deuxième sous-classe contient les lois de la classe (a, b, 0) dont la probabilité d observer la valeur zéro a étémodifiée. Chacun des éléments de cette sousclasse, appelée zéro-modifiée, peutêtre vu comme un mélange entre une loi de type (a, b, 0) et une masse de Dirac àzéro, c est-à-dire une loi dégénérée en ce point. La probabilité que l on attribue àl événement N = 0 est arbitraire, 9

18 étant entendu que la somme des probabilités doit donner 1. Les distributions zéro-modifiées donnent beaucoup de flexibilité pour modéliser la distribution du nombre de réclamations lorsqu il y a une forte probabilité associée à zéro. Dans l Annexe A, on trouve un tableau contenant les distributions les plus courantes au sein de la classe (a, b, 1). 1.4 Modèles pour le montant d une réclamation X Cette section présente différentes lois de probabilité pouvant servir à modéliser le montant X 0 d une réclamation. Ici encore, l emploi d un modèle stochastique comporte plusieurs avantages ; il permet notamment de prédire les probabilités associées à des valeurs non observées, ainsi que de prédire les probabilités associées à des réclamations futures. La forme de la queue de la distribution de X est d un intérêt tout particulier en actuariat. En effet, les compagnies d assurance sont préoccupées par la possibilité qu un contrat génère des montants de réclamations si élevés qu ils puissent mettre en péril l équilibre financier de l entreprise. Plusieurs fonctions associées àladensitéf X de X peuvent être utilisées pour caractériser le comportement de la queue de la distribution. On peut d abord utiliser la fonction de survie, définie par F X (x) =1 F X (x)= x f X (y)dy, qui donne la probabilité qu une réclamation soit supérieure à x. Si la fonction de densité aunequeuelourde,f X (x)seragénéralement grand. Une autre fonction utilisée est le taux de panne, défini par λ X (x) = f X(x) F X (x) = f X(x) 1 F X (x). La queue de la distribution de X estd autantpluslourdequeλ X (x)est petit. Les modèles choisis en actuariat non-vie se caractérisent par des taux de panne décroissants. En revanche, les modèles de survie en actuariat ont généralement des taux de panne croissants. Enfin, on peut caractériser la lourdeur de la queue d une loi au moyen de l espérance résiduelle, définie par e(x) =E(X x X>x)= 10 x (y x)f X(y)dy. 1 F X (x)

19 Une distribution aura une queue lourde si e(x) est croissant lorsque x croît et elle aura une queue légère si e(x) décroît lorsque x augmente. Il y a donc un lien étroit entre e(x) etλ(x). Pour de plus amples détails sur les fonctions mentionnées ci-dessus, voir Klugman et coll. (1998). Une liste des distributions les plus souvent utilisées pour modéliser X est donnée au tableau 1.1. Distribution Exponentielle Gamma Log-Normale Pareto Burr Pareto généralisé Weibull Inverse gaussienne Paramètre(s) λ α, β µ, σ α, β α, θ, δ α, τ, θ δ, β µ, β Tableau 1.1 : Liste de distributions usuelles pour la modélisation du montant des réclamations en actuariat. Chacune de ces distributions a des caractéristiques qui peuvent la rendre plus ou moins appropriée selon les situations. Leur fonction de densité, leur fonction de répartition, leur espérance, leur variance, leur fonction génératrice de moments ainsi que leur fonction caractéristique, sont précisées à l Annexe B. Parmi les lois énumérées dans le tableau, seule l exponentielle a un taux de panne constant (égal à son espérance λ). Les autres distributions citées ont des taux de panne décroissants. Les distributions exponentielle et gamma ont toutes les deux des queues légères, alors que les distributions inverse gaussienne et log-normale ont des queues moyennes. Toutes les autres distributions, ainsi que la Weibull pour 0 <δ<1, ont des queues lourdes. Dans la pratique, l utilisation des distributions énumérées dans le tableau 1.1 nécessite aussi le choix de valeurs particulières pour leurs paramètres, lesquels doivent être choisies de façon judicieuse à partir d observations des valeurs prises par X dans un échantillon. Les techniques les plus usitées pour estimer les paramètres sont la méthode des moments, la méthode du maximum de vraisemblance et l estimation bayésienne. Une description de 11

