Étude de l effet de la dépendance dans le modèle collectif de risque

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1 René LeBlanc Étude de l effet de la dépendance dans le modèle collectif de risque Essai présenté à la Faculté des études supérieures de l Université Laval pour l obtention du grade de maître ès sciences (M. Sc.) Département de mathématiques et de statistique FACULTÉ DES SCIENCES ET DE GÉNIE UNIVERSITÉ LAVAL QUÉBEC AVRIL 2000

2 Résumé L une des principales préoccupations de l actuaire concerne la prévision du risque global encouru par un assureur lors de la prise en charge d un portefeuille de contrats. Le modèle collectif de risque à m 1 classes d affaires est fréquemment utilisé à cet effet. Après avoir rappelé ladéfinition de ce modèle, ses principales caractéristiques et les différentes lois qui entrent dans sa composition, on fait état de travaux récents visant à tenir compte d une éventuelle dépendance entre le nombre de réclamations générées par les différentes classes d affaires du portefeuille. Trois approches possibles sont décrites : le modèle de Poisson avec chocs communs, le modèle à composantes communes, et la modélisation de la structure de dépendance entre le nombre de réclamations à l aide de copules. Le degré de dépendance relatif introduit par ces différentes approches peut être qualifié au moyen d ordres stochastiques, que l on définit et dont on documente certaines conséquences, notamment sur l ordonnancement des primes stop-loss. Ces résultats sont illustrés au moyen de simulations. Christian Genest René LeBlanc Directeur de recherche Étudiant Étienne Marceau Co-directeur

3 Remerciements Je tiens tout d abord à remercier mes co-directeurs, MM. Christian Genest et Étienne Marceau, respectivement professeurs au Département de mathématiques et de statistique et àl École d actuariat de l Université Laval, pour m avoir aidé àréaliser un essai dans le domaine de l actuariat, pour leur disponibilité et leur encadrement, que j ai grandement appréciés. Je veux aussi remercier Madame Hélène Cossette, professeur àl École d actuariat, pour ses commentaires judicieux lors de l évaluation de l essai. Ensuite, je désire exprimer ma gratitude à tous les membres (professeurs, professionnels et collègues de travail) du Département de mathématiques et de statistique de l Université Laval qui ont fait de mon séjour dans cette université une expérience des plus agréables et des plus enrichissantes. Je veux aussi remercier Patrice Gaillardetz, étudiant à la maîtrise en actuariat à l Université Laval, pour m avoir aidé avec la programmation et pour avoir répondu à toutes mes questions. Enfin, je voudrais exprimer ma reconnaissance à toute ma famille, mes ami(e)s pour leur support continu. Sans eux, je n aurais pu terminer ma maîtrise. Ce travail a été financé par une bourse d études du Conseil de recherches en sciences naturelles et en génie du Canada et par des octrois individuels et collectifs accordés à Christian Genest par le même organisme, ainsi que par le Fonds pour la formation de chercheurs et l aide à la recherche du Gouvernement du Québec.

4 Table des matières Introduction 1 Chapitre 1. Le modèle collectif de risques Introduction Modèle collectif à une seule classe Modèles pour le nombre N de réclamations Loi de Poisson Loi binomiale Loi binomiale négative Loi Poisson inverse gaussienne La classe (a, b, 1) de distributions pour N Modèles pour le montant d une réclamation X Distribution de la somme S des réclamations...12 Chapitre 2. Le modèle collectif à m classes d affaires Modèle collectif à deux classes d affaires Modèle collectif à m classes d affaires Modèle de Poisson avec chocs communs Modèle avec composantes communes...27 Chapitre 3. Modèles avec copules Définition et propriétés des copules Bornes de Fréchet et mesures d association Exemples de familles de copules Applications des copules au modèle collectif à m classes d affaires.. 35 i

5 Chapitre 4. Les ordres stochastiques Relations d ordres stochastiques (n =2)etgénéralisations Concordance Ordonnancement de sommes aléatoires Chapitre 5. Exemples numériques Exemple pour un portefeuille avec m =2 classes d affaires Exemple pour un portefeuille avec m =3 classes d affaires Exemple pour un portefeuille avec m =4 classes d affaires...65 Conclusion 76 Bibliographie 77 Annexe A 79 Distribution du nombre de réclamations Annexe B 83 Distribution du montant d une réclamation Annexe C 86 Programme ii

6 Liste des tableaux Tableau 1.1 : Liste de distributions usuelles pour la modélisation du montant des sinistres en actuariat...11 Tableau 5.1 :Fonctionderépartition de S = S 1 + S 2 pour différentes structures de dépendance...50 Tableau 5.2a :Fonctionderépartition de (N 1,N 2 )pourdifférentes structures de dépendance...51 Tableau 5.2b :Fonctionderépartition de (N 1,N 2 )pourdifférentes structures de dépendance...52 Tableau 5.3 : Primes stop-loss pour différentes structures de dépendance...53 Tableau 5.4a : Valeurs de la fonction de répartition F S (s) lorsque S = S 1 + S 2 + S Tableau 5.4b : Valeurs de la fonction de répartition F S (s) lorsque S = S 1 + S 2 + S Tableau 5.5a : Valeurs de la fonction de répartition conjointe F N1,N 2,N 3 (n 1,n 2,n 3 )...58 Tableau 5.5b : Valeurs de la fonction de répartition conjointe F N1,N 2,N 3 (n 1,n 2,n 3 )...59 Tableau 5.5c : Valeurs de la fonction de répartition conjointe F N1,N 2,N 3 (n 1,n 2,n 3 )...60 Tableau 5.5d : Valeurs de la fonction de répartition conjointe F N1,N 2,N 3 (n 1,n 2,n 3 )...61 Tableau 5.5e : Valeurs de la fonction de répartition conjointe F N1,N 2,N 3 (n 1,n 2,n 3 )...62 iii

7 Tableau 5.5f : Valeurs de la fonction de répartition conjointe F N1,N 2,N 3 (n 1,n 2,n 3 )...63 Tableau 5.6 : Primes stop-loss pour différentes structures de dépendance...64 Tableau 5.7 : Valeurs de la fonction de répartition F S (s) lorsque S = S 1 + +S Tableau 5.8a : Valeurs de la fonction de répartition conjointe F N1,N 2,N 3,N 4 (n 1,n 2,n 3,n 4 )...68 Tableau 5.8b : Valeurs de la fonction de répartition conjointe F N1,N 2,N 3,N 4 (n 1,n 2,n 3,n 4 )...69 Tableau 5.8c : Valeurs de la fonction de répartition conjointe F N1,N 2,N 3,N 4 (n 1,n 2,n 3,n 4 )...70 Tableau 5.8d : Valeurs de la fonction de répartition conjointe F N1,N 2,N 3,N 4 (n 1,n 2,n 3,n 4 )...71 Tableau 5.8e : Valeurs de la fonction de répartition conjointe F N1,N 2,N 3,N 4 (n 1,n 2,n 3,n 4 )...72 Tableau 5.8f : Valeurs de la fonction de répartition conjointe F N1,N 2,N 3,N 4 (n 1,n 2,n 3,n 4 )...73 Tableau 5.8g : Valeurs de la fonction de répartition conjointe F N1,N 2,N 3,N 4 (n 1,n 2,n 3,n 4 )...74 Tableau 5.9 : Primes stop-loss pour différentes structures de dépendance...75 Tableau A.1 : Les distributions membres de la classe (a, b, 0)...81 Tableau A.2 : Les distributions membres de la classe (a, b, 1)...82 iv

8 Liste des figures Fig. 1 : Primes stop-loss π S (t) enfonctiondumontantderétention t exigé pour différentes structures de dépendance...49 Fig. 2 : Primes stop-loss π S (t) enfonctiondumontantderétention t exigé pour différentes structures de dépendance...55 Fig. 3 : Primes stop-loss π S (t) enfonctiondumontantderétention t exigé pour différentes structures de dépendance...66 v

9 Introduction L étude du risque global associé à un portefeuille de contrats d assurance s appuie fréquemment sur le modèle collectif de risque à m 1 classes d affaires, dans lequel le montant total des réclamations effectuées au cours d une période donnée est représenté par une variable aléatoire m N i S = X i,j, i=1 j=1 où N i représente le nombre de réclamations pour la i-ième classe d affaires et X i,j 0estlemontantdelaj-ième réclamation provenant de cette classe. Traditionnellement, on suppose que toutes les composantes de S sont mutuellement indépendantes. Voir par exemple la description de ce modèle donnée dans le chapitre 5 du livre de Panjer & Willmot (1992) ou dans le chapitre 4 de celui de Klugman et coll. (1998). Or, cette hypothèse d indépendance stochastique est souvent irréaliste dans la pratique. De fait, il existe presque toujours une certaine forme de dépendance entre les contrats d un portefeuille et donc entre les réclamations qui en émanent. Par exemple, considérons un portefeuille de contrats d assurance automobile et habitation. Typiquement, plusieurs assurés résident dans le même secteur, de sorte qu en cas de tornade, par exemple, le nombre et la taille des réclamations pour des dommages aux véhicules et aux domiciles des clients seront liés entre eux. Si le modèle ne tient pas compte de cette possibilité, il s ensuivra une sous-estimation du risque global encouru par l assureur pour ce portefeuille. C est depuis quelques années à peine que les chercheurs en actuariat ont commencé à considérer les effets de la dépendance entre les réclamations individuelles sur le risque global d un portefeuille de contrats d assurance. Dhaene & Goovaerts (1996, 1997) semblent avoir été les premiers à étudier le risque associé à un portefeuille dont les contrats accusent une certaine forme de dépendance. Müller (1997a et b) a poursuivi ces travaux. Dans ces articles, on introduit des relations d ordre entre les classes d affaires d un portefeuille qui permettent de comparer l effet sur le risque de différents degrés de dépendance. 1

10 Dans cet essai, nous approfondirons l étude de la dépendance entre les risques associés à des contrats d assurance et nous nous pencherons sur ses implications pour le risque global d un portefeuille et les primes stop-loss. Le chapitre 1 décrit le modèle collectif de risque à une seule classe d affaires. Le chapitre 2 propose une description du modèle collectif à m>1 classes d affaires. On y décrit aussi deux modèles qui permettent de prendre en compte une certaine forme de dépendance entre le nombre de réclamations de diverses classes d affaires : le modèle de Poisson avec chocs communs et le modèle à composantes communes. Une approche différente, basée sur la théorie des copules, est décrite au chapitre 3. Le chapitre 4 donne un bref survol des ordres stochastiques les plus utiles pour la comparaison des risques actuariels. Le chapitre 5, qui constitue la partie originale de cet essai, contient des résultats de simulations permettant entre autres de juger de l effet de l accroissement de la dépendance sur l ordonnancement des primes stop-loss. 2

11 Chapitre 1. Le modèle collectif de risque 1.1 Introduction Une des principales préoccupations actuarielles d une compagnie d assurance est d évaluer le risque global lié au portefeuille de contrats d assurance qu elle a souscrits. Un des outils utilisés à cette fin est le modèle collectif de risque, dont une des particularitésestdenepastenircomptedunombrede contrats, lequel est toutefois supposé grand. Un portefeuille représente ici un ensemble de contrats provenant d une classe d affaires telle que : (1) assurance automobile des particuliers ; (2) assurance habitation ; (3) assurance commerciale ; (4) assurance invalidité pour les accidentés du travail ; (5) assurance responsabilité (par exemple pour un médecin, un notaire, un avocat, etc.) ; (6) assurance véhicules commerciaux. Grâce àuntelmodèle, la compagnie d assurance peut fixer le niveau de la prime qu elle devra exiger pour un contrat et déterminer la solvabilité de l entreprise ou celle d une de ses classes d affaires (ex : assurance automobile des particuliers au Québec). Une compagnie d assurance doit assumer les risques d un trèsgrand nombre d individus et d entreprises. De là vient l importance de choisir un modèle approprié pourévaluer le risque global que représente cette prise en charge. Lorsque celui-ci est trop grand, la compagnie peut alors choisir d en transférer une partie à un tiers par l entremise de la réassurance. Les principaux réassureurs sont établis en Suisse, en Allemagne, aux États-Unis et en Grande-Bretagne. 1.2 Modèle collectif à une seule classe Considérons le cas où l on veut étudier le risque associé à un portefeuille de contrats homogènes. Dans le modèle collectif, on considère le portefeuille comme un tout, au lieu de considérer les contrats individuellement. Le risque global associé au portefeuille est caractérisé par le nombre de sinistres ainsi quelemontantdeleursréclamations. Soient N le nombre de sinistres et X i le montant aléatoiredelaréclamation 3

12 du i-ème sinistre. On suppose que X i 0etondénote par { 0 si N =0 S = Ni=1 X i si N>0 le montant total des réclamations générées par un portefeuille pendant une période donnée. Dans la suite, on fera les hypothèses suivantes : (1) N est une variable aléatoire discrète, à valeurs entières ; (2) X 1,...,X N sont des variables aléatoires positives, indépendantes et identiquement distribuées (i.i.d.) avec fonction de répartition F X ; (3) la variable N est supposée indépendante de la suite X 1,X 2,... En conséquence, S est une somme aléatoire de variables aléatoires dont la loi dépend de celles de N et des X i. Cette représentation du risque aléatoire encouru par l assureur est avantageuse, d une part parce qu elle permet de départager l impact du comportement aléatoire de N et des X i sur le montant total des réclamations, mais aussi parce qu il est plus simple de modéliser séparément ces deux composantes. Les prochaines sections répertorient les modèles stochastiques classiques associés aux distributions de N et des X i. Une description plus détaillée du modèle collectif est présentée dans Klugman et coll. (1998), Panjer & Willmot (1992) et Bowers et coll. (1997). 1.3 Modèles pour le nombre N de réclamations Cette section présente différentes distributions utilisées pour la modélisation du nombre total de réclamations faites à l intérieur d un portefeuille. Les lois les plus usitées seront décrites, ainsi que leurs propriétés. En pratique, le choix d un modèle approprié se fait àlalumière des valeurs observées de N sur plusieurs périodes. Même si la loi empirique de N fournit une information utile aux actuaires, l emploi d un modèle s avère nécessaire, en particulier si l on veut aussi assigner des probabilités à des valeurs de N en dehors de l étendue observée. Dans la suite, la fonction de probabilité de Nsera notée par p n = P (N = n), n =0,1,..., et P (z) =P N (z)=e ( z N) = p n z n n=0 4