20 ces méthodes est donnée entre autres dans le chapitre 2 du livre de Klugman et coll. (1998). Une fois les paramètres estimés, il est important de vérifier l adéquation entre le modèle et les données. On peut procéder de plusieurs façons. La première méthode, et la plus utilisée, est basée sur la comparaison de modèles au moyen de leur vraisemblance relative ou par l intermédiaire du critère d Akaike (plus la vraisemblance est élevée, meilleur est l ajustement). Une deuxième stratégie, plus informelle, consiste à comparer la fonction de densité estimée et l histogramme des données (plus les deux courbes sont rapprochées, meilleur est l ajustement) ou àexaminerladroitedehenriou Q-Q plot (plus les points se rapprochent de la droite, meilleur est l ajustement). Une troisième approche, intermédiaire, s appuie sur le calcul de statistiques d ajustement telles le khi-deux de Pearson ou la statistique de Kolmogorov- Smirnov (plus la valeur obtenue est petite, meilleur est l ajustement). Pour plus de détails sur les méthodes énumérées ci-dessus, voir le chapitre 2 de Klugman et coll. (1998). Quoique plusieurs de ces méthodes puissent être utilisées concuremment, il est à noter qu elles peuvent parfois conduire à des conclusions différentes. C est pourquoi il faut faire preuve de jugement dans le choix du modèle pour X et ne jamais négliger l expérience antérieure. 1.5 Distribution de S Maintenant que l on a passé en revue les lois les plus usitées pour modéliser le nombre de réclamations ainsi que leur montant, on va présenter différents modèles pour la variable S, c est-à-dire le montant total des réclamations générées par un portefeuille sur une période donnée. En termes généraux, l intérêt de connaître la distribution F S de S vient de ce qu elle nous permet de calculer le risque associé à un portefeuille et la solvabilité de la classe d affaires, ainsi que la prime stop-loss. Ces termes, de même que les procédures utilisées pour les calculer, seront définis un peu plus loin. Defaçon plus précise, on a déjà fait valoir que la modélisation de S comme somme aléatoire de réclamations aléatoires comporte plusieurs avantages. Elle permet de mieux étudier l impact sur les primes individuelles d une modification de la franchise ou du montant maximal remboursé par des contrats. Les propriétésdesloisdenet des X i affectent le comportement stochastique de S. Par exemple, si la distribution utilisée pour modéliser la sévérité des 12

21 réclamations a une queue lourde, il en sera de même pour la loi de S, peu importe la distribution du nombre de réclamations. On va maintenant montrer comment déterminer la forme explicite de la distribution de S à partir de celles de N et des X i.pardéfinition, on a : F S (s) = P(S s) = P(X 1 + +X N s) = P (X 1 + +X n s N =n)p(n =n) n=0 (par la loi des probabilités totales) = P (X 1 + +X n s)p(n =n) n=0 (car les X i et N sont indépendantes). Comme les variables X 1,...,X N sont i.i.d., on en conclut que : où FX n X, àsavoir F S (s) = n=0 FX n (s)p (N = n), représente la n-ième convolution de la fonction de répartition F X de F n X =F X1 F Xn =F X1 + +X n. Lorsque n =0,ona { 0 si s<0; FX 0 (s)= 1 si s 0. Pour n 1, on procèdedelamanière suivante, selon que X est une variable continue ou discrète : (a) Lorsque X est continue, on a F n X (s) = F (n 1) X (s y)f X (y)dy. En dérivant par rapport à s sous le signe d intégration, on obtient f n X (s) = f (n 1) X (s y)f X (y)dy. 13

22 (b) Dans le cas où X est discrète et prend des valeurs entières, on a F n X (s) = s y=0 F (n 1) X (s y)f X (y). La fonction de probabilité correspondante est donnée par f n X (s) = s y=0 f (n 1) X (s y)f X (y). Ainsi, que X soit discrète ou continue, la fonction de densité desala forme f S (s) = fx n (s)p (N = n). n=0 La connaissance de f S ou de F S permet d évaluer le risque global d un portefeuille. Ainsi, par exemple, on peut calculer (a) P (S primes reçues) = 1 - F S (primes reçues) (b) la prime de réassurance stop-loss, c est-à-dire, π S (t) =E{(S t) + }=E{max(S t, 0)} = t {1 F S (s)}ds, où t est le niveau de rétention pour le portefeuille. En pratique, la loi de Poisson, la loi binomiale négative ainsi que la loi de Poisson inverse gaussienne sont les distributions les plus utilisées pour modéliser le nombre de réclamations N : (1) Lorsque N Poisson (λ), alors S Poisson composée (λ, F X ); (2) Lorsque N binomiale négative (r, p), alors S binomiale négative composée (r, p, F X ); (3) Lorsque N Poisson inverse gaussienne (α, β), alors S Poisson inverse gaussienne composée (α, β, F X ). Outre sa fonction de répartition, certaines caractéristiques associées à S comportent un intérêt particulier pour les actuaires. Notons le k-ième moment de X, µ k = E(X k ), M X (t) =E ( e tx), 14

23 la fonction génératrice des moments de X, M N (t) =E ( e tn ), la fonction génératrice des moments de N et M S (t) =E ( e ts), la fonction génératrice des moments de S. L espérance et la variance de S s expriment comme suit en termes de ces différentes quantités. D une part, l espérance est donnée par ( N ) E(S) = E X i i=1 { ( n )} N = E E X i = n (en vertu de la règle de chaîne) i=1 = E(X 1 )E(N) (car les X i sont i.i.d.) = µ 1 E(N). Quant à la variance, elle se calcule comme suit : var(s) = var{e(s N)}+ E{var(S N )} (en vertu de la règle de chaîne) { ( n )} { ( n )} N N = var E X i = n + E var X i = n i=1 i=1 = var{ne(x 1 )}+E{Nvar(X 1 )} = E(X 1 ) 2 var(n )+E(N)var(X 1 ) = µ 2 1var(N )+E(N)var(X 1 ). On remarque que la façon dont on a construit le modèle nous permet d écrire l espérance et la variance de S en fonction de l espérance et de la variance de X et de N, ce qui facilite beaucoup les calculs en pratique. Une fois les valeurs de E(S) et var(s) déterminées, on peut être tenté d approximer la loi de S par une normale. Cette méthode, couramment utilisée dans le passé, n est cependant pas très bonne. Une deuxième approche consiste à utiliser l approximation de Edgeworth ou l approximation dite NormalPower (voir Gerber 1979), qui font toutes les deux intervenir le troisième moment centré des,àsavoire[{s E(S)} 3 ]. Une troisième possibilité serait d approximer F S par une gamma translatée, une 15

24 log-normale translatée ou une inverse gaussienne translatée, qui dépendent aussi de E[{S E(S)} 3 ]. Depuis quelques années, cependant, l intérêt s est porté vers des méthodes numériques beaucoup plus performantes. Les deux méthodes les plus souvent utilisées sont : (1) la méthode de Panjer (voir Panjer & Willmot (1992) ou bien Klugman et coll. (1998) pour une description de l algorithme) ; (2) la méthode de la transformée de Fourier rapide (FFT). La méthode de Panjer s applique aux modèles (a, b, 0) et (a, b, 1) de N décrits en 1.3. La méthode FFT faisant appel à la fonction génératrice des moments, à la fonction génératrice de probabilité ainsi qu à la fonction caractéristique de S, nous montrons ci-dessous comment les calculer. La fonction génératrice de probabilité de Sest obtenue en conditionnant sur la variable N : P S (t) =E ( t S) =E { E ( t X 1+ +X n N = n )}. Comme les variables X i sont indépendantes, il vient { n P S (t) = E E ( t X i N = n )} i=1 et comme les X i sont i.i.d., il en résulte P S (t) =E { P X (t) N} =P N {P X (t)}. On obtient la fonction génératrice des moments de S en procédant de façon similaire : M S (t) = E ( e ts) = E { E ( e ts N = n )} = E { E ( )} e t(x 1+ +X n) N = n { n = E E ( e tx i N = n )} (car X 1,...,X N sont i.i.d.) i=1 = E { M X (t) } N = E [ e N log{mx(t)}] = M N [log{m X (t)}]. 16