13 représentera la fonction génératrice de probabilité correspondante. Les lois les plus utilisées pour modéliser la distribution empirique de N sont les lois de Poisson, binomiale, binomiale négative et Poisson inverse gaussienne, ainsi que les classes de distributions (a, b, 0) et (a, b, 1). Un exposé plus complet des modèles pour N se trouve notamment dans Klugman et coll. (1998) Loi de Poisson La fonction de probabilité de la loi de Poisson est de la forme p n = P (N = n) =e λ λ n /n!, n =0,1,... où λ>0 est l espérance de N. Lorsqu on utilise la loi de Poisson avec paramètre λ pour modéliser la distribution de N, on suppose implicitement que l espérance du nombre de réclamations est égal à sa variance. Cette distribution possède en outre deux propriétés importantes énoncées ci-dessous (voir Klugman et coll. (1998) pour de plus amples détails). Théorème 1.1 Soient N 1,...,N m des variables aléatoires de Poisson indépendantes de paramètres λ 1,...,λ m.alorsn=n 1 + +N m a une distribution de Poisson de paramètre λ = λ 1 + +λ m. En d autres mots, la loi de Poisson est fermée par convolution. Le second théorème a pour conséquence que cette loi de probabilité est aussi infiniment divisible. Théorème 1.2 Supposons que le nombre M d événements obéisse àuneloi de Poisson de moyenne λ et que chacun de ces événements appartienne à l un ou l autre de m groupes possibles avec probabilités p 1,...,p m. Le nombre d événements N 1,...,N m appartenant à chacun des groupes suit alors une loi de Poisson de moyenne λp 1,...,λp m respectivement. De plus, les variables N 1,...,N m sont mutuellement indépendantes. 5

14 1.3.2 Loi binomiale La loi binomiale possède une fonction de probabilité définie par p n = P (N = n) = ( ) m p n (1 p) m n, n 0 n m où m estentieret0 p 1. La distribution binomiale est particulièrement utile pour modéliser le nombre de réclamations lorsque la variance de N est inférieure à son espérance. Dans ce modèle, m représente le nombre de risques potentiels et N le nombre aléatoire de réclamations avérées. On peut notamment appliquer ce modèle dans un contexte d assurance vie où tous les assurés appartiennent à la même classe de mortalité, disons par exemple des femmes fumeuses âgées de 50 ans. Dans cette situation, le modèle binomial permet d évaluer le risque que N contrats de ce groupe génèrent des réclamations Loi binomiale négative La fonction de probabilité delaloibinomialenégative est donnée par ( ) n+r 1 p n = P (N = n) = p r (1 p) n, n =0,1,... r 1 où r estunentieret0 p 1. La distribution binomiale négative est fréquemment utilisée comme solution de rechange à la Poisson. Comme sa loi dépend de deux paramètres, ce modèle est en effet plus flexible que celui de Poisson. La loi binomiale négative est utilisée dans des situations où la variance du nombre de réclamations est supérieure à sa moyenne. La distribution géométrique est un cas particulier de la binomiale négative dans lequel r =1.Cetteloiestsansmémoire, ce qui signifie que si m réclamations ont déjà été reçues, alors la distribution de probabilité du nombre de réclamations supplémentaires ne dépend pas de m. Cette caractéristique est l analogue de la propriété d absence de mémoire de la distribution exponentielle pour le cas continu. On peut aussi considérer la binomiale négative comme une généralisation de la loi de Poisson, car elle peut être obtenue comme le mélange d une 6

15 Poisson de paramètre Λ inconnu obéissant à une loi Gamma de paramètres α = r et β =(1 p)/p. En effet, si Λ Gamma (α, β) etn Λ=λ Poisson (λ), on a alors P (N = n) = = = = 0 P(N = n Λ=λ)g(λ)dλ (1) e λ λ n 0 n! 1 β α Γ(α)n! 1 β α Γ(α) λα 1 e λ/β dλ 0 e λ(β+1)/β λ α+n 1 dλ Γ(n + α) β α Γ(α)n! ( ) β+1 α+n 0 β λ ( ) α+n 1 β+1 α+n β e λ(β+1)/β dλ. Γ(n + α) En intégrant la fonction de densité d une loi Gamma avec paramètres α + n et β/(β + 1), on obtient alors Γ(n + α) P (N = n) = ( ) β α β+1 α+n β Γ(α)n! ( ) α ( ) α ( (n + α 1)! 1 β β = (α 1)!n! β β +1 β+1 = (n+α 1)! ( ) α ( ) n 1 β, (α 1)!n! β +1 β+1 ) n qui n est autre que la fonction de probabilité d une loi binomiale négative avec paramètres r = α et p =1/(1 + β). En pratique, il existe plusieurs situations où le paramètre λ de la Poisson varie d un assuré à l autre au sein d une même classe ; dans de telles circonstances, il est donc naturel de le considérer comme aléatoire. Supposons par exemple que les conducteurs qui parcourent moins de 100 kilomètres par semaine fassent partie d une même classe d assurés. Ils ne sont pas identiques pour autant et il est plausible que le paramêtre λ varie d un individu à l autre au sein de cette classe. Dans cette situation, il serait avantageux de considérer λ comme variable plutôt que fixe. 7

16 1.3.4 Loi de Poisson inverse gaussienne La distribution de la loi de Poisson inverse gaussienne est définie par p 0 = P (N =0)=e µ( 1+2β 1)/β et p n = P (N = n) =p 0 µ n n! { n 1 m=0 (n 1+m)! ( β (n 1 m)!m! 2µ ) m } (1 + 2β) n+m 2, où µ>0, β>0etn=1,2,... La loi de Poisson inverse gausienne est obtenue en mélangeant la distribution de Poisson de paramètre Λ avec une loi inverse gaussienne de paramètres α et β. Sa fonction de probabilité a donc la même forme que (1), mais dans ce cas, g(λ) représente plutôt la densité inverse gaussienne. On peut ainsi considérer ce modèle comme une généralisation de la Poisson, au même titre que la loi binomiale négative. Il y a plusieurs situations oùcemodèle pourrait être utile. Considérons un portefeuille comportant un nombre aléatoire N de réclamations. À l intérieur de ce portefeuille, il peut y avoir différentes classes d assurés. Dans le cas de l assurance automobile des particuliers, par exemple, l assureur pourrait vouloir faire une distinction entre les différents types de conducteurs. Il pourrait considérer l âge de l assuré, son sexe, son état civil, son dossier, etc. Si on suppose que les réclamations proviennent d une population hétérogène de contrats et que chacun d entre eux peut produire des réclamations selon une distribution de Poisson de paramètre λ distinct. Il serait alors préférable de traiter ce paramètre comme aléatoire La classe (a, b, 1) de distributions pour N Touteslesloisquiontété mentionnées aux à font partie de la classe de distributions (a, b, 0), laquelle contient les modèles dont la fonction de probabilité p n satisfait àlapropriété suivante : des constantes a et b telles que p n p n 1 = a + b n, n =1,2,... 8

17 Les valeurs de a et b correspondant aux modèles de Poisson, binomiale, binomiale négative et Poisson inverse gaussienne sont précisées dans le Tableau A.1 de l Annexe A. Bien que cette classe de lois soit très vaste, il y a des échantillons de données pour lesquels elle est inadéquate. La classe de lois (a, b, 1) permet souvent de pallier ce problème, particulièrement lorsque la probabilité d observer un très petit nombre de réclamations est importante. La probabilité de ne recevoir aucune réclamation comporte un intérêt tout particulier pour un assureur. Il y a des applications dans le domaine de l assurance où la probabilité d avoir une réclamation est faible et où la probabilité qu il n y en ait aucune est donc grande. Il est important de bien modéliser cette probabilité. Considérons par exemple un portefeuille canadien de contrats d assurance habitation. Dans un tel cas, il est évident que le nombre de réclamations générées par des tremblements de terre sera très petit, étant donné la faible activité sysmique dans notre partie du monde. Les distributions de la classe (a, b, 1) seraient vraisemblablement plus appropriées que celles de la classe (a, b, 0) dans cette situation. On peut facilement généraliser la classe de distributions (a, b, 0) pour ajuster la probabilité d observer la valeur zéro. De façon plus spécifique, la classe (a, b, 1) englobe toutes les fonctions de probabilité p n satisfaisant àla condition suivante : p n des constantes a et b telles que = a + b p n 1 n, n =2,3,... La seule différence entre la classe (a, b, 1) et la classe (a, b, 0), c est que la formule de récurrence commence à p 1 au lieu de p 0. Ceci force chaque distribution de la classe (a, b, 1) à avoir la même forme qu une distribution correspondante dans la classe (a, b, 0) pour les valeurs de n = 1 jusqu à n =, en ce sens que les probabilités seront les mêmes à une constante multiplicative près. La classe (a, b, 1) est constituée de deux sous-classes importantes. La première, formée des distributions pour lesquelles p 0 = 0, inclut la Poisson, la binomiale, la binomiale négative et la géométrique zéro-tronquées. La deuxième sous-classe contient les lois de la classe (a, b, 0) dont la probabilité d observer la valeur zéro a étémodifiée. Chacun des éléments de cette sousclasse, appelée zéro-modifiée, peutêtre vu comme un mélange entre une loi de type (a, b, 0) et une masse de Dirac àzéro, c est-à-dire une loi dégénérée en ce point. La probabilité que l on attribue àl événement N = 0 est arbitraire, 9

18 étant entendu que la somme des probabilités doit donner 1. Les distributions zéro-modifiées donnent beaucoup de flexibilité pour modéliser la distribution du nombre de réclamations lorsqu il y a une forte probabilité associée à zéro. Dans l Annexe A, on trouve un tableau contenant les distributions les plus courantes au sein de la classe (a, b, 1). 1.4 Modèles pour le montant d une réclamation X Cette section présente différentes lois de probabilité pouvant servir à modéliser le montant X 0 d une réclamation. Ici encore, l emploi d un modèle stochastique comporte plusieurs avantages ; il permet notamment de prédire les probabilités associées à des valeurs non observées, ainsi que de prédire les probabilités associées à des réclamations futures. La forme de la queue de la distribution de X est d un intérêt tout particulier en actuariat. En effet, les compagnies d assurance sont préoccupées par la possibilité qu un contrat génère des montants de réclamations si élevés qu ils puissent mettre en péril l équilibre financier de l entreprise. Plusieurs fonctions associées àladensitéf X de X peuvent être utilisées pour caractériser le comportement de la queue de la distribution. On peut d abord utiliser la fonction de survie, définie par F X (x) =1 F X (x)= x f X (y)dy, qui donne la probabilité qu une réclamation soit supérieure à x. Si la fonction de densité aunequeuelourde,f X (x)seragénéralement grand. Une autre fonction utilisée est le taux de panne, défini par λ X (x) = f X(x) F X (x) = f X(x) 1 F X (x). La queue de la distribution de X estd autantpluslourdequeλ X (x)est petit. Les modèles choisis en actuariat non-vie se caractérisent par des taux de panne décroissants. En revanche, les modèles de survie en actuariat ont généralement des taux de panne croissants. Enfin, on peut caractériser la lourdeur de la queue d une loi au moyen de l espérance résiduelle, définie par e(x) =E(X x X>x)= 10 x (y x)f X(y)dy. 1 F X (x)

19 Une distribution aura une queue lourde si e(x) est croissant lorsque x croît et elle aura une queue légère si e(x) décroît lorsque x augmente. Il y a donc un lien étroit entre e(x) etλ(x). Pour de plus amples détails sur les fonctions mentionnées ci-dessus, voir Klugman et coll. (1998). Une liste des distributions les plus souvent utilisées pour modéliser X est donnée au tableau 1.1. Distribution Exponentielle Gamma Log-Normale Pareto Burr Pareto généralisé Weibull Inverse gaussienne Paramètre(s) λ α, β µ, σ α, β α, θ, δ α, τ, θ δ, β µ, β Tableau 1.1 : Liste de distributions usuelles pour la modélisation du montant des réclamations en actuariat. Chacune de ces distributions a des caractéristiques qui peuvent la rendre plus ou moins appropriée selon les situations. Leur fonction de densité, leur fonction de répartition, leur espérance, leur variance, leur fonction génératrice de moments ainsi que leur fonction caractéristique, sont précisées à l Annexe B. Parmi les lois énumérées dans le tableau, seule l exponentielle a un taux de panne constant (égal à son espérance λ). Les autres distributions citées ont des taux de panne décroissants. Les distributions exponentielle et gamma ont toutes les deux des queues légères, alors que les distributions inverse gaussienne et log-normale ont des queues moyennes. Toutes les autres distributions, ainsi que la Weibull pour 0 <δ<1, ont des queues lourdes. Dans la pratique, l utilisation des distributions énumérées dans le tableau 1.1 nécessite aussi le choix de valeurs particulières pour leurs paramètres, lesquels doivent être choisies de façon judicieuse à partir d observations des valeurs prises par X dans un échantillon. Les techniques les plus usitées pour estimer les paramètres sont la méthode des moments, la méthode du maximum de vraisemblance et l estimation bayésienne. Une description de 11

20 ces méthodes est donnée entre autres dans le chapitre 2 du livre de Klugman et coll. (1998). Une fois les paramètres estimés, il est important de vérifier l adéquation entre le modèle et les données. On peut procéder de plusieurs façons. La première méthode, et la plus utilisée, est basée sur la comparaison de modèles au moyen de leur vraisemblance relative ou par l intermédiaire du critère d Akaike (plus la vraisemblance est élevée, meilleur est l ajustement). Une deuxième stratégie, plus informelle, consiste à comparer la fonction de densité estimée et l histogramme des données (plus les deux courbes sont rapprochées, meilleur est l ajustement) ou àexaminerladroitedehenriou Q-Q plot (plus les points se rapprochent de la droite, meilleur est l ajustement). Une troisième approche, intermédiaire, s appuie sur le calcul de statistiques d ajustement telles le khi-deux de Pearson ou la statistique de Kolmogorov- Smirnov (plus la valeur obtenue est petite, meilleur est l ajustement). Pour plus de détails sur les méthodes énumérées ci-dessus, voir le chapitre 2 de Klugman et coll. (1998). Quoique plusieurs de ces méthodes puissent être utilisées concuremment, il est à noter qu elles peuvent parfois conduire à des conclusions différentes. C est pourquoi il faut faire preuve de jugement dans le choix du modèle pour X et ne jamais négliger l expérience antérieure. 1.5 Distribution de S Maintenant que l on a passé en revue les lois les plus usitées pour modéliser le nombre de réclamations ainsi que leur montant, on va présenter différents modèles pour la variable S, c est-à-dire le montant total des réclamations générées par un portefeuille sur une période donnée. En termes généraux, l intérêt de connaître la distribution F S de S vient de ce qu elle nous permet de calculer le risque associé à un portefeuille et la solvabilité de la classe d affaires, ainsi que la prime stop-loss. Ces termes, de même que les procédures utilisées pour les calculer, seront définis un peu plus loin. Defaçon plus précise, on a déjà fait valoir que la modélisation de S comme somme aléatoire de réclamations aléatoires comporte plusieurs avantages. Elle permet de mieux étudier l impact sur les primes individuelles d une modification de la franchise ou du montant maximal remboursé par des contrats. Les propriétésdesloisdenet des X i affectent le comportement stochastique de S. Par exemple, si la distribution utilisée pour modéliser la sévérité des 12