25 On peut aussi écrire la fonction génératrice des moments de S de la façon suivante : M S (t) =E { M X (t) N} =P N {M X (t)}. La fonction caractéristique de S est : φ S (t) = E ( e its) = E { E ( e its N = n )} = E [ E { e }] it(x 1+ +X n) N = n n = E E ( e itx j N = n ) (car X 1,...,X N sont i.i.d. ) j=1 = E { φ X (t) } N = P N {φ X (t)}. Pour illustrer ces différentes notions, considérons un exemple. Exemple 1.1 Supposons que N Poisson (λ), de sorte que P (N = n) = λn e λ, n =0,1,..., λ>0. n! On sait que pour la distribution de Poisson, E(N) = var(n) = λ. Déduisonsen l espérance et la variance de S lorsque X obéit à une loi quelconque. On a E(S) =E(X)E(N)=µ 1 E(N)=µ 1 λ et var(s) = E(N)var(X)+µ 2 1var(N ) = λ(µ 2 µ 2 1 )+µ2 1 λ = λµ 2. On peut aussi calculer la distribution de S. On sait que la fonction génératrice des moments de N est M N (t) =e λ(et 1). 17

26 Il s ensuit que M S (t) = M N [log{m X (t)}] = exp[λ{m X (t) 1}]. Or, ceci est la fonction génératrice des moments d une distribution de Poisson composée. La fonction de répartition de S est donc F S (s) = e λ λ n FX n (s), n! n=0 où F n X est la n-ième convolution de X. Pour utiliser l algorithme FFT, il faut aussi connaître la forme explicite de P N (t) etapproximerφ X (t)oum X (t) pour pouvoir ensuite calculer φ S (t) etf S (s). Cette approximation est obtenue en discrétisant la fonction de répartition F X par un pas δ sur {0, 1δ, 2δ,...,kδ}. Les méthodes de discrétisation sont expliquées dans Panjer & Willmot (1992). Une fois qu on a déterminé P N (t), φ X (t) et l approximation de φ X (t), on peut trouver l approximation numérique de φ S (t) représentée par φ S (t). Puis, il suffit d inverser φ S (t) avec l algorithme FFT pour obtenir F S.Laqualité de l approximation dépend évidemment du pas δ utilisé dans l approximation de F X. Ainsi, plus le pas δ est petit, meilleure sera l approximation de F X et donc celle de F S. 18

27 Chapitre 2. Le modèle collectif à m classes d affaires 2.1 Modèle collectif à deux classes d affaires Ce chapitre généralise au cas de plusieurs classes d affaires le modèle collectif présenté antérieurement. Ce modèle s impose lorsque les contrats d assurance souscrits par l entreprise ne sont pas homogènes mais peuvent être regroupés en classes distinctes possédant des caractéristiques qui leur sont propres. On les appelle des classes d affaires. À titre d illustration, considérons d abord un portefeuille comportant deux classes d affaires. On peut songer par exemple au portefeuille de contrats d assurance automobile d une compagnie d assurance du Nouveau-Brunswick. Si les risques afférents aux contrats des particuliers et des véhicules commerciaux sont différents, il serait raisonnable de regrouper ces contrats en deux classes distinctes. Le modèle à deux classes d affaires serait alors utilisé pour étudier le nombre et le montant des réclamations provenant de ces deux classes d affaires. Dans cet exemple, le montant total S des réclamations pourrait s écrire comme la somme S 1 + S 2 des réclamations faites à l intérieur de chacune des deux classes d affaires du portefeuille, où N i S i = X i,j, i =1,2. j=1 La variable aléatoire N i,i=1,2, dénote ici le nombre de réclamations correspondant àlai-ème classe d affaires et la variable aléatoire X i,j représente le montant de la j-ième réclamation faite dans la i-ème classe d affaires. Par la suite,on fera les hypothèses suivantes : (1) N i, i =1,2, est une variable aléatoire discrète à valeurs entières ; (2) X 1,1,...,X 1,N1 sont des variables aléatoires positives indépendantes et identiquement distribuées (i.i.d.), où X 1,j F X1, j =1,...,N 1 ; (3) X 2,1,...,X 2,N2 sont des variables aléatoires positives indépendantes et identiquement distribuées (i.i.d.), où X 2,j F X2, j =1,...,N 2 ; (4) la variable N i est indépendante de la suite X i,1,...,x i,ni, i =1,2. 19