21 réclamations a une queue lourde, il en sera de même pour la loi de S, peu importe la distribution du nombre de réclamations. On va maintenant montrer comment déterminer la forme explicite de la distribution de S à partir de celles de N et des X i.pardéfinition, on a : F S (s) = P(S s) = P(X 1 + +X N s) = P (X 1 + +X n s N =n)p(n =n) n=0 (par la loi des probabilités totales) = P (X 1 + +X n s)p(n =n) n=0 (car les X i et N sont indépendantes). Comme les variables X 1,...,X N sont i.i.d., on en conclut que : où FX n X, àsavoir F S (s) = n=0 FX n (s)p (N = n), représente la n-ième convolution de la fonction de répartition F X de F n X =F X1 F Xn =F X1 + +X n. Lorsque n =0,ona { 0 si s<0; FX 0 (s)= 1 si s 0. Pour n 1, on procèdedelamanière suivante, selon que X est une variable continue ou discrète : (a) Lorsque X est continue, on a F n X (s) = F (n 1) X (s y)f X (y)dy. En dérivant par rapport à s sous le signe d intégration, on obtient f n X (s) = f (n 1) X (s y)f X (y)dy. 13

22 (b) Dans le cas où X est discrète et prend des valeurs entières, on a F n X (s) = s y=0 F (n 1) X (s y)f X (y). La fonction de probabilité correspondante est donnée par f n X (s) = s y=0 f (n 1) X (s y)f X (y). Ainsi, que X soit discrète ou continue, la fonction de densité desala forme f S (s) = fx n (s)p (N = n). n=0 La connaissance de f S ou de F S permet d évaluer le risque global d un portefeuille. Ainsi, par exemple, on peut calculer (a) P (S primes reçues) = 1 - F S (primes reçues) (b) la prime de réassurance stop-loss, c est-à-dire, π S (t) =E{(S t) + }=E{max(S t, 0)} = t {1 F S (s)}ds, où t est le niveau de rétention pour le portefeuille. En pratique, la loi de Poisson, la loi binomiale négative ainsi que la loi de Poisson inverse gaussienne sont les distributions les plus utilisées pour modéliser le nombre de réclamations N : (1) Lorsque N Poisson (λ), alors S Poisson composée (λ, F X ); (2) Lorsque N binomiale négative (r, p), alors S binomiale négative composée (r, p, F X ); (3) Lorsque N Poisson inverse gaussienne (α, β), alors S Poisson inverse gaussienne composée (α, β, F X ). Outre sa fonction de répartition, certaines caractéristiques associées à S comportent un intérêt particulier pour les actuaires. Notons le k-ième moment de X, µ k = E(X k ), M X (t) =E ( e tx), 14

23 la fonction génératrice des moments de X, M N (t) =E ( e tn ), la fonction génératrice des moments de N et M S (t) =E ( e ts), la fonction génératrice des moments de S. L espérance et la variance de S s expriment comme suit en termes de ces différentes quantités. D une part, l espérance est donnée par ( N ) E(S) = E X i i=1 { ( n )} N = E E X i = n (en vertu de la règle de chaîne) i=1 = E(X 1 )E(N) (car les X i sont i.i.d.) = µ 1 E(N). Quant à la variance, elle se calcule comme suit : var(s) = var{e(s N)}+ E{var(S N )} (en vertu de la règle de chaîne) { ( n )} { ( n )} N N = var E X i = n + E var X i = n i=1 i=1 = var{ne(x 1 )}+E{Nvar(X 1 )} = E(X 1 ) 2 var(n )+E(N)var(X 1 ) = µ 2 1var(N )+E(N)var(X 1 ). On remarque que la façon dont on a construit le modèle nous permet d écrire l espérance et la variance de S en fonction de l espérance et de la variance de X et de N, ce qui facilite beaucoup les calculs en pratique. Une fois les valeurs de E(S) et var(s) déterminées, on peut être tenté d approximer la loi de S par une normale. Cette méthode, couramment utilisée dans le passé, n est cependant pas très bonne. Une deuxième approche consiste à utiliser l approximation de Edgeworth ou l approximation dite NormalPower (voir Gerber 1979), qui font toutes les deux intervenir le troisième moment centré des,àsavoire[{s E(S)} 3 ]. Une troisième possibilité serait d approximer F S par une gamma translatée, une 15

24 log-normale translatée ou une inverse gaussienne translatée, qui dépendent aussi de E[{S E(S)} 3 ]. Depuis quelques années, cependant, l intérêt s est porté vers des méthodes numériques beaucoup plus performantes. Les deux méthodes les plus souvent utilisées sont : (1) la méthode de Panjer (voir Panjer & Willmot (1992) ou bien Klugman et coll. (1998) pour une description de l algorithme) ; (2) la méthode de la transformée de Fourier rapide (FFT). La méthode de Panjer s applique aux modèles (a, b, 0) et (a, b, 1) de N décrits en 1.3. La méthode FFT faisant appel à la fonction génératrice des moments, à la fonction génératrice de probabilité ainsi qu à la fonction caractéristique de S, nous montrons ci-dessous comment les calculer. La fonction génératrice de probabilité de Sest obtenue en conditionnant sur la variable N : P S (t) =E ( t S) =E { E ( t X 1+ +X n N = n )}. Comme les variables X i sont indépendantes, il vient { n P S (t) = E E ( t X i N = n )} i=1 et comme les X i sont i.i.d., il en résulte P S (t) =E { P X (t) N} =P N {P X (t)}. On obtient la fonction génératrice des moments de S en procédant de façon similaire : M S (t) = E ( e ts) = E { E ( e ts N = n )} = E { E ( )} e t(x 1+ +X n) N = n { n = E E ( e tx i N = n )} (car X 1,...,X N sont i.i.d.) i=1 = E { M X (t) } N = E [ e N log{mx(t)}] = M N [log{m X (t)}]. 16

25 On peut aussi écrire la fonction génératrice des moments de S de la façon suivante : M S (t) =E { M X (t) N} =P N {M X (t)}. La fonction caractéristique de S est : φ S (t) = E ( e its) = E { E ( e its N = n )} = E [ E { e }] it(x 1+ +X n) N = n n = E E ( e itx j N = n ) (car X 1,...,X N sont i.i.d. ) j=1 = E { φ X (t) } N = P N {φ X (t)}. Pour illustrer ces différentes notions, considérons un exemple. Exemple 1.1 Supposons que N Poisson (λ), de sorte que P (N = n) = λn e λ, n =0,1,..., λ>0. n! On sait que pour la distribution de Poisson, E(N) = var(n) = λ. Déduisonsen l espérance et la variance de S lorsque X obéit à une loi quelconque. On a E(S) =E(X)E(N)=µ 1 E(N)=µ 1 λ et var(s) = E(N)var(X)+µ 2 1var(N ) = λ(µ 2 µ 2 1 )+µ2 1 λ = λµ 2. On peut aussi calculer la distribution de S. On sait que la fonction génératrice des moments de N est M N (t) =e λ(et 1). 17

26 Il s ensuit que M S (t) = M N [log{m X (t)}] = exp[λ{m X (t) 1}]. Or, ceci est la fonction génératrice des moments d une distribution de Poisson composée. La fonction de répartition de S est donc F S (s) = e λ λ n FX n (s), n! n=0 où F n X est la n-ième convolution de X. Pour utiliser l algorithme FFT, il faut aussi connaître la forme explicite de P N (t) etapproximerφ X (t)oum X (t) pour pouvoir ensuite calculer φ S (t) etf S (s). Cette approximation est obtenue en discrétisant la fonction de répartition F X par un pas δ sur {0, 1δ, 2δ,...,kδ}. Les méthodes de discrétisation sont expliquées dans Panjer & Willmot (1992). Une fois qu on a déterminé P N (t), φ X (t) et l approximation de φ X (t), on peut trouver l approximation numérique de φ S (t) représentée par φ S (t). Puis, il suffit d inverser φ S (t) avec l algorithme FFT pour obtenir F S.Laqualité de l approximation dépend évidemment du pas δ utilisé dans l approximation de F X. Ainsi, plus le pas δ est petit, meilleure sera l approximation de F X et donc celle de F S. 18

27 Chapitre 2. Le modèle collectif à m classes d affaires 2.1 Modèle collectif à deux classes d affaires Ce chapitre généralise au cas de plusieurs classes d affaires le modèle collectif présenté antérieurement. Ce modèle s impose lorsque les contrats d assurance souscrits par l entreprise ne sont pas homogènes mais peuvent être regroupés en classes distinctes possédant des caractéristiques qui leur sont propres. On les appelle des classes d affaires. À titre d illustration, considérons d abord un portefeuille comportant deux classes d affaires. On peut songer par exemple au portefeuille de contrats d assurance automobile d une compagnie d assurance du Nouveau-Brunswick. Si les risques afférents aux contrats des particuliers et des véhicules commerciaux sont différents, il serait raisonnable de regrouper ces contrats en deux classes distinctes. Le modèle à deux classes d affaires serait alors utilisé pour étudier le nombre et le montant des réclamations provenant de ces deux classes d affaires. Dans cet exemple, le montant total S des réclamations pourrait s écrire comme la somme S 1 + S 2 des réclamations faites à l intérieur de chacune des deux classes d affaires du portefeuille, où N i S i = X i,j, i =1,2. j=1 La variable aléatoire N i,i=1,2, dénote ici le nombre de réclamations correspondant àlai-ème classe d affaires et la variable aléatoire X i,j représente le montant de la j-ième réclamation faite dans la i-ème classe d affaires. Par la suite,on fera les hypothèses suivantes : (1) N i, i =1,2, est une variable aléatoire discrète à valeurs entières ; (2) X 1,1,...,X 1,N1 sont des variables aléatoires positives indépendantes et identiquement distribuées (i.i.d.), où X 1,j F X1, j =1,...,N 1 ; (3) X 2,1,...,X 2,N2 sont des variables aléatoires positives indépendantes et identiquement distribuées (i.i.d.), où X 2,j F X2, j =1,...,N 2 ; (4) la variable N i est indépendante de la suite X i,1,...,x i,ni, i =1,2. 19

28 En général, on considère en outre que les variables N 1 et N 2 sont indépendantes, mais cette condition ne sera pas imposée dans cet essai. L introduction d une dépendance entre ces variables aura pour effet de compliquer le calcul de la fonction de répartition F S de S. En revanche, le modèle sera plus réaliste. En effet, on constate souvent la présence d une forme de dépendance entre les réclamations faites à l intérieur d un portefeuille. Dans la prochaine section, on décrira le modèle général pour un portefeuille à m classes d affaires ainsi que les méthodes utilisées pour calculer la distribution de S. 2.2 Modèle collectif à m classes d affaires Considérons plus généralement un portefeuille avec m classes d affaires, dans lequel le montant total des réclamations, S, s exprime sous la forme S = S 1 + +S m, où S i est le montant total des réclamations générées pour la i-ème classe d affaires du portefeuille, à savoir S i =X i,1 + +X i,ni, i =1,...,m. Chacune des variables N i représente le nombre de réclamations faites à l intérieur de la i-ième classe d affaires et chacune des variables X i,j représente le montant de la j-ème réclamation faite à l intérieur de la i-ème classe d affaires. Parlasuite,onferaleshypothèses suivantes : (1) N i est une variable aléatoire discrète associée àlafréquence des réclamations faites à l intérieur de la i-ème classe d affaires du portefeuille, i =1,...,m ; (2) X i,1,...,x i,ni sont des variables aléatoires positives indépendantes et identiquement distribuées (i.i.d.) et X i,j F Xi pour i =1,...,m et j =1,...,N i ; (3) la suite de variables X i,1,...,x i,ni est indépendante des variables N 1,...,N m pour i =1,...,m ; (4) les suites de variables X i,1,...,x i,ni et X j,1,...,x j,nj sont mutuellement indépendantes pour tous i j {1,...,m}. Traditionnellement, on suppose que N 1,...,N m sont des variables aléatoires indépendantes, mais cette hypothèse ne sera pas faite dans la suite. Exemple 2.1 Supposons que le portefeuille d un assureur œuvrant au Canada comporte m = 3 classes d affaires regroupant 20

29 - les contrats pour l assurance automobile des particuliers ; - les contrats d assurance habitation ; - les contrats d assurance commerciale. Dans cet exemple, la proximité géographique pourrait entraîner une dépendance entre les différentes classes d affaires du portefeuille. Tel serait vraisemblablement le cas, par exemple, si un épisode de verglas se produisait pendant l hiver. On peut utiliser les distributions mentionnées dans le chapitre 1 pour modéliser le nombre et le montant des réclamations individuelles correspondant à la i-ème classe d affaires. Cependant, l étude de l impact de la dépendance entre les N i nécessite de nouveaux développements. Trois types de modèles peuvent être utilisés à cette fin, soit : (1) le modèle de Poisson avec chocs communs ; (2) le modèle avec composantes communes ; (3) des modèles construits à partir de copules. Chacun de ces modèles possède ses propres caractéristiques, adaptées à la modélisation de différentes situations par l introduction de types de dépendance particuliers. Les deux premiers sont présentés ci-dessous. Comme on le verra au chapitre 3, l approche basée sur les copules est toutefois celle qui offre le plus de souplesse au plan de la modélisation. 2.3 Modèle de Poisson avec chocs communs Ce modèlededépendance entre le nombre de réclamations des m classes d affaires a été décrit par Ambagaspitiya (1998), Wang (1998) et Cossette & Marceau (2000). On y suppose que : - lenombrederéclamations pour la classe 1 (assurance automobile des particuliers) est : N 1 = N 11 + N 0 ; -lenombrederéclamations pour la classe 2 (assurance commerciale) est : N 2 = N 22 + N 0 ; - le nombre de réclamations pour la classe m (assurance véhicules commerciaux) est : N m = N mm + N 0, 21.

30 où N jj Poisson(λ jj ), j =1,...,m et N 0 Poisson(λ 0 ). On suppose aussi que les variables N jj, j =1,...,m et la variable N 0 sont indépendantes. On a alors N j Poisson(λ j ), j =1,...,m où λ j = λ jj + λ 0, j =1,...,m. Dans ce modèle de Poisson avec chocs communs, la dépendance entre les variables N j, j =1,...,m est introduite par l entremise de la variable N 0. Pour déterminer la covariance entre chacune de ces variables, fixons i et j, deux classes d affaires distinctes. Alors : cov(n i,n j ) = cov(n ii + N 0,N jj + N 0 ) = cov(n ii,n jj )+cov(n ii,n 0 )+cov(n 0,N jj )+cov(n 0,N 0 ) = var(n 0 ) (car N ii, N jj et N 0 sont indépendantes) = λ 0 (car N 0 Poisson (λ 0 )). La fonction génératrice de probabilité conjointe de N 1,...,N m est définie par P N1,...,N m (t 1,...,t m )=E ( ) t N 1 1 t Nm m. Compte tenu de la définition des N i,ona P N1,...,N m (t 1,...,t m ) = E ( ) t N 11+N 0 1 t Nmm+N 0 m = E { t N 11 1 t Nmm m (t 1 t m ) N } 0 = E { } (t 1 t m ) N m 0 i=1 E ( ) t N ii i (car N 0 et N 11,...,N mm sont indépendantes) m = e λ 0(t 1 t m 1) e λ ii(t i 1). (2) i=1 En raisonnant de manière analogue, on peut également déterminer la fonction génératrice des moments de S, à savoir M S (t) = E ( e ts) = E ( e t(s 1+ +S m) ) = E ( e ts1 e tsm ) = M S1,...,S m (t,...,t) 22

31 par définition de M S1,...,S m. Or, la fonction génératrice des moments du vecteur (S 1,...,S m ) est obtenue comme suit à partir de la fonction génératrice de probabilité du vecteur (N 1,...,N m ) et des fonctions génératrices des moments des X i : M S1,...,S m (t 1,...,t m ) = E ( ) e t 1S1 e tmsm { ( = E E e t n1 1 i 1 =1 X nm 1,i1 e tm m = E E j=1 m = E E ( ) e t Nj jx j j=1 m { = E MXj (t j ) } N j j=1 im=1 X m,im ( e t nj j i j =1 X ) j,i j N1 = n 1,...,N m =n m = P N1,...,N m {M X1 (t 1 ),...,M Xm (t m )} ce qui, en regard de (2), permet de conclure que )} N 1 = n 1,...,N m =n m M S (t) = m e λ 0{M X1 (t) M Xm (t) 1} e λ ii{m Xi (t) 1}. (3) i=1 À partir de (3), on observe que M S (t) peutseréécrire sous la forme suivante : [ { m λ ii M S (t) = exp λ λ M X i (t)+ λ }] 0 m M Xi (t) 1 = e λ{mx(t) 1}, λ où i=1 λ = λ 0 + λ λ mm = λ 1 + +λ m (m 1)λ 0 et m λ ii M X (t) = i=1 λ M X i (t)+ λ 0 m M Xi (t). λ i=1 Aussi S = S 1 + +S m est-elle formée de variables aléatoires de Poisson composées corrélées dont la somme obéit elle-même à une loi de Poisson 23 i=1

32 composée (λ, F X ), où F X (x) = m i=1 λ ii λ F X i (x)+ λ 0 λ F X 1 + +X m (x). On peut généraliser ce modèle en supposant l existence de chocs supplémentaires pouvant influencer le nombre de réclamations pour certains sousgroupes de classes. Considérons par exemple un portefeuille avec trois classes d affaires et supposons que le nombre de réclamations pour chaque classe d affaires s écrit : N 1 = N 11 + N 12 + N 13 + N 123 (classe 1) N 2 = N 22 + N 12 + N 23 + N 123 (classe 2) N 3 = N 33 + N 13 + N 23 + N 123 (classe 3) où N ij Poisson (λ ij ), i = 1,2,3, j = 1,2,3etN 123 Poisson (λ 123 ). Pour ce modèle, on suppose que les variables N ij et la variable N 123 sont mutuellement indépendantes, pour i = 1,2,3etj = 1,2,3. Ainsi, où N i Poisson (λ i ), i =1,2,3 λ 1 = λ 11 + λ 12 + λ 13 + λ 123, λ 2 = λ 22 + λ 12 + λ 23 + λ 123 et λ 3 = λ 33 + λ 13 + λ 23 + λ 123. Comme on peut le constater, la dépendance entre le nombre de réclamations des différentes classes d affaires est encore une fois introduite par l entremise des variables N i, i =1,2,3. La covariance entre les variables N i est : cov(n i,n j )=var(n ij )+var(n 123 )=λ ij + λ 123. La fonction génératrice de probabilité conjointe des variables N 1,N 2 et N 3 est donnée par : P N1,N 2,N 3 (t 1,t 2,t 3 ) = E ( ) t N 1 1 t N 2 2 t N 3 3 = E(t N 11+N 12 +N 13 +N t N 22+N 12 +N 23 +N

33 t N 33+N 13 +N 23 +N ) = E { t N 11 1 t N 22 2 t N 33 3 (t 1 t 2 ) N 12 (t 1 t 3 ) N 13 (t 2 t 3 ) N 23 (t 1 t 2 t 3 ) N } 123 = E { { { } (t 1 t 2 ) 12} N E (t1 t 3 ) 13} N E (t2 t 3 ) N 23 = exp { E { } 3 (t 1 t 2 t 3 ) N 123 i=1 E ( ) t N ii i λ 12 (t 1 t 2 1) + λ 13 (t 1 t 3 1) + λ 23 (t 2 t 3 1) } 3 +λ 123 (t 1 t 2 t 3 1) + λ ii (t i 1). i=1 Quant àlafonctiongénératrice des moments de S, elle se calcule comme suit : M S (t) =E ( e ts) = E ( e ts 1 e ts 2 e 3) ts = MS1,S 2,S 3 (t, t, t), dont la forme est donnée par M S (t) = P N1,N 2,N 3 {M X1 (t),m X2 (t),m X3 (t)} [ = exp λ 12 {M X1 (t)m X2 (t) 1} + λ 13 {M X1 (t)m X3 (t) 1} 3 +λ 23 {M X2 (t)m X3 (t) 1} + λ ii {M Xi (t) 1} i=1 ] +λ 123 {M X1 (t)m X2 (t)m X3 (t) 1}. Comme il est expliqué ci-dessus, on peut réécrire la fonction génératrice des moments de S sous la forme M S (t) =e λ{mx(t) 1}, où λ = λ 11 + λ 22 + λ 33 + λ 12 + λ 13 + λ 23 + λ 123 et M X (t) = λ 11 λ M X 1 (t)+ λ 22 λ M X 2 (t)+ λ 33 λ M X 3 (t) + λ 12 λ M X 1 +X 2 (t)+ λ 13 λ M X 1 +X 3 (t) + λ 23 λ M X 2 +X 3 (t)+ λ 123 λ M X 1 +X 2 +X 3 (t). 25

34 La fonction caractéristique de S s écrit donc : [ φ S (t) = exp λ 12 {φ X1 (t)φ X2 (t) 1} + λ 13 {φ X1 (t)φ X3 (t) 1} +λ 23 {φ X2 (t)φ X3 (t) 1} + λ 123 {φ X1 (t)φ X2 (t)φ X3 (t) 1} ] 3 + λ ii {φ Xi (t) 1} i=1 = exp[λ{φ X (t) 1}]. où, encore une fois, et λ = λ 11 + λ 22 + λ 33 + λ 12 + λ 13 + λ 23 + λ 123 φ X (t) = λ 11 λ φ X 1 (t)+ λ 22 λ φ X 2 (t)+ λ 33 λ φ X 3 (t) + λ 12 λ φ X 1 +X 2 (t)+ λ 13 λ φ X 1 +X 3 (t) + λ 23 λ φ X 2 +X 3 (t)+ λ 123 λ φ X 1 +X 2 +X 3 (t), où φ X1 +X 2 +X 3 (t) =φ X1 (t)φ X2 (t)φ X3 (t). On conclut donc que la variable aléatoire S = S 1 + S 2 + S 3,dontles composantes obéissent à des lois de Poisson composées corrélées, suit ellemême une distribution de Poisson composée de paramètres λ et F X,où F X (x)= λ 11 λ F X 1 (x)+ λ 22 λ F X 2 (x)+ λ 33 λ F X 3 (x) + λ 12 λ F X 1 +X 2 (x)+ λ 13 λ F X 1 +X 3 (x) + λ 23 λ F X 2 +X 3 (x)+ λ 123 λ F X 1 +X 2 +X 3 (x). Un raisonnement semblable s applique aussi au modèledepoissonavec m 4 classes. 2.4 Modèles avec composantes communes On a vu dans la section précédente comment introduire la dépendance entre les variables N i par l entremise d un ou de plusieurs chocs. Les modèles 26

35 avec composantes communes sont définis de façon analogue. La dépendance y est introduite par une composante commune à chacune des variables N i, laquelle représente le nombre de réclamations faites à l intérieur de la i- ème classe d affaires. Une bonne introduction aux modèles avec composantes communes est donnée dans les articles de Wang (1998) et de Cossette & Marceau (2000). Considérons un portefeuille comportant m classes d affaires. Dans le modèle avec composantes communes, on suppose que le nombre de réclamations N i correspondant à la i-ème classe d affaires s exprime sous la forme : N i = N ii + N i0, i =1,...,m, où N ii binomiale négative (α ii,β i ), i = 1,...,m et N i0 binomiale négative (α 0,β i ), i =1,...,m. On suppose aussi que les variables aléatoires N ii et N i0 sont mutuellement indépendantes, mais que les N i0, i =1,...,m sont dépendantes entre elles et modélisées par le mélange d une loi de Poisson avec une loi gamma, c est-à-dire (1) N i0 Θ=θ Poisson (θβ i ), i =1,...,m; (2) Θ Gamma (α 0, 1) ; (3) les variables N i0 Θ=θsont indépendantes, i =1,...,m. La variable N ii est donc spécifique àlai-ème classe d affaires tandis que N i0 dépend d un paramètre qui est commun à toutes. C est donc par cet intermédiaire qu est introduite la dépendance entre les variables aléatoires N i. On sait que la somme de k variables aléatoires binomiale négative Y i avec paramètres α i et β est elle aussi une variable aléatoire binomiale négative avec paramètres k i=1 α i et β. Comme N i = N ii + N i0, i =1,...,m,alors N i binomiale négative (α i,β i ), où α i = α ii + α 0, i =1,...,m. On peut maintenant procéder au calcul de la fonction génératrice de probabilité conjointe des variables aléatoires N 1,...,N m, laquelle est définie par P N1,...,N m (t 1,...,t m ) = E ( ) t N 1 1 t Nm m = E ( t N 11+N 10 1 t Nmm+N m0 m ) m = E ( t N 10 1 t N m0 m 27 i=1 ) E ( ) t N ii i.

36 Afin de calculer E ( ) t N 10 1 t N m0 m, notons On a donc E(t N 10 1 t N m0 m ) = E{E(tN 10 1 t N m0 m { Θ=θ)} m } = E E(t N i0 i Θ =θ) i=1 (car les N i0 sont conditionnellement indépendantes) { m } = E e Θβ i(t i 1) i=1 = E { e m i=1 Θβ i(t i 1) } { m } = M Θ β i (t i 1) = { 1 i=1 m i=1 β i (t i 1)} α0. La fonction génératrice de probabilité conjointe des variables N 1,...,N m est donc : m P N1,...,N m (t 1,...,t m ) = E(t N 10 1 t N m0 m ) E(t N ii i ) i=1 { } m α0 m = 1 β i (t i 1) {1 β i (t i 1)} α ii. i=1 i=1 Comme les variables N i, i =1,...,m sont dépendantes, il est intéressant de calculer leur covariance. Soient i, j {1,..., m}, i j, deux classes d affaires distinctes. Alors cov(n i,n j ) = cov(n ii + N i0,n jj + N j0 ) = cov(n ii,n jj )+cov(n ii,n j0 )+cov(n i0,n jj )+cov(n i0,n j0 ) = cov(n i0,n j0 ) (car N ii,n jj,n i0 et N j0 sont indépendantes) = cov{e(n i0 Θ=θ),E(N j0 Θ=θ)}+E{cov(N i0,n j0 ) Θ=θ} (en vertu de la règle de la chaîne). Or, les variables N i0 sont conditionnellement indépendantes et E(N i0 Θ=θ)=θβ j, i =1,...,m. 28

37 La covariance peut donc s écrire : cov(n i,n j ) = E{cov(θβ i,θβ j ) Θ=θ} = β i β j var(θ) = β i β j α 0 (car Θ Gamma (α 0, 1)). Grâce à cette information, il est alors possible de calculer la fonction génératrice des moments de S = S 1 + +S m,quis écrit de la façon suivante : M S (t) = E ( e ts) = E { e t(s 1+ +S m) } = E ( e ts1 e tsm ) = M S1,...,S m (t,...,t) = P N1,...,N m {M X1 (t),...,m Xm (t)} [ ] m α0 m = 1 β i {M Xi (t) 1} [1 β i {M Xi (t) 1}] α ii. i=1 i=1 Quant à la fonction caractéristique de S, elle s écrit comme suit : φ S (t) = P N1,...,N m {φ X1 (t),...,φ Xm (t)} [ ] m α0 m = 1 β i {φ Xi (t) 1} [1 β i {φ Xi (t) 1}] α ii. i=1 i=1 29

38 Chapitre 3. Modèle avec copules Tel que mentionné au chapitre précédent, il est vraisemblable que dans le modèle collectif, il existe une forme de dépendance entre le nombre N i de réclamations des m classes d affaires d un portefeuille de contrats d assurance. Comme on le verra ici, les copules constituent un outil naturel et flexible pour définir une structure de dépendance entre ces variables aléatoires. La théorie des copules a été développée dans les cercles statistiques depuis une quarantaine d années. Une excellente introduction au sujet se trouve dans le livre de Nelsen (1999). En actuariat, l utilisation de copules pour la modélisation de systèmes de sécurité financière multivariés est toutefois beaucoup plus récente. D excellentes introductions à ce type d applications sont données dans l article de Frees & Valdez (1998) et dans celui de Wang (1998). La section suivante introduit la notion de copule et décrit certaines de ses propriétés. Plusieurs mesures d association seront ensuite définies au 3.2 et des exemples de copules seront donnés au 3.3. Enfin, on expliquera au 3.4 comment on peut utiliser les copules dans le modèle à m classes d affaires. 3.1 Définition et propriétés des copules Définition 3.1 On appelle copule la restriction à l ensemble [0, 1] n de la fonction de répartition conjointe de tout vecteur (U 1,...,U n ) de variables aléatoires dont les marges sont uniformes sur l intervalle [0, 1]. End autres termes, C(u 1,...,u n )=P(U 1 u 1,...,U n u n ), où u i [0, 1], i=1,...,n. Étant donné une copule C, il est possible d engendrer une loi multivariée de marges arbitraires F i, i =1,...,n, en posant F (x 1,...,x n )=C{F 1 (x 1 ),...,F n (x n )}. (4) À l aide de copules, on peut donc construire différentes familles de lois multivariées ayant pour marges des lois de Pareto (α, β) ou des lois log-normales (µ, σ), par exemple. 30