28 En général, on considère en outre que les variables N 1 et N 2 sont indépendantes, mais cette condition ne sera pas imposée dans cet essai. L introduction d une dépendance entre ces variables aura pour effet de compliquer le calcul de la fonction de répartition F S de S. En revanche, le modèle sera plus réaliste. En effet, on constate souvent la présence d une forme de dépendance entre les réclamations faites à l intérieur d un portefeuille. Dans la prochaine section, on décrira le modèle général pour un portefeuille à m classes d affaires ainsi que les méthodes utilisées pour calculer la distribution de S. 2.2 Modèle collectif à m classes d affaires Considérons plus généralement un portefeuille avec m classes d affaires, dans lequel le montant total des réclamations, S, s exprime sous la forme S = S 1 + +S m, où S i est le montant total des réclamations générées pour la i-ème classe d affaires du portefeuille, à savoir S i =X i,1 + +X i,ni, i =1,...,m. Chacune des variables N i représente le nombre de réclamations faites à l intérieur de la i-ième classe d affaires et chacune des variables X i,j représente le montant de la j-ème réclamation faite à l intérieur de la i-ème classe d affaires. Parlasuite,onferaleshypothèses suivantes : (1) N i est une variable aléatoire discrète associée àlafréquence des réclamations faites à l intérieur de la i-ème classe d affaires du portefeuille, i =1,...,m ; (2) X i,1,...,x i,ni sont des variables aléatoires positives indépendantes et identiquement distribuées (i.i.d.) et X i,j F Xi pour i =1,...,m et j =1,...,N i ; (3) la suite de variables X i,1,...,x i,ni est indépendante des variables N 1,...,N m pour i =1,...,m ; (4) les suites de variables X i,1,...,x i,ni et X j,1,...,x j,nj sont mutuellement indépendantes pour tous i j {1,...,m}. Traditionnellement, on suppose que N 1,...,N m sont des variables aléatoires indépendantes, mais cette hypothèse ne sera pas faite dans la suite. Exemple 2.1 Supposons que le portefeuille d un assureur œuvrant au Canada comporte m = 3 classes d affaires regroupant 20

29 - les contrats pour l assurance automobile des particuliers ; - les contrats d assurance habitation ; - les contrats d assurance commerciale. Dans cet exemple, la proximité géographique pourrait entraîner une dépendance entre les différentes classes d affaires du portefeuille. Tel serait vraisemblablement le cas, par exemple, si un épisode de verglas se produisait pendant l hiver. On peut utiliser les distributions mentionnées dans le chapitre 1 pour modéliser le nombre et le montant des réclamations individuelles correspondant à la i-ème classe d affaires. Cependant, l étude de l impact de la dépendance entre les N i nécessite de nouveaux développements. Trois types de modèles peuvent être utilisés à cette fin, soit : (1) le modèle de Poisson avec chocs communs ; (2) le modèle avec composantes communes ; (3) des modèles construits à partir de copules. Chacun de ces modèles possède ses propres caractéristiques, adaptées à la modélisation de différentes situations par l introduction de types de dépendance particuliers. Les deux premiers sont présentés ci-dessous. Comme on le verra au chapitre 3, l approche basée sur les copules est toutefois celle qui offre le plus de souplesse au plan de la modélisation. 2.3 Modèle de Poisson avec chocs communs Ce modèlededépendance entre le nombre de réclamations des m classes d affaires a été décrit par Ambagaspitiya (1998), Wang (1998) et Cossette & Marceau (2000). On y suppose que : - lenombrederéclamations pour la classe 1 (assurance automobile des particuliers) est : N 1 = N 11 + N 0 ; -lenombrederéclamations pour la classe 2 (assurance commerciale) est : N 2 = N 22 + N 0 ; - le nombre de réclamations pour la classe m (assurance véhicules commerciaux) est : N m = N mm + N 0, 21.