39 De façon réciproque, supposons que F X1,...,X n soit une fonction de répartition quelconque de marges F Xi,1 i n.onpeutalorsdémontrer qu il existe une copule C (unique lorsque F X1,...,X n est continue) telle que : F X1,...,X n (x 1,...,x n ) = P(X 1 x 1,...,X n x n ) = C{F X1 (x 1 ),...,F Xn (x n )} pour tous x 1,...,x n IR. De par la définition 3.1, une copule C :[0,1] n [0, 1] possède les propriétés suivantes : 1. C(u 1,...,u i 1,0,u i+1,...,u n ) = 0, quels que soient i {1,...,n} et u 1,...,u n ; 2. C(u 1,...,u n ) est croissante pour chacune des variables u i, i =1,...,n ; 3. C(1,...,1,u i,1,...,1) = u i, pour tout u i [0, 1] et i =1,...,n ; 4. (a 1,...,a n ),(b 1,...,b n ) [0, 1] n avec a i b i,i=1,...,n,ona 2 2 ( 1) i 1+ +i n C(u 1 i 1,...,u n i n ) 0, i 1 =1 i n=1 où u j 1 = a j et u j 2 = b j, j =1,...,n. La quatrième propriété garantit que la masse associée à tout ensemble de la forme [a 1,b 1 ] [a n,b n ] est positive. Un des principaux avantages de représenter une fonction de répartition sous la forme (4), c est qu il est alors possible de départager l effet des marges de celui de la copule, par laquelle est éventuellement introduite la dépendance entre les variables. L exemple le plus simple de copule est celle qui correspond à l indépendance, àsavoir Π(u 1,...,u n )=u 1 u n, 0 u 1,...,u n 1. D autres exemples sont présentés au 3.3. Il existe plusieurs façons de générer des copules. L une des familles les plus commodes est celle des copules archimédiennes, qui s expriment sous la forme C ψ (u 1,...,u n )=ψ 1 {ψ(u 1 )+ +ψ(u n )}, 31

40 en terme d une fonction ψ:(0,1] [0, ) telle que ψ(1)=0etdontlesn premières dérivées existent et alternent en signe, c est-à-dire ( 1) i d ψ(t) > 0, 1 i n. dti Lorsque la condition ci-dessus est vérifiée pour tout n 1, on peut alors montrer que ψ 1, l inverse de ψ, est une transformée de Laplace. Un des intérêts de la classe archimédienne de copules est que chacun de ses membres est généré par une fonction univariée (unique à une constante multiplicative près) qui le caractérise. 3.2 Bornes de Fréchet et mesures d association En actuariat, il est souvent utile de déterminer des bornes pour la fonction de répartition conjointe de deux risques. Le résultat suivant est utile à cette fin. Théorème 3.1 Soient X et Y deux variables aléatoires ayant F X,Y fonction de répartition conjointe et F X et F Y pour marges. Alors pour max{f X (x)+f Y (y) 1,0} F X,Y (x, y) min{f X (x),f Y (y)} pour tous x, y IR. La fonction F u (x, y) =max{f X (x)+f Y (y) 1,0} est appelée la borne inférieure de Fréchet (de marges F X et F Y )etf s (x, y) = min{f X (x),f Y (y)}est appelée la borne supérieure de Fréchet (de marges F X et F Y ). Dans la suite, on aura également recours à la notion de comonotonicité, dont la définition est rappelée ci-dessous. Définition 3.2 Deux variables aléatoires X et Y de lois F X et F Y comonotones s il existe une variable aléatoire Z telle que sont dites X = u(z) et Y = v(z) avec probabilité 1, où u et v sont des fonctions croissantes. Les bornes de Fréchet sont associées au concept de comonotonicité. En effet, le couple (X, Y ) a pour loi la borne supérieure de Fréchet lorsque les 32

41 variables aléatoires sont comonotones. De plus, leur loi coïncide avec la borne inférieure de Fréchet lorsque X et Y sont comonotones. Dans la pratique statistique, on évalue souvent le degré d association entre deux variables aléatoires à l aide de mesures d association non paramétriques telles que le tau de Kendall et le rho de Spearman. Il est intéressant de noter que ces mesures classiques ne dépendent que de la copule sous-jacente à la loi des observations. Ainsi, il est facile de vérifier que alors que ρ(x, Y )= {C(u, v) uv}dudv, τ(x, Y ) = P{(X 2 X 1 )(Y 2 Y 1 ) > 0} P{(X 2 X 1 )(Y 2 Y 1 ) < 0} = C(u, v)dc(u, v) 1, où(x 1,Y 1 )et(x 2,Y 2 )sontdeuxréalisations indépendantes de la distribution conjointe du couple (X, Y )et Cserait la copule sous-jacente de leur fonction de répartition conjointe. Ces deux mesures de dépendance possèdent les propriétés suivantes : (a) 1 τ,ρ 1; (b) X et Y sont comonotones si et seulement si τ = ρ =1; (c) X et Y sont comonotones si et seulement si τ = ρ = 1; (d) τ et ρ sont invariants par transformations monotones ; de façon plus spécifique, si f et g sont deux fonctions strictement croissantes (décroissantes), alors τ{f(x),g(y)}=τ(x, Y ) et ρ{f(x),g(y)}=ρ(x, Y ). Cette dernière propriété permet de mieux comprendre pourquoi les versions expérimentales du rho de Spearman et du tau de Kendall se calculent à partir des rangs des observations (X i,y i ), qui sont invariants par toute transformation croissante des variables. En effet, on a : ˆρ(X, Y )= 12 n(n +1)(n 1) n ( R i n +1 )( i=1 2 S i n+1 2 ) 33

42 et 2 ˆτ(X, Y )= signe{(r i R j )(S i S j )}. n(n 1) i<j où R i =rangdex i et S i =rangdey i,i=1,...,n. 3.3 Exemples de familles de copules Comme on l a déjà souligné, il existe un grand nombre de familles de copules dans la littérature statistique ; plusieurs d entre elles sont répertoriées dans les monographies de Hutchinson & Lai (1990) et de Nelsen (1999). On se contentera ici de présenter celles qui seront utilisées pour les exemples décrits au chapitre 5. Exemple La famille de copules de Fréchet est définie par : C α (u 1,...,u n )=(1 α)π(u 1,...,u n )+αm(u 1,...,u n ), où M(u 1,...,u n )=min(u 1,...,u n )représente la borne supérieure de Fréchet (de marges uniformes), Π(u 1,...,u n )=u 1 u n est la copule d indépendance et 0 α 1. On voit que cette copule est une combinaison convexe de la copule d indépendance et de la borne supérieure de Fréchet. Pour cette copule, le rho de Spearman des marges bivariées est ρ = α, tandis que le tau de Kendall est égal à τ = α(α +2)/3 de sorte que α = 1+3τ 1. Exemple Les copules de la famille de Clayton (ou de Cook et Johnson) sont de type archimédien ; leur fonction génératrice est de la forme ψ α (s) = (s α 1)/α pour s (0, 1], d où C α (u 1,...,u n )= { u α 1 + +u α n (n 1) } 1/α, où α>0. Pour cette copule, le tau de Kendall des marges bivariées est égal à τ = α/(α +2), ce qui entraîne que α =2τ/(1 τ). 34

43 On vérifie sans difficulté queψ α (s) log(1/t) etquec α Π lorsque α 0. Pour cette classe de copules, il n existe cependant pas d expression algébrique simple pour le rho de Spearman en fonction de α. Exemple Les membres de la famille de copules de Gumbel sont également archimédiens. Générés par ψ α (s) ={ log(s)} α pour s (0, 1], ils sont de la forme C α (u 1,...,u n )=exp [{ log(u 1 )} α + +{ log(u n )} α ] 1/α, où α 1. Pour cette copule, l équation qui relie le tau de Kendall des marges bivariées à α est : τ =1 1 1 et donc α = α 1 τ. Le cas α = 1 correspond à l indépendance. 3.4 Applications des copules au modèle collectif à m classes d affaires Comme on l a mentionné dans la section précédente, on peut représenter la fonction de répartition conjointe de n importe quel ensemble de variables aléatoires au moyen d une copule. Dans les applications actuarielles, on veut évaluer le risque global encouru par un assureur lorsqu il prend en charge un portefeuille de contrats avec m classes d affaires (m 1). Pour évaluer ce risque, on doit estimer la fonction de répartition F S (s) du montant total des réclamations issues du portefeuille, à savoir m S= S i, i=1 où S i = N i j=1 X i,j est le montant total des réclamations générées à l intérieur de la i-ème classe d affaires, la suite de variables X i,1,x i,2,... représente le montant associé à chacune des réclamations individuelles et N i est le nombre aléatoire de réclamations pour la i-ème classe d affaires, i = 1,...,m. On identifie la fonction de répartition à partir de la fonction génératrice des moments M S (t), définie par M S (t) = M S1,...,S m (t,...,t) = P N1,...,N m {M X1 (t),...,m Xm (t)}, 35

44 où M Xi (t) est la fonction génératrice des moments pour la suite de variables de la i-ème classe d affaires. En se servant de la définition de P N1,...,N m,on trouve M S (t) = n 1 =0 n m=0 P (N 1 = n 1,...,N m =n m )M X1 (t) n 1 M Xm (t) nm. La fonction caractéristique φ S (t)estdelamême forme, les fonctions génératrices des moments M X de X étant simplement remplacées par les fonctions caractéristiques φ X de X. On voit que par définition de φ S (t), la fonction caractéristique dépend implicitement de la fonction de probabilité conjointe des variables N i, i =1,...,m,c est-à-dire du nombre de réclamations faites à l intérieur de chacune des classes d affaires. Puisque dans cet essai, on n exigepasquelesvariablesn i,i=1,...,m soient indépendantes, on va utiliser une copule pour représenter leur fonction de répartition conjointe. On peut choisir n importe quelle distribution marginale pour modéliser la distribution de chacune des variables représentant le nombre de réclamations faites à l intérieur de chacune des classes d affaires. Exemple 3.1 Considérons un portefeuille de contrats d assurance comportant trois classes d affaires, à savoir : Classe 1 : assurance habitation, dont le nombre de réclamations N 1 obéit à une loi Poisson de paramètre λ ; Classe 2 : assurance automobile des particuliers, dont le nombre de réclamations N 2 a pour distribution une loi Poisson inverse gaussienne (µ, β) ; Classe 3 : assurance véhicules commerciaux, dont le nombre de réclamations N 3 est distribué selon une loi binomiale (m, p). Si on utilisait la copule de Cook-Johnson pour modéliser la dépendance conjointe entre ces trois classes, on aurait alors : F N1,N 2,N 3 (n 1,n 2,n 3 ) = C α {F N1 (n 1 ),F N2 (n 2 ),F N3 (n 3 )} = [{F N1 (n 1 )} α +{F N2 (n 2 )} α +{F N3 (n 3 )} α 2] 1/α et ceci pour tous les entiers positifs n 1, n 2 et n 3. 36

45 Pour calculer F S (s), on doit déterminer la forme de la fonction de probabilité conjointe P (N 1 = n 1,...,N m =n m )desvariablesn 1,...,N m,ainsi que les fonctions génératrices de moments M Xi (t) pour chacune des classes d affaires. D une part, on a P (N 1 = n 1,...,N m =n m )= n 1 i 1 =n 1 1 n m i m=n m 1 ( 1) (n 1 i 1 )+ +(n m i m) C α (i 1,...,i m ) tel qu expliqué dans l article de Marceau et coll. (1999). D autre part, le calcul de la fonction génératrice de moments M Xi (t) nécessite d abord que soit déterminée la fonction de répartition F Xi qui modélise le mieux la distribution empirique des réclamations individuelles de cette classe d affaires. Cela fait, on calcule la fonction de densité en discrétisant la fonction de répartition par un pas de δ. On peut alors utiliser l algorithme FFT pour trouver la fonction génératrice de moments M Xi de X i. Finalement, le calcul de φ S (t) se fait numériquement en approximant la série par une somme finie comportant un très grand nombre de termes. Ce nombre l est choisi de façon à ce que l on ait P (N i l) 1 pour 1 i m. Une fois que l on a calculé φ S (t), on utilise l algorithme FFT inverse pour déduire f S (s). Le calcul de F S (s) se fait alors en sommant les probabilités appropriées. Si par exemple f S (s 1 ),...,f S (s n )représentent les valeurs non nulles de la fonction de densité auxpointss 1 s n,alors j F S (s j )= f S (s i ), i=1 j =1,...,n. On peut alors utiliser F S pour calculer la prime stop-loss ou toute autre caractéristique d intérêt de la distribution de la somme des réclamations. 37

46 Chapitre 4. Ordres stochastiques Dans les chapitres précédents, on a défini les modèles que l on peut utiliser pour représenter le nombre de réclamations, leur montant individuel et leur somme à l intérieur d un portefeuille comportant m 1 classes d affaires. Une fois que le modèle pour S est fixé, on cherche ensuite àcomparer les portefeuilles entre eux afin de déterminer lequel est le plus risqué. Ces comparaisons seront basées sur des notions d ordres stochastiques que nous commençons par rappeler au Relations d ordes stochastiques (n =2)et généralisations Un ordre qui est fréquemment utilisé pour comparer deux variables aléatoires est le suivant : Définition 4.1 Soient X et Y deux variables aléatoires de moyennes données. On dit que X précède Y selon l ordre stochastique et on écrit X st Y si F X (t) F Y (t), t IR n. De façon équivalente, on dit que la variable aléatoire X précède Y selon l ordre stochastique si E{f(X)} E{f(Y)} pour toute fonction croissante f pour laquelle les espérances existent. Une autre notion d ordre qui est souvent utilisée pour la comparaison de risques actuariels est la suivante. Définition 4.2 On dit qu une variable aléatoire X précède une autre variable aléatoire Y selon l ordre stop-loss, noté X sl Y,si E{(X t) + }<E{(Y t) + }, t 0 où E{(a) + } = E{max(a, 0)}. 38

47 Lorsque X sl Y, la prime stop-loss de X est donc toujours inférieure à celle de Y, quelle que soit la valeur de t. On dit aussi que X précède Y selon l ordre stop-loss si E{f(X)} E{f(Y)} pour toute fonction convexe croissante f pour laquelle les espérances existent. Une troisième relation d ordre populaire en actuariat est la suivante. Définition 4.3 Soient X =(X 1,X 2 ) et Y =(Y 1,Y 2 ) deux risques bivariés ayant les mêmes marginales. On dit alors que X est moins corrélé que Y et on écrit X c Y si cov{f(x 1 ),g(x 2 )} cov{f(y 1 ),g(y 2 )} pour toutes fonctions croissantes f et g pour lesquelles les covariances existent. Comme l ont démontré Dhaene & Goovaerts (1996), cet ordre dit de corrélation est plus fort que l ordre stop-loss, ce qui signifie que l on a l implication suivante : X c Y X 1 + X 2 sl Y 1 + Y 2. Ces auteurs ont aussi démontré que pour des couples X =(X 1,X 2 )et Y=(Y 1,Y 2 )ayantlesmêmes marges, l ordre de corrélation est équivalent à celui de dépendance positive par quadrant (PQD), défini comme suit. Définition 4.4 Soient X =(X 1,X 2 ) et Y =(Y 1,Y 2 ) deux couples de variables aléatoires ayant les mêmes marges. On dit qu ils sont ordonnés selon PQD et on écrit X PQD Y si et seulement si P (X 1 >t 1,X 2 >t 2 ) P(Y 1 >t 1,Y 2 >t 2 ), t 1,t 2 IR. Shaked & Shantikumar (1994) ont démontré que deux variables aléatoires sont ordonnées selon l ordre PQD si et seulement si l inégalité E{φ 1 (X 1 )φ 2 (X 2 )} E{φ 1 (Y 1 )φ 2 (Y 2 )} est satisfaite pour toutes fonctions positives croissantes φ 1 et φ 2 pour lesquelles les espérances existent. Une généralisation multivariée de cette notion est donnée ci-dessous. Définition 4.5 Soient X =(X 1,...,X n ) et Y =(Y 1,...,Y n ) IR n ayant respectivement pour fonctions de répartition conjointes F et G. Alors, 39

48 (a) on dit que X précède Y selon l ordre orthant supérieur, dénoté X uo Y,siF(x) G(x)pour tout x IR n ou bien si l égalité suivante est satisfaite { n } { n } E φ i (X i ) E φ i (Y i ), i=1 i=1 pour toutes fonctions positives croissantes φ 1,...,φ n pour lesquelles les espérances existent. (b) on dit que X précède Y selon l ordre orthant inférieur, dénoté X lo Y,siF(x) G(x)pour tout x IR n ou bien si l égalité suivante est satisfaite { n } { n } E φ i (X i ) E φ i (Y i ), i=1 i=1 pour toutes fonctions positives décroissantes φ 1,...,φ n pour lesquelles les espérances existent. (c) on dit que X précède Y selon l ordre de concordance, dénoté X co Y,siX uo Y et X lo Y sont vérifiés simultanément. Malheureusement, ces ordres n impliquent l ordre stop-loss que si n = 2. À cet égard, ils sont donc moins utiles que l ordre supermodulaire popularisé parbäuerle & Rieder (1997) et Shaked & Shanthikumar (1997). Avant d introduire cette notion, il est cependant nécessaire de définir ce qu est une fonction supermodulaire. Définition 4.6 Une fonction f : IR n IR est dite supermodulaire si f(x 1,...,x i +ɛ,...,x j +γ,...,x n ) f(x 1,...,x i +ɛ,...,x j,...,x n ) f(x 1,...,x i,...,x j +γ,...,x n ) f(x 1,...,x i,...,x j,...,x n ) est vérifiée pour tout x IR n, 1 i<j net pour tous ɛ, γ > 0. Les propriétés ci-dessous associées aux fonctions supermodulaires sont très bien connues. 40

49 Théorème 4.1 (a) Si f est une fonction deux fois dérivable, alors f est supermodulaire si et seulement si 2 f(x) 0, x IR n, 1 i<j n. x i x j (b) Si g 1,...,g n : IR IR sont des fonctions croissantes et f est une fonction supermodulaire, alors f{g 1 ( ),...,g n ( )} est elle-même supermodulaire. On peut trouver la démonstration de ce théorème et plusieurs exemples dans le livre de Marshall & Olkin (1979). Définition 4.7 On dit qu un vecteur aléatoire X =(X 1,...,X n ) est plus petit qu un autre vecteur aléatoire Y =(Y 1,...,Y n ) selon l ordre supermodulaire, dénoté X sm Y,si E{f(X)} E{f(Y)}, pour toute fonction supermodulaire pour laquelle les espérances existent. Dans le cas bivarié, l ordre supermodulaire et les ordres orthants sont équivalents, tel qu énoncé dans le théorème suivant. Théorème 4.2 Considérons deux couples aléatoires X =(X 1,X 2 ) et Y = (Y 1,Y 2 ) ayant les mêmes marges. Les conditions suivantes sont équivalentes. (1) X uo Y (2) X lo Y (3) X sm Y (4) X c Y La démonstration de ce théorème se déduit facilement d un résultat de Tchen (1980). Par ailleurs, on peut trouver dans l article de Müller (1997b) la preuve du théorème suivant, qui est à l origine de l intérêt actuariel pour l ordre supermodulaire. Théorème 4.3 Soient X =(X 1,...,X n ) et Y =(Y 1,...,Y n ) deux vecteurs aléatoires tels que X sm Y et soient n S = X i et n S = Y i. i=1 i=1 41

50 Alors S sl S. Démonstration : Il faut montrer que E{f(S)} E{f(S )}pour toute fonction f : IR IR convexe et croissante pour laquelle les espérances existent. Or si f est une telle fonction, on sait que g(x) =f(x 1 + +x n ) est alors supermodulaire, puisque f(x + ɛ + γ)+f(x) f(x+ɛ)+f(x+γ), x IRet ɛ, γ > 0 ce qui est équivalent àlaconvexitédef. Comme X sm Y par hypothèse, on en déduit que E{f(S)} = E{f(X)} E{f(Y)}=E{f(S )}. Bien que l ordre supermodulaire implique l ordre stop-loss, ce résultat n est pas d emploi aisé, car en pratique il est souvent très difficile de montrer que deux vecteurs aléatoires sont ordonnés par ce concept. Il reste donc du travail à faire pour arriver à des critères simples qui permettraient de démontrer plus facilement que deux vecteurs sont ordonnés selon l ordre supermodulaire. 4.2 Concordance Soient (x i,y i )et(x j,y j ) deux observations du vecteur aléatoire (X, Y ). On dit que (x i,y i )et(x j,y j )sontconcordantes si x i <x j et y i <y j ou bien si x i >x j et y i >y j. On dit aussi que (x i,y i )et(x j,y j )sontdiscordantes si x i >x j et y i <y j ou bien si x i >x j et y i <y j.unedéfinition équivalente consiste àdireque(x i,y i )et(x j,y j )sontconcordantes si (x i x j )(y i y j ) > 0 et discordantes si (x i x j )(y i y j ) < 0. Définition 4.8 Unemesurenumérique d association κ entre deux variables aléatoires continues X et Y qui ont pour copule C, est une mesure de concordance si elle satisfait les propriétés suivantes : (1) κ est définie pour toute paire (X, Y ) de variables aléatoires continues ; (2) 1 κ 1, κ X,X =1et κ X, X = 1 ; (3) si les variables X et Y sont indépendantes alors κ X,Y = κ Π =0; (4) κ X,Y = κ Y,X ; (5) κ X,Y = κ X, Y = κ X,Y ; (6) si C 1 et C 2 sont deux copules telle que C 1 PQD C 2,alorsκ C1 κ C2 ; 42

51 (7) si {(X n,y n )} est une suite continue de variables aléatoires avec copules C n et si la suite C n converge en tout point vers une copule limite C, alors lim n κ C n = κ C. Le théorème suivant est une conséquence directe de la définition ci-dessus. Théorème 4.4 Soit κ une mesure de concordance pour deux variables aléatoires continues X et Y. (1) Si Y est presque sûrement une fonction croissante de X, alorsκ X,Y = κ M =1; (2) si Y est presque sûrement une fonction décroissante de X, alors κ X,Y = κ W = 1 ; (3) si α et β sont des fonctions presque sûrement monotones sur les supports de X et de Y,alorsκ α(x),β(y ) = κ X,Y. Le rho de Spearman ainsi que le tau de Kendall satisfont tous les deux les propriétés de la définition 4.7, ainsi que celles du théorème 4.4. Ce sont donc des exemples de mesures de concordance. 4.3 Ordonnancement de sommes aléatoires Comme nous allons le voir maintenant, l ordre de dépendance positive par quadrant et sa généralisation supermodulaire permettent de juger le degré de dépendance relative entre deux paires de sommes aléatoires et, par voie de conséquence, de déterminer lequel des deux portefeuilles correspondants est le plus risqué. Théorème 4.5 Soient (N 1,N 2 )et (N 1,N 2 )deux paires de variables aléatoires à valeurs entières et soient N i S Ni = X i,j et S N = X i,j, i =1,2 i j=1 j=1 où les suites X i,1,x i,2,...et X i,1,x i,2,...sont des suites de variables aléatoires positives et identiquement distribuées. On suppose que les variables X i,j sont indépendantes des variables X i,j pour i i,maisonnefaitaucunehypothèse sur la structure de dépendance qu il y a entre les éléments à l intérieur d une des suites. Alors, on a (N 1,N 2 ) PQD (N 1,N 2 ) (S N 1,S N2 ) PQD (S,S N 1 N 2). 43 N i

52 La démonstration de ce résultat est donnée par Denuit et coll. (2000). En combinant ce théorème au résultat principal de Dhaene & Goovaerts (1996), on obtient le corollaire suivant. Corollaire 4.1 Soient (N 1,N 2 ), (N 1,N 2 ), (S N 1,S N2 ) et (S,S définies N 1 N 2) comme dans le théorème précédent. Soient aussi S = S N1 + S N2 et S = S + S N 1 N 2.AlorsS sl S selon l ordre stop-loss, c est-à-dire pour tout t 0. E{(S t) + } E{(S t) + } Quoique ces résultats soient intéressants d un point de vue théorique, il est rare qu en pratique un portefeuille ne comporte que deux classes d affaires. Le résultat suivant, qui s appuie sur les notions d ordres orthants et supermodulaire, est valable en dimension m quelconque. Théorème 4.6 Soient N =(N 1,...,N m ) et N =(N 1,...,N ) deux vecteurs aléatoires à valeurs entières, et soient S N =(S N1,...,S Nm ) et S = N (S,...,S dont les composantes sont N N 1 m)deuxvecteursdesommesaléatoires définies comme suit : N i S Ni = X i,j, et S N i j=1 N i = X i,j, j=1 j =1,...,m où les suites X i,1,x i,2,... et X i,1,x i,2,..., i =1,...,m sont des suites de variables aléatoires positives identiquement distribuées. On suppose que les suites X i,1,x i,2,... sont indépendantes des suites X i,1,x i,2,... pour i i mais on ne fait aucune hypothèse sur la structure de dépendance qu il y a entre les éléments d une suite particulière. Alors les implications suivantes sont vraies : (a) N uo N S N uo S N ; (b) N lo N S N lo S N ; (c) N co N S N co S N ; (d) N sm N S N sm S N. 44

53 La démonstration de ce théorème se trouve dans Denuit et coll. (2000). De même que pour le théorème 4.5, on a une généralisation multivariée du corollaire 4.1. Corollaire 4.2 Supposons que N, N, S N et S sont définis comme dans N le théorème 4.6 et soient m m S = S Ni et S = S N. i i=1 i=1 On a les résultats suivants : (a) si N sm N,alorsS sl S selon l ordre stop-loss ; (b) si N uo N,alors E ( e ts) ( ) E e ts, t 0 c est-à-dire que S N précède S selon l ordre exponentiel (pour de plus N amples détails concernant cet ordre, voir Goovaerts et coll. (1990), définition 4.3.1, p. 44) ; (c) si N lo N,alors E ( e ts) ( ) E e ts, t 0 c est-à-dire que S N précède S N selon l ordre de Laplace. Les théorèmes et les corollaires ci-dessus nous permettent de déterminer le portefeuille qui est le plus risqué selon l ordre stop-loss. Le résultat suivant fournira pour sa part une borne supérieure pour les primes stop-loss d un portefeuille de contrats. Corollaire 4.3 Soient N, N, S N et S définis comme dans le théorème N 4.6. Si les composantes du vecteur N sont comonotones, alors peu importe le vecteur N, ona N sm N S N sm S N S sl S, où S et S sont définies comme dans le corollaire 4.2. La démonstration du fait que N sm N est due à Tchen (1980) et les implications qui suivent sont des conséquences directes du théorème 4.6 et du corollaire

54 Finalement, le théorème suivant permet de comparer au cas d indépendance la prime stop-loss d un portefeuille dont la copule de la distribution conjointe du nombre de réclamations est archimédienne. Théorème 4.7 Soient N, N, S N et S définis comme dans le théorème N 4.6. On suppose que les composantes du vecteur aléatoire N sont mutuellement indépendantes et que celles du vecteur aléatoires N sont modélisées par une distribution dont la copule sous-jacente est de la forme C(n 1,...,n m )=ψ{ψ 1 (n 1 )+ +ψ 1 (n m )}, telle que définie au bas de la page 31. Alors N sm N et donc S N sm S N et S N sl S N,oùSet S sont définies comme dans le corollaire 4.2. La démonstration de ce théorème est donnée dans Denuit et coll. (2000). Il serait intéressant de généraliser ce résultat de façon à pouvoir comparer dans l ordre supermodulaire deux copules archimédiennes de générateurs ψ et ψ (t) e t. Comme on le verra au chapitre suivant, il semble que les éléments de plusieurs familles de copules archimédiennes puissent être ordonnés par leur paramètre au sens de sm,même si une démonstration rigoureuse de ce fait reste àvenir. On peut aussi trouver dans Denuit et coll. (2000) un résultat d ordonnancement selon l ordre supermodulaire pour la famille (non-archimédienne) de Fréchet. En ce qui concerne les modèles avec composantes ou chocs communs, il existe aussi des résultats dans Denuit et coll. (2000) qui montrent, dans des cas particuliers, l ordonnancement des primes stop-loss. Voir en outre Marceau et coll. (2000). 46

55 Chapitre 5. Exemples Ce chapitre présente des exemples visant à illustrer la théorie exposée précédemment. Les résultats pour un portefeuille comportant m = 2,...,4 classes d affaires sont rapportés dans les 5.1 à 5.3. La distribution marginale du nombre N i de réclamations générées pour chaque classe et la loi du montant de chacune des réclamations X i sont précisées dans chaque section. Les X i ont toujours été supposés indépendants et identiquement distribués au sein d une même classe d affaires. Quant àlastructurededépendance entre les classes d affaires, elle a été modélisée au moyen de copules. Afin d étudier l effet de la dépendance sur la prime stop-loss, plusieurs copules différentes ont étéemployées, àsavoir : (1) la copule d indépendance ; (2) la copule de parfaite dépendance ; (3) la copule de Fréchet ; (4) la copule de Gumbel ; (5) la copule de Clayton ou de Cook-Johnson. Pour les copules de Fréchet, de Gumbel et de Cook-Johnson, deux degrés de dépendance différents ont été choisis, correspondant respectivement àdes valeurs de 1/3 et2/3 pour le tau de Kendall. Dans chaque cas, les valeurs appropriées du paramètre α de dépendance des copules ont été déterminées au moyen des équations liant τ et α (voir chapitre 3). Pour chacune des situations considérées, on a calculé la fonction de répartition F S de S, la fonction de probabilité conjointe des variables N 1,...,N m et la prime stoploss pour divers montants de rétention. Ces résultats ont été compilés et, dans le cas de la prime stop-loss, portés sur des graphiques. 5.1 Exemple pour un portefeuille avec m =2classes d affaires Pour ce premier exemple, on considère un portefeuille avec m = 2 classes d affaires. Pour la première classe, on suppose que N 1 obéit à une loi binomiale négative de paramètres r = 4 et p = 1/3 et que les montants des réclamations sont des observations indépendantes d une loi log-normale (µ =1,σ = ). Pour la deuxième classe, on suppose que N 2 apour distribution la loi binomiale négative de paramètres r = 4 et p = 0.4 et que le montant d une réclamation est modélisé par la loi de Pareto de paramètres 47