30 où N jj Poisson(λ jj ), j =1,...,m et N 0 Poisson(λ 0 ). On suppose aussi que les variables N jj, j =1,...,m et la variable N 0 sont indépendantes. On a alors N j Poisson(λ j ), j =1,...,m où λ j = λ jj + λ 0, j =1,...,m. Dans ce modèle de Poisson avec chocs communs, la dépendance entre les variables N j, j =1,...,m est introduite par l entremise de la variable N 0. Pour déterminer la covariance entre chacune de ces variables, fixons i et j, deux classes d affaires distinctes. Alors : cov(n i,n j ) = cov(n ii + N 0,N jj + N 0 ) = cov(n ii,n jj )+cov(n ii,n 0 )+cov(n 0,N jj )+cov(n 0,N 0 ) = var(n 0 ) (car N ii, N jj et N 0 sont indépendantes) = λ 0 (car N 0 Poisson (λ 0 )). La fonction génératrice de probabilité conjointe de N 1,...,N m est définie par P N1,...,N m (t 1,...,t m )=E ( ) t N 1 1 t Nm m. Compte tenu de la définition des N i,ona P N1,...,N m (t 1,...,t m ) = E ( ) t N 11+N 0 1 t Nmm+N 0 m = E { t N 11 1 t Nmm m (t 1 t m ) N } 0 = E { } (t 1 t m ) N m 0 i=1 E ( ) t N ii i (car N 0 et N 11,...,N mm sont indépendantes) m = e λ 0(t 1 t m 1) e λ ii(t i 1). (2) i=1 En raisonnant de manière analogue, on peut également déterminer la fonction génératrice des moments de S, à savoir M S (t) = E ( e ts) = E ( e t(s 1+ +S m) ) = E ( e ts1 e tsm ) = M S1,...,S m (t,...,t) 22

31 par définition de M S1,...,S m. Or, la fonction génératrice des moments du vecteur (S 1,...,S m ) est obtenue comme suit à partir de la fonction génératrice de probabilité du vecteur (N 1,...,N m ) et des fonctions génératrices des moments des X i : M S1,...,S m (t 1,...,t m ) = E ( ) e t 1S1 e tmsm { ( = E E e t n1 1 i 1 =1 X nm 1,i1 e tm m = E E j=1 m = E E ( ) e t Nj jx j j=1 m { = E MXj (t j ) } N j j=1 im=1 X m,im ( e t nj j i j =1 X ) j,i j N1 = n 1,...,N m =n m = P N1,...,N m {M X1 (t 1 ),...,M Xm (t m )} ce qui, en regard de (2), permet de conclure que )} N 1 = n 1,...,N m =n m M S (t) = m e λ 0{M X1 (t) M Xm (t) 1} e λ ii{m Xi (t) 1}. (3) i=1 À partir de (3), on observe que M S (t) peutseréécrire sous la forme suivante : [ { m λ ii M S (t) = exp λ λ M X i (t)+ λ }] 0 m M Xi (t) 1 = e λ{mx(t) 1}, λ où i=1 λ = λ 0 + λ λ mm = λ 1 + +λ m (m 1)λ 0 et m λ ii M X (t) = i=1 λ M X i (t)+ λ 0 m M Xi (t). λ i=1 Aussi S = S 1 + +S m est-elle formée de variables aléatoires de Poisson composées corrélées dont la somme obéit elle-même à une loi de Poisson 23 i=1

32 composée (λ, F X ), où F X (x) = m i=1 λ ii λ F X i (x)+ λ 0 λ F X 1 + +X m (x). On peut généraliser ce modèle en supposant l existence de chocs supplémentaires pouvant influencer le nombre de réclamations pour certains sousgroupes de classes. Considérons par exemple un portefeuille avec trois classes d affaires et supposons que le nombre de réclamations pour chaque classe d affaires s écrit : N 1 = N 11 + N 12 + N 13 + N 123 (classe 1) N 2 = N 22 + N 12 + N 23 + N 123 (classe 2) N 3 = N 33 + N 13 + N 23 + N 123 (classe 3) où N ij Poisson (λ ij ), i = 1,2,3, j = 1,2,3etN 123 Poisson (λ 123 ). Pour ce modèle, on suppose que les variables N ij et la variable N 123 sont mutuellement indépendantes, pour i = 1,2,3etj = 1,2,3. Ainsi, où N i Poisson (λ i ), i =1,2,3 λ 1 = λ 11 + λ 12 + λ 13 + λ 123, λ 2 = λ 22 + λ 12 + λ 23 + λ 123 et λ 3 = λ 33 + λ 13 + λ 23 + λ 123. Comme on peut le constater, la dépendance entre le nombre de réclamations des différentes classes d affaires est encore une fois introduite par l entremise des variables N i, i =1,2,3. La covariance entre les variables N i est : cov(n i,n j )=var(n ij )+var(n 123 )=λ ij + λ 123. La fonction génératrice de probabilité conjointe des variables N 1,N 2 et N 3 est donnée par : P N1,N 2,N 3 (t 1,t 2,t 3 ) = E ( ) t N 1 1 t N 2 2 t N 3 3 = E(t N 11+N 12 +N 13 +N t N 22+N 12 +N 23 +N

33 t N 33+N 13 +N 23 +N ) = E { t N 11 1 t N 22 2 t N 33 3 (t 1 t 2 ) N 12 (t 1 t 3 ) N 13 (t 2 t 3 ) N 23 (t 1 t 2 t 3 ) N } 123 = E { { { } (t 1 t 2 ) 12} N E (t1 t 3 ) 13} N E (t2 t 3 ) N 23 = exp { E { } 3 (t 1 t 2 t 3 ) N 123 i=1 E ( ) t N ii i λ 12 (t 1 t 2 1) + λ 13 (t 1 t 3 1) + λ 23 (t 2 t 3 1) } 3 +λ 123 (t 1 t 2 t 3 1) + λ ii (t i 1). i=1 Quant àlafonctiongénératrice des moments de S, elle se calcule comme suit : M S (t) =E ( e ts) = E ( e ts 1 e ts 2 e 3) ts = MS1,S 2,S 3 (t, t, t), dont la forme est donnée par M S (t) = P N1,N 2,N 3 {M X1 (t),m X2 (t),m X3 (t)} [ = exp λ 12 {M X1 (t)m X2 (t) 1} + λ 13 {M X1 (t)m X3 (t) 1} 3 +λ 23 {M X2 (t)m X3 (t) 1} + λ ii {M Xi (t) 1} i=1 ] +λ 123 {M X1 (t)m X2 (t)m X3 (t) 1}. Comme il est expliqué ci-dessus, on peut réécrire la fonction génératrice des moments de S sous la forme M S (t) =e λ{mx(t) 1}, où λ = λ 11 + λ 22 + λ 33 + λ 12 + λ 13 + λ 23 + λ 123 et M X (t) = λ 11 λ M X 1 (t)+ λ 22 λ M X 2 (t)+ λ 33 λ M X 3 (t) + λ 12 λ M X 1 +X 2 (t)+ λ 13 λ M X 1 +X 3 (t) + λ 23 λ M X 2 +X 3 (t)+ λ 123 λ M X 1 +X 2 +X 3 (t). 25