56 α =2.5etβ=3. Examinons d abord la figure 5.1, qui illustre le comportement de la prime stop-loss π S (t) en fonction de t. On remarque que peu importe la copule utilisée et le paramètre de dépendance α choisi, toutes les courbes ont la même valeur de π S (0). Ceci est dû au fait que calculer π S (0) revient àcalculer E(S) qui, comme on l a vu plus tôt, ne dépend que des lois marginales des X i,j et des N i. On remarque aussi que peu importe la copule utilisée, π S (t) est compris entre les courbes de prime stop-loss correspondant aux cas d indépendance et de parfaite dépendance. Ceci était prévisible, étant donné le théorème 4.7, le corollaire 4.3 et le fait que toutes les copules considérées sont en dépendance positive par quadrant (PQD). Il est également ànoter que comme l espérance de la variable S est la même peu importe la copule sous-jacente, les fonctions de répartition F S correspondantes doivent nécessairement se croiser. Si on compare maintenant la courbe de prime stop-loss associée àdeux degrés de dépendance différents pour la même famille de copules, disons par exemple celle de Gumbel, on s aperçoit que plus τ augmente, plus la valeur de π S (t) est grande pour t fixé. Autrement dit, si on a les même marges et si τ<τ,alorsπ S (t) π S (t) pour tout t 0. Supposons maintenant que l on fixe une valeur de τ particulière, (τ = 1/3, par exemple) et examinons l effet d un changement de structure de dépendance sur la prime stop-loss. En consultant le tableau 5.3, on remarque qu au départ, les valeurs de π S (t) sont plus grandes pour la copule de Cook- Johnson que pour celles de FréchetetdeGumbel.À mesure que t augmente, cependant, cet écart diminue et les courbes finissent par se croiser. On remarque la même chose entre la copule de Fréchet et celle de Gumbel. Au début, π S (t) est plus grand pour la copule de Fréchet que pour celle de Gumbel, mais la différence s amenuise et devient négative à mesure que t croît. On remarque le même comportement lorsque τ = 2/3. Il est également instructif de comparer la fonction de répartition F S de S pour chacune des copules (à valeurdeτfixée). Le tableau 5.1 est utile à cet effet. On remarque que plus la dépendance augmente, plus F S (0) est grand et plus lente est la convergence de F S (s) vers 1. En d autres termes, plus le degré dedépendance est élevé, plus on augmente les chances d observer des valeurs de S bien au-dessus de la moyenne. Enfin, si on examine le comportement de la fonction de répartition conjointe F N1,N 2 (n 1,n 2 )dunombrederéclamations par classe (voir les tableaux 5.2a et 5.2b), on remarque que, plus la dépendance augmente, plus la probabilité 48

57 associée àdesvaleursdonnées de n 1 et de n 2 est grande. Par ailleurs, si on fixe τ =1/3, on remarque que la fonction de répartition induite par la copule de Gumbel croise celle correspondant à la copule de Fréchet, mais qu elle reste toujours supérieure à F N1,N 2 (n 1,n 2 ) pour la copule de Cook-Johnson. On remarque aussi que la fonction de répartition induite par la copule de Fréchet croise celle de Cook-Johnson. Ces mêmes patrons se répètent lorsque τ =2/ CJ13 CJ23 G13 G23 F13 F23 IND PD Fig. 1 Primes stop-loss π S (t) en fonction du montant de rétention t exigé pour différentes structures de dépendance. 49

58 s Ind. C.-J. Fréchet Gumbel C.-J. Fréchet Gumbel Parf. τ =1/3 τ=1/3 τ=1/3 τ=2/3 τ=2/3 τ=2/3 dép Tableau 5.1 Fonction de répartition de S = S 1 + S 2 pour différentes structures de dépendance. 50

59 n 1 n 2 Indép. C.-J. Fréchet Gumbel C.-J. Fréchet Gumbel Parf. τ =1/3 τ=1/3 τ=1/3 τ=2/3 τ=2/3 τ=2/3 Dép Tableau 5.2a Fonction de répartition de (N 1,N 2 )pourdifférentes structures de dépendance. 51

60 n 1 n 2 Indép. C.-J. Fréchet Gumbel C.-J. Fréchet Gumbel Parf. τ =1/3 τ=1/3 τ=1/3 τ=2/3 τ=2/3 τ=2/3 Dép Tableau 5.2b Fonction de répartition de (N 1,N 2 )pourdifférentes structures de dépendance. 52

61 t Ind. C.-J. Fréchet Gumbel C.-J. Fréchet Gumbel Parf. τ =1/3 τ=1/3 τ=1/3 τ=2/3 τ=2/3 τ=2/3 Dép Tableau 5.3 Primes stop-loss pour différentes structures de dépendance. 53

62 5.2 Exemple pour un portefeuille avec m =3classes d affaires Pour cet exemple, on considère un portefeuille avec m = 3 classes d affaires. On suppose que le nombre de réclamations N 1 pour la première classe obéit à une loi binomiale négative de paramètres r =4etp=1/3etque les montants des réclamations sont des observations indépendantes d une loi log-normale de paramètres µ = 1 et σ = Pour la deuxième classe, on suppose que le nombre N 2 de réclamations suit une loi binomiale négative de paramètres r = 4 et p = 0.4 et que les montants des réclamations sont distribués selon une loi de Pareto de paramètres α =2.5etβ= 3. Enfin, pour la troisième classe, on suppose que N 3 est de loi binomiale négative avec paramètres r = 7 et p = 1/3 et que les montants des réclamations sont modélisés par une loi de Weibull de paramètres δ =0.5etβ= À l examen de la figure 5.2, on remarque encore une fois que toutes les courbes commencent àlamême valeur de π S (0), soit E(S). On voit aussi clairement que toutes les courbes sont situées entre celles qui correspondent à l indépendance et àladépendance parfaite, telque garantiparle théorème 4.7 et le corollaire 4.3. Comme dans l exemple de la section précédente, on note encore que pour une famille de copules donnée, τ<τ implique π S (t) π S (t) pour tout t 0. Ce résultat, dû à Denuit et coll. (2000), a pu être établi théoriquement dans le cas de la copule de Fréchet, mais il ne l est pas pour les copules archimédiennes telles que celles de Cook-Johnson et de Gumbel. Les valeurs numériques de π S (t) sont consignées au tableau 5.6. En comparant le comportement de cette fonction pour différentes copules ayant le même τ, on remarque les mêmes croisements qu en 5.1. Quant aux tableaux 5.4a et 5.4b, ils permettent de comparer les fonctions de répartition F S pour différentes copules sous-jacentes. On y remarque que plus le degré de dépendance augmente, plus F S (0) est grand mais que la queue de la distribution s alourdit. Ceci veut dire que plus le degré de dépendance est élevé, plus s accroissent les chances d observer des valeurs de S au-dessus de la moyenne. Enfin, si on consulte les tableaux 5.5a f, on constate que plus le degré de dépendance augmente, plus les valeurs de la fonction de répartition conjointe F N1,N 2,N 3 (n 1,n 2,n 3 )dunombrederéclamations sont élevées pour un triplet (n 1,n 2,n 3 )donné. On observe de plus que pour une valeur de τ fixée, il y a croisement entre les fonctions F N1,N 2,N 3 (n 1,n 2,n 3 ) correspondant aux copules de Cook-Johnson, de Fréchet et de Gumbel. 54

63 cj13 cj23 g13 g23 f13 f23 ind pd Fig. 2 Primes stop-loss π S (t) en fonction du montant de rétention pour différentes structures de dépendance. 55

64 s Ind. C.-J. Fréchet Gumbel C.-J. Fréchet Gumbel Parf. τ =1/3 τ=1/3 τ=1/3 τ=2/3 τ=2/3 τ=2/3 Dép Tableau 5.4a Valeurs de la fonction de répartition F S (s) lorsque S = S 1 + S 2 + S 3. 56

65 s Ind. C.-J. Fréchet Gumbel C.-J. Fréchet Gumbel Parf. τ =1/3 τ=1/3 τ=1/3 τ=2/3 τ=2/3 τ=2/3 Dép Tableau 5.4b Valeurs de la fonction de répartition F S (s) lorsque S = S 1 + S 2 + S 3. 57

66 n 1 n 2 n 3 Ind. C.-J. Fréch. Gumb. C.-J. Fréch. Gumb. Parf. τ = 1 3 τ = 1 3 τ = 1 3 τ = 2 3 τ = 2 3 τ = 2 3 Dép Tableau 5.5a Valeurs de la fonction de répartition conjointe F N1,N 2,N 3 (n 1,n 2,n 3 ). 58

67 n 1 n 2 n 3 Ind. C.-J. Fréch. Gumb. C.-J. Fréch. Gumb. Parf. τ = 1 3 τ = 1 3 τ = 1 3 τ = 2 3 τ = 2 3 τ = 2 3 Dép Tableau 5.5b Valeurs de la fonction de répartition conjointe F N1,N 2,N 3 (n 1,n 2,n 3 ). 59

68 n 1 n 2 n 3 Ind. C.-J. Fréch. Gumb. C.-J. Fréch. Gumb. Parf. τ = 1 3 τ = 1 3 τ = 1 3 τ = 2 3 τ = 2 3 τ = 2 3 Dép Tableau 5.5c Valeurs de la fonction de répartition conjointe F N1,N 2,N 3 (n 1,n 2,n 3 ). 60

69 n 1 n 2 n 3 Ind. C.-J. Fréch. Gumb. C.-J. Fréch. Gumb. Parf. τ = 1 3 τ = 1 3 τ = 1 3 τ = 2 3 τ = 2 3 τ = 2 3 Dép Tableau 5.5d Valeurs de la fonction de répartition conjointe F N1,N 2,N 3 (n 1,n 2,n 3 ). 61

70 n 1 n 2 n 3 Ind. C.-J. Fréch. Gumb. C.-J. Fréch. Gumb. Parf. τ = 1 3 τ = 1 3 τ = 1 3 τ = 2 3 τ = 2 3 τ = 2 3 Dép Tableau 5.5e Valeurs de la fonction de répartition conjointe F N1,N 2,N 3 (n 1,n 2,n 3 ). 62

71 n 1 n 2 n 3 Ind. C.-J. Fréch. Gumb. C.-J. Fréch. Gumb. Parf. τ = 1 3 τ = 1 3 τ = 1 3 τ = 2 3 τ = 2 3 τ = 2 3 Dép Tableau 5.5f Valeurs de la fonction de répartition conjointe F N1,N 2,N 3 (n 1,n 2,n 3 ). 63

72 t Ind. C.-J. Fréchet Gumbel C.-J. Fréchet Gumbel Parf. τ =1/3 τ=1/3 τ=1/3 τ=2/3 τ=2/3 τ=2/3 Dép Tableau 5.6 Primes stop-loss pour différentes structures de dépendance. 64

73 5.3 Exemple pour un portefeuille avec m =4classes d affaires Pour ce troisième exemple, on considère cette fois un portefeuille avec m = 4 classes d affaires. On suppose que le nombre de réclamations N 1 pour la première classe suit une loi binomiale négative de paramètres r =4etp= 1/3etquelesmontantsdesréclamations sont des observations indépendantes d une loi log-normale de paramètres µ =1etσ= Pour la deuxième classe, on suppose que le nombre N 2 de réclamations obéit à une loi binomiale négative de paramètres r = 4 et p = 0.4 et que les montants des réclamations sont distribués selon une loi de Pareto de paramètres α =2.5etβ=3.En ce qui concerne la troisième classe, on suppose que le nombre N 3 est de loi binomiale négative de paramètres r = 7 et p = 1/3 et que les montants des réclamations sont modélisés par une loi de Weibull de paramètres δ = 0.5 et β= Enfin pour la quatrième classe, on suppose que le nombre N 4 de réclamations a pour distribution la loi binomiale négative de paramètres r = 2 et p = 1/2 et que les montants des réclamations sont modélisés par la loi log-normale de paramètres µ =1etσ= Examinons en premier lieu la figure 5.3. On constate de nouveau que toutes les courbes valent E(S) en t= 0. De plus, on s aperçoit que, conformément au résultat du théorème 4.7 et du corollaire 4.3, toutes les courbes sont situées entre celles qui correspondent à l indépendance et à la dépendance parfaite. Encore une fois, on remarque que pour une famille de copules donnée, τ<τ implique π S (t) π S(t) pourtoutt 0.DanslecasdelacopuledeFréchet, on a déjà mentionné au chapitre 4 que ce résultat a été démontré pardenuit et coll. (2000) ; cependant, il ne l est pas pour les copules archimédiennes telles que celles de Cook-Johnson et de Gumbel. Les valeurs numériques de π S (t) sontdonnées en page 75 (tableau 5.9). En comparant les valeurs de cette fonction pour un tau de Kendall fixe, on voit que les fonctions associées à des copules distinctes se croisent. Le tableau 5.7 contient les valeurs de la fonction de répartition F S. Comme dans les deux exemples précédents, on remarque que plus le degré de dépendance augmente, plus F S (0) est grand mais plus la queue s épaissit. Ceci veut donc dire que plus le degré dedépendance augmente, plus on augmente la probabilité d observer des valeurs supérieures à la moyenne. Enfin, si on consulte les tableaux 5.8a f, on constate que plus le degré de dépendance augmente, plus les valeurs de la fonction F N1,N 2,N 3,N 4 (n 1,n 2,n 3,n 4 ) sont élevées pour un argument donné. En fixant la valeur de τ, onremarque qu il y a croisement des fonctions F N1,N 2,N 3,N 4 (n 1,n 2,n 3,n 4 ) correspondant 65

74 aux copules de Clayton ou Cook-Johnson, de Fréchet et de Gumbel cj13 cj23 g13 g23 f13 f23 ind pd Fig. 3 Primes stop-loss π S (t) en fonction du montant de rétention t exigé pour différentes structures de dépendance. 66

75 s Ind. C.-J. Fréchet Gumbel C.-J. Fréchet Gumbel Parf. τ =1/3 τ=1/3 τ=1/3 τ=2/3 τ=2/3 τ=2/3 Dép Tableau 5.7 Valeurs de la fonction de répartition F S (s) lorsque S = S 1 + +S 4. 67

76 n 1 n 2 n 3 n 4 Ind. C.-J. Fréch. Gumb. C.-J. Fréch. Gumb. Parf. τ = 1 τ = 1 τ = 1 τ = 2 τ = 2 τ = 2 Dép Tableau 5.8a Valeurs de la fonction de répartition conjointe F N1,N 2,N 3,N 4 (n 1,n 2,n 3,n 4 ). 68

77 n 1 n 2 n 3 n 4 Ind. C.-J. Fréch. Gumb. C.-J. Fréch. Gumb. Parf. τ = 1 τ = 1 τ = 1 τ = 2 τ = 2 τ = 2 Dép Tableau 5.8b Valeurs de la fonction de répartition conjointe F N1,N 2,N 3,N 4 (n 1,n 2,n 3,n 4 ). 69

78 n 1 n 2 n 3 n 4 Ind. C.-J. Fréch. Gumb. C.-J. Fréch. Gumb. Parf. τ = 1 τ = 1 τ = 1 τ = 2 τ = 2 τ = 2 Dép Tableau 5.8c Valeurs de la fonction de répartition conjointe F N1,N 2,N 3,N 4 (n 1,n 2,n 3,n 4 ). 70