34 La fonction caractéristique de S s écrit donc : [ φ S (t) = exp λ 12 {φ X1 (t)φ X2 (t) 1} + λ 13 {φ X1 (t)φ X3 (t) 1} +λ 23 {φ X2 (t)φ X3 (t) 1} + λ 123 {φ X1 (t)φ X2 (t)φ X3 (t) 1} ] 3 + λ ii {φ Xi (t) 1} i=1 = exp[λ{φ X (t) 1}]. où, encore une fois, et λ = λ 11 + λ 22 + λ 33 + λ 12 + λ 13 + λ 23 + λ 123 φ X (t) = λ 11 λ φ X 1 (t)+ λ 22 λ φ X 2 (t)+ λ 33 λ φ X 3 (t) + λ 12 λ φ X 1 +X 2 (t)+ λ 13 λ φ X 1 +X 3 (t) + λ 23 λ φ X 2 +X 3 (t)+ λ 123 λ φ X 1 +X 2 +X 3 (t), où φ X1 +X 2 +X 3 (t) =φ X1 (t)φ X2 (t)φ X3 (t). On conclut donc que la variable aléatoire S = S 1 + S 2 + S 3,dontles composantes obéissent à des lois de Poisson composées corrélées, suit ellemême une distribution de Poisson composée de paramètres λ et F X,où F X (x)= λ 11 λ F X 1 (x)+ λ 22 λ F X 2 (x)+ λ 33 λ F X 3 (x) + λ 12 λ F X 1 +X 2 (x)+ λ 13 λ F X 1 +X 3 (x) + λ 23 λ F X 2 +X 3 (x)+ λ 123 λ F X 1 +X 2 +X 3 (x). Un raisonnement semblable s applique aussi au modèledepoissonavec m 4 classes. 2.4 Modèles avec composantes communes On a vu dans la section précédente comment introduire la dépendance entre les variables N i par l entremise d un ou de plusieurs chocs. Les modèles 26

35 avec composantes communes sont définis de façon analogue. La dépendance y est introduite par une composante commune à chacune des variables N i, laquelle représente le nombre de réclamations faites à l intérieur de la i- ème classe d affaires. Une bonne introduction aux modèles avec composantes communes est donnée dans les articles de Wang (1998) et de Cossette & Marceau (2000). Considérons un portefeuille comportant m classes d affaires. Dans le modèle avec composantes communes, on suppose que le nombre de réclamations N i correspondant à la i-ème classe d affaires s exprime sous la forme : N i = N ii + N i0, i =1,...,m, où N ii binomiale négative (α ii,β i ), i = 1,...,m et N i0 binomiale négative (α 0,β i ), i =1,...,m. On suppose aussi que les variables aléatoires N ii et N i0 sont mutuellement indépendantes, mais que les N i0, i =1,...,m sont dépendantes entre elles et modélisées par le mélange d une loi de Poisson avec une loi gamma, c est-à-dire (1) N i0 Θ=θ Poisson (θβ i ), i =1,...,m; (2) Θ Gamma (α 0, 1) ; (3) les variables N i0 Θ=θsont indépendantes, i =1,...,m. La variable N ii est donc spécifique àlai-ème classe d affaires tandis que N i0 dépend d un paramètre qui est commun à toutes. C est donc par cet intermédiaire qu est introduite la dépendance entre les variables aléatoires N i. On sait que la somme de k variables aléatoires binomiale négative Y i avec paramètres α i et β est elle aussi une variable aléatoire binomiale négative avec paramètres k i=1 α i et β. Comme N i = N ii + N i0, i =1,...,m,alors N i binomiale négative (α i,β i ), où α i = α ii + α 0, i =1,...,m. On peut maintenant procéder au calcul de la fonction génératrice de probabilité conjointe des variables aléatoires N 1,...,N m, laquelle est définie par P N1,...,N m (t 1,...,t m ) = E ( ) t N 1 1 t Nm m = E ( t N 11+N 10 1 t Nmm+N m0 m ) m = E ( t N 10 1 t N m0 m 27 i=1 ) E ( ) t N ii i.