79 n 1 n 2 n 3 n 4 Ind. C.-J. Fréch. Gumb. C.-J. Fréch. Gumb. Parf. τ = 1 τ = 1 τ = 1 τ = 2 τ = 2 τ = 2 Dép Tableau 5.8d Valeurs de la fonction de répartition conjointe F N1,N 2,N 3,N 4 (n 1,n 2,n 3,n 4 ). 71

80 n 1 n 2 n 3 n 4 Ind. C.-J. Fréch. Gumb. C.-J. Fréch. Gumb. Parf. τ = 1 τ = 1 τ = 1 τ = 2 τ = 2 τ = 2 Dép Tableau 5.8e Valeurs de la fonction de répartition conjointe F N1,N 2,N 3,N 4 (n 1,n 2,n 3,n 4 ). 72

81 n 1 n 2 n 3 n 4 Ind. C.-J. Fréch. Gumb. C.-J. Fréch. Gumb. Parf. τ = 1 τ = 1 τ = 1 τ = 2 τ = 2 τ = 2 Dép Tableau 5.8f Valeurs de la fonction de répartition conjointe F N1,N 2,N 3,N 4 (n 1,n 2,n 3,n 4 ). 73

82 n 1 n 2 n 3 n 4 Ind. C.-J. Fréch. Gumb. C.-J. Fréch. Gumb. Parf. τ = 1 τ = 1 τ = 1 τ = 2 τ = 2 τ = 2 Dép Tableau 5.8g Valeurs de la fonction de répartition conjointe F N1,N 2,N 3,N 4 (n 1,n 2,n 3,n 4 ). 74

83 t Ind. C.-J. Fréchet Gumbel C.-J. Fréchet Gumbel Parf. τ =1/3 τ=1/3 τ=1/3 τ=2/3 τ=2/3 τ=2/3 Dép Tableau 5.9 Primes stop-loss pour différentes structures de dépendance. 75

84 Conclusion On a vu dans cet essai que le modèle collectif de risque est un outil fort utile pour les actuaires. Il permet de modéliser le risque global encouru par une compagnie d assurance, en considérant le portefeuille comme un tout plutôt que les contrats pris individuellement. À l aide de ce modèle, il est possible d évaluer le risque global du portefeuille, de déterminer la solvabilité d une ou de plusieurs classes d affaires et de fixer la prime de réassurance stop-loss. Bien que le modèle collectif classique suppose l indépendance des classes d affaires, cette hypothèse n est pas toujours réaliste. Comme on l a vu aux chapitres 2 et 3, une structure de dépendance peut être introduite par l entremise du nombre N i de réclamations faites au sein de chaque classe d affaires. À l heure actuelle, cependant, l étude de l impact de la dépendance entre les N i est limitée aux modèles suivants, que nous avons décrits : le modèle de Poisson avec chocs communs, le modèle avec composantes communes et certains modèles construits à partir de copules. Ce dernier type d approche semble être celui qui offre le plus de souplesse. À l aide des copules, il est en effet possible de modéliser et d étudier séparément l effet des marginales et de la structure de dépendance. Une autre question sur laquelle nous nous sommes penchés ici concerne la comparaison des portefeuilles entre eux afin de déterminer celui dont le risque associé est le plus faible. Cette comparaison se fait généralement à l aide de l ordre stop-loss. Dans le chapitre 4, on a passé en revue plusieurs autres concepts d ordre stochastique qui, dans le cas particulier des portefeuilles à deux classes d affaires, entraînent tous l ordre stop-loss. Lorsque le nombre de classes est strictement supérieur àdeux,onpeutdéduire à partir de l ordre supermodulaire si deux portefeuilles sont ordonnés selon l ordre stop-loss. Néanmoins, beaucoup de travail reste à faire car il n est pas facile de montrer que deux variables sont ordonnées selon cet ordre. Dans le chapitre 5, on a considéré plusieurs exemples qui montrent que les primes stop-loss se trouvent toujours comprises entre deux courbes correspondant aux cas idéaux où lesnombresderéclamations provenant des différentes classes d affaires sont mutuellement indépendants ou comonotones. Dans les exemples considérés, on a aussi remarqué qu il semble y avoir toujours ordonnancement selon la prime stop-loss lorsque l on fixe la copule et que l on fait varier le paramètre de dépendance. Les conditions exactes sous lesquelles ce phénomène se produit restent toutefois àpréciser. 76

85 Bibliographie Ambagaspitiya, R. S. (1998). On the distribution of a sum of correlated aggregated claims. Insurance : Mathematics and Economics, 23, Bäuerle, N. & Rieder, U. (1997). Comparison results for Markov-modulated recursive models. Probability in the Engineering and Informational Sciences, 11, Bowers, N. L., Gerber, H. U., Hickman, J. C., Jones, D. A. & Nesbit, C. J. (1997). Actuarial Mathematics. Society of Actuaries, Schaumburg, IL. Cossette, H. & Marceau, É. (2000). The discrete risk model with correlated classes of business. Insurance : Mathematics and Economics, sous presse. Denuit,M.,Genest,C.&Marceau,É. (1999). Stochastic bounds on sums of dependent risks. Insurance : Mathematics and Economics, 25, Denuit, M., Genest, C. & Marceau, É. (2000). Criteria for the Stochastic Ordering of Random Sums with Actuarial Applications. Rapport technique de l École d actuariat, Université Laval,Québec, Canada. Dhaene, J. & Goovaerts, M. J. (1996). Dependency of risks and stop-loss order. ASTIN Bulletin, 26, Dhaene, J. & Goovaerts, M. J. (1997). On the dependency of risks in the individual life model. Insurance : Mathematics and Economics,19, Frees, E. W. & Valdez, E. A. (1998). Understanding relationships using copulas. North American Actuarial Journal, 2, Gerber, U. (1979). An Introduction to Mathematical Risk Theory. Huelner Foundation monograph no 8, Wharton School, Philadelphia, PA. Goovaerts, M. J., Kaas, R., Van Heerwardeen, E., Bauveluck, T. (1990). Effective Actuarial Methods. North-Holland, Amsterdam. Hutchinson, T. P. & Lai, C. D. (1990). Continuous Bivariate Distributions, Emphasising Applications. Rumsby Scientific Publishing, Adelaide. Klugman, S. A., Panjer, H. H., Willmot, G. E. (1998). Loss Models : From Data to Decisions. Wiley, New York. Marceau, É., Cossette, H., Gaillardetz, P. & Rioux, J. (1999). Dependence int the individual risk model. Inédit 77

86 Marshall, A. W. & Olkin, I. (1979). Inequalities : Theory of Majorization and its Applications. Academic Press, New York. Müller, A. (1997a). Stochastic orderings generated by integrals : A unified study. Advances in Applied Probability, 29, Müller, A. (1997b). Stop-loss order for portfolios of dependent risks. Insurance : Mathematics and Economics, 21, Nelsen, R. B. (1999) An Introduction to Copulas. Lecture Notes in Statistics Number 139, Springer-Verlag, Berlin. Panjer, H. H. & Willmot, G. E. (1992). Insurance Risk Models. Societyof Actuaries. Schaumburg, IL. Shaked, M. & Shantikumar, J. G. (1994). Stochastic Orders and Their Applications. Academic Press, London. Shaked, M. & Shantikumar, J. G. (1997). Supermodular stochastic orders and positive dependence of random vectors. Journal of Multivariate Analysis, 61, Tchen, A. H. (1980). Inequalities for distributions with given marginals. The Annals of Probability, 8, Wang, S. S. (1998). Aggregation of correlated risk portfolios : models and algorithms. Proceedings of the Casualty Actuarial Society,

87 Annexe A - Distribution du nombre de réclamations On donne dans la présente annexe, une liste des lois discrètes les plus couramment utilisées en actuariat pour modéliser le nombre de sinistres (ou de réclamations). Ces informations sont extraites de l annexe de Klugman et coll. (1998). A.1 Poisson (λ) A.2 Binomiale (m, p) P (N = n) = λn e λ, λ > 0, n =0,1,... n! E(N)=λ, Var(N )=λ P N (t)=e λ(t 1) ( ) m P (N = n) = p n (1 p) m n, n =0,1,...,m n E(N)=mp, Var(N )=mp(1 p) A.3 Binomiale négative (r, p) P N (t) ={1+(1 p)(t 1)} m ( ) n+r 1 P (N = n) = p r (1 p) n, n =0,1,... r 1 E(N)= rp (1 p), Var(N )= rp (1 p) 2 { } r (1 p) P N (t) = 1+ (t 1) p 79

88 A.4 Géométrique (p) P (N = n) =p(1 p) n, n =0,1,... E(N)= (1 p), Var(N )= p (1 p) P N (t) =1+ (t 1) p A.5 Poisson Inverse Gaussienne (µ, β) P (N = n) =p 0 µ n n! P (N =0)=e µ( 1+2β 1)/β { n 1 m=0 E(N) = α β, A.6 Poisson zéro tronquée (λ) (n 1+m)! (n 1 m)!m! ( β 2µ (1 p) p 2 Var(N )=α(β+1) β 2 P N (t)=e µ[{1+2β(1 t)}1/2 1]/β ) m } (1 + 2β) n+m 2 P (N = n) = λ n k!(e λ 1), n =1,2,... E(N)= λ 1 e λ, Var(N } )=λ{1 (λ+1)e λ (1 e λ ) 2 P N (t) = eλt 1 e λ 1 A.7 Géométrique zéro tronquée (p) P (N = n) =p(1 p) n 1, n =1,2,... E(N)= 1 p), Var(N )=(1 p p 2 80

89 P N (t) = {1+(1 p)(t 1)/p} 1 p 1 p A.8 Binomiale zéro tronquée (m, p) E(N)= P (N = n) = ( m n ) (p) n (1 p) m n 1 (1 p) m, n =1,...,m mp {1 (1 p) m }, Var(N )=mp{(1 p) (1 p + mp)(1 p)m } {1 (1 p) m } 2 P N (t) = {1+p(t 1)}m (1 p) m 1 (1 p) m A.9 Binomiale négative zéro tronquée (r, p) P (N = n) = E(N)= ( ) n 1 p r (1 p) n r, r 1 r(1 p), Var(N )= p n = r, r +1,...,m r(1 p) p 2 P N (t) = {1+p(t 1)}m (1 p) m 1 (1 p) m Tableau A.1 Les distributions membres de la classe (a, b, 0) Distribution a b p 0 Poisson 0 λ e λ Binomiale q 1 q (m +1) q 1 q (1 q) m Binomiale négative Géométrique β (r 1) β 1+β) r 1+β 1+β β 1+β 0 (1+β) 1 81

90 Tableau A.2 Les distributions membres de la classe (a, b, 1) Distribution a p 0 a b Espace des paramètres Poisson e λ 0 λ λ > 0 Poisson ZT 0 0 λ λ > 0 Poisson ZM arbitraire 0 λ λ > 0 Binomiale (1 p) n p (m +1) p 0<p<1 1 p 1 p Binomiale ZT 0 p 1 p (m +1) p 1 p 0<p<1 Binomiale ZM arbitraire p (m +1) p 0<p<1 1 p 1 p Binomiale négative p r (1 p) (r 1)(1 p) 0 <p<1,r>0 ETNB 0 (1 p) (r 1)(1 p) 0 <p<1,r> 1 ETNB ZM arbitraire (1 p) (r 1)(1 p) 0 <p<1,r> 1 Géométrique p 1 p 0 0 <p<1 Géométrique ZT 0 1 p 0 0 <p<1 Géométrique ZM arbitraire 1 p 0 0 <p<1 Logarithmique 0 1 p (1 p) 0 <p<1 Logarithmique ZM arbitraire 1 p (1 p) 0 <p<1 a ZT = zéro tronquée ZM = zéro modifiée 82

91 Annexe B - Distribution du montant d une réclamation On donne dans la présente annexe, une liste des lois continues les plus couramment utilisées en actuariat pour modéliser le montant d une réclamation généré à l intérieur d un portefeuille. Ces informations sont extraites de l annexe de Klugman et coll. (1998). B.1 Exponentielle (λ) f X (x) =λe λx, x > 0 F X (x)=1 e λx, x > 0 E(X)= 1 λ, Var(X)= 1 λ 2 B.2 Gamma (α, β) M X (t)= λ λ t, φ X (t)= λ λ it, s < λ s < λ f X (x) = 1 Γ(α)β α xα 1 e x/β, 0 x<, α,β > 0 x 1 F X (x)= Γ(α)β α xα 1 e x/β E(X) =αβ, Var(X)=αβ 2 ( ) α 1 M X (t) =, t < 1 1 βt β ( ) α 1 φ X (t)=, t < 1 1 βit β 83

92 B.3 Log-normale (µ, σ) B.4 Pareto (α, β) 1 f X (x) = xσ 1 2{ log(x) µ 2π e σ } 2, x 0 { } log(x) µ F X (x)=φ, x 0 σ E(X)=e µ+σ2 2, Var(X)= ( e σ 2 1 ) e 2µ+σ2 ( β B.5 Burr (α, θ, δ) f X (x) = α ) α+1, β x x > β ( ) α β F X (x)=1, x x > 0 E(X)= αβ (α 1), Var(X)= 1 λ 2 αδ(x/θ) δ f X (x) = x{1+(x/θ) δ } α+1 { } α 1 F X (x) =1, x > 0 1+(x/θ) δ θγ(1 + 1/δ)Γ(α 1/δ) E(X)= Γ(α) Var(X)= θ2 Γ(1 + 2 )Γ(α 2 ) { δ δ θγ(1 + 1/δ)Γ(α 1/δ) Γ(α) Γ(α) B.6 Pareto généralisée (α, τ, θ) } 2 f X (x) = Γ(α + τ) θ α x τ 1, x > 0, Γ(α)Γ(τ) (x + θ) α+τ 84

93 ( F X (x) =β τ,α x ) = x + θ Γ(α + τ) Γ(α)Γ(τ) 0 x x+θ t τ 1 (1 t) α 1 dt, x > 0 θγ(τ +1)Γ(α 1) E(X) = Γ(α)Γ(τ) { Var(X)= θ2 Γ(τ +2)Γ(α 2) θγ(τ +1)Γ(α 1) Γ(α)Γ(τ) Γ(α)Γ(τ) B.7 Weibull (δ, β) } 2 f X (x) =δx δ 1 e xδ /β /β, x 0 F X (x) =1 e xδ /β, x > 0 E(X)=β 1/δ Γ(1+1/δ), Var(X)=β 2/δ { Γ(1+2/δ) Γ 2 (1 + 1/δ) } B.8 Inverse gaussienne (µ, β) f X (x) =µ(2πβx 3 ) 1/2 e (x µ)2 /(2βx), x > 0 { } { } F X (x)=φ (x µ)/ βx + e 2µβ 1 Φ (x µ)/ βx, x > 0 E(X)=µ, M X (t)= φ X (t)= Var(X)=µ 3 β exp (µ/β) exp ( ), t < λ µ 2 2µ2 t β 2 β exp (µ/β) exp ( ), s < λ µ 2 2µ2 it β 2 β 85

94 Annexe C - Programme 86